2023-2024学年湖北省黄石市大冶第四实验学校九年级（上）收心考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省黄石市大冶第四实验学校九年级（上）收心考数学试卷（9月份）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 已知方程的解是，，则另一个方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4. 设，分别为一元二次方程的两个不等实根，则( )
A. B. C. D.
5. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角和两边足够长，再用长的篱笆围成一个面积为矩形花园篱笆只围、两边，在处有棵树与墙、的距离分别是和，现要将这棵树也围在花园内含边界，不考虑树的粗细，则的长为( )
A. 或 B. C. D. 或
6. 有两个一元二次方程：：，：，其中，，以下列四个结论中，错误的是( )
A. 如果方程有两个不相等的实数根，那么方程也有两个不相等的实数根
B. 如果方程有两根符号相同，那么方程的两根符号也相同
C. 如果是方程的一个根，那么是方程的一个根
D. 如果方程和方程有一个相同的根，那么这个根必是
7. 二次函数为常数，的自变量与因变量的部分对应值如表格，关于这个二次函数的图象下面说法：抛物线的对称轴为轴；抛物线的开口向下；抛物线与轴的交点坐标为；当时，，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点
，则与的函数关系式为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图是二次函数图象的一部分，是对称轴，有下列判断：
；；；若，是抛物线上两点，则，其中正确的是( )
A. B. C. D.
10. 在同一平面直角坐标系中，函数和是常数，且的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11. 在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而坐标轴向上，向右平移个单位长度，那么新坐标系抛物线的解析式是( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数，则下列说法不正确的个数是( )
若该函数图像与轴只有一个交点，则；
方程至少有一个整数根；
若，则的函数值都是负数；
不存在实数，使得对任意实数都成立．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知二次函数，用配方法化为的形式是______．
14. 已知关于的方程有两个实数根、满足，则实数 ______ ．
15. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，请你写出正确的一元二次方程______ ．
16. 若点，在抛物线上，那么与的大小关系是：______填“”“”
17. 已知二次函数，当时有最小值，则的值为______．
18. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：
；；；；，的实数．
其中正确的结论有______填序号
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
解方程：
配方法
公式法
20. 本小题分
如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
如果、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？
的面积能否等于？试说明理由．
21. 本小题分
已知关于的方程
求证：无论取何实数值，方程总有实数根．
若等腰的一边长为，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
22. 本小题分
如图，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
如图，求该抛物线的函数解析式．
当水面下降米，到处时，水面宽度增加多少米？保留根号
当水面上升米时，水面宽度减少多少米？保留根号
23. 本小题分
苏科版九上数学阅读各类方程的解法中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因
式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
问题：方程的解是，______，______；
用“转化”思想求方程的解；
拓展：若实数满足，求的值
24. 本小题分
某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，另外，每天的其它固定成本元．
该户要想盈利元，每千克售价应降低多少？
怎样定价能使每天利润最大？最大利润是多少？
25. 本小题分
如图，已知抛物线经过，两点．
求抛物线的解析式；
当时，直接写出的取值范围；
点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：为一元二次方程，所以选项符合题意；
B.为二元一次方程，所以选项不符合题意；
C.为分式方程，所以选项不符合题意；
D.当时方程为一元二次方程，所以选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】
【解析】解：方程的解是，，
方程中或，
解得：或，
即，，
故选：．
根据已知方程的解得出，，求出两个方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出和是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
分解因式，得，
解得，．
当时，，，
解得；
当时，，，
解得．
所以的值为或．
故选：．
先利用因式分解法解方程，得到，再分别将，代入，求出的值即可．
本题考查了一元二次方程的解的意义，利用因式分解法解方程，求出方程的两个解是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，分别为一元二次方程的两个不等实根，
，，
则原式
．
故选：．
先由方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将其代入原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
5.【答案】
【解析】解：设，则，
依题意，得：，
解得：，．
处有一棵树与墙、的距离分别是和，
不合题意，舍去，
．
故选：．
设，则，根据矩形的面积公式结合矩形花园的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、在方程中，在方程中，
如果方程有两个不相等的实数根，那么方程也有两个不相等的实数根，正确；
B、和符号相同，和符号也相同，
如果方程有两根符号相同，那么方程的两根符号也相同，正确；
C、是方程的一个根，
，
，
是方程的一个根，正确；
D、得：，即，
，
，解得：，错误．
故选D．
根据、两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“和符号相同，和符号也相同”，即可得出B正确；将代入方程中，方程两边同时除以即可得出是方程的一个根，C正确；用方程方程，可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值，从而得出D错误．综上即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：把，；，；，代入，
得，解得，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为，原说法不正确；
，
抛物线的开口向上，原说法不正确；
抛物线与轴的交点坐标为，原说法正确；
当时，，原说法正确；
正确的有，共个，
故选：．
利用待定系数法求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质即可判断．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的性质作答是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．
已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．
【解答】解：设这个二次函数的关系式为，将代入得：
，
解得：，
故这个二次函数的关系式是，
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程的解的方法．同时注意特殊点的运用．
利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
