2023-2024学年北京市海淀区师达中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市海淀区师达中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 截至年月日时，全国冬小麦收获亿亩，进度过七成半，将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，，，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6. 十二边形的内角和为( )
A. B. C. D. 无法计算
7. 下面的三个问题中都有两个变量：
汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A. B. C. D.
8. 如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．
10. 分解因式：______．
11. 方程的解为______ ．
12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为______ ．
13. 某厂生产了只灯泡为了解这只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命单位：小时，数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数
根据以上数据，估计这只灯泡中使用寿命不小于小时的灯泡的数量为______ 只
14. 已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则 ______ ．
15. 如图，在中，平分，若，，则 ______ ．
16. 如图，点、、在同一条线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，≌，连接，设，，，下面三个结论：；；；正确的序号是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解不等式组：．
19. 本小题分
已知，求代数式的值．
20. 本小题分
二次函数的图象经过点．
求二次函数的对称轴；
当时，
求此时二次函数的表达式；
把化为的形式，并写出顶点坐标．
21. 本小题分
如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，．
求证：四边形是矩形；
若且，已知，求的长．
22. 本小题分
如图，利用长米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出个小长方形，总共用去篱笆米，为了使这个长方形的的面积为平方米，求、边各为多少米．
23. 本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
求该函数的解析式及点的坐标；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的值．
24. 本小题分
某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高单位：，数据整理如下：
名学生的身高：
，，，，，，，，，，，，，，，；
名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
写出表中，的值；
对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______ 填“甲组”或“乙组”；
甲组学生的身高
乙组学生的身高
该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______ 和______ ．
25. 本小题分
跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡上的点处．腾空点到地面的距离为，坡高为，着陆坡的坡度即为：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点，．
求这段抛物线表示的二次函数表达式；
在空中飞行过程中，求运动员到坡面竖直方向上的最大距离；
落点与坡顶之间的距离为______
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．
当时，如果，直接写出，的值；
当，时，总有，求的取值范围．
27. 本小题分
在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍为正整数，那么称点为点的倍关联点．
当点的坐标为时，
如果点的倍关联点在轴上，那么点的坐标是______ ；如果点的倍关联点在轴上，那么点的坐标是______ ；
如果点是点的倍关联点，且，，则满足条件的点有______ 个
如果点的坐标为，，，若在线段上存在的倍关联点，直接写出的取值范围．
28. 本小题分
已知正方形和一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
如图，当点在正方形内部时：
依题意补全图；
求证：；
如图，当点在正方形外部时，连接，取中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，解题的关键是要正确确定和的值．
2.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
先求出的度数，然后根据，即可得出答案．
本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出的度数．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故选：．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的方程，即可求解．
此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
6.【答案】
【解析】解：．
故选C．
根据多边形的内角和公式，列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：汽车从地匀速行驶到地，根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小，故符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，故符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长的二次函数，故不符合题意；
所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是．
故选：．
根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小判断即可；
根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小判断即可；
根据矩形的面积公式判断即可．
本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
8.【答案】
【解析】解：由表中信息可知：抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
，
．
根据表中信息，抛物线经过点，
，
，
解得：，
抛物线的解析式为．
，
该抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口方向向下，抛物线经过，．
当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，
．
故选：．
利用二次函数的图象的对称性求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得，的值，再利用二次函数与直线的交点的特性解答即可．
本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质和利用数形结合的方法解答是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
11.【答案】
【解析】解：方程两边同时乘以得，
，
．
检验：把代入，且方程左边右边．
原分式方程的解为．
依据题意，由分式方程的解法即可得解．
本题主要考查了分式方程的解法，解题时要熟练掌握并灵活运用．
12.【答案】
【解析】解：将代入得：，
解得：，
正比例函数解析式为
当时，，
解得：，
的值为．
故答案为：．
