2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区顺迈学校九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区顺迈学校九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算一定正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D.
5. 方程的解为( )
A. B. C. D.
6. 若关于的方程没有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的另一边的长是( )
A. B. C. D.
8. 某饲料厂今年三月份生产饲料吨，五月份生产饲料吨，若四、五月份两个月平均每月生产增长率为，则有( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，点在上，过点作，交于点，若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 甲、乙两人都从出发经地去地，乙比甲晚出发分钟，两人同时到达地，甲在地停留分钟，乙在地停留分钟，他们行走的路程米与甲行走的时间分钟之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. 甲到地前的速度为 B. 乙从地出发后的速度为
C. A、两地间的路程为 D. 甲乙再次相遇时距离地
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 把数字用科学记数法表示为______ ．
12. 函数中自变量的取值范围是______．
13. 计算：的结果是______ ．
14. 把多项式分解因式的结果是______ ．
15. 不等式组的解集是______ ．
16. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为______ ．
17. 若与成正比例，且当时，，则与之间的函数关系式为______．
18. 如图，点、、分别是的、、的中点，若的周长为，则的周长为______ ．
19. 中，，，，则线段的长为______ ．
20. 如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
22. 本小题分
如图，每个小正方形的边长都是的方格纸中，有线段和线段，点、、、的端点都在小正方形的顶点上．
在方格纸中画出一个以线段为一边的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为．
在方格纸中以为底边画出等腰，点在小正方形的顶点上，连接，请直接写出线段的长．
23. 本小题分
某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动，“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图如图，请你结合图中的信息解答下列问题：
求被调查的学生人数；
补全条形统计图；
已知该校有名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
24. 本小题分
在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点．
如图，求证：；
如图，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四条线段，使写出的每条线段的长都等于线段长的倍．
25. 本小题分
威丽商场销售，两种商品，售出件种商品和件种商品所得利润为元；售出件种商品和件种商品所得利润为元．
求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别为多少元；
由于需求量大，、两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进、两种商品共件．如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，那么威丽商场至少需购进多少件种商品？
26. 本小题分
在菱形中，与交于点，．
如图，求证：为等边三角形；
如图，点在上，延长至点，且，连接交于点，求证：；
如图，在的条件下，连接，若，，求线段的长．
27. 本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点．
如图，求点的坐标；
如图，点在线段的延长线上，过点作轴于点，设，的面积为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，与交于点，连接，且，延长交轴交于点，点在线段的延长线上，连接交轴于点，若，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的倒数为：．
故选：．
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，故A符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的运算性质以及合并同类项法则是解答的关键．
3.【答案】
【解析】解：该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
B.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
C.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
D.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，，
，
能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
不能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
6.【答案】
【解析】解：由题意知，
．
故选：．
由于方程没有实数根，则其判别式，由此可以建立关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围．
本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根．
7.【答案】
【解析】解：过点作，
四边形是矩形，，
是等边三角形，，，
．
在中，，，
．
所以．
故选：．
根据矩形的性质及，可得是等边三角形，从而得到等腰的底角，过点作，先求出长，计算其倍就是长．
本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是熟悉矩形的对角线互相平分且相等的性质．
8.【答案】
【解析】解：月份的产量为，月份的产量在月份产量的基础上增加，为，
则列出的方程是，故选C．
可先表示出月份的产量，那么月份的产量增长率月份的产量，把相应数值代入即可求解．
考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
9.【答案】
【解析】解：，
：：，
，，，
：：，
．
故选：．
由平行线分线段成比例定理得到：：，代入有关数据即可求出的长．
本题考查平行线分线段成比例，关键是由平行线分线段成比例定理得到：：．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知：甲到地前的速度为米分钟，故选项A正确，
乙从地出发后的速度为米分钟，故选项B错误，
由图象可知，、两地间的路程为米，故选项C正确，
设甲到地后的函数关系为，
则有，
解得，
，
设乙到地后的函数关系为，
则有，
解得，
，
