(共36张PPT)
探索活动：三角形的面积
北师大版五年级上册
教学目标
1.经历三角形面积猜想与验证的探究活动，体验割补等方法在探究中的应用。
2.掌握三角形面积计算公式，并能正确进行三角形面积的计算。
3.能运用三角形面积计算公式解决有关的实际问题。
新知导入
1.写出下面各图形中对应的底和高的长度。
6dm
4dm
4.5dm
三角形其中的一条底是（ ）dm，它所对应的高是（ ）dm。
6
4
新知导入
2.计算下面图形的面积。
7cm
4cm
5dm
9cm
6cm
长方形的面积=长×宽
7×4=28（cm2）
正方形的面积=边长×边长
5×5=25（dm2）
平行四边形的面积=底×高
9×6=54（cm2）
新知讲解
流动红旗是三角形形状的
这就是我们今天要学习的新内容——三角形的面积。
新知讲解
28cm
25cm
思考：
怎样求出这面流动红旗的面积呢？说说你的想法。
可以画方格，数一数。
新知讲解
流动红旗比较大
用数方格的方法不容易得到面积。
能把三角形转化为学过的图形吗？
新知讲解
割补
你能用割补法把三角形转化为学过的图形吗？
思考：
“割补”的方法很难“转化”。那我们可不可以用拼合的方法来实现转化呢？
新知讲解
学习任务：
“拿出自己准备好的三角形拼一拼，看看能不能把三角形转化成学过的平面图形？
新知讲解
锐角三角形
新知讲解
钝角三角形
新知讲解
直角三角形
新知讲解
所用三角形 所拼成的图形
1
2
3
两个锐角三角形
平行四边形
两个钝角三角形
平行四边形
两个直角三角形
长方形或平行四边形
新知讲解
两个完全一样的三角形
拼
一个平行四边形或一个长方形。
转化前后图形的面积有什么联系？
每个三角形的面积是平行四边形面积的一半。
新知讲解
底
高
底
高
三角形的面积等于长方形面积的一半。
三角形的面积=平行四边形的面积÷2
新知讲解
思考：
这个平行四边形（长方形）是由两个完全一样的三角形拼成的，那么它的底和高（长或宽）与三角形有什么关系？
新知讲解
三角形的底和高与平行四边形的底和高相等。
三角形的底相当于长方形的长，高相当于宽。
新知讲解
三角形的面积= ÷2
平形四边形的面积
底 × 高
三角形的面积= ÷2
长方形的面积
底 × 高
如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，三角形的面积公式可以写成：
S=___________________
a·h÷2
=ah÷2
新知讲解
28cm
25cm
三角形的面积=底×高÷2
你能求出这面流动红旗的面积吗？
25×28÷2
=700÷2
=350（cm2）
答：这面流动红旗的面积350cm2。
新知讲解
一块三角形交通标志牌（如图），面积是35.1dm2，底是9dm，这个底对应的高是多少分米？
已知三角形的面积和底，怎样求它的高？
三角形的高=面积×2÷底
根据三角形的面积公式可知:
35.1×2÷9＝7.8（dm）
答：这个底对应的高是7.8分米。
新知讲解
一块三角形交通标志牌（如图），面积是35.1dm2，底是9dm，这个底对应的高是多少分米？
还可以用方程。
解：设这个底对应的高是x分米。
9x÷2=35.1
9x=70.2
x=7.8
答：这个底对应的高是7.8分米。
新知讲解
分别计算下列三角形的面积，说说你发现了什么？
它们的底是3cm，高一样。
同底等高
难道它们的面积也都一样大吗？
新知讲解
分别计算下列三角形的面积，说说你发现了什么？
①3×5÷2=7.5（cm2）
②3×5÷2=7.5（cm2）
③3×5÷2=7.5（cm2）
④3×5÷2=7.5（cm2）
当三角形的底和高相等时，它们的面积也是相等的。
同（等）底等高的三角形的面积相等。
课堂练习
基础题：
1.求出下面三角形的面积。（单位：厘米）
4×3÷2=6（cm2）
12×8÷2=48（cm2）
5×8÷2=20（cm2）
课堂练习
基础题：
2.一个三角形的面积是40平方米，高是10米，这个三角形的底是多少米？
40×2÷10
=80÷10
=8（米）
答：这个三角形的底是8米。
课堂练习
提高题：
3. 两个完全一样的三角形，拼成一个面积是7.6平方厘米的平行四边形，其中一个三角形的面积是多少平方厘米？
7.6÷2=3.8（平方厘米）
答：其中一个三角形的面积是3.8平方厘米。
平行四边形的面积是其中一个三角形的面积的2倍。
课堂练习
拓展题：
4.如图，明明用两个完全一样的三角形和一个平行四边形拼成一个长方形．已知长方形的长为30cm，面积是225cm2，平行四边形的底为24cm，一个三角形的面积是多少平方厘米？
（30-24）×（225÷30）÷2
=6×7.5÷2
=22.5（cm2）
答：一个三角形的面积是22.5cm2。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我会计算三角形的面积了，三角形的面积=底×高÷2。
