第二章 一元二次函数、方程与不等式 章末复习课件（共38张PPT）

一元二次函数、方程与不等式
章末复习
第二章 一元二次函数、方程与不等式
本章知识结构
知识梳理
1.一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.分式不等式与等式不等式：
(????????+????)(????????+????)≥0?(????????+????)(????????+????)≥0 [注：????≠?????????]
(????????+????)(????????+????)≤0?(????????+????)(????????+????)≤0 [注：????≠?????????]
若出现(????????+????)(????????+????)±????≥(≤)0的形式，则需要先通分，再根据分式不等式的步骤进行求解，注意分母不能为零.
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知识梳理
3.三个“二次”间的关系
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
?>????
?=????
?????=????????2+????????+????(????>0)的图象
????????2+????????+????=0(????>0)的根
有两个不相等的实数根????1,????2(????1有两个不相等的实数根????1=????2=?????2????
没有实数根
????????2+????????+????>0(????>0)的解集
{????|????????2}
{????|????≠?????2????}
????
????????2+????????+????<0(????>0)的解集
{????|????1?
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
没有实数根
知识梳理
4.两个实数比较大小的方法
(1)作差法?????????>0?????_____????，?????????=0?????_____????，?????????<0?????_____????.
(2)作商法????????>1(????∈????,????>0)?????_____????(????∈????,????>0)，????????=1?????_____????(????,????≠0)，????????<1(????∈????,????>0)?????_____????(????∈????,????>0).
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知识梳理
5.不等式的性质
(1)对称性：????＞?????????＜????；
(2)传递性：????＞????，????＞?????????＞????；
(3)同向可加性：????＞?????????＋????____????＋????；????＞????，????＞?????????＋????____????＋????；
(4)可乘性：????＞????，????＞0?????????____????????；????＞????，????＜0?????????＜????????；
????＞????＞0，????＞????＞0?????????____????????；
(5)可乘方性：????＞????＞0?????????____????????(????∈N，????≥1)；
(6)可开方性：????＞????＞0?????????____????????(????∈N，????≥2).
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知识梳理
6.基本不等式????????≤????+????2
(1)基本不等式成立的条件：????>0，????>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号.
(3)其中 叫做正数????，????的算术平均数， 叫做正数????，????的几何平均数.
7.两个重要的不等式
(1)????2＋????2≥________?(????，????∈R)，当且仅当????=????时取等号.
(2)????????≤(????+????2)2(????，????∈R)，当且仅当时取等号.
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????＝????
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????+????2
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????????
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2????????
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知识梳理
8.利用基本不等式求最值
(1)已知????，????都是正数，如果积????????等于定值????，那么当????=????时，和????+????有最小值 .
(2)已知????，????都是正数，如果和????+????等于定值????，那么当????=????时，积????????有最大值 .
9.常用结论
(1)证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
(2)有关分式的性质
①若????>????>0，????>0，则??????????????????????????(????－????>0).
②若????????>0，则????>?????1????<1????.
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2????
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14????2
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知识梳理
10.常用结论
(1)????????≤(????+????2)2≤????2+????22.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
(2)在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
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练习
题型一：三个“二次”间的关系
例1.(多选)(2023·枣庄调研)已知关于????的不等式(????＋2)(????－4)＋????＜0(????＜0)的解集是(????1，????2)(????1＜????2)，则( 　)
????.????1＋????2＝2? ???????????????????.????1????2＜－8????????????????????????.－2＜????1＜????2＜4? ????????????????????.????2－????1＞6
?
解析：因为关于????的不等式(????＋2)·(????－4)＋????＜0(????＜0)的解集是(????1，????2)(????1＜????2)，所以????1，????2是一元二次方程????2－2
练习
方法技巧：
1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
练习
变1.若关于????的不等式????2－2????????－8????2＜0(????＞0)的解集为{????|????1＜????＜????2}，且????2－????1＝15，则????的值为________.
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解析：由题知????1，????2是一元二次方程????2－2????????－8????2＝0(????＞0)的实数根，
所以????＝4
练习
题型二：一元二次不等式的解法
例2.不等式1?
练习
方法技巧：
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
练习
变2.解关于????的不等式????????2－(????＋1)????＋1＜0(????∈R).
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解析：原不等式变为(????????－1)(????－1)＜0，
①当????>0时，原不等式可化为(?????1????)(?????1)<0，
所以当????>1时，解得1???? 当????=1时，解集为?；
当0 ②当????=0时，原不等式等价于?
练习
变2.解关于????的不等式????????2－(????＋1)????＋1＜0(????∈R).
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③当????<0时，1????<1，原不等式可化为(?????1????)(?????1)>0，
解得????>1或????<1????.
综上，当0 当????=1时，不等式的解集为?，
当????>1时，不等式的解集为{????|1???? 当????=0时，不等式的解集为{????|????>1}，
当????<0时，不等式的解集为{????|????<1????或????>1}.
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练习
题型三：一元二次不等式恒成立问题
例3.(2023·天津模拟)若不等式(????－2)·????2＋4(????－2)????＋3＞0的解集为????，则实数????的取值范围是________.
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解析：当????－2＝0，即????=2时，不等式为3>0恒成立，故????=2符合题意；
当????－2≠0，即????≠2时，不等式(????－2)????2＋4(????－2)????＋3＞0的解集为????，
则????－2>0，?=[4(?????2)]2?4(?????2)×3<0，
解得2?
[2,114)
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练习
方法技巧：
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在????上恒成立，可用判别式????，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式????，一般分离参数求最值或分类讨论.
