第二章 一元二次函数、方程与不等式 章末复习课件(共38张PPT)

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名称 第二章 一元二次函数、方程与不等式 章末复习课件(共38张PPT)
格式 pptx
文件大小 2.3MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-09-18 14:52:02

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文档简介

一元二次函数、方程与不等式
章末复习
第二章 一元二次函数、方程与不等式
本章知识结构
知识梳理
1.一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
2.分式不等式与等式不等式:
(????????+????)(????????+????)≥0?(????????+????)(????????+????)≥0 [注:????≠?????????]
(????????+????)(????????+????)≤0?(????????+????)(????????+????)≤0 [注:????≠?????????]
若出现(????????+????)(????????+????)±????≥(≤)0的形式,则需要先通分,再根据分式不等式的步骤进行求解,注意分母不能为零.
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知识梳理
3.三个“二次”间的关系
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
?>????
?=????
?????=????????2+????????+????(????>0)的图象
????????2+????????+????=0(????>0)的根
有两个不相等的实数根????1,????2(????1有两个不相等的实数根????1=????2=?????2????
没有实数根
????????2+????????+????>0(????>0)的解集
{????|????????2}
{????|????≠?????2????}
????
????????2+????????+????<0(????>0)的解集
{????|????1?
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
没有实数根
知识梳理
4.两个实数比较大小的方法
(1)作差法?????????>0?????_____????,?????????=0?????_____????,?????????<0?????_____????.
(2)作商法????????>1(????∈????,????>0)?????_____????(????∈????,????>0),????????=1?????_____????(????,????≠0),????????<1(????∈????,????>0)?????_____????(????∈????,????>0).
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知识梳理
5.不等式的性质
(1)对称性:????>?????????<????;
(2)传递性:????>????,????>?????????>????;
(3)同向可加性:????>?????????+????____????+????;????>????,????>?????????+????____????+????;
(4)可乘性:????>????,????>0?????????____????????;????>????,????<0?????????<????????;
????>????>0,????>????>0?????????____????????;
(5)可乘方性:????>????>0?????????____????????(????∈N,????≥1);
(6)可开方性:????>????>0?????????____????????(????∈N,????≥2).
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知识梳理
6.基本不等式????????≤????+????2
(1)基本不等式成立的条件:????>0,????>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当________时取等号.
(3)其中 叫做正数????,????的算术平均数, 叫做正数????,????的几何平均数.
7.两个重要的不等式
(1)????2+????2≥________?(????,????∈R),当且仅当????=????时取等号.
(2)????????≤(????+????2)2(????,????∈R),当且仅当时取等号.
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????=????
?
????+????2
?
????????
?
2????????
?
知识梳理
8.利用基本不等式求最值
(1)已知????,????都是正数,如果积????????等于定值????,那么当????=????时,和????+????有最小值 .
(2)已知????,????都是正数,如果和????+????等于定值????,那么当????=????时,积????????有最大值 .
9.常用结论
(1)证明不等式的常用方法有:作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
(2)有关分式的性质
①若????>????>0,????>0,则??????????????????????????(????-????>0).
②若????????>0,则????>?????1????<1????.
?
2????
?
14????2
?
知识梳理
10.常用结论
(1)????????≤(????+????2)2≤????2+????22.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
(2)在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
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练习
题型一:三个“二次”间的关系
例1.(多选)(2023·枣庄调研)已知关于????的不等式(????+2)(????-4)+????<0(????<0)的解集是(????1,????2)(????1<????2),则(  )
????.????1+????2=2? ???????????????????.????1????2<-8????????????????????????.-2<????1<????2<4? ????????????????????.????2-????1>6
?
解析:因为关于????的不等式(????+2)·(????-4)+????<0(????<0)的解集是(????1,????2)(????1<????2),所以????1,????2是一元二次方程????2-2
练习
方法技巧:
1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
练习
变1.若关于????的不等式????2-2????????-8????2<0(????>0)的解集为{????|????1<????<????2},且????2-????1=15,则????的值为________.
?
解析:由题知????1,????2是一元二次方程????2-2????????-8????2=0(????>0)的实数根,
所以????=4
练习
题型二:一元二次不等式的解法
例2.不等式1?
练习
方法技巧:
对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
练习
变2.解关于????的不等式????????2-(????+1)????+1<0(????∈R).
?
解析:原不等式变为(????????-1)(????-1)<0,
①当????>0时,原不等式可化为(?????1????)(?????1)<0,
所以当????>1时,解得1???? 当????=1时,解集为?;
当0 ②当????=0时,原不等式等价于?
练习
变2.解关于????的不等式????????2-(????+1)????+1<0(????∈R).
?
③当????<0时,1????<1,原不等式可化为(?????1????)(?????1)>0,
解得????>1或????<1????.
综上,当0 当????=1时,不等式的解集为?,
当????>1时,不等式的解集为{????|1???? 当????=0时,不等式的解集为{????|????>1},
当????<0时,不等式的解集为{????|????<1????或????>1}.
?
练习
题型三:一元二次不等式恒成立问题
例3.(2023·天津模拟)若不等式(????-2)·????2+4(????-2)????+3>0的解集为????,则实数????的取值范围是________.
?
解析:当????-2=0,即????=2时,不等式为3>0恒成立,故????=2符合题意;
当????-2≠0,即????≠2时,不等式(????-2)????2+4(????-2)????+3>0的解集为????,
则????-2>0,?=[4(?????2)]2?4(?????2)×3<0,
解得2?
[2,114)
?
练习
方法技巧:
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
(2)一元二次不等式在????上恒成立,可用判别式????,一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式????,一般分离参数求最值或分类讨论.
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练习
变3.已知????=-3????2+????(6-????)????+6.若当????∈[-2,2]时,????≥????恒成立,求实数????的取值范围.
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解析:由题意可转化为????2+????????+3-????≥0,在????∈[-2,2]上恒成立,
令????‘=????2+????????+3-????,则有①?≤0或②?>0,?????2练习
题型四:比较数(式)的大小
例4.若????<0,????<0,则????=????2????+????2????与????=????+????的大小关系为(  )
????.????????????????????????????????????????????.????≥????
?
解析:????-????=????2????+????2??????????????=????2?????2????+????2?????2????
=(????2?????2)?(1?????1????)=(????2?????2)(?????????)????????=(?????????)2(????+????)????????,
因为????<0,????<0,所以????+????<0,????????>0.
若????=????,则????-????=0,故????=????;若????≠????,则????-????<0,故????<????.
综上,????≤????.
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????
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练习
方法技巧:
比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
练习
变4.若????,????∈[0,+∞),????=????+????,????=????+????,则????,????的大小关系是(  )
????.????≤????? ??????????????????????????????????.????≥??????????????????????????????????????????????.????<???????????????????????????????????? ????.????>????
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解析:由题意得????2?????2=?2????????≤0,
又????≥0,????≥0,
所以????≥????.
?
????
?
练习
题型五:不等式的基本性质
例5.(多选)已知????>????>????,????+????+????=0,则下列不等式不成立的是(  )
????.????????>????????????????????????????????????? ????.????????>???????? ?????????????????????????? ????.????????>????????? ?????????????????????????????.????|????|>|????|????

