1.2 集合间的基本关系 课件（共21张PPT）

1.2 集合间的基本关系
第一章 集合与常用逻辑用语
问题引入
我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5,5<7，5>3，等等.两个集合之间是否也有类似的关系呢？
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问题1：观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？
(1)????={1,2,3}，????={1,2,3,4,5}；
(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
(3)????={????|????是两条边相等的三角形}，????={????|????是等腰三角形}.
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????中的元素都在????中.
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????中的元素都在????中.
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????=????，元素一样.
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1,2,3包含在1,2,3,4,5中
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女生包含在这个班的学生中
两条边相等的三角形就是等腰三角形
新知探索
可以发现，在(1)中，集合????的任何一个元素都是集合????的元素.这时我们说集合????包含于集合????，或集合????包含集合????.(2)中的集合C与集合D也有这种关系.
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在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为????????????????图.这样，上述集合????与集合????的包含关系，可以用右图表示.
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一般地，对于两个集合????，????，如果集合????中任意一个元素都是集合????中的元素，就称集合????为集合????的子集，记作?????????(或?????????)，读作“????包含于????”(或“????包含于????”).
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新知探索
在(3)中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合????，集合????都是由所有等腰三角形组成的集合.因此，集合????，????都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合????中任何一个元素都是集合????中的元素，同时，集合????中任意一个元素也都是集合????中的元素，这样集合????的元素与集合????的元素是一样的.
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一般的如果集合????中的任何一个元素都是集合????的元素，同时集合????的任意一个元素都是集合????的元素，那么集合????与集合????相等，记作????=????.
也就是说，若?????????，且?????????，则????=????.
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思考1：请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例.
新知探索
如果集合?????????，但存在元素????∈????，且?????????，就称集合????是集合????的真子集，记作?????????(或?????????).
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例如，在(1)中，????={1,2,3}，????={1,2,3,4,5}.
?????????，但4∈????，且4???，所以集合????是集合????的真子集，
即?????????(或?????????).
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又如，在(2)中，C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合.?????????，但男生∈????，且男生?????，所以集合????是集合????的真子集，
即?????????(或?????????).
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新知探索
我们知道，方程????2+1=0没有实数根，所以方程????2+1=0的实数根组成的集合中没有元素.此时，我们说方程????2+1=0的实数根组成的集合为空集?.
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一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为?，并规定：空集是任何集合的子集.
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思考2：你能举出几个空集的例子吗？
新知探索
思考3：包含关系{????}?????与属于关系????∈????有什么区别？试结合实例作出解释.
注：包含关系刻画的是集合与集合间的关系；而属于关系刻画的是元素与集合间的关系.
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由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即?????????；
(2)对于集合????，????，????，如果?????????，且?????????，那么?????????.
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例如，在(1)中，????={1,2,3}，????={1,2,3,4,5}.
我们有4∈????，4?????；我们还有?????????(或?????????).
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新知探索
辨析1：判断正误：
(1)任何集合都有子集和真子集. （ ）
(2)集合{????|????2+1=0,????∈????}=?. （ ）
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答案：×，√.
辨析2：下列四个集合中，是空集的是（ ）. A.{????|????+3=3} B.{(????,????)|????2=?????2,????,????∈????}
C.{????|????2≤0} D.{????|????2?????+1=0,????∈????}
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答案：D.
例析
例1.写出集合{????,????}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
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解：集合{????,????}的所有子集为????，{????}，{????}，{????,????}.
真子集有????，{????}，{????}.
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设集合????中有????个元素，则：
(1)集合????的子集个数为：????????个；
(2)集合????的真子集个数为：?????????????个；
(3)集合????的非空真子集个数为：?????????????个.
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集合中元素个数与子集个数的关系
例析
例2.判断下列各题中集合????是否为集合????的子集，并说明理由：
(1)????={1,2,3}，????={????|????是8的约数}；
(2)????={????|????是长方形}，????={????|????是两条对角线相等的平行四边形}.
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解：(1)因为3不是8的约数，所以集合????不是集合????的子集.
