宜宾市四中高2021级高三上学期开学考试
文科数学
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【详解】因为,所以,所以或 .
若，则,满足 .
若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.
2. 命题“R，”的否定是
A. R， B. R,
C. R, D. 不存在R，
【答案】B
【解析】
【详解】
由题意得，根据全称命题与存在性存在性命题的关系，
可知命题“ ”的否定是为“”，故选B．
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接求导数即可.
【详解】因为，则.
故选：B
4. 已知（i是虚数单位），则（ ）
A. B. 1 C. 0 D. i
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘方运算结合虚数单位i的性质，即可求得答案.
【详解】由题意,
故选：B
5. 工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为（ ）
①该车间工人上月产量极差恰好为50件；
②车间约有120名工人上月产量低于65件；
③该车间工人上月产量的平均数低于64件；
④该车间工人上月产量的中位数低于63件．
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率的计算，以及平均数、方差和中位数的计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】①中，根据频率分布直方图，可得该车间工人上月产量的极差大约为50件，所以①不正确；
②中，根据频率分布直方图，可得低于65件的频率为，
所以月产量低于65件的人数为，所以②正确；
③中，根据频率分布直方图，可得平均数为：
，所以③不正确；
④中，根据频率分布直方图，设中位数为，可得，所以④正确.
故选：D.
6. 已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.
【详解】解：选项A中直线，还可能相交或异面，
选项B中，还可能异面，
选项C，由条件可得或．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.
7. 已知，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合充分条件、必要条件的定义，利用举例说明即可判断命题.
【详解】若“且”，则“”成立；
若“”，当时，
不满足“且”，
所以“且”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A
8. 直线与圆的交点个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意利用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系，进而可得结果.
【详解】圆的圆心，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为，可得，即圆心到直线的距离小于半径，
所以直线与圆相交，即交点个数是.
故选：C.
9. 过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】过圆外一点引圆的两条切线，则两个切点在以为直径的圆上，圆的方程为，
则由两圆作差可得经过两切点的直线方程为.
故选：．
10. 已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，根据方差的定义得，而.
【详解】设收集的48个准确数据为，
所以，所以，
所以，又
，
，
故选：B.
11. 已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为（ ）
A. 4π B. 8π
C. 12π D. 16π
【答案】A
【解析】
【分析】设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，利用体积计算得到d的值，进而求得R2＝1，然后计算可得.
【详解】依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，
则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于2d，
所以VP－ABC＝2VO－ABC＝2×S△ABC×d＝××12×d＝，解得d＝，
又外接圆的半径为，
故R2＝d2＋＝1，
所以球O的表面积等于4πR2＝4π，
故选：A.
【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，涉及棱锥的体积和球的表面积，属中档题，关键是利用体积转化求得球心O到平面ABC的距离为d.
12. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设有，构造，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为在上恒成立，再构造结合导数求参数范围.
【详解】由，可得，
即，令，则在上恒成立，
所以，由可得，由可得，
所以在上递增，在上递减，且，
在上，上，而，
所以，必须且只需在上恒成立，即恒成立，
令，则，即在上递增，
故，
故a的取值范围为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
第II卷非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的极小值为___________;
【答案】
【解析】
【分析】求导，通过导函数的符号变化判定函数的单调性与极小值点，进而求出极小值．
【详解】因为的定义域为，
所以，
令，得，即；
令时，，即；
所以当时，取到极小值，
且极小值为．
故答案为：.
14. 函数，若，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.
【详解】由题得，
∴，
所以．
故答案为：3.
15. 设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线与抛物线方程消x，得，再利用韦达定理即可解决.
【详解】联立直线与抛物线，得，
则，又，故，.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到中点弦问题，当然本题也可以用点差法求解.
16. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为2，且的焦距与椭圆的焦距相等，则双曲线的渐近线方程是______________.
【答案】
【解析】
【分析】双曲线的焦点到其渐近线的距离为,由双曲线焦距与椭圆焦距相同可得,进而求的,即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】因为双曲线C的焦点到其渐近线的距离为2,所以,
因为椭圆的焦距与的焦距相等,所以,则,
所以双曲线的渐近线方程是,
故答案为:
【点睛】本题考查双曲线的性质的应用,考查双曲线的渐近线方程.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 我国北方广大农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量采用分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民基本生活的改善，也加重了北方地区冬季的雾霾天气．推进北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广大群众温暖过冬，关系雾霾天能不能减少，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命的重要内容．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省2018年1~7月份煤改气、煤改电的用户数量．
（1）在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图和相关系数说明y与t之间具有线性相关性；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量．
参考数据：，，．
【答案】（1）答案见解析
（2），2.02万户
【解析】
【分析】（1）首先根据题意画出散点图，再求相关系数即可.
（2）首先求出回归直线得到，再代入求解即可.
【小问1详解】
作出散点图如图所示．
由条形图数据和参考数据得，
，，，
，
所以．
y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
【小问2详解】
由，又由（1）得，
，
所以y关于t的回归方程为．
将代入回归方程得．
所以预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户．
18. 已知函数f(x)=.
（1）若f(x)在上是增函数，求实数a的取值范围;
（2）若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在上的最小值和最大值．
【答案】(1) a≤0(2) f(x)max＝－6，f(x)min＝－18.
【解析】
【分析】
【详解】解：（1）对f(x)求导，得．由，得．记，当时，是增函数，
∴
∴a<0．又a=0也符合题意，故．
（2）由题意，得，即,∴
∴,．令,得．
当x变化时，、f(x)的变化情况如下表：
3
+ 0 -- 0 +
极大值 极小值
当与时，f(x)是增函数；
当时，f(x)是减函数．
于是，当时，；
而f(1)=-6，f(4)=-12，
∴．
19. 如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)设中点为,连接、,再证明平面平面,进而得到平面即可.
