【培优卷】1.1锐角三角函数—北师大版数学九年级下册同步测试

【培优卷】1.1锐角三角函数—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021·丽水模拟）在边长为1的正方形组成的网格中，线段AB，CD的端点都在格点上，AB，CD交于点E，则tan∠AED的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023·松阳模拟）如图，在矩形中，交于点，点在上，连接分别交，于点，．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·肇州模拟）如下图，在四边形中，，，，点分别在边上，若，则 （　　）
A． B． C． D．
4．（2021九上·广饶期末）如图，在边长为的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则（　　）
A． B． C． D．2
5．（2020九上·浙江期末）以下说法正确的是（　　）
A．存在锐角 ，使得sin +cos >1
B．已知∠A为Rt△ABC的一个内角，且∠A<45°，则sinAC．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B为Rt△ABC的两个内角，则sinA不一定等于cosB
D．存在锐角 ，使得sin ≥tan
6．（2021九上·瑞安月考）如图，在 中， ，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形.连结CD，若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·杭州模拟）如图，已知 中， ， ， 分别为 ， 的中点，连结 ，过 作 的平行线与 的角平分线交于点 ，连结 ，若 ， ，则 的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020·杭州模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y=tan∠BEC，则（　　）
A．y=1 B．y≥1 C．1≤y≤ D．1≤y≤
9．（2016·娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）
A．不变 B．增大
C．减小 D．先变大再变小
10．（2022九下·温州开学考）如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt△ABC中，，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若，则为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·咸阳月考）若三个锐角 满足 ，则 由小到大的顺序为　 　.
12．若α是锐角，且sinα=1﹣3m，则m的取值范围是　　 　 ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是　 　 .
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB= ，则tanA=　 　，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积　 　．
14．（2023·镇海模拟）如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，FG垂直平分AE且分别交AB，AE，BD，CD于点F，H，I，G．若FH＝2，IG＝6，则HI的长度为　 　，sin∠FIB的值为　 　．
15．（2023·杭州模拟）如图所示，长宽比为3：2的矩形，将矩形沿着折叠，使点落到宽的中点，点落到点处，则　 　 ．
16．（2023·锦江模拟）直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为　 　．
三、解答题（共7题，共66分）
17．（2023·无锡模拟） 中，，于D，于E，交于F
（1）求证：；
（2）求（用含m的代数式表示）；
（3）当时，求的最大值．
18．（2023九下·萧山期中）如图
（1）如图1，在中，，平分，交于点，，交于点．
①若，，求的长；
②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，和是的2个外角，，平分，交的延长线于点，，交的延长线于点记的面积为，的面积为，的面积为若，求的值．
19．（2023·安岳模拟）已知，在中，，于点D，点M是射线上一动点（不与C、D重合），连结，在下方作，连结，使，．
（1）如图，当点M在线段上时，求证：；
（2）如图，，当点M在线段的延长线上时，交射线于点E．
①试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②若，求的值．
20．（2023·南浔模拟）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H.
（1）当AB＜AD时，
①求证：BE＝CD，
②猜想∠BDF的度数，并说明理由.
（2）若时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）.
21．（2023·南山模拟）
（1）如图1，纸片中，，，过点A作，垂足为E，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为____．（从以下选项中选取）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点F，使， 剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
①求证：四边形是菱形；
②连接，求的值．
22．（2023九上·青秀期末）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点.
（1）【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由.
（2）【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值.
（3）【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）.
23．（2023九下·江岸月考）问题背景：
（1）如图1，正方形ABCD，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，有∠FOD＝90°，则＝　 　，若E为AB中点，则　 　；
（2）尝试应用：
如图2，平行四边形ABCD，AB＝5，BC＝4，点E边AB上，点F在边BC的延长线上，连接AF与DE交于点O，当∠FOD＝∠B时，求的值；
（3）类比拓展：
如图3，菱形ABCD中，（m>2），点E在边AB上，点F是BC延长线上一点，且满足，连接AF与DE交于点O时，∠DAO＝∠AED；直接写出cos∠ABF的值．（用含m的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连结AF，交CD于点F，如图所示，
∵四边形ACGD是正方形，
∴，，，，
∴DF=AF，
由题意得AC∥BD，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△AEF中，，
故答案为：C.
【分析】连结AF，交CD于点F，由题意得出四边形ACGD是正方形，根据正方形的性质即可得出，，，，然后根据AC∥BD，得出，从而得出，进而得出，在Rt△AEF中，根据正切函数的定义即可求解.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，连接OG，
∵BG=GF=DF，
∴∠FGD=∠FDG.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OD，AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴OG为△BDF的中位线，
∴OG∥DC，DF=BG=GF=2OG，
∴∠ACD=∠COG.
∵∠FGD+∠OHG=90°，∠ACD+∠FDG=90°，
∴∠OHG=∠ACD.
∵∠OHG=∠CHF，
∴∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG，
∴OG=GM，MF=FC.
设OG=GH=x，则DF=GF=2x，
∴HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x，
∴sin∠FBC=.
故答案为：A.
【分析】连接BD交AC于点O，连接OG，由已知条件可知BG=GF=DF，根据等腰三角形的性质可得
∠FGD=∠FDG，由矩形的性质可得OG为△BDF的中位线，则OG∥DC，DF=BG=GF=2OG，根据平行线的性质可得∠ACD=∠COG，由同角的余角相等结合对顶角的性质可得∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG，则OG=GH，HF=FC，设OG=GH=x，则DF=GF=2x，HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x，然后利用三角函数的概念进行计算.
3．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，连接，连接，过点作于，
，，
，
，
在与中
，
（HL），
，，
，
，
即，
，
在中，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，
，
即，
解得，
，
．
故答案为：B．
【分析】连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过点M作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得的值即可。
4．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接、，如图：
∵由图可知：
∴，
∴
∵小正方形的边长为
∴在中，，
∴
∴．
故答案为：B
【分析】先求出，再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：A、因为对于任意角， sin +cos =1，不符合题意；
B、当∠A小于45°时，有 sinAC、∵sinA=cos(90°-A)=cosB，不符合题意；
D、sin -tan =sin(1-), 01, ∴sin(1-)<0,
即 sin 故答案为：B.
