【基础卷】1.1锐角三角函数—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2022九上·大连期末）如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·余姚期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·舟山月考）在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·内江期末）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2020九上·慈溪月考）若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（ ）
A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．大于60°
6．下列式子正确的是（ ）
A．sin66°＞sin68° B．tan66°＞tan68°
C．cos66°＞cos68° D．cot66°＜cot68°
7．已知A，B都是锐角、且sinA＜sinB，则下列关系正确的是（ ）
A．∠A＞∠B B．tanA＞tanB
C．cosA＞cosB D．以上都不正确
8．（2022九上·芝罘期中）在中，，则下列式子定成立的是
A． B． C． D．
9．（2018九上·北京期末）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018九上·港南期中）如果α是锐角，且sinα= ，那么cos（90°-α）的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023九上·平昌期末）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为
12．（2022九上·闵行期中）已知在中，，那么的值是 ．
13．（2021九上·莘县期中）在中，，若，则 ．
14．（湘教版九年级数学上册 4.1.2 特殊角的正弦值 同步练习）比较sin30°、sin45°的大小，并用“＜”连接为 ．
15．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷B ）若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α的度数是 ．
16．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）已知sin 33°18'≈0.549 0,则cos 56°42'≈ .
三、解答题
17．（2021九上·长春期中）如图，在 中， ， ， ．求 的三个三角函数值．
18．（2021九上·淮阴月考）如图，在RtABC中，∠C=90°，BC=1，，求tanA与tanB的值.
19．（2020九上·通州期末）如图，在 中， 于点D.若 ，求 的值.
20．（锐角三角函数(433)+—+互余两角三角函数的关系）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，求cosA的值．
21．在△ABC中，∠C=90°，若sinA=，求cosB，tanB的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在中，
∴
∵，
∴
【分析】利用正弦的定义求解即可。
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5 ，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据余弦函数的定义，cosA=∠A的邻边∶斜边即可直接得出答案.
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴.
故答案为：C
【分析】利用在Rt△ABC中，∠C=90°，，代入计算可求出结果.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据特殊锐角三角函数值可得∠A=30° ，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，进而再根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解： cosA<0.5，
∴cosA∴A>60°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角函数的特殊值得出cosA6．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sin66°＜sin68°，tan66°＜tan68°，cos66°＞cos68°，cot66°＞cot68°．
故A、B、D错误，C正确．
故选C．
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小即可判断．
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵A，B都是锐角、且sinA＜sinB，
∴∠A＜∠B，
∴tanA＜tanB，cosA＞cosB，
∴A、B、D选项都是错误的，C选项是正确的．
故选C．
【分析】先由已知条件sinA＜sinB，根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，得到∠A＜∠B，再根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．
8．【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：设Rt△ABC的两直角边分别为a、b（其中a为∠A的对边），斜边为c，
则，，
∴sinA=cosB，
故答案为：D．
【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答。
9．【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】由在Rt△ABC中，∠C=90°，得∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA= ，
故答案为：D．
【分析】根据互余两角的函数关系式：若∠A+∠B=90°则cosB=sinA，即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵α为锐角，sinα= ，
∴cos（90°-α）=sinα= ．
故答案为：B．
【分析】根据互余两角的函数关系，若α+β=90°，则cosβ=sinα，得出cos（90°-α）=sinα，从而得出答案。
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，设小正方形的边长为1，
则AB=4，BD=4，
∴cos∠B=，
故答案为.
【分析】设小正方形的边长为1，过点A作AD⊥BC的延长线于点D，则AB=4，BD=4，然后根据三角函数的概念进行计算.
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，
．
故答案为：．
【分析】利用余弦的定义可得。
13．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图所示：
∵∠C＝90°，，
∴设AC＝4x，AB＝5x，
则BC＝3x，
故sinA＝．
故答案为：．
【分析】设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，再利用正弦的定义可得sinA＝。
14．【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵sin30°= 、sin45°= ，
∴sin30°＜sin45°．
故答案为：＜.
【分析】锐角的正弦值随着角度的增大而增大。
15．【答案】37°
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sin53°=cos（90°﹣53°）=cos37°，
∴锐角α=37°．
故答案为37°
【分析】根据互余两角锐角三角函数的关系得出：sin53°=cos（90°﹣53°）=cos37°，即可得出答案。
16．【答案】0.5490
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：因为33°18'+56°42'=90°，
所以cos 56°42'=sin 33°18'≈0.549 0，
故答案为：0.549 0。
【分析】考查互余两个角的三角函数的关系：sinα=cos(90°-α)。
17．【答案】解： 中， ， ， ，
，
，
，
．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用三角函数的定义求解即可。
18．【答案】解：∵在RtABC中，∠C=90°，BC=1，，
∴，
.
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在Rt△ABC中，一个锐角的正切三角函数值等于其对边比邻边，据此分别计算 tanA与tanB 即可.
19．【答案】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴tanA= tan∠BCD，
∴ ，
∴ ，
∴CD= ，
∴tanA= .
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】要求 的值，应该要求CD的长.证得∠A=∠BCD，然后有tanA= tan∠BCD，表示出两个正切函数后可求得CD的长，于是可解.
20．【答案】解：在△ABC中，∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosA=sinB= ．
故答案为
【知识点】三角形内角和定理；互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．
21．【答案】解：∵sinA==，
∴设BC=2x，AB=3x，
由勾股定理得：AC==x，
∴cosB=sinA==，tanB===．
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】设BC=2x，AB=3x，由勾股定理求出AC=x，代入cosB=，tanB=求出即可．
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一、选择题
1．（2022九上·大连期末）如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在中，
∴
∵，
∴
【分析】利用正弦的定义求解即可。
2．（2023九上·余姚期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5 ，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据余弦函数的定义，cosA=∠A的邻边∶斜边即可直接得出答案.