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练习
变3.已知????=－3????2＋????(6－????)????＋6.若当????∈[－2，2]时，????≥????恒成立，求实数????的取值范围.
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解析：由题意可转化为????2＋????????＋3－????≥0，在????∈[－2，2]上恒成立，
令????‘=????2＋????????＋3－????，则有①?≤0或②?>0，?????2练习
题型四：比较数(式)的大小
例4.若????＜0，????＜0，则????=????2????+????2????与????＝????＋????的大小关系为(　　)
????.????????????????????????????????????????????.????≥????
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解析：????－????＝????2????+????2??????????????=????2?????2????+????2?????2????
=(????2?????2)?(1?????1????)=(????2?????2)(?????????)????????=(?????????)2(????+????)????????，
因为????＜0，????＜0，所以????＋????＜0，????????＞0.
若????＝????，则????－????＝0，故????＝????；若????≠????，则????－????＜0，故????＜????.
综上，????≤????.
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????
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练习
方法技巧：
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
练习
变4.若????，????∈[0，＋∞)，????=????+????，????=????+????，则????，????的大小关系是(　　)
????.????≤????? ??????????????????????????????????.????≥??????????????????????????????????????????????.????＜???????????????????????????????????? ????.????＞????
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解析：由题意得????2?????2=?2????????≤0，
又????≥0，????≥0，
所以????≥????.
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????
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练习
题型五：不等式的基本性质
例5.(多选)已知????＞????＞????，????＋????＋????＝0，则下列不等式不成立的是(　 )
????.????????＞????????????????????????????????????? ????.????????＞???????? ?????????????????????????? ????.????????＞????????? ?????????????????????????????.????|????|＞|????|????

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解析：因为????＞????＞????，????＋????＋????＝0，
所以????＞0，????＜0，????的符号无法确定.
对于????，由题意得????＞????，若????＜0，则????????＜0＜????????，故????错误；
对于????，因为????＞????，????＞0，所以????????＞????????，故????正确；
对于????，因为????＞????，????＜0，所以????????＜????????，故????错误；
对于????，当|????|＝0时，????|????|＝|????|????，故????错误.
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????????????
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练习
方法技巧：
解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值排除法.
练习
变5.已知????＞????，且????????≠0，????∈????，则下列不等式中一定成立的是(　　)
????.????2>????2???????????????????? ????.1????<1???? ?????????????????????? ????.????+????2＞????????? ????????????????????????.????????2+1>????????2+1
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解析：当????=1，????=?2时，则12<(?2)2=4??，11>1?2，????????? 无意义，故????，????，????错误；因为????2+1>0，所以根据不等式得性质可得????????2+1>????????2+1，????正确.
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????
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练习
题型六：不等式性质的综合应用
例6.已知－1?
解析：因为－1 所以－3<－????<－2，所以－4 由－3<3????<12，4<2????<6，得1<3????＋2????<18.
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(?4,2)
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(1,18)
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练习
方法技巧：
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
练习
变6.已知????∈(?3,?2)，????∈(2,4)，则????????的取值范围是________.
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解析：∵????∈(－3，－2)，∴1????∈(－12，－13)，
故13 又∵????∈(2,4)，∴23?
(?2,?23)
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练习
题型七：利用基本不等式求最值
例7.若????<23，则????(????)=3????+1+93?????2有( )
????.最大值0 ????.最小值9 ????.最大值?3 ????.最小值?3
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解析：因为????<23，∴3?????2<0，
????(????)=3?????2+93?????2+3=?[(2?3????)+92?3????]+3≤?2(2?3????)?92?3????+3=?3，
当且仅当2?3????=92?3????，即????=?13时取“=”.
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????
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练习
方法技巧：
1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法，主要解决形如“已知????＋????＝????(????为常数)，求????????+????????的最值”的问题，先将????????+????????转化为(????????+????????)?????+????????，再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
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练习
变7.(2022·深圳二模)已知0练习
题型八：利用基本不等式求参数或范围
例8.当????>????时，2????+8?????????的最小值为10，则????=( )
????.1 ????.2 ????.22 ????.4
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解析：2????+8?????????=2(?????
练习
方法技巧：
1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求
最值；
2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.
练习
变8.已知不等式(????+????)(1????+????????)≥9，则不等式对任意正实数????，????恒成立，则正实数????的最小值为_______.
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解析：已知不等式(????+????)(1????+????????)≥9对任意正实数????，????恒成立，只需求
(????+????)(1????+????????)的最小值大于或等于，
∵(????+????)(1????+????????)=1+????+????????+????????????≥????+2????+1=(????+1)2，
当且仅当????=????????时，等号成立，
∴(????+1)2≥9，∴????≥4，即正实数????的最小值为4.
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4
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练习
题型九：利用基本不等式解决实际问题
例9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买????吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4????万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则????＝________吨.
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解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买????吨，则需要购买400????次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4????万元，一年的总运费与总存储费用之和为
(400?????4+4????)万元，400?????4+4????≥160，当且仅当1600????=4????，即????＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
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20吨
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练习
方法技巧：
利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
练习
变9.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润????(单位：万元)与机器运转时间????(单位：年)的关系式为????＝－????2＋18????－25(????∈N?)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元.
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解析：每台机器运转????年的年平均利润为????????=[18?(????+25????)]万元，由于????>0，故????????≤18?225=8，
当且仅当????=5时等号成立，
此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元.
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8
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谢谢学习
Thank you for learning