由，解得，
甲乙再次相遇时距离地米，
，
甲乙再次相遇时距离地米，故选项D正确，
故选：．
A、、直接利用图中信息即可解决问题，求出到地后的函数关系式，利用方程组求交点坐标即可判定的正确性．
本题考查一次函数的应用，路程速度时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标解决实际问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
首先利用二次根式的性质化简，进而合并即可．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：不等式组整理得：，
解得：．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：将点代入得，
．
故答案为：．
将点的坐标代入反比例函数解析式即可解答．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，函数图象上的点符合函数解析式．
17.【答案】
【解析】解：设，
因为当时，，
所以，
解得：，
所以，
故答案为：．
首先根据与成正比例设，再代入，可得的值，进而可得函数解析式．
此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握形如的形式是正比例函数．
18.【答案】
【解析】解：、、分别是、、的中点，
、、为中位线，
，，；
；
即是的周长的，
的周长为，
的周长为，
故答案为：．
根据、、分别是、、的中点，可以判断、、为三角形中位线，利用中位线定理求出、、与、、的长度关系即可解答．
本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路．
19.【答案】或
【解析】解：如图，中，，，，
过点作于点，
设，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
整理得：，
，，
或，
或．
故答案为：或．
根据题意画出图形，过点作于点，然后利用行度角的直角三角形的性质和勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了勾股定理，含度角的直角三角形，一元二次方程，解决本题的关键是掌握勾股定理．
20.【答案】
【解析】解：如图，
绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应，
，，，
旋转后与重合，与重合，
，，
，，
，，
点，，三点共线，，
，
，，，
，，
在，由勾股定理得：，
，，，
故答案为：．
把绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转，根据旋转的性质可以得出，继而利用勾股定理可得利用面积即可求解．
此题考查了旋转及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质与勾股定理的应用．
21.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法，最后把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
22.【答案】解：如图，四边形即为所求；
如图，即为所求，
．

【解析】作一个边长为，高为的菱形即可；
作一个腰为的等腰直角三角形即可，利用勾股定理求得．
本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质，三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：被调查的学生人数为：人；
喜欢艺体类的学生数为：人，如图所示：
全校最喜爱文学类图书的学生约有：人．
【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用到的知识点是频数、频率与总数之间的关系和用样本估计总体，关键是根据科普类的人数和所占的百分比求出被调查的总人数．
根据科普类的人数和所占的百分比求出被调查的总人数；
用总人数减去文学类、科普类和其他的人数，求出艺体的人数，从而补全统计图；
用该校的总人数乘以喜爱文学类图书的学生所占的百分比即可．
24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
平分，
，
，
，
同理，
又，
，
．
解：，
，
，
，
，
由可知，
等于线段长的倍的线段有，，，．
【解析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求得，同理，进而可证明结论；
证出，由可知，则可得出答案．
本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定等知识的综合运用．
25.【答案】解：设每件种商品售出后所得利润为元，每件种商品售出后所得利润为元，
由题意得：
解得：，
答：每件种商品售出后所得利润为元，每件种商品售出后所得利润为元；
设威丽商场需购进种商品件，则购进种商品件．
由题意得：
，
解得：，
答：威丽商场至少需购进件种商品．
【解析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的数量关系是解答本题的关键正确理解表示不等关系的词语至少的意义是解答第的关键．
设种商品售出后所得利润为元，种商品售出后所得利润为元由售出件种商品和件种商品所得利润为元，售出件种商品和件种商品所得利润为元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；
设购进种商品件，则购进种商品件根据获得的利润不低于元，建立不等式求出其解即可．
26.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
证明：如图，过点作，交于，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
又，
≌，
，
是等边三角形，
，
又，
，
；
解：如图，过点作，交于，连接，
四边形是菱形，
，，，，，
，
由可知：，，
又，
≌，
，
，
，
设，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
或舍去，
，
．
【解析】由菱形的性质可得，，由等腰三角形的性质和角的数量关系可求，可得结论；
由“”可证≌，可得，即可求解；
由“”可证≌，可得，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27.【答案】解：一次函数的图象与轴交于点，
令，则，
点坐标为，
直线经过点，
，
直线的解析式为直线，
直线交轴于点，
令，则，
点坐标为；
，
，
，
点，
，
；
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立方程组可得：，
解得：，
点，
同理可求点；
点，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
点，
点，点，
，
设点，
，
，
舍去，，
点，
设直线的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点，
．
【解析】先求出点坐标，代入解析式可求的值，即可求解；
先求出的长，由三角形的面积公式可求解；
先求出点坐标，利用待定系数法可求，的解析式，可求点，点的坐标，即可求解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积公式，一次函数的性质等知识，求出，的解析式是解题的关键．
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