2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源二中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源二中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四组线段中，不能成比例的是( )
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
2. 在下列命题中，正确的是( )
A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3. 若等腰三角形一条边的边长为，另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是( )
A. B. C. 或 D.
4. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5. 如图，一块长方形绿地的长为，宽为，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为，则根据题意可列出方程( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知一个几何体由大小相等的若干个小正方体组成，其三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体个数为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上．若正方形的边长为，则点坐标为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点连接，，，且，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有个．( )
方程是倍根方程；
若是倍根方程，则；
若、满足，则关于的方程是倍根方程；
若方程是倍根方程，则必有．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 若，则的值是______ ．
12. 从，，，这四个数中任选两数，分别记作，，那么点在函数图象上的概率是______．
13. 若是关于的一元二次方程，则的值是______ ．
14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
15. 如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上．如果，的面积是，那么这个正方形的边长是______．
16. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为______．
17. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；；其中正确结论的序号是______．
18. 如图，在反比例函数的图象上有点、、，，为常数，，它们的横坐标依次为，，，，，分别过点、、，，作轴，轴的垂线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为、、，，，则______用含的代数式表示
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
用指定方法解下列一元二次方程：
配方法
公式法
20. 本小题分
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．
试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
21. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
若该方程有两个实数根，求的最小整数值；
若方程的两个实数根为，，且，求的值．
22. 本小题分
山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售量可增加千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利元，请回答：
每千克核桃应降价多少元？
在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
23. 本小题分
某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图不完整，请你根据图中信息解答下列问题
求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
学校从甲、乙、丙、丁位一等奖获得者中随机抽取人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
24. 本小题分
一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点处时，张龙测得李明直立时身高与影子长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长．结果精确到．
25. 本小题分
如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点．
求证：四边形是矩形．
若，，求矩形的面积．
26. 本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．且一次函数图象交轴于点．
求反比例函数与一次函数的解析式；
求的面积；
点在轴上移动，是否存在点使为等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
27. 本小题分
如图，在中，点在边上，连接，，交边于点，交的延长线于点，且．
求证：
∽；
．
28. 本小题分
如图，已知四边形是正方形，是对角线上的一点，连接，．
求证：；
如图，点是边上的一点，且于，连接，为的中点，连接若，求的度数；
在的条件下，若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，
四组线段中能成比例；不符合题意；
B、，
四组线段中能成比例；不符合题意；
C、，
四组线段中不能成比例；符合题意；
D、，
四组线段中能成比例；不符合题意；
故选：．
此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
2.【答案】
【解析】解：、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；
B、应为有一个角是直角的平行四边形是矩形；
C、符合菱形定义；
D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
故选：．
要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别．
3.【答案】
【解析】解：当为腰长时，将代入原方程得，
解得：，
原方程为，
，，
，
长度为，，的三条边不能围成三角形
舍去；
当为底边长时，，
解得：．
故选：．
分为腰长及为底边长两种情况考虑：当为腰长时，将代入原方程可求出的值，将的值代入原方程可求出的值，由三角形的三边关系可得出舍去；当为底边长时，由根的判别式，可求出值．综上即可得出结论．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分为腰长及为底边长两种情况找出值是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
【解答】
解：点、、在反比例函数的图象上，
，，，
又，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：依题意，得：，
故选：．
由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：根据俯视图可知该组合体共行、列，
结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：
则组成此几何体需要正方体个数为．
故选：．
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
7.【答案】
【解析】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
，
，
，
∽，
，
解得：，
，
点坐标为：，
故选：．
直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出∽，进而得出的长，即可得出答案．
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出的长是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识．
如图，作，交于，交于设，则，利用相似三角形的判定与性质解决问题即可．
【解答】
解：如图，作，交于，交于．
四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，设，则，，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：解方程得，，，得，，
方程不是倍根方程；
故不正确；
若是倍根方程，，
因此或，
当时，，
当时，，
，
故正确；
，则，
，，
，
因此是倍根方程，
故正确；
方程的根为：，，
若，则，
即，
，
，
，
，
．
若时，则，
则，
，
，
，
，
．
故正确，
正确的有：共个．
故选：．
