8。1。1二元一次方程组
图片预览
文档简介
二元一次方程组
教学目标：
1、掌握二元一次方程、二元一次方程组的相关概念。
2、掌握二元一次方程的解、二元一次方程组的解的概念。
3、体验数学模型的优化的重要性和必要性。
4、感受中国古代数学的发展历程和现代数学的发展方向。
5、感受社会、人、数学工具之间的矛盾、统一，和谐、发展的世界观。
教学重点：二元一次方程及二元一次方程组的必要性和重要性。
教学难点：二元一次方程组的解的学习
教学过程：
一、情境引入：
同学们，我先介绍一下我自己，我叫王志渊，是临海外语学校的老师，我出生在湖北荆州，说起我的家乡呀，我不自觉就想起了我象你们这个年龄的时候的一些学习经历，当时我们农村教育水平有限，但在走亲戚串门的时候，我们的长辈经常性的用一个问题来考验我们，说：“你现在读几年级了，我说：读初中了，那好，我出个题你做做：一些鸡和兔子放在一个笼子里，头一共有35个，脚一共有94个，问鸡和兔各有多少？”
对于这样的问题，我们多数人很难答上来，只被告知用上一个叫方程的东西就能解决这个问题，我也就从那时起，开始对方程有了一种向往和期待。
随着学习的深入，我知道了这个问题是中国古代《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，正是这个家喻户晓的数学问题，伴随我学习了方程，还学会了熟练得运用方程，更重要的是，让我今天还能站在这里带领大家一起来学习方程。
感激之余，我想，我也应该把这些鸡和兔子介绍给大家。
二、新课
1、鸡兔同笼问题
（展示课件，引导学生探究不同的解法）
方法1：算筹解法（孙子算经）（用算筹研究代数）看看就技术含量很高。
方法2：图形解法（尚不成熟的符号语言，但很直观，数字太大，不方便）
方法3：几何解法
（古人用几何图形的面积来研究代数问题）
方法5：算数解法
兔数 （94÷2）－35＝12
鸡数 35－12＝23
方法8：一元一次方程的解法
设鸡有x只，则兔有（35- x）只，则可列方程：
2 x+4（35- x）=94
解得：x=23
则鸡有23只，兔有12只。
方法9：二元一次方程组的解法
设鸡有x只，兔有y 只，则
x+y=35 2x+4y=94
求出x，y即可。
2、数学模型的比较和发展
师：从古代的算筹到现代的方程，是社会的发展进步推动着数学的进步，而数学的进步主要体现为数学工具的进步。
从鸡兔同笼问题的解法看，数学工具的进步过程就是数学工具符号化的过程。
我们现在的方程，就是一种生命力很强的数学工具。就方程而言，方程也有一个的优化的过程，就是由一元到多元，一次到高次的优化。
师：今天，我就和大家一起来把方程由一元推广到二元。
3、认识数学模型——方程
（1）二元一次方程
（课件展示）观察上面两个方程的特征，你认为怎样给他们命名比较科学，合理？
x+y=35 2x+4y=94,
（老师引导提问）
师：（读题），
生：二元一次方程
师：你为何要这样命名？
生：有两个未知数。
师：它与一元一次方程有何区别？
生：。。。
（课件展示）
定义：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
（课件展示）
练习：
（2）二元一次方程组
（课件展示）
师：在刚才鸡兔同笼的问题中，有同学用这两个方程来解决。
师：你认为两个方程中的x,y，同一个未知数表示的实际意义相同吗？
师：有关头和脚的两个等量关系要同时满足吗？
师：考虑到两个方程对于x,y来说，地位是完全等同，并且要同时满足。因而，我们用大括号将其合在一起，形成一种特殊的数学工具——方程组
定义：像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
它的特征是：两个方程一共有两个未知数，并且含有未知数的项次数都为1。
练习：1
（3）二元一次方程的解
师：有了方程，自然就想到了方程的解。
师：有人能告诉我什么叫方程的解吗？
生：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解
师：方程x+2=6 的解是？
生：x=4
师：那方程x+y=35的解呢？
生： 。。。。。。
