2023-2024学年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为( )
A. B.
C. D.
2. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为( )
A. B. C. D.
3. 下列说法中的错误的是( )
A. 一组邻边相等的矩形是正方形
B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
5. 向上抛掷两枚相同的硬币，落地后出现一正面、一反面的概率是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是( )
A.
B.
C.
D.
8. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利万元，已知月份和月份利润的月增长率相同．设，月份利润的月增长率为，那么满足的方程为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，中，，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 用两个全等且边长为的等边三角形和拼成菱形，把一个角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的角的顶点与点重合，两边分别与，重合，将三角尺绕点按逆时针方向旋转，在转动过程中，当的面积是时，的长为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 顺次连接矩形的四边中点所得图形是______．
12. 若关于的一元二次方程的一个根为，则值是______．
13. 如图是一个五角星图案，中间部分的五边形是一个正五边形，则图中的度数是______ 度
14. 西安有“碳水之都”的美誉，现有张卡片正面分别写着“碳”“水”“之”“都”，卡片除汉字不同其他别无二致，将卡片正面朝下洗匀，然后同时随机抽取张，刚好抽到“碳”“水”二字的概率是______ ．
15. 若，则的值为______．
16. 如图，在矩形中，为上一点，以为边作矩形，其中经过点，连接，若，，，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
用公式法解方程：；
用配方法解方程：；
用分解因式法解：．
18. 本小题分
解方程：
19. 本小题分
已知：直线上一点及其外一点，求作：菱形，使菱形的边在直线上保留作图痕迹
20. 本小题分
如图，在中，是边上的中线，是的中点，延长到，使，连接、、求证：四边形是平行四边形．
21. 本小题分
接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的倍，且甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天．
求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；
一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了人，但不低于人，这样乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人，求的值．
22. 本小题分
如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，垂直于边的延长线于点，垂直于边的延长线于点，且．
求证：四边形是菱形；
当：：，时，求菱形的面积．
23. 本小题分
已知关于的方程：有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若为中符合条件的最小正整数，设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为，，求代数式的值．
24. 本小题分
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透在我校的数学选修课上，同学们针对四边形面积求解的问题进行了探究：
【问题提出】
如图，在 中，，，，是的中点，点在上，且，求四边形的面积；结果保留根号
【问题解决】
如图所示，现规划在一处滩地上规划一个五边形河畔公园，按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点、、、分别在边、、、上，且满足，已知五边形中，，，，，，为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项，当是，原方程是一次方程，不符合题意；
选项符合一元二次方程的定义；
选项有两个未知数，也不符合题意；
选项是分式方程，不符合题意；
故选：．
一元二次方程是指含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，据此来判断即可．
本题考查了一元二次方程的识别，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、一组邻边相等的矩形是正方形，此说法正确，不符合题目的要求；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，此说法正确，不符合题目的要求；
C、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，此说法错误，符合题目的要求；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此说法正确，不符合题目的要求；
故选：．
根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的判定方法逐项分析即可．
此题是一道几何结论开放题，全面地考查了矩形的判定定理，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神．
4.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
则的取值范围是且．
故选：．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
5.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的情况出现，其中出现一正面和一个反面的情况占种，
所以出现“一正面和一个反面”的概率为，
故选：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
四边形是矩形，
，，
点、分别是、的中点，
，
故选：．
由矩形的性质可得，，由三角形中位线定理可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线的定理，勾股定理，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
正方形和正方形中，，，
，，
，
，
由勾股定理得，，
是的中点，
．
故选：．
连接、，根据正方形性质求出、，，再求出，然后利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程熟练掌握由实际问题抽象出一元二次方程是解题的关键求平均变化率的方法为：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
等量关系为：一月份利润一月份的利润增长率一月份的利润增长率，把相关数值代入计算即可．
【解答】
解：设二、三月份的月增长率是，依题意有
