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长兴泗安中学 陈积传 正视错误
解决错误
减少错误湖州市初三数学复习研讨交流材料 经常听见有学生将解题中的种种错误、失误解释为“粗心”，细究之下其实并非如此，故借这次机会将复习考试中《数与代数》、《统计与概率》学生常错、易错知识点进行总结、梳理，以供大家参考，力求今后在解题中尽量减少或避免不应有的错误。板块一《数与代数》一、数学概念本质模糊
二、数学符号、法则运用模糊
三、函数中数形结合模糊
四、与“0”有关的认知模糊
五、其它的认知模糊
1、在实数中∏、－3．14、 、
1.2121121112…（每两个2之间增加一个1）、
1.2121121112、 、 中
有理数有
无理数有 《数与代数》一、数学概念本质模糊 2、已知关于X的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知关于X的方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知二次函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
已知函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，
则a＝ 《数与代数》一、数学概念本质模糊 3、下列各式从左到右变形，是因式分解的是（ ）
A.a(a-b+1)=a2-ab+b;
B.a2-a-2=a(a-1)-2
C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b); D.x2-4x-5=(x-2)2-9 《数与代数》一、数学概念本质模糊 4、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长率为X，则列出方程（ ）
A、2500X2=3600
B、2500×2X=3600
C、2500(1+X)2=3600
D、2500（1+X）+2500(1+X)2=3600 《数与代数》一、数学概念本质模糊 5、关于X的分式方程 只有
增根而无解，则m值是 《数与代数》一、数学概念本质模糊 1、计算：
①-32-(-3)2+23+(-2)-3
②(-a)2(-a)3(-a2)3 《数与代数》二、数学符号法则运用模糊 2、 的算术平方根是
3、关于X的不等式(a+1)x> a+1的解集是X＜1,则X的取值范围是
4、（1）化简
（2）解方程 ＝1
5、 （ ）
A、 B、21 C、20 D、6 《数与代数》二、数学符号法则运用模糊 1、已知数轴上点A表示的数为1，则表示到点A的距离等于1的数是
2、已知点P到X轴、Y轴的距离分别为2和3，则点P的坐标
3、已知函数y=kx+b图象经过
点（0，-4），且与两坐标轴所围成的三角形面积等于8，则它的解析式是 《数与代数》三、函数中数形结合模糊 4、已知二次函数y=ax2+bx+a2-1图象如图，则a= 《数与代数》三、函数中数形结合模糊 5、下列函数中，y随x的增大而增大有
①y=x2+2x-1 ②y=
③y= (x>0) ④y=-2x 6、已知一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0），y与x的部分对应值如下表所示，
那么不等式kx+b<0的解集是
A、x<0 B、x>0
C、x<1 D、x>1 《数与代数》三、函数中数形结合模糊 《数与代数》三、函数中数形结合模糊 7、已知二次函数 中x与y的
对应关系如下表所示：
则该函数的对称轴是_________，
当x=_______时，它有最_______值______。8、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ） 《数与代数》三、函数中数形结合模糊 《数与代数》四、与“0”有关的认知模糊 1、已知关于X的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知关于X的方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知二次函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
已知函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，
