【提升卷】1.1锐角三角函数—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(2023九下·靖江期中)如图,点在正方形网格的格点上,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:如图,取格点,连接交于H,则A、C、D三点共线,且,
设,则,
在中,,
.
故答案为:D.
【分析】取格点D、E,连接CD、BE交于H,则A、C、D三点共线,且BH⊥AH,设BH=a,则AH=5a,利用勾股定理可得AB,然后根据三角函数的概念进行计算.
2.(2022九上·临清开学考)在中,,,则值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解: 在中,,, 设AC=4k,则AB=5k,
∴BC=3k
∴
故答案为:A.
【分析】根据余弦的定义,设AC=4k,则AB=5k,勾股定理求得BC=3k,根据正切的定义即可求解.
3.(2021九上·鄞州月考)如图,已知:45°<A<90°,则下列各式成立的是( )
A.sinA=cosA B.sinA>cosA C.sinA>tanA D.sinA<cosA
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解:∵45°<A<90°,
∴根据sin45°=cos45°,sinA随角度的增大而增大,cosA随角度的增大而减小,
当∠A>45°时,sinA>cosA.
故答案为:B.
【分析】根据sin45°=cos45°,sinA随角度的增大而增大,cosA随角度的增大而减小进行判断.
4.(2019·巴彦模拟)如果方程x2﹣8x+15=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边,△ABC最小的角为A,那么tanA的值为( )
A. B. C. D. 或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:x2﹣8x+15=0,
(x﹣3)(x﹣5)=0,
则x﹣3=0,x﹣5=0,
解得x=3或5,
①当3和5为直角边时:tanA= .
②当5为斜边时,另一直角边为4,tanA= .
故答案为:D.
【分析】解出一元二次方程两根后,就两根是直角三角形的两条直角边还是一条直角边、一条斜边分别进行讨论,再根据正切函数的定义可得。
5.(2023九下·萧山期中)在中,,,,则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵cos∠B=,∠B=35°,AB=7,
∴BC=AB·cos∠B=7cos35°.
故答案为:B.
【分析】根据三角函数的概念可得cos∠B=,据此解答.
6.(2023九下·深圳月考)如图,某商场有一自动扶梯,其倾斜角为α,高为h米,扶梯的长度是( )
A. B.hcosα C.hsinα D.
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:设扶梯的长度为x米,
根据题意,sinα=
解得x=
故答案为:D
【分析】设扶梯的长度为x米,利用正弦的定义得到sinα=,然后求出x即可.
7.(2020九上·舒城期末)下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解:A、没有计算结果,不符合题意;
B、没有计算结果,不符合题意;
C、 ,不符合题意;
D、符合互余两角的三角函数关系,符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据互余两角三角函数的关系,转化为同名三角函数,再根据同名三角函数的增减性进行判断即可。
8.(2021九上·渭滨期末)如图,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A,关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是( )
A.sinA的值越大,梯子越陡
B.cosA的值越大,梯子越陡
C.tanA的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与∠A的三角函数值无关
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解:A、 sinA的值越大,梯子越陡,故A正确;
B、cosA的值越小,梯子越陡,故B错误;
C、tanA的值越大,梯子越陡,故C错误;
D、陡缓程度与∠A的三角函数值有关,故D错误.
故答案为:A.
【分析】锐角三角函数值的变化规律:正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大;余弦值和余切值都是随着角度的增大而减小.
9.(2021九上·宜宾期末)将一矩形纸片ABCD沿CE折叠,B点恰好落在AD边上的F处,若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题);互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解:∵∠AFE+∠CFD=90°,
∴ ,
由折叠可知,CB=CF,
矩形ABCD中,AB=CD,
.
故答案为:D.
【分析】根据互余两角三角函数的关系可得cos∠AFE=sin∠CFD,由折叠的性质可得CB=CF,由矩形的性质可得AB=CD,然后利用三角函数的概念进行计算.
10.(2023九下·柯桥月考)矩形纸片中,,将纸片对折,使顶点A与顶点C重合,得折痕,将纸片展开铺平后再进行折叠,使顶点B与顶点D重合,得折痕,展开铺平后如图所示.若折痕与较小的夹角记为,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:如图,连接AC、BM、DN、CE,过点M作MG⊥AC于点G,
∵四边形ABCD是矩形,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
设,,
∴BC=AD=2a,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
由折叠可知,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
故答案为:D.