求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到、之间的关系，而、之间的关系正好适合，
当，满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
设，，，
原式
．
故答案为：．
利用已知条件设，，，，将它们代入运算化简即可．
本题主要考查了比例的性质，利用比例的性质设，，是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，点恰好在反比例函数图象上的有：，，，，
点在函数图象上的概率是：．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点恰好在反比例函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】或
【解析】解：依题意得：且，
整理，得
，
解得或．
故答案是：或．
根一元二次方程的定义得到且，由此求得的值即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且．
14.【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零以及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，根据二次项系数非零以及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．
如图，过点作交于点、交于点，先利用三角形面积公式计算出，设正方形的边长为，则，，，再证明∽，则根据相似三角形的性质得，然后解关于的方程即可．
【解答】
解：如图，过点作交于点、交于点，
的面积是，，
，
，
设正方形的边长为，则，，，
，
∽，
，即，解得，
即正方形的边长为．
故答案为：．
16.【答案】米
【解析】【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．据此可构造出相似三角形．
本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．
【解答】
解：根据题意可构造相似三角形模型如图，
其中为树高，为树影在第一级台阶上的影长，为树影在地上部分的长，的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知即为树影在地上的全长；
延长交于，则∽，
：：物高：影长：
又，，，，
，即树高为米．
17.【答案】
【解析】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，，
，
，
，故正确；
，
，
又，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
由上述、、可得、，，
，故正确；
，，
不是等边三角形，
，
即，故错误；
综上所述，结论正确的是．
故答案为：．
根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明≌，可得，求出，从而判断出正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出正确；求出，，证明≌，可得，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，判断出正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到错误．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标，
当时，的纵坐标，
当时，的纵坐标，
当时，的纵坐标，
则；
；
；
；
；
．
故答案为．
求出、、、的纵坐标，从而可计算出、、、的高，进而求出、、、，从而得出的值．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出各阴影部分面积的表达式是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
，；
，
整理得：，
，
，
，．
【解析】本题考查了解一元二次方程，能灵活运用各种方法解方程是解此题的关键．
移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
整理后求出的值，再代入公式求出即可．
20.【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每轮传染中平均一个人传染个人．
人．
答：经过三轮传染后共有人会患流感．
【解析】设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据数量关系，列式计算．
21.【答案】解：根据题意得，
解得，
所以的最小整数值为；
根据题意得，，
，
，
，
整理得，解得，，
，
的值为．
【解析】利用判别式的意义得到，然后解不等式得到的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
利用根与系数的关系得到，，再利用得到，接着解关于的方程，然后利用中的范围确定的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
22.【答案】解：设每千克核桃应降价元，
根据题意得 ，
化简得 ，
解得，，
答：每千克核桃应降价元或元；
由可知每千克核桃可降价元或元，
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价元，
此时售价为元，
设按原售价的折出售，则有，
解得
答：该店应按原售价的九折出售．
【解析】本题考查一元二次方程的应用．
设每千克核桃应降价元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可；
为了让利于顾客因此应下降元，求出此时的销售单价即可确定几折．
23.【答案】解：本次比赛获奖的总人数为人，
所以二等奖人数为人，
补全条形统计图如下：
扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为；
树状图如图所示，
从四人中随机抽取两人有种等可能的结果，恰好是甲和乙的有种可能，
抽取两人恰好是甲和乙的概率是．
【解析】先由一等奖人数及其对应的百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖的人数即可求出二等奖的人数，从而补全图形；
用乘以“二等奖”所占比例即可得；
画出树状图，由概率公式即可解决问题．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
24.【答案】解：设长为米，
，，，，
，
米，
∽，
，即，
解得：．
经检验，是原方程的解，
．
答：路灯的高的长约为米．
【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
根据，，，得到，从而得到∽，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
25.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
又四边形是菱形，
，即，
四边形是矩形．
解：在菱形中，，
．
又，
是等边三角形，
，
，
，
矩形的面积是．
【解析】由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形；
首先推知是等边三角形，所以，则，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可．
本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
26.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数解析式为，
的图象经过，两点，
，解得，
一次函数的解析式为．
一次函数的解析式为与轴交于点
．
如图，，
，
当时，可得．
当时，可得，．
当时，设，则有，
解得，
．
综上所述，点坐标为或或或．
【解析】点坐标代入反比例函数即可求出，，两点坐标代入解方程组即可求出、由此即可解决问题．
先求出点坐标，根据计算即可．
分三种情形当时，可得当时，可得，当时，设，则有，解方程即可．
本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
27.【答案】证明：，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽；
∽，
，，
，
，
，
，
．
【解析】由得出，再由得出∽，得出，由得出，即可证明∽；
由∽，得出，，进而得出，由得出，即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
28.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；
四边形是正方形，
，
，
，
，为的中点，
，
，
；
如图，连接，
点是的中点，，
，
，，
，
，
，
．
【解析】由“”可证≌，可得；
由正方形的性质可得，可求，由直角三角形的性质可得，可得，由外角的性质可求解；
由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质和外角性质可得，可证，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
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