【分析】根据公式sin +cos =1即可判断A项错误；当∠A小于45°时，恒有 sinA6．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥BD交延长线于点G，
∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，
∴sin∠BCD=，
∴sin∠BCE==，
设BE=3，BC=5，
∴CE==4，
设AC=x，AB=y，
在Rt△ABC中，
∵AB2-AC2=BC2，
∴y2-x2=25，
∵S△ABC=AB×CF=AC×BC，
∴y×CF=5x，
∴CF=，
在Rt△BCF中，
BF===，
∴BF=CG=，
在正方形ABDH中，AB=BD=y，
在Rt△BDE中，DE==，
∵S△CBD=CD·BE=BD·CG，
∴CD·BE=BD·CG，
∴（4+）×3=y×，
∴=，
∴ .
故答案为：D.
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，过点C作DB延长线于点G，得到矩形CFBG，△ABC，△BED，△BEC， △BCF是直角三角形，根据 ，设BE=3，BC=5，根据勾股定理求出CE，设AC=x，AB= y，然后利用勾股定理和等积法推出可得=，最后在Rt△BED中利用锐角三角函数定义计算即可求得结果.
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，
设DF=x，
∵DH∥AC，D为BC的中点，
∴H为AB的中点，
∴BH=AH，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH= AC=1，
∴FH=1-x，
∵FA平分∠CAB，FE⊥AC，FT⊥AB，
∴FE=FT，
∵E为AC的中点，FE⊥AC，
∴CF=AF，
在Rt△CFE和Rt△AFT中，
，
∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），
∴AE=AT=1，
∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，
∴FH=AH=BH=1-x，
∴TH=1-（1-x）=x，
∵∠C=∠BDH=∠TFH，
∴sin∠C=sin∠TFH，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∵DE= ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，设DF=x；先证明DH是△ABC的中位线，再利用角平分线性质定理得FE=FT，结合E为AC的中点，FE⊥AC得CF=AF，证明Rt△CFE≌Rt△AFT；利用中位线性质定理及全等三角形性质及锐角三角函数定义构建分式方程，求出x即可解决问题.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：点E从点A到点D运动过程中，∠BEC的度数先越来越大，越过AD的中点后越来越小，
当点E与A重合时， ∠BEC最小，当点E到AD的中点中点时，∠BEC 最大，
当点E与A重合时，∠BEC=45°，∴tan∠BEC =1，
当点E是AD中点时，如图，设正方形边长为2，∴AE=ED=1，
∴BE=CE=，设EF=x，∴BF=-x，
∵CF2=BC2-BF2=22-（-x）2，CF2=EC2-EF2=（）2-x2，
∴22-（-x）2=（）2-x2，解得x=,∴CF=
∴tan∠BEC=，即得1≤y≤ .
故答案为：D.
【分析】点E从点A到点D运动过程中，∠BEC的度数先越来越大，越过AD的中点后越来越小，即是当点E与A重合时， ∠BEC最小，当点E到AD的中点中点时，∠BEC 最大，分别求出此时的正切值，根据正切函数的性质即得范围.
9．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，
∴CF=DC cosα，BE=DB cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC cosα的值是逐渐减小的．
故选C．
【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF=BC cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD，ACFG，ABJH是正方形
，，
设，则，
即
即
解得或（舍）
即
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得∠BCN=∠ACF=90°，∠BAC=∠NFC=90°，AC=CF，利用ASA证明△ABC≌△FNC，得到NF=AB，设AC=7a，AB=7b，求出tan∠ACB的值，证明△AKM∽△GNM，由相似三角形的性质得，易得∠ACB=∠ABK，根据三角函数的概念可得AK，然后根据可得的值，据此可得tan∠ACB的值.
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sin90°=1>sin48°=α>sin45°=，cos48°=βtan45°=1，
∴β<α<γ.
故答案为：β<α<γ.
【分析】首先根据正弦函数、余弦函数、正切函数的增减性判断出sin48°与sin45°，cos48°与cos45°，tan48°与tan45°的关系，然后进行比较即可.
12．【答案】0＜m＜；sin41°、cos46°、cos37°、cos21°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：α是锐角，且sinα=1﹣3m，
则有0＜1﹣3m＜1，
解得0＜m＜ ；
∵sin41°=cos49°，
根据余弦函数随角增大而减小，
故有sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．
∴按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．
【分析】根据锐角的正弦函数的取值范围，易得0＜1﹣3m＜1，求解；
由一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，可得sin41°=cos49°，进而由余弦函数随角增大而减小，比较角的大小，可得答案．
13．【答案】；96
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：设c=5k，a=3k．
由勾股定理得：b= = =4k．
∴tanA= = ．
∵△ABC的周长为48，
∴5k+3k+4k=48．
解得：k=4．
∴3k=3×4=12，4k=4×4=16．
∴△ABC的面积= =96．
故答案为： ；96．
【分析】设c=5k，a=3k，由勾股定理可求得b=4k，可求得tanA= ，接下来利用三角形的周长为48可求得两直角边的长，最后即可求得△ABC的面积．
14．【答案】8；
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点G作GM⊥AB于点M，连接AI，CI，EI，
∵FG垂直平分AE，
∴AI=EI，AH=EH，∠AHF=90°，
∴∠BAE+∠AFH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=∠AMG=90°，AD=AB=BC，∠ABI=∠CBI，
∴∠BAE+∠AEB=90°，四边形AMGD是矩形，
∴∠AEB=∠AFH，MG=AD=AB，
在△FGM和△EAB中
∴△FGM≌△EAB（AAS），
∴AE=FG；
在△ABI和△CBI中
∴△ABI≌△CBI（SAS）
∴AI=CI，∠IAB=∠ICB，
∴AI=IE=IC，
∴∠IEC=∠ICE=∠IAB，
∵∠IEC+∠IEB=180°，
∴∠IAB+∠IEB=180°，
∴∠AIE=360°-∠ABE-（∠IAB+∠IEB）=360°-90°-180°=90°，
∴△AIE是等腰直角三角形，
∵IH⊥AE，
∴AE=2IH=FG=FH+IH+IG
∴IH=FH+IG=2+6=8；
∴AE=FG=8+8=16，
∴AH=8，
设BD与AE交于点N，
∵∠AFH=∠ABE，∠AHF=∠ABE，
∴△ABE∽△AHF，
∴即，
∴AB=4BE；
∵AD∥BE，
∴△ADN∽△BNE，
∴
∴AN=4NE，
∵AN+NE=AE=16，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：8，
【分析】过点G作GM⊥AB于点M，连接AI，CI，EI，利用垂直平分线的性质可证得AI=EI，AH=EH，∠AHF=90°，利用正方形的性质可推出∠ABC=∠ADC=∠BAD=∠AMG=90°，AD=AB=BC，∠ABI=∠CBI，同时可证得四边形AMGD是矩形，利用矩形的性质和余角的性质可知∠AEB=∠AFH，MG=AD=AB，利用AAS证明△FGM≌△EAB，利用全等三角形的性质可得到AE=FG；利用SAS证明△ABI≌△CBI，可推出AI=CI=IE，∠IAB=∠ICB，∠IEC=∠ICE=∠IAB，再证明∠AIE=90°，可推出△AIE是等腰直角三角形，由IH⊥AE，可证得AE=2IH=FG=FH+IH+IG，可求出IH和AE的长，同时求出AH的长；设BD与AE交于点N，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABE∽△AHF，利用相似三角形的对应边成比例可推出AB=4BE；再证明△ADN∽△BNE，可推出AN=4NE，据此可求出NE的长，根据HN=HE-NE，代入计算求出HN的长，利用勾股定理求出IN的长；然后利用锐角三角函数的定义求出sin∠FIB的值.