则a＝ 《数与代数》四、与“0”有关的认知模糊 2、若函数y= ,则自变量x的取值范围是
3、若 =2-x,则x的取值
范围是 《数与代数》四、与“0”有关的认知模糊 4、若分式 ＝0，则x的取值范围是
若分式 有意义，则x的取值范围是
若分式 无意义，则x的取值范围是 《数与代数》四、与“0”有关的认知模糊 5、先化简，然后选择一个你喜欢的X代入求 值6、① 方程x(x-1)(x-2)=x的根是
②解方程：2（x-1）2 = (x-1) 《数与代数》四、与“0”有关的认知模糊 7、若a+|a|=0，则 等于（ ）
A、2-2a B、2a-2 C、-2 D、2
8、已知 ，则 的值（ ）
A、1 B、± C、 D、-1、把 化简，结果为（ ）
A、 B、 C、- D、- 《数与代数》五、其它的认知模糊
2、已知y=y1+y2,y1与x2成正比例，y2与x成反比例，并且当x=1时,y=1,当x=3时,y=-17,求x=-1时,y的值
3、小明在一次爬山过程中，上山时的速度为4km/s,下山时的速度为6km/s,则这次他上下山的平均速度是 km/s。
《数与代数》五、其它的认知模糊
4、A、B两地相距450千米，甲乙两车分别从同时出发，相向而行。已知甲车速度为120km/s,乙车速度为80 km/s,若t小时后两车相距50千米，则t的值是 。
5、若二次函数 的最小值为______，最大值为______。 《数与代数》五、其它的认知模糊
6、如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ 《数与代数》五、其它的认知模糊 板块二《统计与概率 》
一、形似质异的统计概念区别
二、部分常见错误 《统计与概率 》一、形似质异的统计概念区别 收集数据引 用广泛性抽 样 调 查普查总体、个体代表性真实性数据处理中心调 查 《统计与概率 》一、形似质异的统计概念区别 平均水平决策中心处理数据平均数中位数众 数分布情况离散程度极 差标准差方 差频数频率频数分布图频数分布直方图频数分布折线图 《统计与概率 》一、形似质异的统计概念区别 随机事件概率计算简单随机事件概率算法具有等可能性有放回摸球不放回摸球发生随机事件不具有等可能性树状图列表法理
论
计
算模型实验试验估算1、数据90，91，92，93的标准差是（ ）
（A） （B） （C） （D） 《统计与概率 》二、部分常见错误 2、第十中学教研组有25名教师，将他的年龄分成3组，在38～45岁组内有8名教师，那么这个小组的频数是 ，频率是 3、某班45名同学在一次数学测试中成绩如下（单位：分）
83，70，82，95，91，100，98，89，91，94，68，75，85，90，97，83，
92，56，70，89，100，90，72，63，60，79，85，86，78，65，92，80，
75，74，81，80，97，90，74，85，96，87，82，75，70，
选择恰当的组距，画出频率分布直方图。
解：（1）计算最大值与最小值的差_________.
（2）决定组距与组数：取组距10，组数____，分为______组。
（3）决定分点50.5～60.5,______________________________,
90.5～100.5
（4）列频率分布表： 《统计与概率 》二、部分常见错误 （5）绘制频率分布直方图
（6）在频率分布直方图上画出频数分布折线图 《统计与概率 》二、部分常见错误 4、已知数据x1,x2,x3的平均数是m，方差是n，则数据3x1＋7，3x2＋7，3x3＋7的平均数等于_________.方差等于
5．某篮球运动员投3分球的命中率为0.3,投2分球的命中率为0.5,则投不中的概率是0.1
这种说法 （填“正确”或“不正确”） 《统计与概率 》二、部分常见错误 6．①布袋里有2个白球和2个红球，从布袋里取两次球，每次取一个，取出后放回， 则两次取出都是红球的概率是 。
②布袋里有2个白球和2个红球，从布袋里取两次球，第一次取出后不放回， 则两次取出都是红球的概率是 。 《统计与概率 》二、部分常见错误 7、老张要对甲乙两个小区所聘用的物业管理公司的“服务质量”进行调查，并将得到的数据制成扇形统计图（如图所示）。则下列说法正确的有
⑴在这个调查中，对“服务质量”表现“满意”的人数甲比乙多；
⑵甲乙两个小区对“服务质量”表现“不满意”的人数一样多；
（3）甲乙两个小区对“服务质量”表现“不满意”所占的比例一样多； 《统计与概率 》二、部分常见错误 甲乙 《统计与概率 》二、部分常见错误 《统计与概率 》二、部分常见错误 8．据报道，某市在全面建设小康社会的25项指标中，有16项完成了序时进度，其中10项已达到小康指标值．根据所给的数据和图表，完成下列各题：
