2023-2024学年江苏省南京市田家炳高级中学高一（上）期初数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市田家炳高级中学高一（上）期初数学试卷（9月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3. 下列因式分解中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是( )
A. B. C. D.
5. 若集合，，且，则实数的值( )
A. B. C. 或 D. 或或
6. 若集合的所有子集个数是，则的取值是( )
A. B. C. D. 或
7. 已知集合，，若，则有( )
A. B. C. D.
8. 定义集合运算且称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下个命题：
则个命题中是真命题的是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A. B. C. D.
10. 若，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
11. 当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”对于集合，，若与构成“全食”或构成“偏食”，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
12. 若非空数集满足任意，，都有，，则称为“优集”已知，是优集，则下列命题中正确的是( )
A. 是优集 B. 是优集
C. 若是优集，则或 D. 若是优集，则是优集
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设，，若集合，则 ______ ．
14. 因式分解 ______ ．
15. 已知集合，，若；则的取值范围是______ ．
16. 已知非空集合满足，若存在非负整数，使得对任意，均有，则称集合具有性质，则具有性质的集合的个数为______ ．
四、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，，，全集为实数集．
求，，；
如果，求的取值范围．
18. 本小题分
已知集合，
若，求实数的取值范围；
若不存在实数，使，同时成立，求实数的取值范围．
19. 本小题分
二次函数满足，且．
求的解析式；
求在上的最值；
求在上的最小值．
20. 本小题分
已知集合或，．
若，求的取值范围；
若，且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据补集的概念直接计算．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为结合，，
根据集合交集的运算，可得，
所以集合中元素的个数为个．
故选：．
根据集合交集的定义与运算，求得集合，由此得出集合中的元素个数．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，故该选项正确，不符合题意；
B.，故该选项正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，符合题意；
D.，故该选项正确，不符合题意；
故选：．
利用因式分解定理，分解因式，判断选项的正误即可．
本题考查因式分解定理的应用，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据条件知，，都是集合的元素，并且至少个元素，所以满足条件的集合为：
，，，，，，．
共个；
故选：．
由条件即可得到，，并且至少有个元素，这样按元素个数从到的顺序找出所有满足条件的即可．
本题主要考查列举法表示集合，元素与集合的关系，以及子集、真子集的概念．
5.【答案】
【解析】解：因为集合，，且，
当时，，符合题意，
当时，，
当时，，
故选：．
根据题意结合子集的定义可解．
本题考查子集的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为集合的所有子集个数是，
则集合有且只有一个元素，
当时，即当时，则，合乎题意；
当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解，
则，解得．
综上所述，或．
故选：．
分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解．
本题考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，，
当即时，方程无实数根，
所以，，符合题意．
当，即时，
若，则，，
，，符合题意；
若，则，，
，，不符合题意．
当，即或时，
设方程的两个根为，，则，
若，则方程有两个不相等的负根，，不符合题意；
若，则方程有两个不相等的正根，，符合题意．
综上所述，的取值范围是．
故选：．
用判别式进行分类讨论，结合求得正确答案．
本题主要考查了集合交集的性质，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：对于，，对；
对于，且且，
同理，
则，
所以，表示的集合如下图中的阴影部分区域所示：
同理也表示如上图阴影部分区域所示，
故，对；
对于，，对；
对于，如下图所示：
所以，，错．
故选：．
利用题中定义可判断的正误；利用韦恩图法可判断；利用题中定义与集合运算可判断的正误．
本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数形结合思想来进行判断．
9.【答案】
【解析】解：在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且，
所以，阴影部分可表示为，对；
且，阴影部分可表示为，对；
且，阴影部分可表示为，对；
显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，选项不合乎要求．
故选：．
在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项．
本题考查集合的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：三个元素中有且只有一个是，要分三类讨论．
当时，，此时，，故符合题意；
当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，，经检验符合题意．
综上可知，或．
故选：．
先根据题意求的值，再利用集合元素的互异性验证即可．
本题考查集合元素的互异性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
当时，为空集，满足，
故集合与构成“全食”，
若，则，
当时，，，与构成“全食”，
当时，，与构成“偏食”，解得或，
综上，的取值集合为．
故选：．
根据已知条件，结合“全食”，“偏食”的定义，求解即可．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：选项A：任取，，
因为集合，是优集，则，，则，
，，则，所以A正确，
选项B：取，，
则或，，令，，则，B错误，
选项C：任取，，可得，，
因为是优集，则，，
若，则，此时，若，则，此时，C正确，
选项D：是优集，可得，则为优集，或，则为优集，
所以是优集，D正确，
故选：．
根据题目理解新定义“优集”，并利用并集的有关性质解决元素和集合之间的关系．
本题重点考查了集合的性质、并集及其运算，考查了新定义的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，知，，
由两个集合相等定义可知：
若，得，经验证，符合题意；
若，由于，则方程组无解，
综上可知，，，
所以．
故答案为：．
由集合相等的定义，结合元素的互异性，分类讨论求出，，进而可得到答案．
本题考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
十字相乘法因式即可．
本题考查因式分解的应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，
对称轴是，
显然函数在递减，在递增，
故的最小值是，时，最大，最大值是，
故，
若，则，，
，解得：．
故答案为：．
解不等式，分别求出集合，，根据，得到关于的不等式组，解出即可．
本题考查了集合间的关系，考查不等式问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，；
所以满足条件的集合个数为个．
故答案为：．
对的值进行分情况讨论，计算满足条件的集合，从而得到答案．
本题主要考查集合的新定义，解题关键是根据定义对分，，，四种情况讨论，属基础题．
17.【答案】解：，，
，，或，
因为集合，，且，所以，
即的取值范围为．

【解析】利用集合的运算法则求解即可；
在数轴上表示出集合和集合，利用已知条件求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：，
则，
若，则，解得；
若，根据可得，解得．
综上所述，的取值范围为；
若不存在实数，使，同时成立，即，有两种情况：
若，则，解得，
若且时，则有解得，或，解得，
综上所述，的取值范围为或．
【解析】先得出，然后按照是否为空集分类讨论；
根据题意，可将问题转化成的讨论．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
19.【答案】解：由题意设函数的解析式为，
则由可得：，
所以，
则，解得，，
所以函数的解析式为；
因为的对称轴为，开口向上，
所以在上先减后增，
当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，
故函数的最小值，最大值；
因为的对称轴为，开口向上，
设函数在上的最小值为，
则当时，函数在上单调递增，则，
当，即时，，
当，即时，函数在上单调递减，则，
综上，函数在上的最小值．
【解析】由题意设函数的解析式为，然后根据已知建立方程求出，，的值，由此即可求解；根据二次函数在上的单调性可求；求出函数的对称轴以及开口方向，然后讨论对称轴与区间的三种位置关系，根据函数的单调性即可求解．
本题考查了二次函数解析式以及闭区间上最小值的求解，考查了学生的分类讨论思想以及运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：集合或，．
．
，A.
当时，，得，符合题意．
当时，，解得．
的取值范围为．
由题意得，由可知，得．
当，即时，，
，得，．
当即时，，
，得，．
当，即时，，不符合题意．
故的取值范围为．
【解析】求出，由，得A.当时，，当时，，由此能求出的取值范围．
由题意得，当时，，从而，当时，，从而，由此能求出的取值范围．
本题考查集合的运算，考查并集、交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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