【分析】连接AC、BM、DN、CE,过点M作MG⊥AC于点G,由矩形的性质及同角的余角相等得∠ACB=∠MAG,由有两组角对应相等的两个三角形相似得△MAG∽△ABC,由相似三角形对应边成比例得,设AM=x,AB=a,则BC=AD=2a,MB=MD=2a-x,用勾股定理表示出AC,在Rt△ABM中利用勾股定理建立方程用含a的式子表示出x,由折叠的性质得,,代入比例式可表示出MG、AG,进而表示出OG,利用正切函数的定义求出tan∠GMO,由平行线的性质推出∠GMO=∠MOE,由等角的同名三角函数值相等即可得出答案.
二、填空题(每题3分,共15分)
11.选“<、=或>”中合适的符号填空:sin20° sin70°,sin50° cos40°.
【答案】<;=
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解:∵正弦值随着角的增大而增大,
∴sin20°<sin70°,
∵cos40°=sin50°,
∴sin50°=cos40°.
故填:<,=.
【分析】把余弦转化成正弦,然后根据锐角三角函数值的变化规律,正弦值随着角的增大而增大即可求出结果.
12.(2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练:1.1.2 锐角三角函数)如图,P是∠α的边OA上一点,且P点的坐标为(3,4),则sin(90°﹣α)= .
【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解:由勾股定理,得
OP= =5.
由一个角的余弦等于它余角的正弦,得
sin(90°﹣α)=cosα= ,
故答案为: .
【分析】首先根据已知条件由勾股定理求OP,再由一个角的余弦等于它余角的正弦可求解。
13.(2023九下·淳安期中)在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,若∠BPC=∠BAC,tan∠BPC= .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:过点A作AD⊥BC于点D,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,BD=CD.
∵AB=AC=5,BC=8,
∴BD=CD=4,
∴AD==3.
∵∠BAD=∠CAD, ∠BPC=∠BAC
∴∠BPC=∠BAD,
∴tan∠BPC=tan∠BAD=.
故答案为:.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D,由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD,BD=CD=4,利用勾股定理可得AD,结合∠BPC=∠BAC可得∠BPC=∠BAD,然后利用三角函数的概念进行计算.
14.(2023九下·江津期中)如图,在矩形纸片中,,,将沿折叠到位置,交于点F,则的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵四边形是矩形,
,,,,
,
由折叠的性质可得,
,
,
设,则,,
在中,根据勾股定理得:,
,
解得,即,
,
,
故答案为:.
【分析】根据矩形的性质可得∠A=90°,AB∥CD,AD=BC=3,AB=CD=5,根据平行线的性质可得∠BDC=∠DBF,由折叠的性质可得∠BDC=∠BDF,进而推出BF=DF,设BF=x,则DF=x,AF=5-x,然后在Rt△ADF中,根据勾股定理求出x的值,再求出AF的值,接下来根据三角函数的概念进行计算.
15.(2023九下·靖江期中)如图,在中,平分,于点D,,若,,则的值为 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义;三角形全等的判定-ASA;角平分线的概念
【解析】【解答】解:如图,延长交于点E,
∵平分,于点D,
,
在和中,
,
,
,
∵,
,
∵,
,
,
.
故答案为:.
【分析】延长BD交AC于点E,由角平分线的概念可得∠DCE=∠DCB,利用ASA证明△DCE≌△DCB,得到BD=ED=1,CB=CE,由已知条件可知∠ABD=∠A,则AE=BE=2BD=2,CE=AC-AE=5,然后利用三角函数的概念进行计算.
三、解答题(共8题,共55分)
16.(2022九上·潞城月考)已知:如图,在△ABC中,CD⊥AB,sinA =,CD =4,AB =5,求AD的长和tanB的值.
【答案】解:
∵,
∴
∵,,
∴
根据勾股定理可得
∴
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据,,求出AC的长,利用勾股定理求出AD的长,再利用正切的定义可得。
17.(2021九上·枣庄月考)如图,在中,,延长斜边BC到点D,使,联结AD,如果,求的值.
【答案】解:过点C作交AD于点,
则,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
即,
∴,
∴,
在中,
∵,即,
设,则,
∴,
∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点C作交AD于点,先证明,再利用相似的性质可得,再结合,可得,再根据 ,即,设,则, 最后利用计算即可。
18.(2023九上·平昌期末)如图,矩形ABCD中,M为BC上一点,EM⊥AM交AD的延长线于点E.