师：你能想象一下这个方程的解的样子吗？（会和x=4的样子一样吗？）
生：不会
师：为什么会不一样？
生：因为有两个未知数
师：你的意思是两个未知数应该同时取值，对吗？
生：对
师：既然需同时取值，你觉得方程的解在形式上应该怎样写比较合理呢？
师或生：
师：两个未知数必须同时取值，但所取的值要满足什么要求吗？
生：使方程x+y=35左右两边相等。
师：那满足这个要求的x,y能是那些数值呢？我们一起来探索一下。
（课件展示）
填表：使x,y的值满足方程x+y=35,
x 0 10 20 23 30 40
y 30 20 10
x+y 35 35 35 35 35 35 35 35 35
师：观察表格，你能给我一个方程的解吗？
生：能，。。。。。。
师：验证一下，的确是方程的解。非常好！
（课件展示）
定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
师：还能找一个吗？
生：还能，。。。。。。。
师：在你的能力范围内，你认为你能找多少个？
生：无数个
师：为什么？（XY平衡）
生：。。。。。。（引导：x的值可以一直取下去吗？可以取小数吗？）
师：既然这样，我说任何一对未知数的值都是这个方程的解，你赞同我的观点吗？
生：不赞同（赞同）
师：为什么？你能举例说明你的观点吗？
生：。。。。。。
师：有道理，那我在你们刚刚填的表格中随便找一组未知数的值，它一定是这个二元一次方程的解吗？
生：是
师：数学是为了解决实际问题的，在实际背景下，一定都是实际问题的解吗？
生：。。。。。。。
师：考虑实际问题的特征，有些方程的解并不符合实际要求。
师：用数学模型解决实际问题的过程中，要辨证地看待数学问题与实际问题的差异性，要根据实际情况具体分析，不能一概而论。
（4）二元一次方程组的解
（课件展示）
填表，使x,y的值满足方程2x+4y=94,
x 0 10 20 23 30 40
y 30 20 10
2x+4y 94 94 94 94 94 94 94 94 94
（课件展示）
探究： x+y=35
2x+4y=94,
（老师引导提问）
师：首先还是先想象一下吧，你的心里觉得，方程组的解会是什么样子的？
生：x=a
y=b
师：你认为这里的x,y应满足怎样的条件才有资格成为方程组的解？
生：既满足方程（1），也要满足方程（2）
师：看我们合作这么愉快，我送给你两张表格，你能从表格中得到什么吗？
生：二元一次方程组 x+y=35 的解为 x=23
2x+4y=94, y=12
师：还有吗？
生：没有了
师：为什么如此肯定？
生：。。。。。
师：就因为在表格中找不到吗？
师：用得同学说：公共解就应该只有一个？（公共汽车）
师：看样子是遇到难题了，别怕呀，建立数学模型嘛！
（课件展示）
35
30
25
20
15
12
10
5
-5
0 5 10 15 20 23 25 30 40
师：借助这个数学模型，有助于我们理解方程组的解。当然，必须强调一点，二元一次方程组的解有多种可能，在以后的学习中，大家都会学习到。以后大家还会发现，我们今天自己创造的这个数学模型与数学的另外一个重要工具有类似之处。
（课件展示）
练习：1
2
三、知识提升，提炼精华
（课件展示）
鸡兔猫问题
师：我们二元一次方程组还不会解，三元方程组又该如何解呀？矩阵又如何解呀？
师：不用管它了，我们人更应该做的如何更好地将实际问题数学化，也就是如何建立数学模型。既然数学模型已经建立起来了，就是我们数学内部的事情了，我们自然有好的数学方法来解决它，实在不好解，就交给机器来完成吧。
师：（课件展示）中国科学院院士，著名数学家吴文俊先生致力于数学机械化的研究已有几十年的时间了，数学的机械化将成为未来数学的发展方向。
四、小结
人和社会是一个和谐发展的共同体，正是发展和进步的社会不断地给我们人类思维提出更高的要求，使我们不得不不断地优化我们的数学工具，改进我们的研究工具，也正是这种不断更新的要求，成为了推动数学学科不断进步的内在动力。也正是通过数学的发展和进步，我们才能更好地研究社会，解决问题，以数学的力量推动社会的进步。
社会（社会的发展）
人的思维发展（人） 工具（数学模型的优化，数学工具的改进）
21
23.5
18.5
16