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：如图，延长交于，
在和中，
，
≌，
，，
，
是的中位线，
，
，
故选：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，在和中，
，
．
，，
≌．
，
的边上的高为等边的高，而，
边上的高为，
又的面积是，
，
，
；
如图，在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
的边上的高为等边的高，而，
边上的高为，
又的面积是，
，
，
．
或．
故选：．
首先利用等式的性质可得出，再由、，利用在图、中可证得证明≌，从而得到，根据已知条件知道的高为等边的高，由于的面积等于，由此可以求出底边即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质及全等三角形的判定，注意在含有三角形的图形中，线段的相等一般都会转化为三角形的全等的证明，三角形全等的判定是中考的热点，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
11.【答案】菱形
【解析】解：在中，
，，
，
同理，，，
又在矩形中，，
，
四边形为菱形．
故答案为：菱形．
因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，得
满足关于的一元二次方程，
，
解得，；
又二次项系数，即，
；
故答案为：．
根据一元二次方程解的定义，将代入关于的一元二次方程，然后解关于的一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为”这一条件．
13.【答案】
【解析】解：是一个正五边形，
五边形的内角和是，
．
根据五边形的内角和是，再根据正五边形的各个内角都相等求得的度数．
掌握多边形的内角和定理以及正多边形的性质．
14.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中刚好抽到“碳”“水”二字的结果有种，
刚好抽到“碳”“水”二字的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中刚好抽到“碳”“水”二字的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】
【解析】解：，
，
令，
，
，
，
，
故答案为：．
根据换元法以及一元二次方程的解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
16.【答案】
【解析】解：延长交的延长线于．
，
，
，，
≌，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，设，
在中，则有，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
延长交的延长线于证明垂直平分线段，推出，设，构建方程求出即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17.【答案】解：，
，
，
，
所以，；
，
，
，
，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，．
【解析】先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18.【答案】解：原方程可化为：，
方程的两边同乘，得
解得，
检验：把代入
原方程无解．
【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
19.【答案】解：如图：菱形即为所求．

【解析】根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”进行作图．
本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】证明：连接，
是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，且，
是边上的中线，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形．
【解析】连接，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，且，进而得出，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得解．
本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲社区疫苗接种点平均每天接种人，乙社区疫苗接种点平均每天接种人；
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
不符合题意舍去，
答：的值为．
【解析】设乙社区疫苗接种点平均每天接种人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种人，根据题意：甲社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成人的疫苗接种所需的时间少天．即可列出关于的分式方程，解分式方程即可，注意检验；
根据题意：乙社区接种点天接种疫苗的人数比甲社区接种点天接种疫苗的人数多人，列出关于的一元二次方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】证明：，，，
是的平分线，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
平行四边形是菱形；
解：：：，
设，则，
，
在菱形中，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得负值舍去，
，
菱形的面积．
【解析】根据角平分线的性质可得是的平分线，再根据平行四边形的性质证明，进而可得平行四边形是菱形；
设，，根据勾股定理求出的值，进而根据菱形的面积公式即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：根据题意，得，
解得；
为中符合条件的最小正整数，
，
原一元二次方程为，
，，，
，
．
【解析】根据关于的方程：有两个不相等的实数根，可知，进一步求解即可；
先确定的值，再根据根与系数的关系，可得，，，进一步化简计算即可．
本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的情况与判别式的关系是解题的关键．
24.【答案】解：如图，过点作交的延长线于，过点作于，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在中，，
，
点是的中点，
，
同理，
，
，
；
存在，如图，分别延长与，交于点，则四边形是矩形，
米，米，
设米，则米，米，米，米，
米，米，
，
当时，平方米，
，，
符合设计要求的四边形面积的最小值为平方米，此时，点到点的距离为米．
【解析】过点作交的延长线于，先求出，同理，最后用面积的差即可得出结论；
分别延长与，交于点，则四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，米，进而得出，即可得出结论．
此题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，矩形和三角形的面积公式，二次函数的性质，作出辅助线求出和是解本题的关键．
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