①求证:△ABM∽△EMA.
②若AB=4,BM=3,求sinE的值.
【答案】解:①证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠EAM=∠AMB,
∵EM⊥AM,
∴∠AME=90°,
∵∠B=∠AME,∠AMB=∠EAM,
∴△ABM∽△EMA;
②解:∵△ABM∽△EMA,
∴∠E=∠BAM,
在Rt△ABM中,AM===5,
∴sin∠BAM=,
∴sinE=.
【知识点】平行线的性质;勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】①根据矩形的性质可得∠B=90°,AD∥BC,由平行线的性质可得∠EAM=∠AMB,然后根据相似三角形的判定定理进行证明;
②根据相似三角形的性质可得∠E=∠BAM,利用勾股定理可得AM,然后根据三角函数的概念进行计算.
19.(2022九上·惠州开学考)如图,在平行四边形 中, 于点 , 于点 ,平行四边形 的周长为 28,面积为 40,.求:
(1)的长;
(2) 的值.
【答案】(1)解:平行四边形中,,,
平行四边形的周长为28,
,
又,
,,
又,
.
(2)解:在四边形中,,
又,,
,
又在平行四边形中,,
,
在中,,
.
【知识点】平行四边形的性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质和周长得出AB=8,AD=6,再根据平行四边形的面积即可得出DE的长;
(2)先证出∠EDF=∠A,再根据锐角三角函数定义求出sin∠A的值,即可得出答案.
20.(2021九上·揭东期末)如图,矩形ABCD中,M为BC上一点,EM⊥AM交AD的延长线于点E.
(1)求证:△ABM∽△EMA.
(2)若AB=4,BM=3,求sinE的值.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠EAM=∠AMB,
∵EM⊥AM,
∴∠AME=90°,
∵∠B=∠AME,∠AMB=∠EAM,
∴△ABM∽△EMA;
(2)解:∵△ABM∽△EMA,
∴∠E=∠BAM,
在Rt△ABM中,AM===5,
∴sin∠BAM=,
∴sinE=.
【知识点】相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)先求出 ∠EAM=∠AMB, 再求出 ∠AME=90°, 最后证明即可;
(2)先求出 ∠E=∠BAM, 再利用勾股定理求出AM=5,最后利用锐角三角函数计算求解即可。
21.(2023九下·杭州月考)如图,矩形中,,E是上一点,沿折叠,点A恰好落在线段的点F处,连接.
(1)求证:;
(2)若,则 ;
(3)设,,求m与k满足的关系式.
【答案】(1)证明:由折叠的性质可知,,
∵,
∴,
∴,
∴;
(2)
(3)解:∵,,
∴,,
∴,
在中,,即,
得.
【知识点】勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:(2)解:∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴由勾股定理可得: ,
∴;
【分析】(1)由折叠循性质得∠BEA=∠BEF,由二直线平行,内错角相等得∠BEA=∠EBC,则∠BEF=∠EBC,由等角对等边得BC=CE;
(2)用AE表示出CE、DE,进而用勾股定理表示出DC,然后根据余弦函数的定义可求出答案;
(3)由已知易得AE=kAD,AB=mAD,则DE=AD-AE=(1-k)AD,在Rt△CED中,根据勾股定理建立方程进而化简即可得出答案.
22.(初中数学北师大版九年级下册1.1锐角三角函数练习题)如图
(1)如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.
(2)根据你探索到的规律试比较18°,34°,50°,62°,88°,这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
(3)比较大小(在空格处填写“>”“=”“<”号),若α=45°,则sinα cosα;若0°<α<45°,则sinα cosα;若45°<α<90°,sinα cosα.
【答案】(1)解:在图中,令AB1=AB2=AB3,B1C1⊥AC于点C1,B2C2⊥AC于点C2,B3C3⊥AC于点C3,
显然有:B1C1>B2C2>B3C3,∠B1AC>∠B2AC>∠B3AC.
∵sin∠B1AC= ,sin∠B2AC= ,sin∠B3AC= ,
而 > > ,
∴sin∠B1AC>sin∠B2AC>sin∠B3AC.
