2.1整式 探索规律问题 专项练习 （含答案）2023-2024学年人教版数学七年级上册

2023年人教版数学七年级上册
《探索规律问题》专项练习
一 、选择题
1.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … …
那么，当输入数据为8时，输出的数据为(　　)
A. B. C. D.
2.找出以如图形变化的规律，则第20个图形中黑色正方形的数量是(　　)
A.28 B.29 C.30 D.31
3.下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个⊙，第2个图形中一共有8个⊙，第3个图形中一共有11个⊙，第4个图形中一共有14个⊙，…，按此规律排列，第1001个图形中基本图形的个数为(　　)
A.2998 B.3001 C.3002 D.3005
4.观察图并寻找规律，x处填上的数字是( )
A.﹣136 B.﹣150 C.﹣158 D.﹣162
5.将一个边长为1的正方形按如图所示的方法进行分割：部分①是整个正方形面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，…，依此类推，通过计算此图形中部分①、部分②、部分③…的面积之和，可得到式子＋＋＋…的近似值为( )
A.0.5 B.1 C.2 D.4
6.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为22024的末位数字是(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
7.如图所示，图①中的多边形(边数为12)是由等边三角形“扩展”而来的，图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为(　　)
A.n(n﹣1) B.n(n＋1) C.(n＋1)(n﹣1) D.n2＋2
8.观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250，251，252，…，299，2100.若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是( )
A.2a2－2a B.2a2－2a－2 C.2a2－a D.2a2＋a
9.已知一组数a1，a2，a3，…，an，…，其中a1＝1，对于任意的正整数n，满足an＋1an＋an＋1﹣an＝0，通过计算a2，a3，a4的值，猜想an可能是(　　)
A. B.n C.n2 D.1
10.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为(　　)
A.12 B.14 C.16 D.18
二 、填空题
11.用●表示实心圆，用○表示空心圆，现有若干个实心圆与空心圆，按一定的规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…，在前2029个圆中，有　　个实心圆.
12.下图是某同学一次旅游时在沙滩上用石子摆成的小房子．
观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了 块石子．
13.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
经观察可以发现：
图(2)比图(1)多出2个“树枝”，图(3)比图(2)多出5个“树枝”，图(4)比图(3)多出10个“树枝”，照此规律，图(7)比图(6)多出　 　个“树枝”．
14.有一串式子：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，… ,写出第n个　 　.
15.按下列图示的程序计算，若开始输入的值为x=﹣6，则最后输出的结果是　 　．
16.观察下列各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数是s，按此规律推断出s与n的关系为　 　.
17.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪裁成四个小正方形，如此继续下去，…，
根据以上操作方法，请你填写表：
操作次数N 1 2 3 4 5 … n
正方形的个数 4 7 10 13 16 … an
则an＝　 　(用含n的代数式表示).
18.如图是用小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有5根小棒，第2个图案中有9个小棒，…，若第n个图案中有65根小棒，则n的值为　 .
三 、解答题
19.寻找公式，求代数式的值：从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
(1)当n个最小的连续偶数相加时，它们的和S与n之间有什么样的关系，用公式表示出来；
(2)按此规律计算：①2＋4＋6＋…＋200值；②162＋164＋166＋…＋400值．
20.下面的图形是由边长为l的正方形按照某种规律排列而组成的.
(1)观察图形，填写下表：
图形 ① ② ③
正方形的个数 8 　 　 　 　
图形的周长 18 　 　 　 　
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为　 　，周长为　 　(都用含n的代数式表示).
(3)这些图形中，任意一个图形的周长y与它所含正方形个数x之间的关系可表示为y＝　 .
21.用火柴棒摆出下列一组图形：
(1)填写下表：
图形编号 1 2 3
图形中的火柴棒数 　 　 　 　 　 　
(2)照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形中的火柴棒数；(用含n的代数式表示)
(3)如果某一图形共有2027根火柴棒，你知道它是第几个图形吗？
22.观察下列等式：
13＝12
13＋23＝32
13＋23＋33＝62
13＋23＋33＋43＝102…
(1)根据观察得到规律写出：13＋23＋33＋43＋53＝　 　.
(2)根据观察得到规律写出13＋23＋33＋43＋…＋1003＝　 　.
(3)13＋23＋33＋43＋53＋…＋n3＝　 　.
23.阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023的值.
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22022＋22023，将等式两边同时乘以2得：
2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22023＋22024
将下式减去上式得2S﹣S＝22024﹣1
即S＝22024﹣1
即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023＝22024﹣1
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210
(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n为正整数).
答案
1.C
2.C.
3.D.
4.D．
5.B．
6.C.
7.B.
8.C
9.A
10.C
11.答案为：1353.
12.答案为：(n2＋4n).
13.答案为：80.
14.答案为：(﹣1)nnxn .
15.答案为：120．
16.答案为：S＝4(n﹣1).
17.答案为：1＋3n.
18.答案为：16.
19.解：(1))∵1个最小的连续偶数相加时，S＝1×(1＋1)，
2个最小的连续偶数相加时，S＝2×(2＋1)，
3个最小的连续偶数相加时，S＝3×(3＋1)，
…
∴n个最小的连续偶数相加时，S＝n(n＋1)；
(2)①根据(1)得：
2＋4＋6＋…＋200＝100×(100＋1)＝10100；
②162＋164＋166＋…＋400，
＝(2＋4＋6＋…＋400)﹣(2＋4＋6＋…＋160)，
＝200×201﹣80×81，
＝40200﹣6480，
＝33720．
20.解：(1)∵n＝1时，正方形有8个，即8＝5×1＋3，周长是18，即18＝10×1＋8；
n＝2时，正方形有13个，即13＝5×2＋3，周长是28，即28＝10×2＋8；
n＝3时，正方形有18个，即18＝5×3＋3，周长是38，即38＝10×3＋8；
(2)由(1)可知，n＝n时，正方形有5n＋3个，周长是10n＋8.
(3)∵y＝10n＋8，x＝5n＋3，
∴y＝2x＋2.
21.解：(1)第一个图形中火柴棒数＝2＋5＝7，
第二个图形中火柴棒数＝2＋5＋5＝12，
第三个图形中火柴棒数＝2＋5＋5＋5＝17；
故答案为：7；12；17；
(2)由(1)的规律可知第n个图形的火柴棒根数＝2＋5n；
(3)由题意可知2027＝2＋5n，解得n＝407，
∴是第402个图形.
22.解：(1)依题意，得13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152＝225；
(2)依题意，得13＋23＋33＋…＋1003＝(1＋2＋3＋…＋100)2＝50502；
(3)一般规律为：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[]2.
故答案为225；50502；[]2.
23.解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，
将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，
将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1，
则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1；
(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①，
两边同时乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②，
②﹣①得：3S﹣S＝3n＋1﹣1，即S＝(3n＋1﹣1)，
则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝(3n＋1﹣1).