15．【答案】3
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作EM⊥CD于点M，设AE与B′C′的交点为N，
∵长宽比为3：2的矩形ABCD，
∴可设AB=CD=3a，AD=BC=2a.
∵C′为AD的中点，
∴C′D=AC′=a.
由折叠可得CF=C′F.
设DF=x，则CF=3a-x.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴C′D2+DF2=C′F2，
∴a2+x2=(3a-x)2，
∴x=，
∴C′F=CF=.
由折叠可得∠FC′N=∠C=90°，
∴∠DC′F+∠AC′N=90°.
∵∠DC′F+∠DFC′=90°，
∴∠AC′N=∠DFC′.
∵∠A=∠D，
∴△AC′N∽△DFC′，
∴，
∴AN=，NC′=.
由折叠可得∠B′=∠B=90°，B′C′=BC=2a，
∴B′N=2a-=，
∴B′N=AN.
∵∠A=∠B，AN=B′N，∠ANC′=∠B′NE，
∴△ANC′≌△B′NE（ASA），
∴EN=NC′=，
∴AE=+=2a.
∵∠A=∠D=∠DME=90°，
∴四边形ADME为矩形，
∴DM=AE=2a，EM=AD=2a，
∴FM=2a-=，
∴tan∠EFC==3.
故答案为：3.
【分析】作EM⊥CD于点M，设AE与B′C′的交点为N，设AB=CD=3a，则AD=BC=2a，C′D=AC′=a，由折叠可得∠FC′N=∠C=90°，CF=C′F，设DF=x，则CF=3a-x，利用勾股定理可得x=，根据同角的余角相等可得∠AC′N=∠DFC′，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AC′N∽△DFC′，根据相似三角形的性质可得AN、NC′，由折叠可得∠B′=∠B=90°，B′C′=BC=2a，则B′N=，推出B′N=AN，利用ASA证明△ANC′≌△B′NE，得到EN=NC′=，然后求出AE，易得四边形ADME为矩形，则DM=AE=2a，EM=AD=2a，进而表示出FM，然后根据三角函数的概念进行计算.
16．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：由消去y得到x2-2ax+k=0，
∵直线y=-x+2a，（常数a＞0）和双曲线 的图象有且只有一个交点 ，
∴△=0，即4a2-4k=0，
∴k=a2，
解方程组得，
∴点B（a，a），
令y=0得-x+2a=0，
解得x=2a，
∴A（2a，0）；
过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，
∵A（2a，0），B（a，a），
∴OH=BH=AH=a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ=∠BJK=90°，
∵∠OJH=∠BJK，
∴∠HOJ=∠HBP，
又∵∠OHJ=∠BHP=90°，OH=BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，
∵∠AHB=90°，HB=HA，
∴∠PAM=∠JBM=45°，
∵∠BPH=∠APM，∠OJH=∠BJM，
∴∠BJM=∠APM
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM=AM，∠BMJ=∠AMP，
∴点M，
∴，
设直线OM的解析式为y=kx，则，
∴k=，
∴直线OM的解析式为，
∴J（a，a），
∴JH=PH=a，
∴，
∵∠OHJ=∠OKP=90°，∠HOJ=∠HOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴，即，
解得，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，由直线与双曲线的图象只有一个交点得b2-4ac=0，据此建立方程求出k=a2，从而得x=a，y=a，则点B（a，a），点A（2a，0），用ASA证出△OHJ≌△BHP，得到OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，再利用ASA证出△BJM≌△APM，得BM=AM，∠BMJ=∠AMP，点M，用两点间的距离公式表示出BM，利用待定系数法求出直线OM的解析式为，则J（a，a），，证出△OHJ∽△OKP，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出KP，进而根据BK=BP-KP表示出BK，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义，由即可得出答案.
17．【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴设 ， ，
设 ，则 ， ，
在 和 中， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
令 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
设c，d为正数，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当且仅当 时， ，
∴同理 ， ，
∴ （当 时取等号），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由对顶角的性质可得∠AFE=∠CFD，根据垂直的概念可得∠AEF=∠FDC=90°，结合内角和定理可得∠BAD=∠DCF，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△CFD，由相似三角形对应边成比例可得，然后利用对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明；
（2）由相似三角形的性质可得∠FBD=∠CAD，结合三角函数的概念可得tan∠FBD=tan∠CAD=，然后利用正弦函数的概念进行解答；
（3）由三角函数的概念可设AD=4a，则CD=3a，设DF=b，则AF=4a-b，CF2=b2+9a2，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质以及CE=CF+EF可得 ，令u=-1，根据00， ，则 ，由基本不等式可得 ，据此求解.
