2023-2024学年河北省保定市爱和城学校九年级（上）暑假反馈数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省保定市爱和城学校九年级（上）暑假反馈数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 使分式有意义，应满足的条件是( )
A. B. C. 或 D. 且
3. 已知，则在下列结论中，错误的是( )
A. B. C. D.
4. 下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
；
；
；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 若平行四边形的对角线长度分别为和，一边长为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是正方形
D. 当时，它是矩形
7. 如图，在 中，、相交于点，点是的中点．若，则的长是．( )
A. B. C. D.
8. 如图，在 中，，，平分交边于点则线段、的长度分别为( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
9. 如图，直线与的交点坐标为，则使的的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
10. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为( )
A. B. C. D.
11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
12. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共个，购买资金不超过元若每个篮球元，每个足球元，则篮球最多可购买个．( )
A. B. C. D.
13. 如图在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，点的坐标是，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
14. 如图，在中，、分别是的角平分线和高线，过点作于点，若，，，则的长为( )
A. B. C. D.
15. 若关于的分式方程无解，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
16. 若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）
17. 因式分解：______．
18. 点关于轴对称的点的坐标是______．
19. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么______．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
解方程：
；
．
21. 本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点．
将向左平移个单位长度得到；
将绕点按逆时针方向旋转得到，请画出；
若点的坐标为；写出与的对称中心的坐标______．
22. 本小题分
在近期“抗疫”期间，某药店销售、两种型号的口罩，已知销售只型和只型的利润为元，销售只型和只型的利润为元．
求每只型口罩和型口罩的销售利润；
该药店计划一次购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不少于型口罩的进货量且不超过它的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元写出关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
23. 本小题分
如图，矩形的对角线、交于点，过点作，且，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；分式有意义分母不为零；分式值为零分子为零且分母不为零．
根据分式有意义，分母不等于列式计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得，，
解得且．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了不等式的性质，正确掌握不等式的基本性质是解题关键．
直接利用不等式的性质分别判断得出答案．
【解答】
解：、，，故A正确，不符合题意．
B、，故B正确，不符合题意．
C、，，故C正确，不符合题意．
D、，，故D错误，符合题意．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解；
，属于因式分解；
，是整式的乘法，不是因式分解；
在实数范围内不能因式分解．
所以是因式分解的有个．
故选：．
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目．
此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质、三角形的三边关系定理、不等式的解法；熟练掌握平行四边形的性质和三角形的三边关系定理是解决问题的关键由平行四边形的性质得出，，在中，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出不等式，解不等式即可．
【解答】
解：如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
在中，，
，
解得．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据菱形、矩形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，
，
点是的中点，
为的中位线，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质，可得出点平分，则是三角形的中位线，则，继而求出答案．
本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，属于基础题，比较容易解答．
8.【答案】
【解析】【分析】
先根据角平分线及平行四边形的性质得出，再由等角对等边得出，从而求出的长．
本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出是解决问题的关键．
【解答】
解：平分交边于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由图象可知，当时，直线落在直线的下方，
故使的的取值范围是：．
故选C．
求使的的取值范围，即求对于相同的的取值，直线落在直线的下方时，对应的的取值范围．直接观察图象，可得出结果．
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．
本题考查解一元二次方程配方法，解答本题的关键是会用配方法解一元二次方程．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于的不等式，然后可以求出的取值范围．
【解答】解：由题意知，
解得且．
故选D．
12.【答案】
【解析】解：设购买篮球个，则购买足球个，
根据题意得：，
解得：．
为整数，
最大值为．
故选：．
设购买篮球个，则购买足球个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，解题的关键是正确列出一元一次不等式．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是利用平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标的规律，要求点的坐标，根据平行四边形的性质和关于原点对称的规律写出点的坐标．
【解答】解：在中，点和关于原点对称，
点的坐标是，
点的坐标是．
故选A．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，过作于，
平分，，，
，
，
，
即，
，
故选：．
过作于，依据平分，，，即可得到，再根据的面积算法，即可得到的长．
本题主要考查了三角形的面积以及角平分线的性质，解决问题的关键是面积法的运用．
15.【答案】
【解析】方程无解有两种情况：整式方程无解；方程存在增根．
解：去分母得：，即，
当，即时，方程无解；
当，即时，解得：，
由分式方程无解，得到，即，
综上，的值为或，
故选：．
16.【答案】
【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
该方程组有且只有个整数解，
的整数解为，，，，，，，
，
，
故选：．
解两个不等式可得，，根据不等式组有且只有个整数解，可得，解不等式即可．
本题考查了由不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握解不等式组的方法．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查因式分解提公因式法和运用公式法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：．
18.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
19.【答案】
【解析】解：是等腰直角三角形，
，，
绕点逆时针旋转后，能与重合，
，，
为等腰直角三角形，
．
故答案为．
利用等腰直角三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
或，
，；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
【解析】利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答；
按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
与轴的交点即为与的对称中心，
所以对称中心的坐标为．
故答案为：．
根据平移的性质即可将向左平移个单位长度得到；
根据旋转的性质即可将绕点按逆时针方向旋转得到；
根据点的坐标为，即可写出与的对称中心的坐标．
本题考查了作图旋转变换、作图平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
22.【答案】解：设每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元，根据题意得：
，
解得，
答：每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元；
根据题意得，，即；
根据题意得，，解得，
．
【解析】设每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元，根据“销售只型和只型的利润为元，销售只型和只型的利润为元”列方程组解答即可；
根据题意即可得出关于的函数关系式；根据题意列不等式得出的取值范围，再结合的结论解答即可．
本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况．
23.【答案】解：四边形是菱形，
理由：，，
四边形是平行四边形，
矩形的对角线、交于点，
，
平行四边形是菱形，
故四边形是菱形．
【解析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，关键是掌握矩形对角线互相平分且相等，邻边相等的平行四边形是菱形．
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