24.1.1圆的有关性质（4） 课件（34张PPT）

(共34张PPT)
24.1.1圆的有关性质（4）
人教版九年级上册
知识回顾
圆心角
定义
性质
应用
顶点在圆心的角
等圆或同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
互相
转化
所对弦
所对弧
教学目标
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
新知导入
如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点
∠ACB的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，A两点.
新知探究
圆周角
定义
性质
应用
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角
新知探究
判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
判断的依据:
(1)顶点在圆上，
(2)两边都和圆相交.
顶点不在圆上
两边不都与圆相交
新知探究
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角,
定义
性质
应用
发现：
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC对着同一条弧 .
如下图中：∠BAC．
新知探究
测量得：
∠ACB=55°
∠AOB=110°
图24.1-11
分别测量课本第85页图24.1-11中弧 所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB 的度数，它们之间有什么关系？
结论：
新知探究
猜想：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
请用圆规画圆，记圆心为O，在其上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？
结论：
新知探究
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
求证： .
思考：按照要求画图时，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，如果沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会出现什么情况？
已知：如图，在⊙O中，弧 所对的圆心角是∠BOC，
所对的圆周角是∠BAC.
新知探究
(1)
折痕在圆周角的一条边上
(2)
折痕在圆周角的内部
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
求证： .
已知：如图，在⊙O中，弧 所对的圆心角是∠BOC，
所对的圆周角是∠BAC.
(3)
折痕在圆周角的外部
新知探究
符号“ ”读作
“推出”，“A B”表示由条件A推出结论B
　OA=OC
证明：如图1，在⊙O中,
图1
∠BOC = ∠BAC +∠C
∠BAC=∠C
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
求证： .
已知：如图，在⊙O中，弧 所对的圆心角是∠BOC，所对的圆周角是∠BAC.
所以有
∠BOC=∠BAC+ ∠BAC
于是得
∠BOC=2∠BAC
新知探究
图2
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
求证： .
已知：如图，在⊙O中，弧 所对的圆心角是∠BOC，所对的圆周角是∠BAC.
证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于点D,
∵　OA=OC， ∴∠CAO=∠C．
同理可得：
∴
∴
又∵ ∠CAO +∠C = ∠COD，
∴
新知探究
图3
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
求证： .
已知：如图，在⊙O中，弧 所对的圆心角是∠BOC，所对的圆周角是∠BAC.
证明：如图3，连接AO并延长交⊙O于点D,
请同学们课后自己完成证明！
同理：
分析
？
∠BAC
∠BAC = ∠CAO -∠BAO.
……
新知探究
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
则有 .
已知，如图在⊙O中，弧 所对的圆心角是∠BOC，所对的圆周角是∠BAC.
圆周角定理：
新知练习
练习1. 如图所示，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC =128°，则∠BAC的度数是 ，若∠BAC=50°，则∠BOC = .
分析：在⊙O中,弧 所对的圆心角为∠BOC,
所对的圆周角为∠BAC ,
由圆周角定理得:
∴∠BOC=2∠BAC
若∠BOC＝128°,则有∠BAC=128°÷2=64°,
若∠BAC＝50°, 则有∠BOC=50°× 2=100°.
64°
100°
新知探究
分析：连接OP,OQ,
在⊙O中,
弧 所对的圆周角为∠PAQ和∠PMQ ,
由圆周角定理得:
∴ 且
41°
思考：如图所示，点A、P、Q、M在⊙O上，若∠PAQ =41° ， 则∠PMQ的度数是 .
所对的圆心角为∠POQ,
∴∠PMQ＝∠PAQ
新知探究
如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A，D 是圆上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
解：∠BAC= ∠BOC，
∠BDC = ∠BOC，
所以∠BAC=∠BDC.
新知探究
D
A
B
O
C
E
F
如图，若 CD=EF ，∠A与∠B相等吗？
(
(
解：因为CD=EF ，
所以∠COD=∠EOF，
又∠A= ∠COD， ∠B=∠EOF，
所以 ∠A ∠B.
(
(
新知探究
解：因为∠A=∠B，∠A= ∠COD， ∠B=∠EOF，
所以∠COD=∠EOF，
所以 CDEF.
反过来，若∠A=∠B，那么 CDEF成立吗？
(
(
(
(
D
A
B
O
C
E
F
圆周角定理的推论:
同弧或等弧所对的圆周角相等
新知小结
1．顶点在 ， 并且两边都与圆 的角叫做圆周角．
圆周角必须具备两个条件：
①顶点在圆上;
②两边都与圆相交.
圆上
相交
新知小结
在同圆或等圆中， 或 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 的一半．
2.圆周角定理及其推论：
同一条弧所对的圆周角有无数个.
D
3.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也________．
等弧
等弦
圆心角
相等
A1
A2
A3
新知探究
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，则∠ACB的度数是 .
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.
推论：90°的圆周角所对的弦是直径.
分析：∵　AB是直径，
∴∠AOB是平角．
又∵ 半圆所对的圆周角为∠ACB，
∴∠ACB = ∠AOB÷2=180°÷2 = 90°．
90°
若圆周角为直角，则所对弦是直径吗？
分析：∵∠ACB=90°　
∴∠AOB=2 ∠ACB=180°
∴AB是直径．
思考：反之如何
？
新知小结
半圆(或直径)所对的圆周角是______ ，90°的圆周角所对的弦是______．
4.圆周角和直径的关系
BC是圆O的直径
∠BAC=90°
直角
直径
新知典例
例1 如图(1)，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC为 6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
解：如图(2)，连接OD，
∵AB 是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB= 90°.
在 Rt△ABC中，BC=
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.
∴ ∠AOD=∠BOD，∴AD=BD.
图(1)
图(2)
新知探究
例2 如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，
AD＝ ，∠B＝∠DAC，则AC＝____．
1
连接CD
∠B＝∠DAC=∠ADC
AD是直径
△ADC是等腰直角三角形
新知探究
　 例3 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC，BC的长．
解：∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，
∴∠ADC＝ ∠ADE＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°.
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝ AB＝5 cm.
课堂总结
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
90°的圆周角所对的弦是直径.
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）.
圆周角与直
径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.
课堂练习
B
课堂练习
D
课堂练习
3．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧 上一点，则圆周角∠BAC的度数为 ．
4．如图，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.若OD＝5 cm，则BE＝ cm．
第3题图
第4题图
50°
10
课堂练习
5.（2018·毕节中考）如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E， ∠ACE的度数为 .
30°
解：如图，连接OC，∵AB是直径， ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°-60°=30°．
谢谢
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