在图中,Rt△ACB3中,∠C=90°,
cos∠B1AC= ,cos∠B2AC= ,cos∠B3AC= ,
∵AB3>AB2>AB1,
∴ > > .
即cos∠B3AC<cos∠B2AC<cos∠B1AC;
结论:锐角的正弦值随角度的增大而增大,锐角的余弦值随角度的增大而减小.
(2)解:由(1)可知:
sin88°>sin62°>sin50°>sin34°>sin18°;
cos88°<cos62°<cos50°<cos34°<cos18°
(3)=;<;>
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解:(3)若α=45°,则sinα=cosα;若0°<α<45°,则sinα<cosα;若45°<α<90°,则sinα>cosα.
故答案为:=,<,>.
【分析】(1)根据锐角三角函数的概念,即可发现随着一个锐角的增大,它的对边在逐渐增大,它的邻边在逐渐减小,故正弦值随着角的增大而增大,余弦值随着角的增大而减小.(2)根据上述规律,要比较锐角三角函数值的大小,只需比较角的大小.(3)根据概念以及等腰三角形的性质,显然45°的正弦值和余弦值是相等的,再根据锐角三角函数值的变化规律,即可得到结论.
23.(2022九上·茂南期末)如图,已知,,,,过A作y轴的垂线交反比例函数 的图象于点D,连接,.
(1)证明:四边形为菱形;
(2)求此反比例函数的解析式;
(3)求的值.
【答案】(1)证明:轴,在 x 轴上,
,
,
四边形为平行四边形,
,,,
,,,
,,
,
平行四边形为菱形;
(2)解:四边形为菱形,
,,
点的坐标为,
反比例函数的图象经过D点,
,
,
反比例函数的解析式为:;
(3)解:
,
在中,,,
,
.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式;菱形的判定;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)先证明四边形为平行四边形,再结合,可得平行四边形为菱形;
(2)先求出点D的坐标,再利用待定系数法求出函数解析式即可;
(3)先利用勾股定理求出AC的长,再利用正弦的定义可得。
1 / 1【提升卷】1.1锐角三角函数—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(2023九下·靖江期中)如图,点在正方形网格的格点上,则( )
A. B. C. D.
2.(2022九上·临清开学考)在中,,,则值为( )
A. B. C. D.
3.(2021九上·鄞州月考)如图,已知:45°<A<90°,则下列各式成立的是( )
A.sinA=cosA B.sinA>cosA C.sinA>tanA D.sinA<cosA
4.(2019·巴彦模拟)如果方程x2﹣8x+15=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边,△ABC最小的角为A,那么tanA的值为( )
A. B. C. D. 或
5.(2023九下·萧山期中)在中,,,,则的长为( )
A. B. C. D.
6.(2023九下·深圳月考)如图,某商场有一自动扶梯,其倾斜角为α,高为h米,扶梯的长度是( )
A. B.hcosα C.hsinα D.
7.(2020九上·舒城期末)下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
8.(2021九上·渭滨期末)如图,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A,关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是( )
A.sinA的值越大,梯子越陡
B.cosA的值越大,梯子越陡
C.tanA的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与∠A的三角函数值无关
9.(2021九上·宜宾期末)将一矩形纸片ABCD沿CE折叠,B点恰好落在AD边上的F处,若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
10.(2023九下·柯桥月考)矩形纸片中,,将纸片对折,使顶点A与顶点C重合,得折痕,将纸片展开铺平后再进行折叠,使顶点B与顶点D重合,得折痕,展开铺平后如图所示.若折痕与较小的夹角记为,则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分,共15分)
11.选“<、=或>”中合适的符号填空:sin20° sin70°,sin50° cos40°.
12.(2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练:1.1.2 锐角三角函数)如图,P是∠α的边OA上一点,且P点的坐标为(3,4),则sin(90°﹣α)= .
13.(2023九下·淳安期中)在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,若∠BPC=∠BAC,tan∠BPC= .
14.(2023九下·江津期中)如图,在矩形纸片中,,,将沿折叠到位置,交于点F,则的值为 .
15.(2023九下·靖江期中)如图,在中,平分,于点D,,若,,则的值为 .
三、解答题(共8题,共55分)
16.(2022九上·潞城月考)已知:如图,在△ABC中,CD⊥AB,sinA =,CD =4,AB =5,求AD的长和tanB的值.
