2023-2024学年山东省德州市临邑县万力学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省德州市临邑县万力学校八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，小明从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米，又向左转照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程为米．( )
A.
B.
C.
D.
4. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
5. 如果一个多边形的内角和等于，则它的边数为( )
A. B. C. D.
6. 在下列各图形中，分别画出了中边上的高，其中正确的是( )
A. B. C. D.
7. 如图，平分，于点，，点是射线上的任意一点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使≌，只需再添加的一个条件不可以是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 把不等式组，的解集表示在数轴上，正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 如图，图中直角三角形共有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
12. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动若在某一时刻，与全等，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第_________________块去填序号
14. 如图，在中，，，将与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为______ ．
15. 如图，已知，是的中点，平分，，则等于______ ．
16. 三角形三边长分别为，，则的取值范围是______．
17. 一个边形的每个内角都为，则边数为 ．
18. 若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：；
解方程组：；
解不等式组：．
20. 本小题分
如图，已知中，，，求证：．
21. 本小题分
如图，已知点、、、在同一直线上，，，．
求证：≌；
，，求的度数．
22. 本小题分
如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点求证：是等腰三角形；
若，的周长为，求的周长．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，将先向下平移个单位长度，然后向右平移个单位长度，再作关于轴对称的图形，得到．
写出点，，的坐标；
在平面直角坐标系中画出；
求的面积．
24. 本小题分
某学校准备一次性购买若干个足球和篮球每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同若购买个足球和个篮球共需元；购买个足球和个篮球共需元．
购买一个足球、一个篮球各需多少元？
根据该学校的实际情况，需要一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，则该学校最多可以购买多少个篮球？
25. 本小题分
如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
求证：是等边三角形；
当时，试判断的形状，并说明理由；
探究：当为多少度时，是等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；
故选：．
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义，结合图形即可求解．
本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念，数形结合是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
选项A符合题意；
，
，
选项B不符合题意；
时，不一定成立，例如，但是，
选项C不符合题意；
，当时，，当时，，
选项D不符合题意．
故选：．
根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是．
根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】
解：根据题意可知，他需要转次才会回到原点，
所以一共走了米．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【解答】
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：这个正多边形的边数是，则
，
解得：．
则这个正多边形的边数是．
故选：．
边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
本题考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
6.【答案】
【解析】解：过点作直线的垂线段，即画边上的高，
所以画法正确的是选项．
故选：．
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断．
本题考查了三角形的高的概念，解决问题的关键是能够正确作三角形一边上的高．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
根据垂线段最短得出当时，的值最小，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可．
【解答】
解：当时，的值最小，
，平分，
，
，
的最小值是，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．添加，利用即可得到两三角形全等；添加，利用即可得到两三角形全等；添加，利用即可得到两三角形全等，据此解答即可．
【解答】
解：、添加，
在和中，
≌，故不符合题意；
B、添加，不能判定两三角形全等，符合题意；
C、添加，
在和中，
≌，故不符合题意；
D、添加，
则，
在和中，
≌，故不符合题意；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：、添加时，不能判定≌，故A选项符合题意；
B、添加，根据，能判定≌，故B选项不符合题意；
C、添加，根据，能判定≌，故C选项不符合题意；
D、添加，根据，能判定≌，故D选项不符合题意；
故选：．
本题要判定≌，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定≌，而添加后则不能．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
如图，图中直角三角形有、、，共有个。
故选C。
根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断。
12.【答案】
【解析】解：设点的运动时间为秒，
依题意，得，，
，
，
四边形是矩形，
，
如果与全等，那么可分两种情况：
当，时，≌，
，，
，；
当，时，≌，
，，
解得，，
综上所述：当的值为或时，能使与全等．
故选：．
分两种情况进行讨论：当，时，≌；当，时，≌，然后分别计算出的值，进而得到的值．
此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．
13.【答案】
【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带去．
故答案为：．
已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合，
，，
，
故答案为：．
根据三角形的内角和定理可得，再由折叠的性质可得，，即可求解．
本题主要考查折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质折叠前后，对应角相等是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：过点作于，
平分，，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
故答案为：．
过点作于，根据角平分线的性质得到，进而得出，根据角平分线的判定定理解答即可．
本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：三角形的三边长分别为，，，
，
即．
故答案为：．
根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出的取值范围．
考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质．
17.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式列方程求解即可．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：当是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去；
当是腰时，周长．
故它的周长为．
故答案为：．
题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
，
得，，
得，，
解得，
将代入中，，
，
原方程组的解是；
，
解不等式得，，
解不等式得，，
原不等式组的解集为．
【解析】根据立方根、算术平方根的定义，有理数的乘方计算即可；
利用加减消元法解题；
先分别解出每个不等式，再将解集表示在数轴上，找到公共解集即可．
本题考查实数的混合运算、代入消元法解二元一次方程组、解一元一次不等式组等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
20.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
【解析】先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，再利用“角角边”证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并求出是解题的关键．
21.【答案】证明：，
，
，
，即．
在和中，
，
≌．
解：≌，
，
，
．
【解析】根据平行线的性质得到，等量代换可得，再利用证明即可；
根据全等三角形的性质得到，再利用外角的性质计算即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此题的关键．
22.【答案】解：的垂直平分线交于点，
，
是等腰三角形；
的垂直平分线交于点，，
，
的周长为，
，
的周长．
【解析】根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
将的周长转化为的长即可求得．
此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
23.【答案】解：，，．
如图即为所求．
．

【解析】本题考查作图轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据平移规律写出坐标即可．
根据坐标画出图形即可．
利用分割法求出三角形的面积即可．
24.【答案】解：设购买一个足球需要元，一个篮球需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一个足球需要元，一个篮球需要元；
设该学校可以购买个篮球，则购买个足球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：该学校最多可以购买个篮球．
【解析】设购买一个足球需要元，一个篮球需要元，根据“购买个足球和个篮球共需元；购买个足球和个篮球共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该学校可以购买个篮球，则购买个足球，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】证明：≌，
．
，
是等边三角形．
解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是直角三角形．
解：是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【解析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；
根据全等易得，结合中的结论可得为，那么可得所求三角形的形状；
根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
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