（1）完成序时进度的指标占全部指标的 %；已达小康指标值的指标占全部指标的 %．
（2）该市居民家庭年收入以及人均住房建筑面积的一项调查情况如下的图1和图2所示，从图1中可以得出：家庭收入的众数为 美元；家庭收入的平均数为 美元． 《统计与概率 》二、部分常见错误 (3)小康指标规定：城镇、农村居民人均住房建筑面积分别在35m2和40m2以上．观察图2，从2002年到2004年城镇、农村人均住房建筑面积的年平均增长率分别为（ ）．
A．0.1和0.2 B．0.2和0.3 C．0.2和0.4 D．0.3和0.4
(4)若人均住房建筑面积的年平均增长率不变，那么到2007年城镇居民人均住房建筑面积能否达到小康指标值？请通过计算加以说明．板块3：
关于《数与代数》《统计与概率》中易错题型的纠错策略
板块3：纠错策略
（一）课前准备要有预见性 ??? 预防错误的发生，是减少初中学生解题错误的主要方法。讲课之前，教师应预测到学生学习本课内容时可能产生的错误，就能够在课内讲解时有意识地指出并加以强调，从而有效地控制错误的发生。例如：在讲解分式方程之前，要预见到去分母与通分，两者有可能混淆，因而要在引入新课前须准备一些分式化简的预备练习，帮助学生弄清两者的不同，避免产生混乱与错误。
（1）化简
（2）解方程 ＝1
板块3：纠错策略 最好在课堂小结时加以着重提醒，同时还要揣摸学生学习本课内容的心理过程，授业解惑，预先明了学生容易出错之处，防患于未然。如果学生出现问题而未查觉，错误没有得到及时的纠正，则遗患无穷，不仅影响当时的学习，还会影响以后的学习。因此，预见错误并有效防范能为揭示错误、降低错误打下基础。 板块3：纠错策略
(二)复习梳理知识要善于类比
初中数学中，不少数之间、形之间都存在着内在的规律，这些规律需要按照一定的思想方法加以探求，归纳与类比就是其中重要的方法。归纳的方法是人们认识事物的一种重要方法，它是从特殊到一般的推理方法，当找到一般规律后，用它作指导，再去研究类似的问题。如：学习函数，我们往往是从四个方面来学习———学习函数的定义，函数的图像，函数的性质，函数的应用。正如数学家波里亚说的那样：“人们总认为数学只是一门系统的演绎科学，但往往忽略了它形成过程中的特点———又是一门实验性很强的归纳科学。”类比也是人们认识事物的一种重要方法。它是把某些相同的量或相似的量进行比较，从而找出它们之间的某种联系。在初中数学中，应用类比的地方很多。 板块3：纠错策略例如：
1、已知关于X的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
2、已知关于X的方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
3、已知二次函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
4、已知函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝ 板块3：纠错策略
（三）复习知识要具有针对性
在课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。对于容易混淆的概念， 要帮助学生识别错误、改正错误，展示揭示错误、排除错误的手段，要通过课堂提问 及时了解学生情况，对学生的错误回答，要分析其原因，进行针对性讲解，利用反面知识巩固正面知识。课堂练习是发现学生错误的另一条途径，出现问题，及时解决。总之要通过课堂教学，不仅教会学生知识，而且要使学生学会识别对错，知错能改。 板块3：纠错策略例如：
1、已知数轴上点A表示的数为1，则表示到点A的距离等于1的数是
2、已知点P到X轴、Y轴的距离分别为2和3，则点P的坐标
3、已知函数y=kx+b图象经过点（0，-4），且与两坐标轴所围成的三角形面积等于8，则它的解析式是 板块3：纠错策略
（四）课后讲评要有总结性??? ??? 要认认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误，加以评述。通过讲评，进行适当的复习与总结，也使学生再经历一次尝试与修正的过程，增强识别、改正错误的能力。 例如：归纳与“0”有关的认知模糊 1已知关于X的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知关于X的方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知二次函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
