2.2 基本不等式
分层练习
考查题型一 利用基本不等式比较大小
1.（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b（a≠b）的不等式表示为 .
4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 （填序号）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
考查题型二 利用基本不等式求最值
1．已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．已知，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
3．函数的最大值是 ．
4.已知正实数a，b满足则ab的最大值为 .
考查题型三 基本不等式的恒成立问题
1．若对，，有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 （填序号）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
1．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．（其中）
C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中）
3．已知正实数，满足，则的最小值为 .
4．（1）已知实数，满足，，求和的取值范围
（2）已知正实数，满足：，求的最小值2.2 基本不等式
分层练习
考查题型一 利用基本不等式比较大小
1.（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，，，
对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，取，，得，故D错误.
故选：ABC
2．已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为a、b为正实数，
所以，当且仅当时，等号成立，
，所以，当且仅当时，等号成立，
综上：.
故选：B
3．如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b（a≠b）的不等式表示为 .
【详解】图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积.
图（2）是一个矩形，面积
可得：.
故答案为：.
4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 （填序号）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
【详解】因为（当且仅当a＝b时，等号成立），
即≤2，ab≤4，，故①③不成立；
，故②不成立；
故④成立.
故答案为：④.
考查题型二 利用基本不等式求最值
1．已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【详解】由，则，仅当时等号成立，
所以函数最小值为4.
故选：B
2．已知，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【详解】，，
，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，故选：A
3．函数的最大值是 ．
【详解】方法一：，
∵，∴，，
∴，当且仅当，即时取等号．
故当时，．
方法二：由知，∴，
当且仅当，即时取等号．
故当时，．
故答案为：
4.已知正实数a，b满足则ab的最大值为 .
【详解】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号，
解得，
则的最大值5．
故答案为：5．
考查题型三 基本不等式的恒成立问题
1．若对，，有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，，
所以，
当且仅当时取等号，所以，
故选：D．
2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 （填序号）.
①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.
【详解】因为（当且仅当a＝b时，等号成立），
即≤2，ab≤4，，故①③不成立；
，故②不成立；
故④成立.
故答案为：④.
3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
【详解】因为，，且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
因为恒成立，所以，.
故答案为：.
1．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由已知，利用基本不等式得出，
因为，则，，
所以，，
∴.
故选：B
2.下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．（其中）
C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中）
【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立；
当时，，当时，等号成立；
所以或，故错误；
对于B，因为，所以，
所以，当，即时，等号成立，故正确；
对于C，因为，
所以，
令，则有，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
所以，故错误；
对于D，因为，所以，
令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，即，故错误.
故选：B.
3．已知正实数，满足，则的最小值为 .
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
4．（1）已知实数，满足，，求和的取值范围
（2）已知正实数，满足：，求的最小值
【详解】（1）因为，所以，
所以
所以的取值范围是．
因为，所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