18．【答案】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，解得；
，
，
同可得，，
，
，
是定值，定值为
（2）解：，
，
，
，
又，
，
设，则，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
过点作于点，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的概念可得∠ACD=∠DCB=∠ACB，由已知条件可知∠ACB=2∠B，则∠ACD=∠DCB=∠B，推出CD=BD，根据平行线的性质可得∠ACD=∠EDC，进而推出CE=DE，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CED∽△CDB，再根据相似三角形的性质进行计算；
②由①可得CE=DE，由平行线分线段成比例的性质可得，则，据此求解；
（2）根据三角形的面积公式可得，，则，结合已知条件可得，设BC=9x，则CE=16x，同①可证△CED∽△CDB，由相似三角形的性质可得CD=12x，过点D作DH⊥BC于点H，则BH=BC=x，然后根据三角函数的概念进行计算.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）同理可得：，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，，
即，；
②过点M作于点F，
设，则，，
∴，，，
由（1）同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠ACD=∠ABC，由已知条件可知∠ABN=∠ABC，∠CAB=∠MAN，则∠CAM=∠BAN，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①由（1）同理可得△ACM∽△ABN，由相似三角形的性质可得，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CAB∽△MAN，然后根据相似三角形的性质进行证明；
②过点M作MF⊥BN于点F，设AC=3x，则BC=4x，AB=5x，CD=x，AD=x，BD=x，根据相似三角形的性质可得CM=AC=3x，则DM=x，利用ASA证明△BDC≌△BDE，得到DE=CD=x，BE=BC=4x，然后表示出EM、AM、MN，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△MEF∽△BED，由相似三角形的性质可得MF，然后利用三角函数的概念进行计算.
20．【答案】（1）解：证明：① 矩形ABCD，
AE平分∠BAD，
②如图，连结BF，
由（1）得： 则
（2）解：当时，如图，延长交的延长线于 过F作于
则 而
同理：
即
当时，如图，记交交于点 过F作于
同理：
即
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质可得AB=CD，∠BAD=∠ABC=90°，由角平分线的概念可得∠BAE=∠BEA=45°，推出AB=BE，据此证明；
②连结BF，由（1）得∠AEB=45°，则∠CEF=45°，∠BEF=135°，∠FCE=∠FEC=45°，推出EF=CF，∠BEF=∠DCF，利用SAS证明△BEF≌△DCF，得到BF=DF，∠BFE=∠DFC，然后结合∠AFD+∠DFC=90°就可求出∠BDF的度数；
（2）当ABAD时，记AF交DC交于点N， 过F作FM⊥CN于M， 同理求解即可.
21．【答案】（1）C
（2）解：①证明：∵平移得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；平移的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】（1）解：∵中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平移得到，
∴，
∴四边形的形状为矩形，
故答案为：C；
【分析】（1）由平行四边形的面积可求出AE=6，由平行线的性质及垂直的定义可推出，根据平移的性质可得，根据三个角是直角的四边形是矩形即证；
（2）①根据平移的性质可得四边形是平行四边形，由勾股定理求出AF=10，即得AF=AD，根据菱形的判定定理即证；②求出FE'=AD-EF=2，利用勾股定理求出DF=2，由AD∥EF可得， 从而得出，继而得解．
22．【答案】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或
（3）解：∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，
∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当FH=BF=nBE时，
，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的值为或.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠A=∠D=∠BEG=90°， 根据同角的余角相等得∠DEH=∠ABE， 从而即可判断出△ABE∽△DEH ；
（2）易得AD=4DH， 设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x， 则DE=4x-a， 根据相似三角形对应边成比例建立方程求解可用含a的式子表示出x，进而根据正切函数的定义即可求出答案；
（3）根据相似矩形的性质得EG=nBE， 当FH=BH时， 利用HL判断出Rt△BEH≌Rt△FGH，根据全等三角形的性质得EH=GH=，再根据相似三角形对应边成比例可得 ，根据线段的和差表示出AE，最后根据正切函数的定义可得答案； 当FH=BF=nBE时， 根据勾股定理表示出HG，进而根据线段的和差表示出EH， 再根据相似三角形对应边成比例可得 ，根据线段的和差表示出AE，最后根据正切函数的定义可得答案.
23．【答案】（1）1；
（2）解：在BC上取点G，使AG=CD，
∴∠ABG=∠AGB；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABG+∠BAD=180°，
∵∠AGB+∠AGF=180°，
∴∠AGF=∠BAD；
∵∠FOD＝∠B，
∵∠ABG=∠AGB，
∴∠FOD=∠AGB；
∵AD//BC，
∴∠F=∠DAO，
∵∠FOD=∠ADO+∠DAO，∠AGB=∠GAF+∠F；
∴∠ADO=∠GAF；
∴
∴
（3）解：如图，在BC上取点G，使AG=CD，作AH⊥BF于点H；
设：AE=2a，则BE=ma，CG=x，BC=BA=(m+2)a，由（2）得∠ADO=∠GAF，∠AGF=∠BAD；∵AD=CD，∴AG=AD，∴，则AE=FG=2a；CF=GF+CG=2a+x；
由得，解得：，BG=BC+CG=，
AB=AG，AH⊥BC，∴BH=GH==；
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠EAD=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°.
∵∠FOD=90°，
∴∠FOD=∠AOE=90°，
∴∠AED+∠EAO=90°，
∴∠ADE=∠EAO，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴DE=AF，
∴=1.
∵∠ADE=∠EAO，∠AOE=∠AOD=90°，
∴△AOE∽△DOA，
∴.
∵E为AB的中点，
∴AE=AD，
∴，
∴2AO=DO，
∴.
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠EAD=90°，由同角的余角相等可得∠ADE=∠EAO，利用ASA证明△ABF≌△DAE，得到DE=AF，据此可得第一空的答案；根据两角对应相等的两个三角形相似可得△AOE∽△DOA，根据中点的概念可得AE=AD，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（2）在BC上取点G，使AG=CD，则∠ABG=∠AGB，由平行四边形的性质可得∠ABG+∠BAD=180°，结合邻补角的性质可得∠AGF=∠BAD，由已知条件可知∠FOD＝∠B，进而得到∠FOD=∠AGB，根据平行线的性质可得∠F=∠DAO，结合外角的性质可得∠ADO=∠GAF，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△GAF，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）在BC上取点G，使AG=CD，作AH⊥BF于点H，设AE=2a，则BE=ma，CG=x，BC=BA=(m+2)a，利用ASA证明△AED≌△GFA，得到AE=FG=2a，CF=GF+CG=2a+x，结合已知条件可得x，然后表示出BG，由等腰三角形的性质可得BH=GH=BG=，然后根据三角函数的概念进行解答.