已知函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
2、…
3、…
…
板块3：纠错策略
（五）复习中要注重基本方法、基本思想的渗透 中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，如配方法、换元法、特值法等操作性较强的数学方法。复习中，不仅要善于作解题方法指导，还要不断渗透数学思想，要抓住教材中的重点内容，掌握分析方法，从不同角度出发思索问题，由此探索一题多解、一题多变和一题多用之法。另外还应重视对数学思想的理解及运用，常见的数学思想有：数形结合的思想，化归与转化的思想，分类讨论的思想，方程与函数的思想。众所周知，掌握数学中的思想方法是学好数学的核心，是数学解题的钥匙。板块3：纠错策略 初中代数中的一元一次不等式与一次函数图像的关系问题，一元二次方程的根与二次函数图形与x轴交点之间的关系，是学业考常考内容之一，在复习时，应从整体上理解这部分内容，从结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。板块3：纠错策略（六）、教师要正视学生解题的错误
在初中数学教学中，教师害怕学生出现解题错误，对错误采取严厉禁止的态度是司空见惯的。在这种惧怕心理支配下，学生虽片面接受了正确的知识，但对错误的出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误但改不对，甚而弄不清错误的缘由。持这种态度的教师只关心学生用对知识而忽视学生会用知识。板块3：纠错策略（六）、教师要正视学生解题的错误
例如，在讲有理数运算时，由于只注重得出正确的结果，强调运算法则、运算顺序，而对运用运算律简化运算注意不够，但后者对发展学生运算能力却更为重要。总之，这种对待错误的态度会对教学带来一些消极的影响。 事实上，错误是正确的先导，成功的开始。有道是失败是成功之母。学生所犯错误及其对错误的认识，是学生获得和巩固知识的重要途径。因为数学学习实际上是不断地提出假设，修正假设，使学生对数学的认知水平不断复杂化，甚而趋于成熟。 板块3：纠错策略（六）、教师要正视学生解题的错误
从这个意义上说，错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习的某个阶段的水平，而不能代表其最终的实际水平。此外，正是由于这些假设的不断提出与修正，才使学生的能力不断提高。因此，揭示错误是为了尽量减少错误，我们所说的承受与宽容也是相对于这一过程而言的。在教学中给学生展示的这一尝试、修正的过程，是与学生独立解题的过程相吻合的。
综上所述，学生的认知过程经历了从无到有，从不会到会，由表及里，由量变到质变的过程。其间正确与错误交织，对错误正确对待、认真分析、有效控制，能够使学生的学习顺利进行，并能逐渐提高学生的观察问题、分析问题和解决问题的能力。谢谢长兴县泗安中学 陈积传《数与代数》、《统计与概率》易错知识点分析
长兴县泗安中学 陈积传 沈卫华
经常听见有学生将解题中的种种错误、失误解释为“粗心”，细究之下其实并非如此，故借这次机会，将复习考试中学生常错、易错知识点进行总结、梳理，以供大家参考，力求今后在解题中尽量减少或避免不应有的错误。
板块一《数与代数》
一、数学概念本质模糊
在实数中∏、－3．14、－、、、1.2121121112…（每两个2之间增加一个1）、、1.2121121112中
有理数有
无理数有
2、已知关于X的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知关于X的方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知二次函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
已知函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
3、下列各式从左到右变形，是因式分解的是（ ）
A.a(a-b+1)=a2-ab+b; B.a2-a-2=a(a-1)-2
C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b); D.x2-4x-5=(x-2)2-9