(2) 设中点为,连接、,根据,再计算底面的面积,并证明三棱锥的高为计算即可.
【详解】（1）证明：设中点为,连接、
为等边三角形
,
即
平面,平面
平面
为的中位线
平面,平面
平面
、为平面内二相交直线
平面平面
平面DMN
平面．
（2）解：设中点为,连接、与
为等边三角形,是等腰三角形,且顶角
,、、共线
,,,,平面
平面．
平面
平面平面,交线为,平面
平面．
设,
,为中点
．
【点睛】本题主要考查了根据面面平行证明线面平行的方法与三棱锥体积的求法,需要根据题意证明线面垂直得到三棱锥的高,再根据平面几何的关系求解面积等.属于中档题.
20. 已知抛物线C：的焦点为F，点是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得有最小值3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用抛物线定义可得，其中点D为点E在准线上的射影，再根据抛物线的定义可得的最小值的表达式，从而求出p的值，即可得出答案．
（2）由已知条件可求出直线的方程，再设出直线的方程并代入抛物线C中化简求出P，Q两点纵坐标之间的关系，从而设出直线BP，并与直线的方程联立求出，同理可得，从而可得的表达式，化简可得，即可得出结论．
【小问1详解】
过点E作抛物线C的准线的垂线，垂足为点D，
根据抛物线的定义可得，于是，
当A，E，D三点共线时，有最小值，
所以，解得，所以抛物线C得方程为．
【小问2详解】
证明：直线l：，令得，所以点，
因为直线平行于直线l：，且过点，
所以直线：，
设直线：，联立，得，
所以，设点，，
由韦达定理可得，，
所以直线PB的方程为，直线QB的方程为，
联立解得，
同理可得，
所以
，
因为，所以，即A是线段MN的中点．所以．
21. 已知函数（），其中是自然对数的底数.
（1）若的两个根分别为，且满足，求的值；
（2）当时，讨论的单调性.
【答案】（1）
（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，令导函数等于0，求出方程的根即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可.
【小问1详解】
的定义域为，
，
由已知方程有两个根，解得，，
于是，解得.
【小问2详解】
当时，，
当，；
当，；所以在上单调递减，在上单调递增.
②当时，令，得，由得，
由得或，所以在，上单调递增，
在上单调递减；
③当时，此时，故在上递增；
④当时，令，得，
由得，由得或，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增.
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
当时，在上递增.
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
（选修4-4极坐标与参数方程）
22. 已知直线的参数方程为：
（1）若，上一点对应的参数值，求的坐标和的值；
（2）与圆交于，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）代入得，再利用两点距离公式即可得到答案；
（2）将参数方程代入圆方程中，再利用韦达定理即可得到弦长.
【小问1详解】
把代入参数方程得，则，
.
【小问2详解】
把参数方程代入圆方程有：，
整理得：，，
于是，
所以，代入得.
（选修4-5不等式选讲）
23. 函数.
（1）求不等式解集；
（2）若的最小值为k，且实数a，b，c满足.求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用零点分段讨论法即可求解；
（2）由绝对值三角不等式可得的最小值，进而有，又，从而利用柯西不等式即可证明.
【小问1详解】
解：当时，，所以原不等式即为，解得；
当时，，原不等式即为，解得；
当时，，原不等式即为，解得.
综上，原不等式的解集为.
【小问2详解】
解：因为，当且仅当时取等号，
所以，
由柯西不等式可知，宜宾市四中高2021级高三上学期开学考试
文科数学
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
2. 命题“R，”否定是
A. R， B. R
C. R, D. 不存在R，
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知（i是虚数单位），则（ ）
A. B. 1 C. 0 D. i
5. 工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为（ ）
①该车间工人上月产量的极差恰好为50件；
②车间约有120名工人上月产量低于65件；
③该车间工人上月产量的平均数低于64件；
④该车间工人上月产量的中位数低于63件．
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
6. 已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7. 已知，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 直线与圆的交点个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个
9. 过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．
A. B. C. D.
10. 已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为（ ）
A. 4π B. 8π
C. 12π D. 16π
12. 若关于x不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第II卷非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的极小值为___________;
14. 函数，若，则________．
15. 设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为___________．
16. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为2，且的焦距与椭圆的焦距相等，则双曲线的渐近线方程是______________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 我国北方广大农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量采用分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民基本生活的改善，也加重了北方地区冬季的雾霾天气．推进北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广大群众温暖过冬，关系雾霾天能不能减少，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命的重要内容．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省2018年1~7月份煤改气、煤改电的用户数量．
（1）在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图和相关系数说明y与t之间具有线性相关性；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量．
参考数据：，，．
18. 已知函数f(x)=.
（1）若f(x)在上是增函数，求实数a的取值范围;
（2）若x=3是f(x)极值点，求f(x)在上的最小值和最大值．
19. 如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的体积．
20. 已知抛物线C：的焦点为F，点是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得有最小值3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：．
21. 已知函数（），其中是自然对数的底数.
（1）若的两个根分别为，且满足，求的值；
（2）当时，讨论的单调性.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
（选修4-4极坐标与参数方程）
22. 已知直线的参数方程为：
（1）若，上一点对应的参数值，求的坐标和的值；
（2）与圆交于，求值.
（选修4-5不等式选讲）
23. 函数.
（1）求不等式的解集；