1 / 1【培优卷】1.1锐角三角函数—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021·丽水模拟）在边长为1的正方形组成的网格中，线段AB，CD的端点都在格点上，AB，CD交于点E，则tan∠AED的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连结AF，交CD于点F，如图所示，
∵四边形ACGD是正方形，
∴，，，，
∴DF=AF，
由题意得AC∥BD，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△AEF中，，
故答案为：C.
【分析】连结AF，交CD于点F，由题意得出四边形ACGD是正方形，根据正方形的性质即可得出，，，，然后根据AC∥BD，得出，从而得出，进而得出，在Rt△AEF中，根据正切函数的定义即可求解.
2．（2023·松阳模拟）如图，在矩形中，交于点，点在上，连接分别交，于点，．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，连接OG，
∵BG=GF=DF，
∴∠FGD=∠FDG.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OD，AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴OG为△BDF的中位线，
∴OG∥DC，DF=BG=GF=2OG，
∴∠ACD=∠COG.
∵∠FGD+∠OHG=90°，∠ACD+∠FDG=90°，
∴∠OHG=∠ACD.
∵∠OHG=∠CHF，
∴∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG，
∴OG=GM，MF=FC.
设OG=GH=x，则DF=GF=2x，
∴HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x，
∴sin∠FBC=.
故答案为：A.
【分析】连接BD交AC于点O，连接OG，由已知条件可知BG=GF=DF，根据等腰三角形的性质可得
∠FGD=∠FDG，由矩形的性质可得OG为△BDF的中位线，则OG∥DC，DF=BG=GF=2OG，根据平行线的性质可得∠ACD=∠COG，由同角的余角相等结合对顶角的性质可得∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG，则OG=GH，HF=FC，设OG=GH=x，则DF=GF=2x，HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x，然后利用三角函数的概念进行计算.
3．（2022·肇州模拟）如下图，在四边形中，，，，点分别在边上，若，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，连接，连接，过点作于，
，，
，
，
在与中
，
（HL），
，，
，
，
即，
，
在中，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，
，
即，
解得，
，
．
故答案为：B．
【分析】连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过点M作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得的值即可。
4．（2021九上·广饶期末）如图，在边长为的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接、，如图：
∵由图可知：
∴，
∴
∵小正方形的边长为
∴在中，，
∴
∴．
故答案为：B
【分析】先求出，再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
5．（2020九上·浙江期末）以下说法正确的是（　　）
A．存在锐角 ，使得sin +cos >1
B．已知∠A为Rt△ABC的一个内角，且∠A<45°，则sinAC．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B为Rt△ABC的两个内角，则sinA不一定等于cosB
D．存在锐角 ，使得sin ≥tan
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：A、因为对于任意角， sin +cos =1，不符合题意；
B、当∠A小于45°时，有 sinAC、∵sinA=cos(90°-A)=cosB，不符合题意；
D、sin -tan =sin(1-), 01, ∴sin(1-)<0,
即 sin 故答案为：B.
【分析】根据公式sin +cos =1即可判断A项错误；当∠A小于45°时，恒有 sinA6．（2021九上·瑞安月考）如图，在 中， ，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形.连结CD，若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥BD交延长线于点G，
∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，
∴sin∠BCD=，
∴sin∠BCE==，
设BE=3，BC=5，
∴CE==4，
设AC=x，AB=y，
在Rt△ABC中，
∵AB2-AC2=BC2，
∴y2-x2=25，
∵S△ABC=AB×CF=AC×BC，
∴y×CF=5x，
∴CF=，
在Rt△BCF中，
BF===，
∴BF=CG=，
在正方形ABDH中，AB=BD=y，
在Rt△BDE中，DE==，
∵S△CBD=CD·BE=BD·CG，
∴CD·BE=BD·CG，
∴（4+）×3=y×，
∴=，
∴ .
故答案为：D.
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，过点C作DB延长线于点G，得到矩形CFBG，△ABC，△BED，△BEC， △BCF是直角三角形，根据 ，设BE=3，BC=5，根据勾股定理求出CE，设AC=x，AB= y，然后利用勾股定理和等积法推出可得=，最后在Rt△BED中利用锐角三角函数定义计算即可求得结果.
7．（2021·杭州模拟）如图，已知 中， ， ， 分别为 ， 的中点，连结 ，过 作 的平行线与 的角平分线交于点 ，连结 ，若 ， ，则 的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，
设DF=x，
∵DH∥AC，D为BC的中点，
∴H为AB的中点，
∴BH=AH，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH= AC=1，
∴FH=1-x，
∵FA平分∠CAB，FE⊥AC，FT⊥AB，
∴FE=FT，
∵E为AC的中点，FE⊥AC，
∴CF=AF，
在Rt△CFE和Rt△AFT中，
，
∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），
∴AE=AT=1，
∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，
∴FH=AH=BH=1-x，
∴TH=1-（1-x）=x，
∵∠C=∠BDH=∠TFH，
∴sin∠C=sin∠TFH，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∵DE= ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，设DF=x；先证明DH是△ABC的中位线，再利用角平分线性质定理得FE=FT，结合E为AC的中点，FE⊥AC得CF=AF，证明Rt△CFE≌Rt△AFT；利用中位线性质定理及全等三角形性质及锐角三角函数定义构建分式方程，求出x即可解决问题.
8．（2020·杭州模拟）如图，点E在正方形ABCD的边AD上（包括点A和点D）的一个动点，连结BE和CE设y=tan∠BEC，则（　　）
A．y=1 B．y≥1 C．1≤y≤ D．1≤y≤
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：点E从点A到点D运动过程中，∠BEC的度数先越来越大，越过AD的中点后越来越小，
当点E与A重合时， ∠BEC最小，当点E到AD的中点中点时，∠BEC 最大，
当点E与A重合时，∠BEC=45°，∴tan∠BEC =1，
当点E是AD中点时，如图，设正方形边长为2，∴AE=ED=1，
∴BE=CE=，设EF=x，∴BF=-x，
∵CF2=BC2-BF2=22-（-x）2，CF2=EC2-EF2=（）2-x2，
∴22-（-x）2=（）2-x2，解得x=,∴CF=
∴tan∠BEC=，即得1≤y≤ .
故答案为：D.
【分析】点E从点A到点D运动过程中，∠BEC的度数先越来越大，越过AD的中点后越来越小，即是当点E与A重合时， ∠BEC最小，当点E到AD的中点中点时，∠BEC 最大，分别求出此时的正切值，根据正切函数的性质即得范围.