由点的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据给定坐标，利用待定系数法求出正比例函数解析式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：估计这只灯泡中使用寿命不小于小时的灯泡的数量为只．
故答案为：．
用乘以使用寿命不小于小时的百分比即可．
本题考查了频数率分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．
14.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
由题意得：，即可求解．
此题考查了抛物线与轴的交点，熟练掌握根的判别式是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作，交于点；过点作，交于点．
，，
，
又，
，
四边形为矩形，
同理可得，四边形也为矩形，
，
在中，斜边直角边．
故正确，符合题意；
≌，
，
中，，
，
，
故正确，符合题意；
≌，
，，
又，
，
．
，
，
，
，
，
，
．
故正确，符合题意；
故答案为：．
根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；
在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；
将用和表示出来，再进行比较．
本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心．
17.【答案】解：原式
．
【解析】利用二次根式的性质，负整数指数幂的意义，绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，负整数指数幂的意义，绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
的值为．
【解析】根据已知可得，然后利用分式的基本性质化简分式，再把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20.【答案】解：二次函数的对称轴是直线，即直线；
二次函数的图象经过点，
，
，
此时二次函数的表达式为；
，
顶点坐标为．
【解析】根据二次函数的对称轴是直线即可求解；
将代入，即可求出此时二次函数的表达式；
利用配方法即可把化为的形式，再根据顶点式的特点写出顶点坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征以及利用配方法将一般式化为顶点式，正确求出函数的解析式是解题的关键．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
．
【解析】先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；
由等腰直角三角形的性质求出的长，由勾股定理可求的长．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】解：设为米，则为米，
解得：，
当时
不合题意，舍去
当时
．
答：米，米．
【解析】设为米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．
23.【答案】解：把点，代入得：，，
解得：，，
该函数的解析式为，
由题意知点的纵坐标为，
当时，
解得：，
；
由知：当时，，
因为当时，函数的值大于函数的值且小于，
所以当过点时满足题意，
代入得：，
解得：．
【解析】利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为，代入函数解析式求出点的横坐标即可；
根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出的值即可．
本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
24.【答案】甲组
【解析】解：数据按由小到大的顺序排序：，，，，，，，，，，，，，，，，
则舞蹈队名学生的中位数为，众数为；
甲组学生身高的平均值是：，
甲组学生身高的方差是：，
乙组学生身高的平均值是：，
乙组学生身高的方差是：，
，
甲组舞台呈现效果更好．
故答案为：甲组；
，，的平均数为，
且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，
数据的差别较小，
可供选择的有，，
平均数为：，
方差为：，
选出的另外两名学生的身高分别为和．
故答案为：，．
根据众数和中位数的定义进行计算；
根据方差的计算式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；
根据方差进行比较．
本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
25.【答案】解：为，
，
设二次函数表达式为，
把，，代入得，解得，
所以二次函数的表达式为；
如图，作轴分别交抛物线和于、两点，
坡高为，着陆坡的坡度即为：，
，即，
设线段的关系式为，则，解得：
所以线段的关系式为，
设，则，
则，
，
当时，的最大值为．
运动员到坡面竖直方向上的最大距离是米；
．
【解析】【分析】
本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．
设二次函数表达式为，把代入可得关系式；
作轴分别交抛物线和于、两点，先求出的关系式，再分别表示出、的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案；
计算抛物线和线段的交点的坐标，再利用勾股定理可得答案．
【解答】
见答案；
如图，
由题意得，
解得，舍去，即，
米，米，
米，
米，
故答案为：．
26.【答案】解：根据题意知，当时，，
抛物线的对称轴，
关于对称轴对称的点为，
，且，
，；
根据题意知，当时，，
，图象开口向下，满足，对应，
当时，随的增大而增大，
设抛物线的对称轴为，
，
点关于对称轴对称的点为，
，图象开口向下，，且，
，解得，
．
【解析】首先根据题意求出当时，，再求出关于对称轴对称的点为，即可求出，的值；
首先先根据，图象开口向下，满足，对应，可算出，求出点关于对称轴对称的点为，因为可算，即可算出的取值范围．
本题考查的是二次函数的图像与性质，解题关键：理解并掌握二次函数的基本性质．
27.【答案】或 或
【解析】解：由题知，
因为点的坐标是，
所以．
当点的倍关联点在轴上时，
此时点的坐标是或；
当点的倍关联点在轴上时，
根据勾股定理得，，
所以此时点的坐标是或．
故答案为：或，或．
因为，且，，
所以点在点和点之间的线段上．
当点在时，
，
当点在时，
．
所以满足条件的点有个．
故答案为：．
因为的坐标是，
所以．
所以点的倍关联点在以点为圆心，为半径的圆上．
又，，
所以线段是一条与轴夹角为，且长度为的线段，如图所示．
当线段在位置时，
由得，
．
则，
此时．
当线段在位置时，
由得，
点到轴的距离为，
则，即．
所以当线段在位置和之间时，
线段上存在点的倍关联点，
此时．
当线段在位置时，
由得，
．
则，
此时．
当线段再位置时，
由得，
点到轴的距离是，
则，即．
所以当线段在位置和之间时，
线段上存在点的倍关联点，
此时．
综上所述，
的取值范围是：或．
根据题中对倍关联点的定义即可解决问题．
分别求出当点坐标为和时的长度，再进行判断即可．
根据的长度，可得出它的倍关联点所处位置，再结合点，的坐标即可解决问题．
本题考查三角形综合，能理解题中关于倍关联点的定义及巧妙的利用图形是解决问题的关键．
28.【答案】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
证明：由旋转得，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
，
证明：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，取中点，连接，，
由旋转得，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
延长到点，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】按题中要求补全图形即可；
由旋转得，，由正方形的性质得，，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，则；
先证明≌，得，，再延长到点，使，连接，可证明≌，得，，所以，，可推导出，而，所以，即可证明≌，则．
此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且适当选择全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键．
第1页，共1页