17.(2021九上·枣庄月考)如图,在中,,延长斜边BC到点D,使,联结AD,如果,求的值.
18.(2023九上·平昌期末)如图,矩形ABCD中,M为BC上一点,EM⊥AM交AD的延长线于点E.
①求证:△ABM∽△EMA.
②若AB=4,BM=3,求sinE的值.
19.(2022九上·惠州开学考)如图,在平行四边形 中, 于点 , 于点 ,平行四边形 的周长为 28,面积为 40,.求:
(1)的长;
(2) 的值.
20.(2021九上·揭东期末)如图,矩形ABCD中,M为BC上一点,EM⊥AM交AD的延长线于点E.
(1)求证:△ABM∽△EMA.
(2)若AB=4,BM=3,求sinE的值.
21.(2023九下·杭州月考)如图,矩形中,,E是上一点,沿折叠,点A恰好落在线段的点F处,连接.
(1)求证:;
(2)若,则 ;
(3)设,,求m与k满足的关系式.
22.(初中数学北师大版九年级下册1.1锐角三角函数练习题)如图
(1)如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.
(2)根据你探索到的规律试比较18°,34°,50°,62°,88°,这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
(3)比较大小(在空格处填写“>”“=”“<”号),若α=45°,则sinα cosα;若0°<α<45°,则sinα cosα;若45°<α<90°,sinα cosα.
23.(2022九上·茂南期末)如图,已知,,,,过A作y轴的垂线交反比例函数 的图象于点D,连接,.
(1)证明:四边形为菱形;
(2)求此反比例函数的解析式;
(3)求的值.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:如图,取格点,连接交于H,则A、C、D三点共线,且,
设,则,
在中,,
.
故答案为:D.
【分析】取格点D、E,连接CD、BE交于H,则A、C、D三点共线,且BH⊥AH,设BH=a,则AH=5a,利用勾股定理可得AB,然后根据三角函数的概念进行计算.
2.【答案】A
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解: 在中,,, 设AC=4k,则AB=5k,
∴BC=3k
∴
故答案为:A.
【分析】根据余弦的定义,设AC=4k,则AB=5k,勾股定理求得BC=3k,根据正切的定义即可求解.
3.【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解:∵45°<A<90°,
∴根据sin45°=cos45°,sinA随角度的增大而增大,cosA随角度的增大而减小,
当∠A>45°时,sinA>cosA.
故答案为:B.
【分析】根据sin45°=cos45°,sinA随角度的增大而增大,cosA随角度的增大而减小进行判断.
4.【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:x2﹣8x+15=0,
(x﹣3)(x﹣5)=0,
则x﹣3=0,x﹣5=0,
解得x=3或5,
①当3和5为直角边时:tanA= .
②当5为斜边时,另一直角边为4,tanA= .
故答案为:D.
【分析】解出一元二次方程两根后,就两根是直角三角形的两条直角边还是一条直角边、一条斜边分别进行讨论,再根据正切函数的定义可得。
5.【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵cos∠B=,∠B=35°,AB=7,
∴BC=AB·cos∠B=7cos35°.
故答案为:B.
【分析】根据三角函数的概念可得cos∠B=,据此解答.
6.【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:设扶梯的长度为x米,
根据题意,sinα=
解得x=
故答案为:D
【分析】设扶梯的长度为x米,利用正弦的定义得到sinα=,然后求出x即可.
7.【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解:A、没有计算结果,不符合题意;
B、没有计算结果,不符合题意;
C、 ,不符合题意;
D、符合互余两角的三角函数关系,符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据互余两角三角函数的关系,转化为同名三角函数,再根据同名三角函数的增减性进行判断即可。
8.【答案】A
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解:A、 sinA的值越大,梯子越陡,故A正确;
B、cosA的值越小,梯子越陡,故B错误;
C、tanA的值越大,梯子越陡,故C错误;
D、陡缓程度与∠A的三角函数值有关,故D错误.
故答案为:A.
【分析】锐角三角函数值的变化规律:正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大;余弦值和余切值都是随着角度的增大而减小.
9.【答案】D
【知识点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题);互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解:∵∠AFE+∠CFD=90°,
∴ ,
由折叠可知,CB=CF,
矩形ABCD中,AB=CD,
.
故答案为:D.
【分析】根据互余两角三角函数的关系可得cos∠AFE=sin∠CFD,由折叠的性质可得CB=CF,由矩形的性质可得AB=CD,然后利用三角函数的概念进行计算.