9．（2016·娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）
A．不变 B．增大
C．减小 D．先变大再变小
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，
∴CF=DC cosα，BE=DB cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC cosα的值是逐渐减小的．
故选C．
【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF=BC cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．
10．（2022九下·温州开学考）如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt△ABC中，，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD，ACFG，ABJH是正方形
，，
设，则，
即
即
解得或（舍）
即
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得∠BCN=∠ACF=90°，∠BAC=∠NFC=90°，AC=CF，利用ASA证明△ABC≌△FNC，得到NF=AB，设AC=7a，AB=7b，求出tan∠ACB的值，证明△AKM∽△GNM，由相似三角形的性质得，易得∠ACB=∠ABK，根据三角函数的概念可得AK，然后根据可得的值，据此可得tan∠ACB的值.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·咸阳月考）若三个锐角 满足 ，则 由小到大的顺序为　 　.
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sin90°=1>sin48°=α>sin45°=，cos48°=βtan45°=1，
∴β<α<γ.
故答案为：β<α<γ.
【分析】首先根据正弦函数、余弦函数、正切函数的增减性判断出sin48°与sin45°，cos48°与cos45°，tan48°与tan45°的关系，然后进行比较即可.
12．若α是锐角，且sinα=1﹣3m，则m的取值范围是　　 　 ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是　 　 .
【答案】0＜m＜；sin41°、cos46°、cos37°、cos21°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：α是锐角，且sinα=1﹣3m，
则有0＜1﹣3m＜1，
解得0＜m＜ ；
∵sin41°=cos49°，
根据余弦函数随角增大而减小，
故有sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．
∴按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．
【分析】根据锐角的正弦函数的取值范围，易得0＜1﹣3m＜1，求解；
由一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，可得sin41°=cos49°，进而由余弦函数随角增大而减小，比较角的大小，可得答案．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB= ，则tanA=　 　，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积　 　．
【答案】；96
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：设c=5k，a=3k．
由勾股定理得：b= = =4k．
∴tanA= = ．
∵△ABC的周长为48，
∴5k+3k+4k=48．
解得：k=4．
∴3k=3×4=12，4k=4×4=16．
∴△ABC的面积= =96．
故答案为： ；96．
【分析】设c=5k，a=3k，由勾股定理可求得b=4k，可求得tanA= ，接下来利用三角形的周长为48可求得两直角边的长，最后即可求得△ABC的面积．
14．（2023·镇海模拟）如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，FG垂直平分AE且分别交AB，AE，BD，CD于点F，H，I，G．若FH＝2，IG＝6，则HI的长度为　 　，sin∠FIB的值为　 　．
【答案】8；
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点G作GM⊥AB于点M，连接AI，CI，EI，
∵FG垂直平分AE，
∴AI=EI，AH=EH，∠AHF=90°，
∴∠BAE+∠AFH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=∠AMG=90°，AD=AB=BC，∠ABI=∠CBI，
∴∠BAE+∠AEB=90°，四边形AMGD是矩形，
∴∠AEB=∠AFH，MG=AD=AB，
在△FGM和△EAB中
∴△FGM≌△EAB（AAS），
∴AE=FG；
在△ABI和△CBI中
∴△ABI≌△CBI（SAS）
∴AI=CI，∠IAB=∠ICB，
∴AI=IE=IC，
∴∠IEC=∠ICE=∠IAB，
∵∠IEC+∠IEB=180°，
∴∠IAB+∠IEB=180°，
∴∠AIE=360°-∠ABE-（∠IAB+∠IEB）=360°-90°-180°=90°，
∴△AIE是等腰直角三角形，
∵IH⊥AE，
∴AE=2IH=FG=FH+IH+IG
∴IH=FH+IG=2+6=8；
∴AE=FG=8+8=16，
∴AH=8，
设BD与AE交于点N，
∵∠AFH=∠ABE，∠AHF=∠ABE，
∴△ABE∽△AHF，
∴即，
∴AB=4BE；
∵AD∥BE，
∴△ADN∽△BNE，
∴
∴AN=4NE，
∵AN+NE=AE=16，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：8，
【分析】过点G作GM⊥AB于点M，连接AI，CI，EI，利用垂直平分线的性质可证得AI=EI，AH=EH，∠AHF=90°，利用正方形的性质可推出∠ABC=∠ADC=∠BAD=∠AMG=90°，AD=AB=BC，∠ABI=∠CBI，同时可证得四边形AMGD是矩形，利用矩形的性质和余角的性质可知∠AEB=∠AFH，MG=AD=AB，利用AAS证明△FGM≌△EAB，利用全等三角形的性质可得到AE=FG；利用SAS证明△ABI≌△CBI，可推出AI=CI=IE，∠IAB=∠ICB，∠IEC=∠ICE=∠IAB，再证明∠AIE=90°，可推出△AIE是等腰直角三角形，由IH⊥AE，可证得AE=2IH=FG=FH+IH+IG，可求出IH和AE的长，同时求出AH的长；设BD与AE交于点N，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABE∽△AHF，利用相似三角形的对应边成比例可推出AB=4BE；再证明△ADN∽△BNE，可推出AN=4NE，据此可求出NE的长，根据HN=HE-NE，代入计算求出HN的长，利用勾股定理求出IN的长；然后利用锐角三角函数的定义求出sin∠FIB的值.
15．（2023·杭州模拟）如图所示，长宽比为3：2的矩形，将矩形沿着折叠，使点落到宽的中点，点落到点处，则　 　 ．
【答案】3
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作EM⊥CD于点M，设AE与B′C′的交点为N，
∵长宽比为3：2的矩形ABCD，
∴可设AB=CD=3a，AD=BC=2a.
∵C′为AD的中点，
∴C′D=AC′=a.
由折叠可得CF=C′F.
设DF=x，则CF=3a-x.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴C′D2+DF2=C′F2，
∴a2+x2=(3a-x)2，
∴x=，
∴C′F=CF=.
由折叠可得∠FC′N=∠C=90°，
∴∠DC′F+∠AC′N=90°.
∵∠DC′F+∠DFC′=90°，
∴∠AC′N=∠DFC′.
∵∠A=∠D，
∴△AC′N∽△DFC′，
∴，
∴AN=，NC′=.