(2)因为若????是长方形，则????一定是两条对角线相等的平行四边形，
所以集合????是集合????的子集.
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练习
题型一：确定集合的子集、真子集
例1.已知集合????满足{1,2}??????{1,2,3,4,5}，则所有满足条件????的集合的个数是( ).
A.6 B.7 C.8 D.9
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答案：????.
解：由题意可以确定集合????必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合????的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}.
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}.
含有5个元素：{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合????为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.
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练习
变1.集合{????|????=?????2+6,????,????∈????}的真子集个数是( ).
A.9 B.8 C.7 D.6
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答案：C.
解：当????=0时，????=6；当????=1时，????=5；
当????=2时，????=4；当????=3时，????=?3；
∵函数????=?????2+6，????∈????，在[0,+∞)上是减函数；
∴????≥3时，????<0；
∴{????∈????|????=?????2+6,????∈????}={2,5,6}；
∴该集合的所有真子集为：?，{2}，{5}，{6}，{2,5}，{2,6}，{5,6}.
∴该集合的真子集个数为7.
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练习
方法技巧：
求集合子集、真子集个数的3个步骤
判断
分类
列举
根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况
根据集合中元素的多少进行分类
采用列举法逐一写出每种情况的子集
练习
题型二：集合间关系的判断
例2.指出下列各组集合之间的关系：
(1)????={?1,1}，????={(?1,?1),(?1,1),(1,?1),(1,1)};
(2)????={????|????是等边三角形}，????={????|????是等腰三角形}；
(3)????={????|????=2?????1,????∈?????}，????={????|????=2????+1,????∈?????}.
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答案：(1)????与????无包含关系；(2)?????????；(3)?????????.
解：(1)????中的元素为数，而????中的元素为点，因此????、????无包含关系.
(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，∴?????????.
(3)∵????={1,3,5,7,9…}，????={3,5,7,9,11…}
∴?????????.
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练习
变2.已知集合????={????|????2?3????+2=0}，????={1,2}，????={????|????<8,????∈????}，用适当的符号填空：
(1)A______B；(2)A______C；(3){2}______C；(4)2______C.
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答案：(1)=；(2)?；(3)?；(4)∈.
解：∵集合????={????|????2?3????+2=0}={1,2}，????={1,2}，
????={????|????<8,????∈????}={0,1,2,3,4,5,6,7}，
∴????=????，?????????，{2}?????，2∈????.
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练习
方法技巧：
判断集合间关系的常用方法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}列举观察法
当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系
集合元素特征法
首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系
数形结
合法
利用数轴或?????????????????图，不等式的解集之间的关系，适用于数轴法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}列举观察法
当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系
集合元素特征法
首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系
数形结
合法
练习
题型三：由集合间的关系求参数
例3.已知集合????={?2≤????≤5}，????={????|????+1≤????≤2?????1}，若?????????，求实数????的取值范围.
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解：∵????={?2≤????≤5}，????={????|????+1≤????≤2?????1}，若?????????，
∴分两种情况：
①当????=?时，则????+1>2?????1，即????<2；
②当????≠?时，则????+1≤2????+1????+1≥?22????+1≤5，即????≥2????≥?3????≤3.
解得：2≤????≤3.
综上可得，实数????的取值范围是：(?∞,3].
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?2
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5
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????+1
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2?????1
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练习
解：据题意得：????≠?.
????+1≤?22?????1≥5，
解得，????≤?3????≥3， 即????无解.
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变3.已知集合????={?2≤????≤5}，????={????|????+1≤????≤2?????1}，若?????????，求实数????的取值范围.
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?2
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5
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????+1
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2?????1
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练习
方法技巧：
已知集合间的关系求参数问题的解题策略
(1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接到方程.
(2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“=”用实心圆点表示，不含“=”用空心圆圈表示.
(3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集.
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课堂小结&作业
课堂小结：
(1)集合间的基本关系；
(2)子集、真子集的关系及求解方法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P8的练习1~3题；
(3)课本P9的习题1.2的1、2、3、4、5.
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谢谢学习
Thank you for learning