4、为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长率为X，则列出方程（ ）
A、2500X2=3600 B、2500×2X=3600
C、2500(1+X)2=3600 D、2500（1+X）+2500(1+X)2=3600
5、关于X的分式方程只有增根而无解，则m值是
二、数学符号、法则运用模糊
1、计算：①-32-(-3)2+23+(-2)-3 ②(-a)2(-a)3(-a2)3
2、的算术平方根是
3、关于X的不等式(a+1)x> a+1的解集是X＜1,则X的取值范围是
4、（1）化简 （2）解方程＝1
5、（ ）
A、 B、21 C、20 D、6
三、函数中数形结合模糊
1、已知数轴上点A表示的数为1，则表示到点A的距离等于1的数是
2、已知点P到X轴、Y轴的距离分别为2和3，则点P的坐标
3、已知函数y=kx+b图象经过点（0，-4），且与两坐标轴所围成的三角形面积等于8，
则它的解析式是
4、已知二次函数y=ax2+bx+a2-1图象如图，则a=
5、下列函数中，y随x的增大而增大有
①y=x2+2x-1 ②y=
③y= (x>0) ④y=-2x 6、已知一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0），y与x的部分对应值如下表所示，那么
不等式kx+b<0的解集是（ ）
x
-2
-1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
-1
-2
A、x<0 B、x>0
C、x<1 D、x>1
7、已知二次函数中x与y的对应关系如下表所示：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
…
则该函数的对称轴是_________，当x=_______时，它有最_______值______。
8、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如上图所示，那么水瓶的形状是（ ）
四、与“0”有关的认知模糊
1、已知关于X的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知二次函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
2、若函数y=,则自变量x的取值范围是
3、若=2-x,则x的取值范围是
4、若分式＝0，则x的取值范围是
若分式有意义，则x的取值范围是
若分式无意义，则x的取值范围是
5、先化简，然后选择一个你喜欢的X代入求值
① 方程x(x-1)(x-2)=x的根是 ②解方程：2（x-1）2 = (x-1)
7、把 化简，结果为（ ）
A、 B、 C、- D、-
8、若a+|a|=0，则等于（ ）
A、2-2a B、2a-2 C、-2 D、2
9、已知，则的值（ ）
A、1 B、± C、 D、-
五、其它的认知模糊
1、已知y=y1+y2,y1与x2成正比例，y2与x成反比例，并且当x=1时,y=1,当x=3时,y=-17,求x=-1时,y的值
2、小明在一次爬山过程中，上山时的速度为4km/s,下山时的速度为6km/s,则这次他上下山的平均速度是 km/s。
3、A、B两地相距450千米，甲乙两车分别从同时出发，相向而行。已知甲车速度为120 km/s,乙车速度为80 km/s,若t小时后两车相距50千米，则t的值是 。
4、若二次函数的最小值为______，最大值为______。
5、如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
板块二《统计与概率》：
一、形似质异的统计概念区别
二、部分常见错误
1、数据90，91，92，93的标准差是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、第十中学教研组有25名教师，将他的年龄分成3组，在38～45岁组内有8名教师，那么这个小组的频数是 ，频率是
3、某班45名同学在一次数学测试中成绩如下（单位：分）
83，70，82，95，91，100，98，89，91，94，68，75，85，90，97，83，
92，56，70，89，100，90，72，63，60，79，85，86，78，65，92，80，
75，74，81，80，97，90，74，85，96，87，82，75，70，
选择恰当的组距，画出频率分布直方图。
解：（1）计算最大值与最小值的差_________.