由折叠可得∠B′=∠B=90°，B′C′=BC=2a，
∴B′N=2a-=，
∴B′N=AN.
∵∠A=∠B，AN=B′N，∠ANC′=∠B′NE，
∴△ANC′≌△B′NE（ASA），
∴EN=NC′=，
∴AE=+=2a.
∵∠A=∠D=∠DME=90°，
∴四边形ADME为矩形，
∴DM=AE=2a，EM=AD=2a，
∴FM=2a-=，
∴tan∠EFC==3.
故答案为：3.
【分析】作EM⊥CD于点M，设AE与B′C′的交点为N，设AB=CD=3a，则AD=BC=2a，C′D=AC′=a，由折叠可得∠FC′N=∠C=90°，CF=C′F，设DF=x，则CF=3a-x，利用勾股定理可得x=，根据同角的余角相等可得∠AC′N=∠DFC′，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AC′N∽△DFC′，根据相似三角形的性质可得AN、NC′，由折叠可得∠B′=∠B=90°，B′C′=BC=2a，则B′N=，推出B′N=AN，利用ASA证明△ANC′≌△B′NE，得到EN=NC′=，然后求出AE，易得四边形ADME为矩形，则DM=AE=2a，EM=AD=2a，进而表示出FM，然后根据三角函数的概念进行计算.
16．（2023·锦江模拟）直线y＝－x＋2a（常数）和双曲线的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：由消去y得到x2-2ax+k=0，
∵直线y=-x+2a，（常数a＞0）和双曲线 的图象有且只有一个交点 ，
∴△=0，即4a2-4k=0，
∴k=a2，
解方程组得，
∴点B（a，a），
令y=0得-x+2a=0，
解得x=2a，
∴A（2a，0）；
过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，
∵A（2a，0），B（a，a），
∴OH=BH=AH=a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ=∠BJK=90°，
∵∠OJH=∠BJK，
∴∠HOJ=∠HBP，
又∵∠OHJ=∠BHP=90°，OH=BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，
∵∠AHB=90°，HB=HA，
∴∠PAM=∠JBM=45°，
∵∠BPH=∠APM，∠OJH=∠BJM，
∴∠BJM=∠APM
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM=AM，∠BMJ=∠AMP，
∴点M，
∴，
设直线OM的解析式为y=kx，则，
∴k=，
∴直线OM的解析式为，
∴J（a，a），
∴JH=PH=a，
∴，
∵∠OHJ=∠OKP=90°，∠HOJ=∠HOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴，即，
解得，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥OA于点H，交OM于点J，设OM交PB于点k，由直线与双曲线的图象只有一个交点得b2-4ac=0，据此建立方程求出k=a2，从而得x=a，y=a，则点B（a，a），点A（2a，0），用ASA证出△OHJ≌△BHP，得到OJ=PB，JH=PH，∠OJH=∠BPH，AP=BJ，再利用ASA证出△BJM≌△APM，得BM=AM，∠BMJ=∠AMP，点M，用两点间的距离公式表示出BM，利用待定系数法求出直线OM的解析式为，则J（a，a），，证出△OHJ∽△OKP，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出KP，进而根据BK=BP-KP表示出BK，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义，由即可得出答案.
三、解答题（共7题，共66分）
17．（2023·无锡模拟） 中，，于D，于E，交于F
（1）求证：；
（2）求（用含m的代数式表示）；
（3）当时，求的最大值．
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴设 ， ，
设 ，则 ， ，
在 和 中， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
令 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
设c，d为正数，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当且仅当 时， ，
∴同理 ， ，
∴ （当 时取等号），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由对顶角的性质可得∠AFE=∠CFD，根据垂直的概念可得∠AEF=∠FDC=90°，结合内角和定理可得∠BAD=∠DCF，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△CFD，由相似三角形对应边成比例可得，然后利用对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明；
（2）由相似三角形的性质可得∠FBD=∠CAD，结合三角函数的概念可得tan∠FBD=tan∠CAD=，然后利用正弦函数的概念进行解答；
（3）由三角函数的概念可设AD=4a，则CD=3a，设DF=b，则AF=4a-b，CF2=b2+9a2，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质以及CE=CF+EF可得 ，令u=-1，根据00， ，则 ，由基本不等式可得 ，据此求解.
18．（2023九下·萧山期中）如图
（1）如图1，在中，，平分，交于点，，交于点．
①若，，求的长；
②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，和是的2个外角，，平分，交的延长线于点，，交的延长线于点记的面积为，的面积为，的面积为若，求的值．
【答案】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，解得；
，
，
同可得，，
，
，
是定值，定值为
（2）解：，
，
，
，
又，
，
设，则，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
过点作于点，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的概念可得∠ACD=∠DCB=∠ACB，由已知条件可知∠ACB=2∠B，则∠ACD=∠DCB=∠B，推出CD=BD，根据平行线的性质可得∠ACD=∠EDC，进而推出CE=DE，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CED∽△CDB，再根据相似三角形的性质进行计算；
②由①可得CE=DE，由平行线分线段成比例的性质可得，则，据此求解；
（2）根据三角形的面积公式可得，，则，结合已知条件可得，设BC=9x，则CE=16x，同①可证△CED∽△CDB，由相似三角形的性质可得CD=12x，过点D作DH⊥BC于点H，则BH=BC=x，然后根据三角函数的概念进行计算.
19．（2023·安岳模拟）已知，在中，，于点D，点M是射线上一动点（不与C、D重合），连结，在下方作，连结，使，．
（1）如图，当点M在线段上时，求证：；
（2）如图，，当点M在线段的延长线上时，交射线于点E．
①试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②若，求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）同理可得：，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，，
即，；
②过点M作于点F，
设，则，，
∴，，，
由（1）同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠ACD=∠ABC，由已知条件可知∠ABN=∠ABC，∠CAB=∠MAN，则∠CAM=∠BAN，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①由（1）同理可得△ACM∽△ABN，由相似三角形的性质可得，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CAB∽△MAN，然后根据相似三角形的性质进行证明；
②过点M作MF⊥BN于点F，设AC=3x，则BC=4x，AB=5x，CD=x，AD=x，BD=x，根据相似三角形的性质可得CM=AC=3x，则DM=x，利用ASA证明△BDC≌△BDE，得到DE=CD=x，BE=BC=4x，然后表示出EM、AM、MN，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△MEF∽△BED，由相似三角形的性质可得MF，然后利用三角函数的概念进行计算.
