2025届第三期入学考试
数学试题
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（共60分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合题目要求.
1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】∵复数满足
∴
∴复数在复平面内对应的点位于第四象限
故选D.
2. 下列说法一定正确的是（ ）
A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B. 一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D. 随机事件发生的概率与试验次数无关
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件的相关概念一一判定即可.
【详解】“百发百中”说明投中的可能性比较大，但有可能出现三投不中的可能，即A错误；
“”是事件发生的可能性，掷6次也可能不出现一次2，即B错误；
买彩票中奖的概率为万分之一，也是事件发生的可能性，买一万元的彩票也可能一元不中，即C错误；
随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关，D正确.
故选：D
3. 已知一组数据7，8，8，10，11，12，14，16，则这组数据的75%分位数是（ ）
A 13 B. 12 C. 14 D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】根据百分位数定义计算即可.
【详解】这组数据共8个，所以，
故这组数据的75%分位数是由小到大第6,7位数的平均数，
即这组数据的75%分位数13.
故选：A
4. 集合，集合，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用列举法，结合古典概型的运算公式进行求解即可.
【详解】从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，有以下种情形：
，共11个，
其中偶数有这6个，
故这个两位数是偶数的概率为，
故选：C
5. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式结合三角函数的周期公式计算即可.
【详解】由二倍角公式和辅助角公式化简可得，其中，
由三角函数的周期公式可得.
故选：C
6. 龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高18cm，盆口直径36cm，盆底直径18cm.现往盆内注水，当水深为6cm时，则盆内水的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴截面和相似关系, 以及圆台体积即可求解.
【详解】如图所示, 画出圆台的立体图形和轴截面平面图形, 并延长 EC 与FD交于点G.
根据题意, ,
设 ,
所以 ,
解得 ,
所以 ,
故选: B.
7. 在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
分析】根据给定条件，利用空间两点间距离公式求出三角形边长作答.
【详解】点，则，
，，
而，所以一定为直角三角形.
故选：C
8. 如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二面角的大小可得长度关系，利用线线平行得异面直线所成角，根据余弦定理即可求解.
【详解】取中点为连接，由于和均为等边三角形，所以故为二面角的平面角，即，
由于为等边三角形，故，进而,
又,
由余弦定理可得,
由于,所以即直线与所成角或其补角，
所以直线与所成角的余弦值为，
故选：B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. z在复平面内对应的点在第二象限 D. 为纯虚数
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合复数的模，复数的几何意义和复数的分类，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由复数，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以C正确；
对于D中，由为纯虚数，所以D正确.
故选：BCD.
10. 在矩形中，已知分别是上的点，且满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由为中点，为三等分点，结合向量的线性运算规则进行代换，即可判定各选项．
【详解】如图，
由，可得，，
则，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
由题意有，，，
联立两式消去可得：，即，故D正确．
故选：ACD．
11. 在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，且，，则的可能取值为（ ）
A. 1 B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正余弦定理即可求出结果.
【详解】，
，
即，
当时，即，
因为，，
所以，
当时，，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得：，
解得，
所以或.
故选：AD.
12. 在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 三棱锥的体积为定值 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】令，在中，根据余弦定理求得，再在中根据余弦定理求解的表达式即可判断A；把与矩形展开在同一平面内，再分析最小值即可判断B；根据体积公式结合正方体的性质即可判断C；根据线面垂直的性质与判定，证明平面即可判断D；
【详解】对于A，在正方体中，连接，如图，
而，则，令，
在中，，由余弦定理得，
根据线面垂直的性质有，则，
在中，，，
当时，，即是钝角，故A不正确；
对于B：把与矩形展开在同一平面内，连接交于点，如图，
在中，，由余弦定理得：，
因点在线段上，，
当且仅当点与重合时取等号，所以的最小值为，故B正确；
对于C，
平面，平面，为线段上的动点
所以到平面的距离为定值，
故为定值，故C正确；
对于D：因平面，平面，则，
正方形中，，，平面，
所以平面，又平面，因此，故D正确；
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案直接填在答题卷相应的横线上.
13. 已知，，且，则___________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用向量平行的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，且，
所以，则.
故答案为：3.
14. 在一些餐饮店中经常见到用于计时的沙漏，从沙漏的下半部分可抽象出一个高为，底面圆半径为的圆锥，则该圆锥的侧面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出母线长，利用圆锥侧面积公式求解即可.
【详解】圆锥的底面半径是，高是，则圆锥母线长为，
所以它的侧面积是.