（2）决定组距与组数：取组距10，组数____，分为______组。
（3）决定分点50.5～60.5,______________________________,90.5～100.5
（4）列频率分布表：
分 组
频 数 累 计
频 数
频 率
～
～
～
～
～
（5）绘制频率分布直方图
1
0.5
分数
（6）在频率分布直方图上画出频数分布折线图
4、已知数据x1,x2,x3的平均数是m，方差是n，则数据3x1＋7，3x2＋7，3x3＋7的平均数等于_________.方差等于
5．某篮球运动员投3分球的命中率为0.3,投2分球的命中率为0.5,则投不中的概率是0.1
这种说法 （填“正确”或“不正确”）
6．①布袋里有2个白球和2个红球，从布袋里取两次球，每次取一个，取出后放回， 则两次取出都是红球的概率是 。
②布袋里有2个白球和2个红球，从布袋里取两次球，第一次取出后不放回， 则两次取出都是红球的概率是 。
7、老张要对甲乙两个小区所聘用的物业管理公司的“服务质量”进行调查，并将得到的数据制成扇形统计图（如图所示）。则下列说法正确的有
⑴在这个调查中，对“服务质量”表现“满意”的人数甲比乙多；
⑵甲乙两个小区对“服务质量”表现“不满意”的人数一样多；
（3）甲乙两个小区对“服务质量”表现“不满意”所占的比例一样多；
8．据报道，某市在全面建设小康社会的25项指标中，有16项完成了序时进度，其中10项已达到小康指标值．根据所给的数据和图表，完成下列各题：
（1）完成序时进度的指标占全部指标的 %；已达小康指标值的指标占全部指标的 %．
（2）该市居民家庭年收入以及人均住房建筑面积的一项调查情况如下的图1和图2所示，从图1中可以得出：家庭收入的众数为 美元；家庭收入的平均数为 美元．
(3)小康指标规定：城镇、农村居民人均住房建筑面积分别在35m2和40m2以上．观察
图2，从2002年到2004年城镇、农村人均住房建筑面积的年平均增长率分别为（ ）．
A．0.1和0.2 B．0.2和0.3 C．0.2和0.4 D．0.3和0.4
(4)若人均住房建筑面积的年平均增长率不变，那么到2007年城镇居民人均住房建筑面积
能否达到小康指标值？请通过计算加以说明．
正视错误 解决错误 减少错误
------《数与代数》、《统计与概率》纠错策略
长兴县泗安中学 陈积传 沈卫华
学生不能顺利正确地完成解题，产生解题错误，表明学生在解题过程中 受到干扰。因此，减少初中解题错误的方法是预防和排除干扰。为此，要抓好复习课的一些重要环节。
??? （一）课前准备要有预见性 ??? 预防错误的发生，是减少初中学生解题错误的主要方法。讲课之前，教师应预测到学生学习本课内容时可能产生的错误，就能够在课内讲解时有意识地指出并加以强调，从而有效地控制错误的发生。例如：在讲解分式方程之前，要预见到去分母与通分，两者有可能混淆，因而要在引入新课前须准备一些分式化简的预备练习，帮助学生弄清两者的不同，避免产生混乱与错误。
（1）化简 （2）解方程＝1
最好在课堂小结时加以着重提醒，同时还要揣摸学生学习本课内容的心理过程，授业解惑，预先明了学生容易出错之处，防患于未然。如果学生出现问题而未查觉，错误没有得到及时的纠正，则遗患无穷，不仅影响当时的学习，还会影响以后的学习。因此，预见错误并有效防范能为揭示错误、降低错误打下基础。
(二)复习梳理知识要善于类比
初中数学中，不少数之间、形之间都存在着内在的规律，这些规律需要按照一定的思想方法加以探求，归纳与类比就是其中重要的方法。归纳的方法是人们认识事物的一种重要方法，它是从特殊到一般的推理方法，当找到一般规律后，用它作指导，再去研究类似的问题。如：学习函数，我们往往是从四个方面来学习———学习函数的定义，函数的图像，函数的性质，函数的应用。正如数学家波里亚说的那样：“人们总认为数学只是一门系统的演绎科学，但往往忽略了它形成过程中的特点———又是一门实验性很强的归纳科学。”类比也是人们认识事物的一种重要方法。它是把某些相同的量或相似的量进行比较，从而找出它们之间的某种联系。在初中数学中，应用类比的地方很多。例如，
已知关于X的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知关于X的方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知二次函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
已知函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
（三）复习知识要具有针对性
在课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。对于容易混淆的概念， 要帮助学生识别错误、改正错误，展示揭示错误、排除错误的手段，要通过课堂提问 及时了解学生情况，对学生的错误回答，要分析其原因，进行针对性讲解，利用反面知识巩固正面知识。课堂练习是发现学生错误的另一条途径，出现问题，及时解决。总之要通过课堂教学，不仅教会学生知识，而且要使学生学会识别对错，知错能改。 如