【解答】
解：抛物线的对称轴是直线，
，
，
，
故正确；
抛物线的对称轴是直线，和轴的一个交点是，
抛物线和轴的另一个交点是，
把代入得：，
故错误；
图象过点，代入抛物线的解析式得：，
又，
，
，
故正确；
根据图象，可知抛物线对称轴的右边随的增大而减小，
抛物线和轴的交点坐标是和，抛物线的对称轴是直线，
点关于对称轴的对称点的坐标是，
，，
，
故正确；
即正确的有，
故选B．
10.【答案】
【解析】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：．
可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟知函数与系数的关系，一次函数、二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：抛物线不动，而坐标轴向上，向右平移个单位长度，相当于坐标轴不动，将抛物线向下，向左平移个单位长度，
则新坐标系抛物线解析式为，
故选：．
利用平移规律确定出所求解析式即可．
此题考查了二次函数图象与几何变换，弄清平移规律是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：当时，，此时函数图象与轴交点为，故错误；
当时，，解得；
当时，，
解得或，
故正确；
当时，函数图象开口向上，若，则；
当时，函数图象开口向下，若，则；
故错误；
当时，，，
此时函数与至少有一个交点，
不能使对任意实数都成立；
当时，，不能使对任意实数都成立；
故正确；
故选：．
当时，函数图象与轴只有一个交点；当时，，解得；当时，函数图象开口向上，若，则；当时，函数图象开口向下，若，则；当时，，，此时对任意实数都成立．
本题考查函数与方程的关系；由于是二次项系数，因此具有特殊性，则对的特殊的讨论是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
利用配方法将函数解析式转化成顶点式即可得出结论．
本题综合考查了二次函数的三种形式、二次函数的图象与性质．二次函数的解析式有三种形式：
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：
14.【答案】或
【解析】解：由题意得，
解得；
根据题意得，，
，
，即，
，
整理得，
解得，，
，
或．
故答案为：或．
利用判别式的意义得到，然后解不等式得到的范围；据题根与系数的关系得到，，再利用得到，则，然后解关于的方程得到满足条件的的值．
本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：小明看错了一次项系数，
；
小刚看错了常数项，
，
．
正确的一元二次方程为．
故答案为：．
由小明看错了一次项系数，利用两根之积等于，可求出值，由小刚看错了常数项，利用两根之和等于，可求出值，进而可得出正确的一元二次方程．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：点，在抛物线上，
，．
，
，
．
故答案为：．
利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，的值，比较后即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键．
17.【答案】或
【解析】解：当 时，当时，最小值为，代入解析式得，
解得 舍去或 ，
当 时，把代入解析式得，
解得舍去；
当 时，当 时，最小值为，代入解析式得，
解得舍去或．
综上所述：或，
故答案为：或．
分，，三种情况讨论，可求的值．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练运用函数的性质解决问题是本题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．
【解答】
图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，，
，
，
错误；
当时，由图象知，
把代入解析式得：，
，
错误；
图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为，
能得到：，，，
所以，
所以．
正确；
由知且，
，正确；
时，最大值，
时，，
的实数，
，
成立．
正确．
故正确结论的序号是．
19.【答案】解：，
，
，即，
，
则；
，
，，，
，
则．
【解析】配方法求解可得；
公式法求解可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20.【答案】解：设秒后，的面积等于则
，
整理，得
，
解得，舍去．
答：如果、两点同时出发，那么秒后，的面积等于；
的面积能不能等于理由如下：
设秒后，的面积等于则
，
整理，得
，
则，
所以该方程无解．
即：的面积能不能等于．
【解析】点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，表示出和的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．
参照的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．
此题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
21.【答案】证明：，
，
，
无论取什么实数值，，
，
所以无论取什么实数值，方程总有实数根；
，
因式分解得：，
解得：，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，而，，所以三角形的周长为：；
当、为腰，则，解得，
，因为，，不构成三角形，所以这种情况不成立；
当、为腰则，
，
三角形的周长为：．
综上，三角形的周长为或．
【解析】根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根，所以只需证明即可．
利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
22.【答案】解：设该抛物线的函数解析式为，
由已知可得，点的坐标为且点在该抛物线上，
，
解得，
即该抛物线的函数解析式为；
将代入，
得，
解得，
，
，
，
即水面宽度增加米；
将代入，
得，
解得，
此时水面的宽为：，
当水面上升米时，水面宽度减少米．
【解析】根据平面直角坐标系中的函数图象，可以设抛物线的解析式为，然后将代入，即可得到抛物线的解析式；
将代入求出对应的的值，然后即可得到的长，然后减去的长，即可得到水面宽度增加多少米；
仿照的解法，可以得到水面宽度减少多少米．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】
两边平方得，
整理得，
解得，，
经检验，为原方程的解；
，
，
，
或，
化为，此方程没有实数解，
所以的值为．
【解析】解：，
，
，
或或，
所以，，；
故答案为，，；
见答案
见答案
【分析】
利用因式分解法解方程；
把无理方程化为整式方程，然后利用因式分解法解方程后进行检验确定原方程的解；
先表示得到，利用因式分解法得到或，由于化为，此方程没有实数解，从而得到的值为．
本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法．
24.【答案】解：设每千克售价为元，
根据题意得，
整理得，
解得，，
元，元，
答：每千克售价应降低元或元．
设每天利润为元，
根据题意得，
，
当时，，
答：当每千克西瓜的售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元．
【解析】设每千克售价为元，则每千克西瓜的利润为元，每天的西瓜销售量可表示为千克，
若每天盈利元，则，求得，，即可求得每千克售价应降低元或元；
设每天利润为元，则，可知当时，，所以当每千克西瓜的售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元．
此题重点考查一元二次方程的解法、列一元二次方程解应用题、二次函数的性质等知识，正确地用代数式表示每千克西瓜的利润及每天的销售量是解题的关键．
25.【答案】解：将点，两点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
，抛物线的对称轴为，开口向下，的最大值为，
如图，
时，；
设，
的高为，
，，
，
，
解得，
当时，，
此时方程无解，
当时，，
解得，，
或．
【解析】将与的坐标代入抛物线的解析式即可求出与的值，
根据图象即可求出的取值范围，
设，的高为，，由列出方程即可求出的值，从而可求出的坐标．
本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
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