21章 一元二次方程专题训练1 参数问题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程含参问题
1.方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m≠±2 B．m=2 C．m=–2 D．m≠2
2.已知关于的一元二次方程有一个非零实数根，则的值为_____.
3.关于x的方程（m﹣3）+mx+1＝0是一元二次方程，则m为_____．
4.关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则关于x的方程的解是________．
5.（使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是_____
6.若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是___．
7.己知:关于的方程的一个根是4，求的值和它的另一个根．
8.已知关于x的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2―a―6＝0的一个根是0，试解方程(a2－1)x2＋ax―1＝0.
9．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．
（1）求的取值范围；
（2）当在的取值范围内取最小的偶数时，方程的两根是，，求．
10.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)方程______(填“是”或“不是”)倍根方程.
(2)若是倍根方程，求代数式值.
11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，设BC＝a，AC＝b．
（1）请你判断：线段AD的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由；
（2）若线段AD＝EC，求的值．
12.解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝1，x2＝－2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是　 ．
解法探讨
（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题；
小明的思路
第1步 把1、－2代入到第1个方程中求出m的值；
第2步 把m的值代入到第1个方程中求出的值；
第3步 解第2个方程．
（2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x＋m＋2)2＋b＝0中的“x＋2”看作第1个方程中的“x”，则“x＋2”的值为　 ，从而更简单地解决了问题．
策略运用
（3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答．
已知方程 (a2－2b2)x2＋(2b2－2c2)x＋2c2－a2＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状．
13.已知、是关于的一元二次方程两实数根．
（1）若，求n的值；
（2）已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．
答案版：
1.方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m≠±2 B．m=2 C．m=–2 D．m≠2
【解析】根据一元二次方程的概念，可知m-2≠0，解得m≠2.故选D
2.已知关于的一元二次方程有一个非零实数根，则的值为_____.
【分析】由于关于x的一元二次方程有一个非零根，那么代入方程中即可得到n2 mn＋n＝0，再将方程两边同时除以n即可求解．
【解析】∵关于x的一元二次方程有一个非零根，
∴n2 mn＋n＝0，
∵ n≠0，
∴n≠0，
方程两边同时除以n，得n m＋1＝0，
∴m n＝1．
3.关于x的方程（m﹣3）+mx+1＝0是一元二次方程，则m为_____．
【解析】由题意可知：m2﹣2m+1＝2，
解得：m＝1±，又∵m﹣3≠0，∴m≠3，∴m=1±，
4.关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则关于x的方程的解是________．
【解析】∵关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程变形为，即此方程中x＋3＝－9或x＋3＝11，
解得x1＝－12，x2＝8，故方程的解为x1＝－12，x2＝8．
5.（使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是_____
【解析】∵mx2﹣4x+4＝0是一元二次方程，∴，
又另一个方程为x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，且依题意两个方程都要有实数根，
∴，解得：，
又∵为整数，且，∴或，
当时，方程mx2﹣4x+4＝0的根为非整数，不合题意；
当时，方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数，符合题意
综上，．
6.若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是___．
【解析】设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t，
则t2+mt+1=0①，
t2+t+m=0②，
①-②得（m-1）t=m-1，
如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0，符合题意；
如果m≠1，那么t=1，
把t=1代入①，得1+m+1=0，解得m=-2．
故常数m的值为1或-2．
7.己知:关于的方程的一个根是4，求的值和它的另一个根．
【解析】把x＝4代入原方程得：32 4m-24+2m-10＝0，
解得：m＝-1，
即方程为：，
解得：，x2＝4，
∴原方程的另一个根为．
8.已知关于x的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2―a―6＝0的一个根是0，试解方程(a2－1)x2＋ax―1＝0.
【解析】由题意，，
解得a＝3或－2，
故a＝－2，
此时待解方程即为3x2―2x―1＝0，
∴(3x+1)(x-1)=0,
解得x1＝1，x2＝－.
9．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．
（1）求的取值范围；
（2）当在的取值范围内取最小的偶数时，方程的两根是，，求．
【解析】（1）由一元二次方程的定义得：，解得
此方程有两个不相等的实数根
方程的根的判别式，解得
又这两个根又不互为相反数
这两个根的和不等于0，即，解得
综上，的取值范围为且且；
（2）结合（1）的结论得：
则一元二次方程为
是方程的根，，即
又由根与系数的关系得：
则
．
10.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)方程______(填“是”或“不是”)倍根方程.
(2)若是倍根方程，求代数式值.
【解析】(1)不是
(2)解：∵
∴，.
当时，m-n=0
当时，4m-n=0
∴
11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，设BC＝a，AC＝b．
（1）请你判断：线段AD的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由；
（2）若线段AD＝EC，求的值．
【解析】（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，
∵BC＝a，AC＝b．∴AB2＝a2+b2，
方程x2+2ax﹣b2＝0变形为：x2+2ax+a2＝a2+b2，∴（x+a）2＝AB2，
∵BD＝BC＝a，∴（x+BD）2＝AB2，
∵（AD+BD）2＝AB2，∴线段AD的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根；
（2）∵AD＝EC，
∴AC＝2AD＝2AE＝b，
，
，
，
整理得，
．
12.解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝1，x2＝－2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是　 ．
解法探讨
（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题；
小明的思路
第1步 把1、－2代入到第1个方程中求出m的值；
第2步 把m的值代入到第1个方程中求出的值；
第3步 解第2个方程．
（2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x＋m＋2)2＋b＝0中的“x＋2”看作第1个方程中的“x”，则“x＋2”的值为　 ，从而更简单地解决了问题．
策略运用
（3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答．
已知方程 (a2－2b2)x2＋(2b2－2c2)x＋2c2－a2＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状．
【解析】（1）解：将x1＝1，x2＝－2代入到方程a(x＋m)2＋b＝0中，得 ，
∴ m＋1＝±(m－2)，解得 m＝
∴ a(＋1)2＋b＝0．
∴ －＝
第2个方程可变形为(x＋＋2)2＝－，
即(x＋)2＝，
解得：x1＝－1，x2＝－4
（2）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0）；
（3）解：∵ (a2－2b2)＋(2b2－2c2)＋(2c2－a2)＝0，
∴ 方程必有一根是x＝1
∴ 方程的两根为x1＝x2＝1．
∴ x1·x2＝1＝ ．
∴ a2＝b2＋c2．
∴ △ABC是一个直角三角形
13.已知、是关于的一元二次方程两实数根．
（1）若，求n的值；
（2）已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．
【解析】（1）由题意得：，
∴，解得：
∵、是关于的一元二次方程的两实数根，
∴得：，∴
（2）①当7为底，即时，则，
即，解得
把n=2代入方程得，∴，∵3+3＜7（舍去）
②当7为腰，，即时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，解得
当时，=22，解得，∴三角形的周长为3+7+7=17；
当时，=10，解得，∵7+7＜15（舍去）
综上，三角形的周长为17．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)