21章 一元二次方程专题训练2 直接开平方法的应用 （含解析）

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专题2. 直接开方法解一元二次方程
1、关于x的一元二次方程的一个根为1，则实数p的值是（ ）
A．4 B．0或2 C．1 D．－1
2、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．0
3、方程（x+1）2=9的解是_________．
4、定义运算“★”：对于任意实数 ，都有 ，如：．若，则实数 的值是_____．
5、，则__________．
6、已知，，，若的值为2009，则____．
7、解方程： ；
8、先化简，再求值：，其中是一元二次方程的正实数根．
9、解方程：.
10、取什么值时，关于的方程有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
11、阅读材料：
为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程可化为①，解得．
当时，；
当时，．
原方程的解为
解答问题：仿照上述方法解方程：
答案版
1、关于x的一元二次方程的一个根为1，则实数p的值是（ ）
A．4 B．0或2 C．1 D．－1
【解析】根据题意，得
整理得，解得p=1，故选C.
2、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．0
【解析】把x=0代入(a-1)x2+x+a2-1=0，得a2-1=0，解得a=±1，
∵(a-1)x2+x+a2-1=0是关于x的一元二次方程，∴a-1≠0，即a≠1，∴a的值是-1，故选：B．
3、方程（x+1）2=9的解是_________．
【分析】根据直接开方法即可解出方程．
【解析】（x+1）2=9
x+1=±3
x=2或-4．
4、定义运算“★”：对于任意实数 ，都有 ，如：．若，则实数 的值是_____．
【解析】依题意得：（x﹣1）2+3=7，
整理，得（x﹣1）2=4，
直接开平方，得x﹣1=±2，
解得x1=3，x2=﹣1．
5、，则__________．
【解析】∵，∴
当时，，
当时，（不合题意，舍去）
∴，
6、已知，，，若的值为2009，则____．
【解析】根据题意有：，
则有：，即，
把，代入得：，
解得或．
7、解方程： ；
【分析】移项、合并同类项、系数化为1、直接开平方则可求出方程的解；
【解析】
，或
，或
8、先化简，再求值：，其中是一元二次方程的正实数根．
【分析】根据分式混合运算法则，先化简，再解一元二次方程，取正根，代入化简后的代数式，即可求解．
【解析】原式==，
∵是一元二次方程的正实数根，
∴，解得：（舍去），
∴当时，原式==．
9、解方程：.
【答案】当时，原方程的解是，当时，原方程无实数解
【解析】移项得：，
化简得：，
，，
当时，，
原方程无实数解，
当时，，
，
当时，原方程的解是
当时，原方程无实数解．
10、取什么值时，关于的方程有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
【分析】根据题意，得判别式△=[-（k+2）]2-4×4×（k-1）=0，解此一元二次方程即可求得k的值；然后代入k，利用直接开平方法，即可求得这时方程的根．
【解析】∵关于x的方程4x2-（k+2）x+k-1=0有两个相等的实数根，
∴△=[-（k+2）]2-4×4×（k-1）=k2-12k+20=0，解得：k1=2， k2=10
∴k=2或10时，关于x的方程4x2-（k+2）x+k-1=0有两个相等的实数根．
当k=2时，原方程为：4x2-4x+1=0，即（2x-1）2=0，解得：x1=x2=；
当k=10时，原方程为：4x2-12x+9=0，即（2x-3）2=0，解得：x1=x2=；
11、阅读材料：
为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程可化为①，解得．
当时，；
当时，．
原方程的解为
解答问题：仿照上述方法解方程：
【解析】设x2=y，x4=y2，则原方程可化为y2-6y+8=0，解得y1=2，y2=4．
当y=2时，x2＝2，x＝±，
当y=4时，x2=4，x=±2．
∴原方程的解为：x1＝，x2＝ ，x3＝2，x4＝ 2．
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