我还知道同（等）底等高的三角形的面积相等。
板书设计
探索活动：三角形的面积
三角形面积 = 平行四边形的面积÷2
底 × 高
S = ah÷2
同（等）底等高的三角形的面积相等。
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
1.有一块三角形小麦地，高30米，比底长18米，这块地面积是多少平方米？
（30-18）×30÷2
=12×30÷2
=180（平方米）
答：这块地面积是180平方米。
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.（1）三角形的面积是176平方厘米，底是16厘米，三角形的高是多少？
（2）三角形的面积是529平方厘米，高是23厘米，三角形的底是多少？
（1）176×2÷16
=352÷16
=22（厘米）
答：三角形的高是22厘米。
（2）529×2÷23
=1058÷23
=46（厘米）
答：这个三角形的底是46厘米。
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1. 有一个平行四边形底是15分米，高8分米，它和另一个三角形的面积、底都相等，这个三角形的高是多少分米？
15×8×2÷15
=15÷15×8×2
=16（分米）
答：这个三角形的高是16分米。
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
2.如图中有几个三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等？阴影部分的面积是多少？（单位：cm）
5×12.4÷2=31（平方厘米）
答：图中有3个三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等，阴影部分的面积是31平方厘米。
作业布置
找一找生活中的三角形，你能算算它们的面积吗？
【综合实践类作业】
谢谢
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《多边形的面积》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《多边形的面积》单元是图形与几何领域第三学段“图形的认识与测量”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中提出：“探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式；会估计不规则图形的面积。”。在“学业要求”中指出：“会计算平行四边形、三角形、梯形的面积，能用相应公式解决实际问题。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生认识了长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形，掌握了面积的意义和长方形、正方形面积计算公式的基础上安排的。本单元的教学内容有：比较图形的面积、认识底和高、探索“平行四边形、三角形和梯形的面积”计算。
本单元先是通过在方格纸上割补、拼摆等方式比较图形的面积，让学生了解图形面积计算的必要性；接着以实例引入，引导学生认识图形的底和高，并结合现实生活中的草坪、广告牌、流动红旗等，在探究活动中理解并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，体验“转化”的思想，发展推理和解决问题的能力，获得成功探索问题的体验。
单元学习内容的前后联系：
（三）学生认知情况
学生已经对空间观念和直观几何有了较为丰富的经验。在学习本单元之前，他们在生活中积累了有关图形认识和图形测量的经验，再加上已经学习了长方形、正方形、三角形的特征以及长方形、正方形的面积计算。为此，学习本单元面积公式的推导过程中，教师应引导学生紧密联系生活实际，从已有的认知基础和生活经验出发，让学生在数、剪、拼、摆等操作活动中，完成对新知的构建。所以引导学生利用转化的数学思想，在操作中学习新知是本单元教学的重要环节。教师既要做好引导，又要注意不要包办代替，一定要学生在独立思考和合作交流的基础上进行操作，切忌由教师带着做。
二、单元目标拟定
1.经历比较图形面积大小、图形面积猜想与验证的探究活动，体验数方格及割补法在图形面积探究中的应用，同时让学生了解图形面积计算的必要性。
2.通过动手操作，认识梯形、平行四边形与三角形的高，会用三角尺画这三种图形的高。
3.通过割补等方法理解并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，会计算这三种图形的面积。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.会比较多边形面积的大小，会画简单图形的底和高。