13.5
11
8.5
3.5
教学目标：
1、掌握二元一次方程、二元一次方程组的相关概念。
2、掌握二元一次方程的解、二元一次方程组的解的概念。
3、体验数学模型的优化的重要性和必要性。
4、感受中国古代数学的发展历程和现代数学的发展方向。
5、感受社会、人、数学工具之间的矛盾、统一，和谐、发展的世界观。
教学重点：二元一次方程及二元一次方程组的必要性和重要性。
教学难点：二元一次方程组的解的学习
教学过程：
一、情境引入：
同学们，我先介绍一下我自己，我叫王志渊，是临海外语学校的老师，我出生在湖北荆州，说起我的家乡呀，我不自觉就想起了我象你们这个年龄的时候的一些学习经历，当时我们农村教育水平有限，但在走亲戚串门的时候，我们的长辈经常性的用一个问题来考验我们，说：“你现在读几年级了，我说：读初中了，那好，我出个题你做做：一些鸡和兔子放在一个笼子里，头一共有35个，脚一共有94个，问鸡和兔各有多少？”
对于这样的问题，我们多数人很难答上来，只被告知用上一个叫方程的东西就能解决这个问题，我也就从那时起，开始对方程有了一种向往和期待。
随着学习的深入，我知道了这个问题是中国古代《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，正是这个家喻户晓的数学问题，伴随我学习了方程，还学会了熟练得运用方程，更重要的是，让我今天还能站在这里带领大家一起来学习方程。
感激之余，我想，我也应该把这些鸡和兔子介绍给大家。
二、新课
1、鸡兔同笼问题
（展示课件，引导学生探究不同的解法）
方法1：算筹解法（孙子算经）（用算筹研究代数）看看就技术含量很高。
方法2：图形解法（尚不成熟的符号语言，但很直观，数字太大，不方便）
方法3：几何解法
（古人用几何图形的面积来研究代数问题）
方法5：算数解法
兔数 （94÷2）－35＝12
鸡数 35－12＝23
方法8：一元一次方程的解法
设鸡有x只，则兔有（35- x）只，则可列方程：
2 x+4（35- x）=94
解得：x=23
则鸡有23只，兔有12只。
方法9：二元一次方程组的解法
设鸡有x只，兔有y 只，则
x+y=35 2x+4y=94
求出x，y即可。
2、数学模型的比较和发展
师：从古代的算筹到现代的方程，是社会的发展进步推动着数学的进步，而数学的进步主要体现为数学工具的进步。
从鸡兔同笼问题的解法看，数学工具的进步过程就是数学工具符号化的过程。
我们现在的方程，就是一种生命力很强的数学工具。就方程而言，方程也有一个的优化的过程，就是由一元到多元，一次到高次的优化。
师：今天，我就和大家一起来把方程由一元推广到二元。
3、认识数学模型——方程
（1）二元一次方程
（课件展示）观察上面两个方程的特征，你认为怎样给他们命名比较科学，合理？
x+y=35 2x+4y=94,
（老师引导提问）
师：（读题），
生：二元一次方程
师：你为何要这样命名？
生：有两个未知数。
师：它与一元一次方程有何区别？
生：。。。
（课件展示）
定义：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
（课件展示）
练习：
（2）二元一次方程组
（课件展示）
师：在刚才鸡兔同笼的问题中，有同学用这两个方程来解决。
师：你认为两个方程中的x,y，同一个未知数表示的实际意义相同吗？
师：有关头和脚的两个等量关系要同时满足吗？
师：考虑到两个方程对于x,y来说，地位是完全等同，并且要同时满足。因而，我们用大括号将其合在一起，形成一种特殊的数学工具——方程组
定义：像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
它的特征是：两个方程一共有两个未知数，并且含有未知数的项次数都为1。
练习：1
（3）二元一次方程的解
师：有了方程，自然就想到了方程的解。
师：有人能告诉我什么叫方程的解吗？
生：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解
师：方程x+2=6 的解是？
生：x=4
师：那方程x+y=35的解呢？
生： 。。。。。。
师：你能想象一下这个方程的解的样子吗？（会和x=4的样子一样吗？）