故答案为：
15. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，两人都成功破译的概率______.
【答案】
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式即可得解.
【详解】因为甲、乙两人独立破译一份密码，且能破译的概率分别为，，
所以两人都成功破译的概率为.
故答案为：.
16. 如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，将三棱锥补形成长方体，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，外接球直径为体对角线长，得解.
【详解】根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，
将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，
外接球的直径等于以,，为长、宽、高的长方体的对角线长，
，，
，
所以外接球的表面积.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，.
（1）求；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，即可解得的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角差的余弦公式求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值.
【小问1详解】
解：因为，由题意可得，解得.
【小问2详解】
解：因为，，则，
又因为，所以，，
故，
所以，
，因此，.
18. 在矩形中，点为的三等分点（靠近点），点在边上，为等边三角形，且.
（1）求；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积定义结合题干条件列式计算即可；
（2）建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，然后利用数量积夹角的坐标公式求解即可.
【小问1详解】
因为为等边三角形，，
所以.
又，所以，
解得.
【小问2详解】
建立如图所示平面直角坐标系.
则，，所以
，又，且点为的三等分点（靠近点），所以，
所以，所以，
又，所以.
19. 如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取线段的中点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论；
（2）由线面垂直性质和勾股定理可分别证得，，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论.
【小问1详解】
取线段的中点，连接，
分别为中点，，，
又，，，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
【小问2详解】
平面，平面，；
设，则，
，，，，，
，；
，平面，平面，
平面，平面平面.
20. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）从总体400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
【答案】（1）0.4 （2）20
（3）
【解析】
【分析】（1）先计算出样本中分数不小于70的频率，然后算出样本中分数小于70的频率，由频率估计概率即可；
（2）先由已知求出样本100人中分数在区间内的人数，然后估计总体中分数在区间内的人数即可；
（3）先求出样本中男生女生的人数，由分层抽样的原理可知，样本中男生和女生人数的比例就是总体中男生和女生人数的比例.
【小问1详解】
根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，
所以样本中分数小于70的频率为，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
【小问2详解】
根据题意，样本中分数不小于50的频率为，
分数在区间内的人数为，
所以总体中分数在区间内的人数估计为.
【小问3详解】
由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，
所以样本中分数不小于70的男生人数为，
所以样本中的男生人数为，女生人数为，
所以样本中男生和女生人数的比例为，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为.
21. 已知函数的最大值为.
（1）求实数的值和函数的对称中心；
（2）将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数m的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据最大值求出，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．
（2）由题意，根据函数的图象变换规律，求得的解析式，结合正弦函数的图象和性质，求得实数的取值范围．
【小问1详解】
由于函数，
函数的最大值为2，，即．
由，可得，
的对称中心为
【小问2详解】
将图象上所有点向右平移个单位得，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
可得的图像．
在上有两个不同的解转化为
与在有两个不同的交点．
如图为函数在上的图象，
，故由图可得有，即，
故的取值范围为．
22. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,
所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．
因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．
如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；2025届第三期入学考试
数学试题
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（共60分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合题目要求.
1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列说法一定正确的是（ ）
A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B. 一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D. 随机事件发生的概率与试验次数无关
3. 已知一组数据7，8，8，10，11，12，14，16，则这组数据75%分位数是（ ）
A. 13 B. 12 C. 14 D. 15
4. 集合，集合，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是偶数概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
6. 龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高18cm，盆口直径36cm，盆底直径18cm.现往盆内注水，当水深为6cm时，则盆内水的体积为（ ）
A B. C. D.
7. 在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
8. 如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. z在复平面内对应点在第二象限 D. 为纯虚数
10. 在矩形中，已知分别是上的点，且满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，且，，则的可能取值为（ ）
A. 1 B.
C. D.
12. 在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 三棱锥体积为定值 D.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案直接填在答题卷相应的横线上.
13. 已知，，且，则___________.
14. 在一些餐饮店中经常见到用于计时的沙漏，从沙漏的下半部分可抽象出一个高为，底面圆半径为的圆锥，则该圆锥的侧面积为______.
15. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，两人都成功破译的概率______.
16. 如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，.
（1）求；
（2）若，，求的值.
18. 在矩形中，点为的三等分点（靠近点），点在边上，为等边三角形，且.
（1）求；
（2）求的值.
19. 如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
20. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
21. 已知函数的最大值为.
（1）求实数的值和函数的对称中心；
（2）将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数m的取值范围.
22. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