2.探索平行四边形、三角形和梯形的面积公式的推导过程。
3.掌握平行四边形、三角形和梯形的面积的计算方法。
4.解决生活中有关面积的实际问题。
（二）教学重难点
1.掌握平行四边形、三角形和梯形的面积的计算公式，能够正确地进行计算。
2.经历探索平行四边形、三角形和梯形的面积计算方法的过程，并能运用计算的方法，解决生活中一些简单的问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。周长、面积、体积是小学数学中一直以来比较“重视”的内容，但学生对图形记忆最深刻的就是公式计算，虽然他们把公式背得滚瓜烂熟，可是却时常会用混、用错。究其原因绝不仅仅是马虎，主要是以往的教学太过强化公式，而弱化了对概念的理解，忽略了对周长、面积、体积本质的追寻。本主题的教学设计将凸显面积的数学本质，强化对面积本质的理解，突出了测量的核心要素——“单位”；同时也让学生在探索的过程中发展其对数学的理解，有助于数学素养的提升。
组织本单元学习内容的思路如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：
（一）在探索图形面积的活动中，体验猜想和验证的思考过程
在探索平行四边形面积中，教科书采用数方格的方法，比较图形面积与底、高的关系，得到猜想；教科书用割补法加以验证，从而得到图形面积的一般计算方法。
（二）运用制补等方法探索图形面积，渗透转化的思想
本单元在探索活动中，转化的思想方法得到了充分的运用：通过割补法把平行四边形转化为长方形；通过割补法把三角形、梯形转化为平行四边形。从而把一个新的图形面积的计算，转化为已学过的图形面积的计算，使问题得以解决。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 □数与代数 图形与几何 □统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
图形与几何 多边形的面积 比较图形的面积 1
认识底和高 1
探索活动：平行四边形的面积 1
探索活动：三角形的面积 1
探索活动：梯形的面积 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 □集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 □数形结合 □极限 模型 方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
4.1《比较图形的面积》 目标： 借助方格纸，能直接判断图形面积的大小，初步体验数方格及割补法在图形面积探究中的应用，积累探索图形面积的活动经验。 任务一：找出两个面积相等的图形，与同伴说一说你是怎么找到的 → 任务二：利用拼接比较图形的面积 → 任务三：利用割补比较图形的面积 → 1.通过对“找出两个面积相等的图形”问题的讨论与交流，初步了解数方格、重叠等方法在比较图形面积中的运用。 2.能通过拼接判断图形面积是否相等。 3.体会割补法在比较图形面积中的作用，了解“出入相补”原理，能利用割补法计算不规则图形面积。
4.2《认识底和高》 目标： 通过动手操作，认识梯形、平行四边形与三角形的底和高；会用三角尺画出平行四边形、三角形与梯形的高；能在方格纸上画出给定底和高长度的平行四边形、三角形与梯形。 任务一：借助“限高”认识梯形的高 → 任务二：认识梯形、平行四边形和三角形的高 → 任务三：画出图形中给定底边上的高 → 1.通过给出桥洞限高的线段，抽象出梯形的高，在此基础上，初步认识梯形的高。 2.通过画出垂直线段，认识梯形、三角形和平行四边形的底和高。 3.能画出指定图形的高。
4.3《探索活动：平行四边形的面积》 目标： 掌握平行四边形面积计算公式，并能正确计算平行四边形的面积；能运用平行四边形面积计算公式解决相关的实际问题。 任务一：猜想如何求平行四边形的面积 → 任务二：借助方格纸验证猜想是否正确 → 任务三：运用割补法把平行四边形转化为长方形→ 任务四：探究平行四边形面积的计算公式 → 任务五：平行四边形面积的逆运算 → 任务六：研究平行四边形面积的性质 → 1.验证平行四边形的面积与邻边是否有关。 2.利用方格纸，验证出平行四边形的面积与邻边无关。 3.运用割补法，把平行四边形转化为学过的长方形。 4.探究平行四边形面积计算的方法，利用平行四边形面积计算公式，求出空地的面积。 5.已知面积和高，求出高对应的底是多少。 6.知道同底等高平行四边形的面积都相等。