生：不会
师：为什么会不一样？
生：因为有两个未知数
师：你的意思是两个未知数应该同时取值，对吗？
生：对
师：既然需同时取值，你觉得方程的解在形式上应该怎样写比较合理呢？
师或生：
师：两个未知数必须同时取值，但所取的值要满足什么要求吗？
生：使方程x+y=35左右两边相等。
师：那满足这个要求的x,y能是那些数值呢？我们一起来探索一下。
（课件展示）
填表：使x,y的值满足方程x+y=35,
x 0 10 20 23 30 40
y 30 20 10
x+y 35 35 35 35 35 35 35 35 35
师：观察表格，你能给我一个方程的解吗？
生：能，。。。。。。
师：验证一下，的确是方程的解。非常好！
（课件展示）
定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
师：还能找一个吗？
生：还能，。。。。。。。
师：在你的能力范围内，你认为你能找多少个？
生：无数个
师：为什么？（XY平衡）
生：。。。。。。（引导：x的值可以一直取下去吗？可以取小数吗？）
师：既然这样，我说任何一对未知数的值都是这个方程的解，你赞同我的观点吗？
生：不赞同（赞同）
师：为什么？你能举例说明你的观点吗？
生：。。。。。。
师：有道理，那我在你们刚刚填的表格中随便找一组未知数的值，它一定是这个二元一次方程的解吗？
生：是
师：数学是为了解决实际问题的，在实际背景下，一定都是实际问题的解吗？
生：。。。。。。。
师：考虑实际问题的特征，有些方程的解并不符合实际要求。
师：用数学模型解决实际问题的过程中，要辨证地看待数学问题与实际问题的差异性，要根据实际情况具体分析，不能一概而论。
（4）二元一次方程组的解
（课件展示）
填表，使x,y的值满足方程2x+4y=94,
x 0 10 20 23 30 40
y 30 20 10
2x+4y 94 94 94 94 94 94 94 94 94
（课件展示）
探究： x+y=35
2x+4y=94,
（老师引导提问）
师：首先还是先想象一下吧，你的心里觉得，方程组的解会是什么样子的？
生：x=a
y=b
师：你认为这里的x,y应满足怎样的条件才有资格成为方程组的解？
生：既满足方程（1），也要满足方程（2）
师：看我们合作这么愉快，我送给你两张表格，你能从表格中得到什么吗？
生：二元一次方程组 x+y=35 的解为 x=23
2x+4y=94, y=12
师：还有吗？
生：没有了
师：为什么如此肯定？
生：。。。。。
师：就因为在表格中找不到吗？
师：用得同学说：公共解就应该只有一个？（公共汽车）
师：看样子是遇到难题了，别怕呀，建立数学模型嘛！
（课件展示）
35
30
25
20
15
12
10
5
-5
0 5 10 15 20 23 25 30 40
师：借助这个数学模型，有助于我们理解方程组的解。当然，必须强调一点，二元一次方程组的解有多种可能，在以后的学习中，大家都会学习到。以后大家还会发现，我们今天自己创造的这个数学模型与数学的另外一个重要工具有类似之处。
（课件展示）
练习：1
2
三、知识提升，提炼精华
（课件展示）
鸡兔猫问题
师：我们二元一次方程组还不会解，三元方程组又该如何解呀？矩阵又如何解呀？
师：不用管它了，我们人更应该做的如何更好地将实际问题数学化，也就是如何建立数学模型。既然数学模型已经建立起来了，就是我们数学内部的事情了，我们自然有好的数学方法来解决它，实在不好解，就交给机器来完成吧。
师：（课件展示）中国科学院院士，著名数学家吴文俊先生致力于数学机械化的研究已有几十年的时间了，数学的机械化将成为未来数学的发展方向。
四、小结
人和社会是一个和谐发展的共同体，正是发展和进步的社会不断地给我们人类思维提出更高的要求，使我们不得不不断地优化我们的数学工具，改进我们的研究工具，也正是这种不断更新的要求，成为了推动数学学科不断进步的内在动力。也正是通过数学的发展和进步，我们才能更好地研究社会，解决问题，以数学的力量推动社会的进步。
社会（社会的发展）
人的思维发展（人） 工具（数学模型的优化，数学工具的改进）
21
23.5
18.5
16
13.5
11
8.5
3.5