10.【答案】D
【知识点】勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:如图,连接AC、BM、DN、CE,过点M作MG⊥AC于点G,
∵四边形ABCD是矩形,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
设,,
∴BC=AD=2a,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
由折叠可知,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
故答案为:D.
【分析】连接AC、BM、DN、CE,过点M作MG⊥AC于点G,由矩形的性质及同角的余角相等得∠ACB=∠MAG,由有两组角对应相等的两个三角形相似得△MAG∽△ABC,由相似三角形对应边成比例得,设AM=x,AB=a,则BC=AD=2a,MB=MD=2a-x,用勾股定理表示出AC,在Rt△ABM中利用勾股定理建立方程用含a的式子表示出x,由折叠的性质得,,代入比例式可表示出MG、AG,进而表示出OG,利用正切函数的定义求出tan∠GMO,由平行线的性质推出∠GMO=∠MOE,由等角的同名三角函数值相等即可得出答案.
11.【答案】<;=
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解:∵正弦值随着角的增大而增大,
∴sin20°<sin70°,
∵cos40°=sin50°,
∴sin50°=cos40°.
故填:<,=.
【分析】把余弦转化成正弦,然后根据锐角三角函数值的变化规律,正弦值随着角的增大而增大即可求出结果.
12.【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解:由勾股定理,得
OP= =5.
由一个角的余弦等于它余角的正弦,得
sin(90°﹣α)=cosα= ,
故答案为: .
【分析】首先根据已知条件由勾股定理求OP,再由一个角的余弦等于它余角的正弦可求解。
13.【答案】
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:过点A作AD⊥BC于点D,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,BD=CD.
∵AB=AC=5,BC=8,
∴BD=CD=4,
∴AD==3.
∵∠BAD=∠CAD, ∠BPC=∠BAC
∴∠BPC=∠BAD,
∴tan∠BPC=tan∠BAD=.
故答案为:.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D,由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD,BD=CD=4,利用勾股定理可得AD,结合∠BPC=∠BAC可得∠BPC=∠BAD,然后利用三角函数的概念进行计算.
14.【答案】
【知识点】勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵四边形是矩形,
,,,,
,
由折叠的性质可得,
,
,
设,则,,
在中,根据勾股定理得:,
,
解得,即,
,
,
故答案为:.
【分析】根据矩形的性质可得∠A=90°,AB∥CD,AD=BC=3,AB=CD=5,根据平行线的性质可得∠BDC=∠DBF,由折叠的性质可得∠BDC=∠BDF,进而推出BF=DF,设BF=x,则DF=x,AF=5-x,然后在Rt△ADF中,根据勾股定理求出x的值,再求出AF的值,接下来根据三角函数的概念进行计算.
15.【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义;三角形全等的判定-ASA;角平分线的概念
【解析】【解答】解:如图,延长交于点E,
∵平分,于点D,
,
在和中,
,
,
,
∵,
,
∵,
,
,
.
故答案为:.
【分析】延长BD交AC于点E,由角平分线的概念可得∠DCE=∠DCB,利用ASA证明△DCE≌△DCB,得到BD=ED=1,CB=CE,由已知条件可知∠ABD=∠A,则AE=BE=2BD=2,CE=AC-AE=5,然后利用三角函数的概念进行计算.
16.【答案】解:
∵,
∴
∵,,
∴
根据勾股定理可得
∴
【知识点】勾股定理;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据,,求出AC的长,利用勾股定理求出AD的长,再利用正切的定义可得。
17.【答案】解:过点C作交AD于点,
则,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
即,
∴,
∴,
在中,
∵,即,
设,则,
∴,
∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点C作交AD于点,先证明,再利用相似的性质可得,再结合,可得,再根据 ,即,设,则, 最后利用计算即可。
18.【答案】解:①证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠EAM=∠AMB,
∵EM⊥AM,
∴∠AME=90°,
∵∠B=∠AME,∠AMB=∠EAM,
∴△ABM∽△EMA;
②解:∵△ABM∽△EMA,
∴∠E=∠BAM,
在Rt△ABM中,AM===5,
∴sin∠BAM=,
∴sinE=.