4.4《探索活动：三角形的面积》 目标： 体验割补等方法在探究中的应用；掌握三角形面积计算公式，并能正确进行三角形面积的计算；能运用三角形面积计算公式解决有关的实际问题。 任务一：讨论如何求三角形的面积 → 任务二：把三角形转化为学过的图形 → 任务三：探究三角形面积的计算公式 → 任务四：三角形面积的逆问题 → 任务五：研究三角形面积的性质 → 1.用数方格的方法数三角形的面积，并思考三角形能转化为什么学过的图形。 2.知道如何把三角形转化为平行四边形。 3.探究三角形面积计算的方法，并利用三角形面积的计算公式求出流动红旗的面积。 4.已知面积和底，求出对应的高是多少。 5.知道同底等高三角形的面积都相等的例子。
4.5《探索活动：梯形的面积》 目标： 经历梯形面积的探索活动，体验割补法在探究中的应用；掌握梯形面积计算公式，并能正确进行梯形面积的计算；能运用梯形面积计算公式解决相关的实际问题。 任务一：讨论如何求梯形的面积 → 任务二：把梯形转化为学过的图形 → 任务三：探究梯形面积的计算公式 → 1.思考并讨论求梯形的面积的方法。 2.能运用拼组法和割补法，把梯形的面积转化为平行四边形。 3.探究梯形面积计算的方法，并利用梯形面积计算公式。
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4.4 探索活动：三角形的面积 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：经历三角形面积猜想与验证的探究活动，体验割补等方法在探究中的应用；掌握三角形面积计算公式，并能正确进行三角形面积的计算；能运用三角形面积计算公式解决有关的实际问题。
2.学习内容分析：探索并掌握三角形面积计算公式，如何把三角形转化成平行四边形是本节课的重要内容。本节课是在学生学行四边形面积计算的基础上进行教学的。教科书提出解决三角形流动红旗面积的问题，设计了三个递进的问题。第一个问题是讨论如何求三角形的面积；第二个问题是把三角形转化为学过的图形；第三个问题是探究三角形面积的计算公式。同时，安排了“试一试”的内容，其中第一个问题是三角形面积的逆问题；第二个问题是研究三角形面积的性质。
3.学科核心素养分析：本课的学习对于学生认识自己周围平面图形打下基础，形成空间观念起着重要的作用。引导学生认识对图形的平移和分割，让学生体会形状变化而面积不变的事实，为后续学习面积公式的推导与图形的“等积变形”打下基础，培养学生的创造性思维，发展学生的几何直观与空间想象素养。
二、教学重难点
1.重点：探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积。
2.难点：理解三角形面积公式的推导过程。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 1.复习旧知（1）写出下面各图形中对应的底和高的长度。三角形其中的一条底是（ ）dm，它所对应的高是（ ）dm。2.计算下面图形的面积。 2.导入新课师：经过上周的努力，我们班终于拿了一面卫生方面的流动红旗。课件出示： 师：这面流动红旗是什么形状的？学生：是三角形的。师：这就是我们今天要学习的新内容——三角形的面积。板书课题：探索活动：三角形的面积 针对本节课所学的内容，设计相关的复习题，唤起学生已有的知识经验，为新知的学习扫除障碍，做好铺垫。借助教材创设的情景导入新课，调动学生学习的欲望和积极性，同时为后面的探究做准备。 教师观察学生的参与程度，给予及时的鼓励与表扬。
探究新知 任务一：讨论如何求三角形的面积师：怎样求出这面流动红旗的面积呢？说说你的想法。学生：可以画方格，数一数。根据学生的回答，课件出示：学生：流动红旗比较大，用数方格的方法不容易得到面积，有没有更简单的方法？师：大家有没有更好的办法呢？学生：能把三角形转化为学过的图形吗？师：大家回忆一下，上节课我们是用什么方法得出平行四边形的面积的？学生：割补法。师：那么你能用割补法把三角形转化为学过的图形吗？拿出三角形试试。学生尝试，发现割补法很难解决问题。师：“割补”的方法很难“转化”。那我们可不可以用拼合的方法来实现转化呢？学生：我们可以试试。 通过交流，让学生体验到用方格数一数的不方便性，进而引出把三角形转化为学过的图形，符合学生的认知规律。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
任务二：把三角形转化为学过的图形师：拿出课前准备的三角形，动手拼一拼。课件出示——活动任务：拿出自己准备好的三角形拼一拼，看看能不能把三角形转化成学过的平面图形？学生用三角形拼一拼，师巡视指导。所用三角形所拼成的图形1两个锐角三角形平行四边形2两个钝角三角形平行四边形3两个直角三角形长方形或平行四边形学生展示拼图，师根据学生的回答完善表格：师：通过拼一拼，你发现了什么？学生：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形或一个长方形。师：转化前后图形的面积有什么联系？学生：每个三角形的面积是平行四边形面积的一半。师：笑笑是这样拼的，你能看懂吗？课件出示： → 引导学生观察得出：沿三角形的高把其中一个三角形分成了两个三角形，然后与另一个三角形拼成了一个长方形，三角形的面积等于长方形面积的一半。 将三角形转化成学过的平面图形，渗透转化的思想，提高学生的实际操作、自主探索能力，同时为后面推导出三角形的面积公式打基础。 老师通过学生活动的情况了解学生是否掌握本环节内容，并给予及时的鼓励与指导。