20．（2023·南浔模拟）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H.
（1）当AB＜AD时，
①求证：BE＝CD，
②猜想∠BDF的度数，并说明理由.
（2）若时，求tan∠CDF的值（用含k的代数式表示）.
【答案】（1）解：证明：① 矩形ABCD，
AE平分∠BAD，
②如图，连结BF，
由（1）得： 则
（2）解：当时，如图，延长交的延长线于 过F作于
则 而
同理：
即
当时，如图，记交交于点 过F作于
同理：
即
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质可得AB=CD，∠BAD=∠ABC=90°，由角平分线的概念可得∠BAE=∠BEA=45°，推出AB=BE，据此证明；
②连结BF，由（1）得∠AEB=45°，则∠CEF=45°，∠BEF=135°，∠FCE=∠FEC=45°，推出EF=CF，∠BEF=∠DCF，利用SAS证明△BEF≌△DCF，得到BF=DF，∠BFE=∠DFC，然后结合∠AFD+∠DFC=90°就可求出∠BDF的度数；
（2）当ABAD时，记AF交DC交于点N， 过F作FM⊥CN于M， 同理求解即可.
21．（2023·南山模拟）
（1）如图1，纸片中，，，过点A作，垂足为E，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为____．（从以下选项中选取）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点F，使， 剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
①求证：四边形是菱形；
②连接，求的值．
【答案】（1）C
（2）解：①证明：∵平移得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；平移的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】（1）解：∵中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平移得到，
∴，
∴四边形的形状为矩形，
故答案为：C；
【分析】（1）由平行四边形的面积可求出AE=6，由平行线的性质及垂直的定义可推出，根据平移的性质可得，根据三个角是直角的四边形是矩形即证；
（2）①根据平移的性质可得四边形是平行四边形，由勾股定理求出AF=10，即得AF=AD，根据菱形的判定定理即证；②求出FE'=AD-EF=2，利用勾股定理求出DF=2，由AD∥EF可得， 从而得出，继而得解．
22．（2023九上·青秀期末）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点.
（1）【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由.
（2）【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值.
（3）【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）.
【答案】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或
（3）解：∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，
∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当FH=BF=nBE时，
，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的值为或.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠A=∠D=∠BEG=90°， 根据同角的余角相等得∠DEH=∠ABE， 从而即可判断出△ABE∽△DEH ；
（2）易得AD=4DH， 设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x， 则DE=4x-a， 根据相似三角形对应边成比例建立方程求解可用含a的式子表示出x，进而根据正切函数的定义即可求出答案；
（3）根据相似矩形的性质得EG=nBE， 当FH=BH时， 利用HL判断出Rt△BEH≌Rt△FGH，根据全等三角形的性质得EH=GH=，再根据相似三角形对应边成比例可得 ，根据线段的和差表示出AE，最后根据正切函数的定义可得答案； 当FH=BF=nBE时， 根据勾股定理表示出HG，进而根据线段的和差表示出EH， 再根据相似三角形对应边成比例可得 ，根据线段的和差表示出AE，最后根据正切函数的定义可得答案.
23．（2023九下·江岸月考）问题背景：
（1）如图1，正方形ABCD，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，有∠FOD＝90°，则＝　 　，若E为AB中点，则　 　；
（2）尝试应用：
如图2，平行四边形ABCD，AB＝5，BC＝4，点E边AB上，点F在边BC的延长线上，连接AF与DE交于点O，当∠FOD＝∠B时，求的值；
（3）类比拓展：
如图3，菱形ABCD中，（m>2），点E在边AB上，点F是BC延长线上一点，且满足，连接AF与DE交于点O时，∠DAO＝∠AED；直接写出cos∠ABF的值．（用含m的式子表示）
【答案】（1）1；
（2）解：在BC上取点G，使AG=CD，
∴∠ABG=∠AGB；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABG+∠BAD=180°，
∵∠AGB+∠AGF=180°，
∴∠AGF=∠BAD；
∵∠FOD＝∠B，
∵∠ABG=∠AGB，
∴∠FOD=∠AGB；
∵AD//BC，
∴∠F=∠DAO，
∵∠FOD=∠ADO+∠DAO，∠AGB=∠GAF+∠F；
∴∠ADO=∠GAF；
∴
∴
（3）解：如图，在BC上取点G，使AG=CD，作AH⊥BF于点H；
设：AE=2a，则BE=ma，CG=x，BC=BA=(m+2)a，由（2）得∠ADO=∠GAF，∠AGF=∠BAD；∵AD=CD，∴AG=AD，∴，则AE=FG=2a；CF=GF+CG=2a+x；
由得，解得：，BG=BC+CG=，
AB=AG，AH⊥BC，∴BH=GH==；
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠EAD=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°.
∵∠FOD=90°，
∴∠FOD=∠AOE=90°，
∴∠AED+∠EAO=90°，
∴∠ADE=∠EAO，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴DE=AF，
∴=1.
∵∠ADE=∠EAO，∠AOE=∠AOD=90°，
∴△AOE∽△DOA，
∴.
∵E为AB的中点，
∴AE=AD，
∴，
∴2AO=DO，
∴.
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠EAD=90°，由同角的余角相等可得∠ADE=∠EAO，利用ASA证明△ABF≌△DAE，得到DE=AF，据此可得第一空的答案；根据两角对应相等的两个三角形相似可得△AOE∽△DOA，根据中点的概念可得AE=AD，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（2）在BC上取点G，使AG=CD，则∠ABG=∠AGB，由平行四边形的性质可得∠ABG+∠BAD=180°，结合邻补角的性质可得∠AGF=∠BAD，由已知条件可知∠FOD＝∠B，进而得到∠FOD=∠AGB，根据平行线的性质可得∠F=∠DAO，结合外角的性质可得∠ADO=∠GAF，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△GAF，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）在BC上取点G，使AG=CD，作AH⊥BF于点H，设AE=2a，则BE=ma，CG=x，BC=BA=(m+2)a，利用ASA证明△AED≌△GFA，得到AE=FG=2a，CF=GF+CG=2a+x，结合已知条件可得x，然后表示出BG，由等腰三角形的性质可得BH=GH=BG=，然后根据三角函数的概念进行解答.
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