?
解析:因为????>????>????,????+????+????=0,
所以????>0,????<0,????的符号无法确定.
对于????,由题意得????>????,若????<0,则????????<0<????????,故????错误;
对于????,因为????>????,????>0,所以????????>????????,故????正确;
对于????,因为????>????,????<0,所以????????<????????,故????错误;
对于????,当|????|=0时,????|????|=|????|????,故????错误.
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????????????
?
练习
方法技巧:
解决此类题目常用的三种方法:
(1)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件;
(2)利用特殊值排除法.
练习
变5.已知????>????,且????????≠0,????∈????,则下列不等式中一定成立的是(  )
????.????2>????2???????????????????? ????.1????<1???? ?????????????????????? ????.????+????2>????????? ????????????????????????.????????2+1>????????2+1
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解析:当????=1,????=?2时,则12<(?2)2=4??,11>1?2,????????? 无意义,故????,????,????错误;因为????2+1>0,所以根据不等式得性质可得????????2+1>????????2+1,????正确.
?
????
?
练习
题型六:不等式性质的综合应用
例6.已知-1?
解析:因为-1 所以-3<-????<-2,所以-4 由-3<3????<12,4<2????<6,得1<3????+2????<18.
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(?4,2)
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(1,18)
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练习
方法技巧:
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
练习
变6.已知????∈(?3,?2),????∈(2,4),则????????的取值范围是________.
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解析:∵????∈(-3,-2),∴1????∈(-12,-13),
故13 又∵????∈(2,4),∴23?
(?2,?23)
?
练习
题型七:利用基本不等式求最值
例7.若????<23,则????(????)=3????+1+93?????2有( )
????.最大值0 ????.最小值9 ????.最大值?3 ????.最小值?3
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解析:因为????<23,∴3?????2<0,
????(????)=3?????2+93?????2+3=?[(2?3????)+92?3????]+3≤?2(2?3????)?92?3????+3=?3,
当且仅当2?3????=92?3????,即????=?13时取“=”.
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????
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练习
方法技巧:
1.利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法,主要解决形如“已知????+????=????(????为常数),求????????+????????的最值”的问题,先将????????+????????转化为(????????+????????)?????+????????,再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值,在既含有和式又含有积式的等式中,对和式或积式利用基本不等式,构造目标式的不等式求解.
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练习
变7.(2022·深圳二模)已知0练习
题型八:利用基本不等式求参数或范围
例8.当????>????时,2????+8?????????的最小值为10,则????=( )
????.1 ????.2 ????.22 ????.4
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解析:2????+8?????????=2(?????
练习
方法技巧:
1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法,把问题转化为利用基本不等式求
最值;
2.利用基本不等式确定等号成立的条件,也可得到参数的值或范围.
练习
变8.已知不等式(????+????)(1????+????????)≥9,则不等式对任意正实数????,????恒成立,则正实数????的最小值为_______.
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解析:已知不等式(????+????)(1????+????????)≥9对任意正实数????,????恒成立,只需求
(????+????)(1????+????????)的最小值大于或等于,
∵(????+????)(1????+????????)=1+????+????????+????????????≥????+2????+1=(????+1)2,
当且仅当????=????????时,等号成立,
∴(????+1)2≥9,∴????≥4,即正实数????的最小值为4.
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4
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练习
题型九:利用基本不等式解决实际问题
例9.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买????吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4????万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则????=________吨.
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解析:该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买????吨,则需要购买400????次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4????万元,一年的总运费与总存储费用之和为
(400?????4+4????)万元,400?????4+4????≥160,当且仅当1600????=4????,即????=20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
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20吨
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练习
方法技巧:
利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
练习
变9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润????(单位:万元)与机器运转时间????(单位:年)的关系式为????=-????2+18????-25(????∈N?),则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元.
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解析:每台机器运转????年的年平均利润为????????=[18?(????+25????)]万元,由于????>0,故????????≤18?225=8,
当且仅当????=5时等号成立,
此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大,最大为8万元.
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8
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谢谢学习
Thank you for learning