1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 课件（共21张PPT）

1.5 全称量词与存在量词
1.5.2 全称量词命题与存在
量词命题的否定
第一章 集合与常用逻辑用语
问题导入
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”，“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定为“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”.下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定.
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新知探索
思考1：写出下列命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)?????∈????，????+|????|≥0.
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上面三个命题都是全称量词命题，即具有“?????∈????,????(????)”的形式.
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“都是”改为“不是”
“≥”改为“<”
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(1)并非所有的矩形都是平行四边形；也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；
(2)并非每一个素数都是奇数；也就是说，存在一个素数不是奇数；
(3)并非所有的?????∈????，????+|????|≥0；也就是说，?????∈????，????+|????|<0.
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新知探索
(1)并非所有的矩形都是平行四边形；也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；
(2)并非每一个素数都是奇数；也就是说，存在一个素数不是奇数；
(3)并非所有的?????∈????，????+|????|≥0；也就是说，?????∈????，????+|????|<0.
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从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“?????∈????,????(????)”，则它的否定为“并非?????∈????,????(????)”，也就是“?????∈????,????(????)不成立”.通常，用符号“?????(????)”表示“????(????)不成立”.
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新知探索
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否定结论
对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面结论：
全称量词命题：?????∈????,????(????)，
它的否定：?????∈????,?????(????).
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
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例析
例3.写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3)对任意????∈????，????2的个位数字不等于3.
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解：(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)该命题的否定：存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上.
(3)该命题的否定：?????∈????，????2的个位数字等于3.
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否定结论
新知探索
思考2：写出下列命题的否定：
(1)存在一个实数的绝对值是正数；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3)?????∈????，????2?2????+3=0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
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这三个命题都是存在量词命题，即具有“?????∈????,????(????)”的形式.
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“存在”改为“不存在”
“有些”改为“所有”
(1)不存在一个实数，它的绝对值是正数，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
(2)没有一个平行四边形是菱形，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
(3)不存在????∈????，????2?2????+3=0”，也就是说，?????∈????，????2?2????+3≠0.
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新知探索
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“?????∈????,????(????)”，则它的否定为“不存在????∈????,使????(????)成立”，也就是“?????∈????,????(????)不成立”.
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新知探索
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否定结论
对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面结论：
存在量词命题：?????∈????,????(????)，
它的否定：?????∈????,?????(????).
也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.
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例析
例4.写出下列存在量词命题的否定：
(1)?????∈????,????+2≤0；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个偶数是素数.
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解：(1)该命题的否定：?????∈????,????+2>0.
(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.
(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
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否定结论
例析
例5.写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2)?????∈????,????2?????+1=0.
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解：(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.
(2)该命题的否定：?????∈????,????2?????+1≠0.
因为对任意????∈????，????2?????+1=(?????12)2+34>0，所以这是一个真命题.
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练习
题型一：全称量词命题的否定与真假判断
例1.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)????:对于所有的实数????，方程2????2+?????????=0必有实数根；
(2)????:任意一个实数乘以-1都等于它的相反数；
(3)????:矩形的对角线相等.
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解：(1)?????:存在实数????，使得方程2????2+?????????=0没有实数根.
当?=1+8????<0，即????∴?????是真命题.
(2)?????:存在一个实数乘以-1不等于它的相反数.假命题.
(3)?????:有的矩形的对角线不相等.假命题.
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否定结论
练习
变1.写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假.
(1)????:一切自然数的平方都是正数；
(2)????:所有实数????都是方程12?????5=0的根；
(3)????:对任意实数????：????2+2≥0.
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解：(1)?????:有些自然数的平方不是正数.真命题.
(2)?????:存在实数????不是方程12?????5=0的根.真命题.
(3)?????:存在实数????，使得????2+2<0.假命题.
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否定结论
练习
方法技巧：
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题的形式是“?????∈????,????(????)”，其否定形式为“?????∈????,?????(????)”，所以全称量词命题的否定是存在量词命题.
(2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题.
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练习
题型二：存在量词命题的否定与真假判断
例2.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)????:有的三角形的三条边相等；
(2)????:有些平行四边形是矩形；
(3)????:?????,????∈????，使得????+2????=7.
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解：(1)?????:所有三角形的三条边不全相等.假命题.
(2)?????:没有一个平行四边形是矩形，即每一个平行四边形都不是矩形.由于矩形是平行四边形，因此该命题的否定是假命题.
(3)?????：?????,????∈????，????+2????≠7.当????=7，????=0时，????+2????=7.因此该命题的否定是假命题.
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否定结论
练习
变2.写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假.
(1)????:?????∈????，????+2≤0；
(2)????:存在????∈????，????2?2????+1<0；
(3)????:有些分数不是有理数.
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否定结论
解：(1)?????:?????∈????，????+2>0.假命题.
(2)?????:任意????∈????，????2?2????+1≥0.
而????2?2????+1=(?????1)2≥0，真命题.
(3)?????：一切分数都是有理数，真命题.
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练习
方法技巧：
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)存在量词命题的形式是“?????∈????,????(????)”，其否定形式为“?????∈????,?????(????)”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题.
(2)存在量词命题的否定真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可.
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练习
题型三：全称量词命题、存在量词命题为假时求参数问题
例3.已知命题“?????∈????，函数????=????2+????+????的图象和????轴至多有一个公共点”是假命题，求实数????的取值范围.
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解：全称量词命题“?????∈????，函数????=????2+????+????的图象和????轴至多有一个公共点”的否定形式为“?????∈????，函数????=????2+????+????的图象和????轴有两个公共点”.
由“命题为真，其否定为假；命题为假，其否定为真”可知，这个否定形式的命题是真命题.
由二次函数的图象易知?=1?4????>0，
解得????<14，所以实数????的取值范围是{????|????<14}.
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练习
解：∵命题“?????∈????，2????????2?3????+1≠0”为假命题，
∴它的否定命题：“?????∈????，2????????2?3????+1=0”为真命题.
即关于????的方程2????????2?3????+1=0有实数根，
当????=0时，方程化为?3????+1=0，显然有解；
当????≠0时，应满足?=9?8????≥0，解得????≤98且????≠0；
综上可知，实数????的取值范围是(?∞,98].
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变3.已知命题????:“?????∈????，2????????2?3????+1≠0”为假命题，求实数????的取值范围.
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练习
方法技巧：
已知命题????为假时，一般转化为?????是真命题求参数，从而减少失误，运算过程中注意合理的选择方法.
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课堂小结&作业
课堂小结：
(1)全称量词命题的否定形式与判断真假的方法；
(2)存在量词命题的否定形式与判断真假的方法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P31的练习1~2题；
(3)课本P31的习题1.的4、5、6.