3．（2022九上·舟山月考）在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴.
故答案为：C
【分析】利用在Rt△ABC中，∠C=90°，，代入计算可求出结果.
4．（2023九上·内江期末）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据特殊锐角三角函数值可得∠A=30° ，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，进而再根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.
5．（2020九上·慈溪月考）若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（ ）
A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．大于60°
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解： cosA<0.5，
∴cosA∴A>60°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角函数的特殊值得出cosA6．下列式子正确的是（ ）
A．sin66°＞sin68° B．tan66°＞tan68°
C．cos66°＞cos68° D．cot66°＜cot68°
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sin66°＜sin68°，tan66°＜tan68°，cos66°＞cos68°，cot66°＞cot68°．
故A、B、D错误，C正确．
故选C．
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小即可判断．
7．已知A，B都是锐角、且sinA＜sinB，则下列关系正确的是（ ）
A．∠A＞∠B B．tanA＞tanB
C．cosA＞cosB D．以上都不正确
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵A，B都是锐角、且sinA＜sinB，
∴∠A＜∠B，
∴tanA＜tanB，cosA＞cosB，
∴A、B、D选项都是错误的，C选项是正确的．
故选C．
【分析】先由已知条件sinA＜sinB，根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，得到∠A＜∠B，再根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．
8．（2022九上·芝罘期中）在中，，则下列式子定成立的是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：设Rt△ABC的两直角边分别为a、b（其中a为∠A的对边），斜边为c，
则，，
∴sinA=cosB，
故答案为：D．
【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答。
9．（2018九上·北京期末）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】由在Rt△ABC中，∠C=90°，得∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA= ，
故答案为：D．
【分析】根据互余两角的函数关系式：若∠A+∠B=90°则cosB=sinA，即可得出答案。
10．（2018九上·港南期中）如果α是锐角，且sinα= ，那么cos（90°-α）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵α为锐角，sinα= ，
∴cos（90°-α）=sinα= ．
故答案为：B．
【分析】根据互余两角的函数关系，若α+β=90°，则cosβ=sinα，得出cos（90°-α）=sinα，从而得出答案。
二、填空题
11．（2023九上·平昌期末）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，设小正方形的边长为1，
则AB=4，BD=4，
∴cos∠B=，
故答案为.
【分析】设小正方形的边长为1，过点A作AD⊥BC的延长线于点D，则AB=4，BD=4，然后根据三角函数的概念进行计算.
12．（2022九上·闵行期中）已知在中，，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在中，，
．
故答案为：．
【分析】利用余弦的定义可得。
13．（2021九上·莘县期中）在中，，若，则 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图所示：
∵∠C＝90°，，
∴设AC＝4x，AB＝5x，
则BC＝3x，
故sinA＝．
故答案为：．
【分析】设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，再利用正弦的定义可得sinA＝。
14．（湘教版九年级数学上册 4.1.2 特殊角的正弦值 同步练习）比较sin30°、sin45°的大小，并用“＜”连接为 ．
【答案】＜
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵sin30°= 、sin45°= ，
∴sin30°＜sin45°．
故答案为：＜.
【分析】锐角的正弦值随着角度的增大而增大。
15．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷B ）若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α的度数是 ．
【答案】37°
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sin53°=cos（90°﹣53°）=cos37°，
∴锐角α=37°．
故答案为37°
【分析】根据互余两角锐角三角函数的关系得出：sin53°=cos（90°﹣53°）=cos37°，即可得出答案。
16．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）已知sin 33°18'≈0.549 0,则cos 56°42'≈ .
【答案】0.5490
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：因为33°18'+56°42'=90°，
所以cos 56°42'=sin 33°18'≈0.549 0，
故答案为：0.549 0。
【分析】考查互余两个角的三角函数的关系：sinα=cos(90°-α)。
三、解答题
17．（2021九上·长春期中）如图，在 中， ， ， ．求 的三个三角函数值．
【答案】解： 中， ， ， ，
，
，
，
．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用三角函数的定义求解即可。
18．（2021九上·淮阴月考）如图，在RtABC中，∠C=90°，BC=1，，求tanA与tanB的值.
【答案】解：∵在RtABC中，∠C=90°，BC=1，，
∴，
.
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在Rt△ABC中，一个锐角的正切三角函数值等于其对边比邻边，据此分别计算 tanA与tanB 即可.
19．（2020九上·通州期末）如图，在 中， 于点D.若 ，求 的值.
【答案】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴tanA= tan∠BCD，
∴ ，
∴ ，
∴CD= ，
∴tanA= .
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】要求 的值，应该要求CD的长.证得∠A=∠BCD，然后有tanA= tan∠BCD，表示出两个正切函数后可求得CD的长，于是可解.
20．（锐角三角函数(433)+—+互余两角三角函数的关系）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，求cosA的值．
【答案】解：在△ABC中，∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosA=sinB= ．
故答案为
【知识点】三角形内角和定理；互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．
21．在△ABC中，∠C=90°，若sinA=，求cosB，tanB的值．
【答案】解：∵sinA==，
∴设BC=2x，AB=3x，
由勾股定理得：AC==x，
∴cosB=sinA==，tanB===．
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】设BC=2x，AB=3x，由勾股定理求出AC=x，代入cosB=，tanB=求出即可．
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