第一章 勾股定理 测能力（含解析）——2023-2024学年北师大版数学八年级上册单元闯关双测卷

第一章 勾股定理（测能力）——2023-2024学年北师大版数学八年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在中，，，的对边分别是a，b，c，若，则下列等式中成立的是( )
A. B. C. D.
2.在中，已知，，，则的面积为( )
A.136 B.68 C.120 D.60
3.如图，长为的橡皮筋AB如图放置，固定两端A和B后把中点C向上竖直拉升至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
4.在中，若，，，则点C到直线AB的距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.2.4
5.在《九章算术》中有一个问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是有一根竹子原高1丈(1丈尺)，中间有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺(1尺米)，试问折断处离地面( )
A.4尺 B.3.6尺 C.4.5尺 D.4.55尺
6.如图，在正方形网格内，A，B，C，D四点都在小方格的格点上，则( )
A. B. C. D.
7.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B之间的距离为( )
A. B. C. D.
8.下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在长方形ABCD中，，，与关于直线BD对称，，，点C与点对应，交AD于点E，则线段DE的长为( )
A.3 B. C.5 D.
10.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.如图所示，的顶点A，B，C在边长为1的正方形组成的网格的格点上，于点D，则BD的长为__________.
12.如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分,,,.若点E是AB边上一动点,则CE的最小值为______.
13.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则_________°.
14.乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，，，，将沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个顶点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是___________.
15.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，b均小于c，，，m是大于1的奇数，则___________（用含m的式子表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）如图，四边形ABCD中，，，，，，求证：.
17.（8分）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉.经测量，，m，m，m，m，m.
(1)求DE的长；
(2)求四边形ABDE的面积.
18.（10分）如图，有一台风中心沿东西方向由A移动到B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为，.若，台风中心周围以内(包含)为受影响区域，海港C会受台风影响吗 如果会，若台风中心的移动速度为，台风影响该海港持续的时间是多长 如果不会，请说明理由.
19.（10分）如图,已知,,,,,求图中阴影部分的面积.
20.（12分）如图，在中，，垂足为D，，延长BC至E，使得，连接AE.
(1)试说明：；
(2)若，，求的面积.
21.（12分）【探索新知】小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图(1)，从面积的角度思考：大正方形的面积=小正方形的面积个直角三角形的面积，从而得数学等式：，化简证得勾股定理：.
【初步运用】(1)现将图(1)中上方的两直角三角形向内折叠，如图(2)，若，，此时空白部分的面积为_________.
(2)如图(3)，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廊(实线)的周长为24，，求该风车状图案的面积.
(3)如图(4)，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，，若，则___________.
【迁移运用】如果用三张含角的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢 带着这个疑问，小丽拼出图(5)的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含角的三角形三边a，b，c之间的关系？写出此等量关系式及其推导过程.(提示：如图(6)，含角的直角三角形中，对边y：斜边定值k)
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为在中，，所以，所以是直角三角形，a为斜边，则，故选B.
2.答案：D
解析：因为，，，所以，，所以，所以，所以的面积为.故选D.
3.答案：C
解析：由题意可知：，DC垂直平分AB，，
，，
根据勾股定理可得：，
橡皮筋被拉长了：，
故选：C.
4.答案：D
解析：作于点D，如图.因为，，，所以，则.因为，所以，解得.
5.答案：D
解析：如图，由题意得，尺，尺.设折断处离地面x尺，则尺.在中，由勾股定理得，解得，即折断处离地面4.55尺.故选D.
6.答案：B
解析：如图，作点B关于AC的对称点，连接，，则.设每个小方格的边长为1，则，，，所以，，所以是等腰直角三角形，所以，所以.故选B.
7.答案：D
解析：如图，过点A作DE的平行线，过点B作该平行线的垂线，垂足为C，则.在中，因为，，所以，所以，所以两圆孔中心A和B之间的距离为.故选D.
8.答案：C
解析：A选项，因为，所以整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B选项，因为，所以整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C选项，根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D选项，因为，所以整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意.故选C.
9.答案：B
解析：由题意可知，，.又因为，所以，所以.设DE长为x，因为，所以.在中，由勾股定理得，即，解得，即.故选B.
10.答案：C
解析：由题意得.在中，，米，米，.在中，，米，，..，米，（米）.故选C.
11.答案：3
解析：由题图可知，，边上的高为3，所以的面积为.由勾股定理，得，所以，则，解得，故答案为3.
12.答案：7
解析:过点作于,如图,
,,,
ü,
平分,,,
,
点E是AB边上一动点,
,
的最小值为7.
故答案为:7.
13.答案：45
解析：如图，标出点F，G，连接CG，AG.
由勾股定理得，，
则，
所以，
即是等腰直角三角形，
所以.
因为，所以.
在和中，
所以，
所以，所以.故答案为45.
14.答案：4.5或
解析：当这条直线经过点A时，有以下两种情况：
(1)如图(1)，当时，是等腰直角三角形，则.
(2)如图(2)，当时，是等腰三角形.
在中，，
即，解得，
则.
综上所述，剪出的等腰三角形的面积是4.5或.故答案为4.5或.
15.答案：m
解析：a,b,c是勾股数, 其中a,b均小于c,,
m是大于1的奇数
故答案为: m.
16.答案：证明见解析
解析：证明：连接AC.
，，，
由勾股定理，得，
又，，
，
，
，
.
17.答案：(1)8米
(2)72
解析：(1)，
在中，m，m，
m；
(2)如图，连接BE，
在中，m，m，
，
m，m，
，
，
是直角三角形，，
，
又，
四边形ABDE的面积().
18.答案：台风影响该海港持续的时间为7 h
解析：海港C会受台风影响.
如图，过点C作.
因为，，，
，
所以是直角三角形，
所以，即，
所以.
因为台风中心周围以内(含)为受影响区域，，
所以海港C会受台风影响.
在AB上取两点E，F，使.
在中，，所以.
因为，且台风中心的移动速度为，，
所以台风影响该海港持续的时间为7 h.
19.答案：见解析
解析:证明:在中,,,,
,
(取正值).
在中,,,
,
为直角三角形;
.
20.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为，，
所以AD是BC的中垂线，
所以，所以.
(2)因为，所以.
在中，，所以，
所以，，
所以.
21.答案：【初步运用】(1)28
(2)该风车状图案的面积为24
(3)
【迁移运用】
解析：【初步运用】(1)空白部分的面积为.
故答案为28.
(2)，设，依题意有，解得.
故该风车状图案的面积为.
(3)设正方形MNKT的面积为x，直角三角形BEF的面积为y.
因为正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，，，
所以，，，所以，
所以，所以.故答案为.
【迁移运用】.
由题意得大等边三角形的面积=三个全等三角形的面积+小等边三角形的面积，
即，
所以，所以.
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