【知识点】平行线的性质;勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】①根据矩形的性质可得∠B=90°,AD∥BC,由平行线的性质可得∠EAM=∠AMB,然后根据相似三角形的判定定理进行证明;
②根据相似三角形的性质可得∠E=∠BAM,利用勾股定理可得AM,然后根据三角函数的概念进行计算.
19.【答案】(1)解:平行四边形中,,,
平行四边形的周长为28,
,
又,
,,
又,
.
(2)解:在四边形中,,
又,,
,
又在平行四边形中,,
,
在中,,
.
【知识点】平行四边形的性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质和周长得出AB=8,AD=6,再根据平行四边形的面积即可得出DE的长;
(2)先证出∠EDF=∠A,再根据锐角三角函数定义求出sin∠A的值,即可得出答案.
20.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠EAM=∠AMB,
∵EM⊥AM,
∴∠AME=90°,
∵∠B=∠AME,∠AMB=∠EAM,
∴△ABM∽△EMA;
(2)解:∵△ABM∽△EMA,
∴∠E=∠BAM,
在Rt△ABM中,AM===5,
∴sin∠BAM=,
∴sinE=.
【知识点】相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)先求出 ∠EAM=∠AMB, 再求出 ∠AME=90°, 最后证明即可;
(2)先求出 ∠E=∠BAM, 再利用勾股定理求出AM=5,最后利用锐角三角函数计算求解即可。
21.【答案】(1)证明:由折叠的性质可知,,
∵,
∴,
∴,
∴;
(2)
(3)解:∵,,
∴,,
∴,
在中,,即,
得.
【知识点】勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:(2)解:∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴由勾股定理可得: ,
∴;
【分析】(1)由折叠循性质得∠BEA=∠BEF,由二直线平行,内错角相等得∠BEA=∠EBC,则∠BEF=∠EBC,由等角对等边得BC=CE;
(2)用AE表示出CE、DE,进而用勾股定理表示出DC,然后根据余弦函数的定义可求出答案;
(3)由已知易得AE=kAD,AB=mAD,则DE=AD-AE=(1-k)AD,在Rt△CED中,根据勾股定理建立方程进而化简即可得出答案.
22.【答案】(1)解:在图中,令AB1=AB2=AB3,B1C1⊥AC于点C1,B2C2⊥AC于点C2,B3C3⊥AC于点C3,
显然有:B1C1>B2C2>B3C3,∠B1AC>∠B2AC>∠B3AC.
∵sin∠B1AC= ,sin∠B2AC= ,sin∠B3AC= ,
而 > > ,
∴sin∠B1AC>sin∠B2AC>sin∠B3AC.
在图中,Rt△ACB3中,∠C=90°,
cos∠B1AC= ,cos∠B2AC= ,cos∠B3AC= ,
∵AB3>AB2>AB1,
∴ > > .
即cos∠B3AC<cos∠B2AC<cos∠B1AC;
结论:锐角的正弦值随角度的增大而增大,锐角的余弦值随角度的增大而减小.
(2)解:由(1)可知:
sin88°>sin62°>sin50°>sin34°>sin18°;
cos88°<cos62°<cos50°<cos34°<cos18°
(3)=;<;>
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解:(3)若α=45°,则sinα=cosα;若0°<α<45°,则sinα<cosα;若45°<α<90°,则sinα>cosα.
故答案为:=,<,>.
【分析】(1)根据锐角三角函数的概念,即可发现随着一个锐角的增大,它的对边在逐渐增大,它的邻边在逐渐减小,故正弦值随着角的增大而增大,余弦值随着角的增大而减小.(2)根据上述规律,要比较锐角三角函数值的大小,只需比较角的大小.(3)根据概念以及等腰三角形的性质,显然45°的正弦值和余弦值是相等的,再根据锐角三角函数值的变化规律,即可得到结论.
23.【答案】(1)证明:轴,在 x 轴上,
,
,
四边形为平行四边形,
,,,
,,,
,,
,
平行四边形为菱形;
(2)解:四边形为菱形,
,,
点的坐标为,
反比例函数的图象经过D点,
,
,
反比例函数的解析式为:;
(3)解:
,
在中,,,
,
.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式;菱形的判定;锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)先证明四边形为平行四边形,再结合,可得平行四边形为菱形;
(2)先求出点D的坐标,再利用待定系数法求出函数解析式即可;
(3)先利用勾股定理求出AC的长,再利用正弦的定义可得。
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