任务三：探究三角形面积的计算公式课件出示：师：这个平行四边形（长方形）是由两个完全一样的三角形拼成的，那么它的底和高（长或宽）与三角形有什么关系？学生独自观察，然后回答。学生1：三角形的底和高与平行四边形的底和高相等。学生2：三角形的底相当于长方形的长，高相当于宽。师：你能根据所拼图形的面积公式推导出三角形的面积计算公式吗？学生尝试推导，然后得出：三角形的面积=底×高÷2。师：如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，三角形的面积公式可以写成……？学生：S=ah÷2。师：现在你能求出这面流动红旗的面积吗？课件出示：学生独自计算，然后展示反馈。 通过观察交流，引导学生得出所拼的图形与原三角形的关系，进而推导出三角形的面积计算公式，让学生充分经历知识的发展过程，有助于理解并掌握三角形的面积公式。 通过解决问题，提高学生运用知识解决问题的能力，获得成功的体验。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
试一试 任务四：三角形面积的逆问题课件出示：一块三角形交通标志牌（如图），面积是35.1dm2，底是9dm，这个底对应的高是多少分米？师：读一读，说说你获取了哪些数学信息？ 学生独自读一读，然后自由说说。师：已知三角形的面积和底，怎样求它的高呢？在练习本上算算。学生独自计算，师巡视指导。师：谁来说说你是怎么做的？学生：根据三角形的面积公式可知：三角形的高=面积×2÷底。35.1×2÷9＝7.8（dm）师提问：“面积×2”实际是转化成了谁的面积？学生：平行四边形的面积。师：除了运用公式的逆运用可以求出三角形的高，大家还可以怎么做？学生：还可以用方程。解：设这个底对应的高是x分米。9x÷2=35.19x=70.2 x=70.2÷9 x=7.8答：这个底对应的高是7.8分米。 通过解决问题，强化学生对公式的理解与运用，同时提高了学生解决问题和分析问题的能力。 老师通过学生解决问题的情况了解学生是否掌握本环节内容，并给予及时的鼓励与指导。
任务五：研究三角形面积的性质师：观察图中的三角形，你能找出每个三角形的底和高各是多少吗？课件出示：学生独自找一找，然后反馈，它们的底是3cm，高一样。师：也就是说这三个三角形同底等高。学生：难道它们的面积也都一样大吗？师：是这样吗？分别算算这三个三角形的面积，说说你发现了什么？学生独自计算，然后展示反馈：①3×5÷2=7.5（cm2）②3×5÷2=7.5（cm2）③3×5÷2=7.5（cm2）④3×5÷2=7.5（cm2）学生：它们的面积真的一样大！师：看来当三角形的底和高相等时，它们的面积也是相等的，也就是说同（等）底等高的三角形的面积相等。 通过观察交流，让学生进一步认识三角形的面积计算公式，同时发现三角形面积的性质，即同（等）底等高的三角形的面积相等，不仅巩固了新知，还让学生体会形状变化而面积不变的事实，渗透“等积变形”，培养学生的创造性思维。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
迁移运用 任务六：课堂练习基础题：1.求出下面三角形的面积。（单位：厘米） 2.一个三角形的面积是40平方米，高是10米，这个三角形的底是多少米？ 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.两个完全一样的三角形，拼成一个面积是7.6平方厘米的平行四边形，其中一个三角形的面积是多少平方厘米？
拓展题4.如图，明明用两个完全一样的三角形和一个平行四边形拼成一个长方形．已知长方形的长为30cm，面积是225cm2，平行四边形的底为24cm，一个三角形的面积是多少平方厘米？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.有一块三角形小麦地，高30米，比底长18米，这块地面积是多少平方米？2.（1）三角形的面积是176平方厘米，底是16厘米，三角形的高是多少？（2）三角形的面积是529平方厘米，高是23厘米，三角形的底是多少？选做题：1.有一个平行四边形底是15分米，高8分米，它和另一个三角形的面积、底都相等，这个三角形的高是多少分米？2.如图中有几个三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等？阴影部分的面积是多少？（单位：cm）【综合实践类作业】找一找生活中的三角形，你能算算它们的面积吗？
板书设计 探索活动：三角形的面积
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