第一章 勾股定理 测基础（含解析）——2023-2024学年北师大版数学八年级上册单元闯关双测卷

第一章 勾股定理（测基础）——2023-2024学年北师大版数学八年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是( )
A.3，4，5 B.5，6，7 C.5，12，13 D.7，24，25
2.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为( )
A.10 B.13 C.15 D.17
3.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为6,10,4,6,则最大正方形的面积是( )
A.94 B.26 C.22 D.16
4.若中，，，的对边分别记为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是( )
A.是直角三角形，且为直角
B.是直角三角形，且为直角
C.是直角三角形，且为直角
D.不是直角三角形
5.已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边长的平方为( )
A.16 B.4或34 C.16或34 D.4或24
6.国庆假期，小众与同学去玩探宝游戏，按照探宝图(如图)，他们从门口A处出发先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再向北走后往东拐，仅走了，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )
A. B. C. D.
7.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上.间木杆长是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）( )
A.5尺5寸 B.1丈1尺 C.5丈5寸 D.5丈5尺
8.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘.小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为(取3)( )
A. B. C. D.
9.阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：
①7不是广义勾股数；
②13是广义勾股数；
③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数.
依次正确的是( )
A.②④ B.①②④ C.①② D.①④
10.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是( )
图1 图2
A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.在中，，，则_________.
12.已知的三边a，b，c满足，则是__________三角形.
13.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则最大正方形E的面积是__________.
14.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m(，m为正整数)，则其弦是_________(结果用含m的式子表示).
15.在中，，平分，，，_________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）如图，网格中每个小正方形的边长都为1.
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）求的度数.
17.（8分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？
18.（10分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少
19.（10分）为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭.已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离.气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？
(1)请你设计出气站E的位置(在图中用尺规作图作出符合条件的点E，不写作法，保留作图痕迹).
(2)计算出气站E到A处的距离.
20.（12分）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得，，.求原来的路线AC的长.
21.（12分）如图，已知锐角中，，于点D，于点F，交AD于点E.
(1)求证:；
(2)若，，求线段EF的长度.
答案以及解析
1.答案：B
解析：A、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；.
故选：B.
2.答案：D
解析：设旗杆高度为x米，则，，
在中，
即
解得：
即旗杆的高度为17米.
故选：D.
3.答案：B
解析:根据勾股定理的几何意义,可得A,B的面积和为,C,D的面积和为,,
即.
故选:B.
4.答案：A
解析：因为，所以，所以，所以是直角三角形，为直角.
5.答案：C
解析：因为一个直角三角形的两条边长分别为3和5，所以①当5是此直角三角形的斜边长时，设另一条直角边长为x，则由勾股定理，得；②当5是此直角三角形的直角边长时，设斜边长为y，则由勾股定理，得.故选C.
6.答案：D
解析：如图，过点B作，垂足为C，延长ND交AC于M.观察图形可知，.在中，，所以，即门口A到藏宝点B的直线距离是.
7.答案：C
解析：根据题意作出如下示意图：
设木杆下滑前底端距离墙角x尺，则木杆长为尺.
1丈尺，则墙高为10尺，
由勾股定理可知：，
解析得：，
木杆的长为（尺），
尺尺尺，
1丈尺，1尺寸，
尺丈5寸，
故选：C.
8.答案：C
解析：U型池可供滑行的部分的面的展开图如图，作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点E，连接CE，则，，所以此时小明从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，最短距离为DF的长.因为中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，所以，所以.又因为，所以在中，，所以，故他滑行的最短距离约为.
9.答案：C
解析：①因为7不能表示为两个正整数的平方和，所以7不是广义勾股数，故①结论正确；②因为，所以13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但，4不是广义勾股数，故④结论错误，所以依次正确的是①②.
10.答案：C
解析：设，过D作于E，
则，，.
在中，
，即，
解得.
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸.
故选：C.
11.答案：300
解析：在中，，，
，
，
故答案为：300.
12.答案：直角
解析：因为，所以，，，所以，，.因为，即，所以是直角三角形.故答案为直角.
13.答案：18
解析：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得，，，故最大正方形E的面积为18.
14.答案：
解析：因为m为正整数，所以2m为偶数，设其股是a，则弦为，根据勾股定理得，解得，所以弦是，故答案为.
15.答案：3
解析：如图，过点D作于E.因为，，，所以，所以.因为AD平分，所以，所以，即，解得.故答案为3.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）连接BD，
，，，
，
是直角三角形，.
17.答案：尺
解析：设折断处离地的高度为x尺，
由勾股定理得：，
即，
解得，
答：折断处离地的高度为尺.
18.答案：最短路程是
解析：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长.
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为.
由勾股定理得，所以(负值已舍去).
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是.
19.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)解：如图，连接，作线段的垂直平分线交于点E，则点E即为所求；
(2)解：设，，
，，
又，
，
解得：，
气站E到A处的距离.
20.答案：原来的路线AC的长为.
解析：，，
，
是直角三角形，且，
，
，
，
，
，
解得：，
答：原来的路线AC的长为.
21.解析：(1)证明:如图，，
.
，
，
.
，，
，，
.
在和中，
，
.
(2)，，，
，，，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
.
2