1、已知数轴上点A表示的数为1，则表示到点A的距离等于1的数是
2、已知点P到X轴、Y轴的距离分别为2和3，则点P的坐标
3、已知函数y=kx+b图象经过点（0，-4），且与两坐标轴所围成的三角形面积等于8，
则它的解析式是
（四）课后讲评要有总结性??? ??? 要认认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误，加以评述。通过讲评，进行适当的复习与总结，也使学生再经历一次尝试与修正的过程，增强识别、改正错误的能力。 如：
与“0”有关的认知模糊
1、已知关于X的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根为0，则a＝
已知二次函数y=ax2+x+a2-2a经过原点，则a＝
2、若函数y=,则自变量x的取值范围是
3、若=2-x,则x的取值范围是
4、若分式＝0，则x的取值范围是
若分式有意义，则x的取值范围是
若分式无意义，则x的取值范围是
5、先化简，然后选择一个你喜欢的X代入求值
6、① 方程x(x-1)(x-2)=x的根是
②解方程：2（x-1）2 = (x-1)
（五）复习中要注重基本方法、基本思想的渗透
中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，如配方法、换元法、特值法等操作性较强的数学方法。复习中，要突出教材中的重点知识，突出不易理解或尚未理解深透的知识，突出数学思想与解题方法。要抓住教材中的重点内容，掌握分析方法，从不同角度出发思索问题，由此探索一题多解、一题多变和一题多用之法。同学们在复习时应对每一种方法的实质，它所适应的题型，包括解题步骤熟练掌握。其次应重视对数学思想的理解及运用，常见的数学思想有：数形结合的思想，化归与转化的思想，分类讨论的思想，方程与函数的思想。众所周知，掌握数学中的思想方法是学好数学的核心，是数学解题的钥匙。如：
函数中数形结合模糊
1、已知二次函数y=ax2+bx+a2-1图象如图，则a=
2、已知一次函数y=kx+b（k、b是常数，且k≠0），y与x的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是（ ）
x
-2
-1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
-1
-2
A、x<0 B、x>0
C、x<1 D、x>1
3、已知二次函数中x与y的对应关系如下表所示：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
…
则该函数的对称轴是_________，当x=_______时，它有最_______值______。
初中代数中的一元一次不等式与一次函数图像的关系问题，一元二次方程的根与二次函数图形与x轴交点之间的关系，是学业考常考内容之一，在复习时，应从整体上理解这部分内容，从结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。
（六）、教师要正视学生解题的错误
在初中数学教学中，教师害怕学生出现解题错误，对错误采取严厉禁止的态度是司空见惯的。在这种惧怕心理支配下，学生虽片面接受了正确的知识，但对错误的出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误但改不对，甚而弄不清错误的缘由。持这种态度的教师只关心学生用对知识而忽视学生会用知识。例如，在讲有理数运算时，由于只注重得出正确的结果，强调运算法则、运算顺序，而对运用运算律简化运算注意不够，但后者对发展学生运算能力却更为重要。总之，这种对待错误的态度会对教学带来一些消极的影响。 事实上，错误是正确的先导，成功的开始。有道是失败是成功之母。学生所犯错误及其对错误的认识，是学生获得和巩固知识的重要途径。因为数学学习实际上是不断地提出假设，修正假设，使学生对数学的认知水平不断复杂化，甚而趋于成熟。从这个意义上说，错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习的某个阶段的水平，而不能代表其最终的实际水平。此外，正是由于这些假设的不断提出与修正，才使学生的能力不断提高。因此，揭示错误是为了尽量减少错误，我们所说的承受与宽容也是相对于这一过程而言的。在教学中给学生展示的这一尝试、修正的过程，是与学生独立解题的过程相吻合的。
综上所述，学生的认知过程经历了从无到有，从不会到会，由表及里，由量变到质变的过程。其间正确与错误交织，对错误正确对待、认真分析、有效控制，能够使学生的学习顺利进行，并能逐渐提高学生的观察问题、分析问题和解决问题的能力。
2007年12月20日
