【基础卷】1.2 30°、45°、60°角的三角函数值—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九下·长兴月考）已知α是锐角，若sinα=
，则α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．（2022九上·文登期中）的倒数是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2022九上·牟平期中）计算的值（ ）
A．3 B．1 C． D．
4．（2021九上·平远期末）2sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九下·泾阳月考）计算sin 45°+cos45°的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
6．（2021九上·利辛期末）已知，则锐角的取值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·深圳）计算 的值为（ ）
A． B．0 C． D．
8．（2022九上·蒙城月考）若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA的值是（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2022九下·深圳月考）在ABC中，，，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2022九下·汕头期末）在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sinA= ，tanC= ，则∠ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2021九上·潜山期末）sin30°+cos60°＝ ．
12．（2022九上·杭州月考） .
13．（2023九上·平桂期末）在锐角三角形中，，则的大小是 .
14．（2023九下·靖江期中）已知中，，，则的度数为 .
15．（2021九上·埇桥期末）已知：，则锐角的度数为 ．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023九下·灌南期中）计算：
17．（2023九下·大丰月考）计算：
（1） ；
（2） .
18．（2022九上·临清开学考）计算
（1）；
（2）．
19．（2023九下·江都月考）
（1）解方程：
（2）计算：
20．（2022九上·哈尔滨月考）先化简，再求代数式的值，其中．
21．（2022九上·淅川期中）先化简，再求值：，其中.
22．（2022九上·芝罘期中）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵a是锐角，sina=
，
∴a=30°.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值可知，sin30°=
，即可判断a的度数.
2．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴的倒数是．
故答案为：B．
【分析】利用特殊角的三角函数值得到sin值，再根据倒数定义求解即可。
3．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】直接将30°角的余弦值代入计算即可.
4．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：2sin60°＝2×，
故答案为：D．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 解：
.
故答案为：C.
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tan＝1，为锐角，
又∵tan45°＝1，
∴∠＝45°，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角形函数值求解即可。
7．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】把代入，再根据绝对值的意义进行计算，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】因为，sinA＝，
所以，∠A=60°
所以，cosA=cos60°=
故答案为：D
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
9．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴tanA=tan30°＝．
故答案为：A．
【分析】利用特殊角的三角函数值求出∠A＝30°，再求出tanA=tan30°＝即可。
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinA= ，tanC=，
∴∠A=60°，∠C=60°，
∴∠B=∠A=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值得出∠A=60°，∠C=60°，从而得出∠B=∠A=∠C=60°，即可判断△ABC是等边三角形.
11．【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
故答案为：1
【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
12．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2×+3×，计算即可.
13．【答案】30°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，而sinB＝，
∴锐角为，
故答案为：30°
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答.
14．【答案】60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答.
15．【答案】75°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据特殊三角函数值，确定角的度数即可解得.
16．【答案】解；原式
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，再根据0指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，最后计算有理数的加减法可得答案.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值；含乘方的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）先计算乘方运算及化简绝对值，再计算有理数的除法，进而计算有理数的加法即可得出答案；
（2）先代入特殊锐角三角函数值，同时根据负整数指数幂的性质、二次根式的性质及绝对值性质分别化简，再计算有理数的加减法及合并同类二次根式即可.
18．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行混合运算，即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
19．【答案】（1）解：
∴
∴，
（2）解：原式
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式求出方程的根；
（2）先代入特殊锐角三角函数值，再根据二次根式的性质及0指数幂的性质分别化简，然后计算乘法，进而合并同类二次根式即可.
20．【答案】解：原式=
；
∵，
∴原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出a的值，最后将a的值代入计算即可。
21．【答案】解：原式
，
∵，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，由特殊角的三角函数值和二次根式的运算法则求得a的值，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
22．【答案】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时
由题意得：
过点A作交其延长线于点D
在中，，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：
，
解得(不合题意，舍去)
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为1小时．
【知识点】勾股定理的应用；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意可得出∠ABC，AB=6，BC=10x，AC=14x，过点A作 ADCB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出 CD=10x+3.在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可。
1 / 1【基础卷】1.2 30°、45°、60°角的三角函数值—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九下·长兴月考）已知α是锐角，若sinα=
，则α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵a是锐角，sina=
，
∴a=30°.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值可知，sin30°=
，即可判断a的度数.
2．（2022九上·文登期中）的倒数是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴的倒数是．
故答案为：B．
【分析】利用特殊角的三角函数值得到sin值，再根据倒数定义求解即可。
3．（2022九上·牟平期中）计算的值（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】直接将30°角的余弦值代入计算即可.
4．（2021九上·平远期末）2sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：2sin60°＝2×，
故答案为：D．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行判断即可.
5．（2022九下·泾阳月考）计算sin 45°+cos45°的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 解：
.
故答案为：C.
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.
6．（2021九上·利辛期末）已知，则锐角的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tan＝1，为锐角，
又∵tan45°＝1，
∴∠＝45°，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角形函数值求解即可。
7．（2021·深圳）计算 的值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】把代入，再根据绝对值的意义进行计算，即可得出答案.
8．（2022九上·蒙城月考）若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】因为，sinA＝，
所以，∠A=60°
所以，cosA=cos60°=
故答案为：D
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
9．（2022九下·深圳月考）在ABC中，，，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴tanA=tan30°＝．
故答案为：A．
【分析】利用特殊角的三角函数值求出∠A＝30°，再求出tanA=tan30°＝即可。
10．（2022九下·汕头期末）在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sinA= ，tanC= ，则∠ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinA= ，tanC=，
∴∠A=60°，∠C=60°，
∴∠B=∠A=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值得出∠A=60°，∠C=60°，从而得出∠B=∠A=∠C=60°，即可判断△ABC是等边三角形.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2021九上·潜山期末）sin30°+cos60°＝ ．
【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
故答案为：1
【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
12．（2022九上·杭州月考） .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2×+3×，计算即可.
13．（2023九上·平桂期末）在锐角三角形中，，则的大小是 .
【答案】30°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，而sinB＝，
∴锐角为，
故答案为：30°
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答.
14．（2023九下·靖江期中）已知中，，，则的度数为 .
【答案】60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答.
15．（2021九上·埇桥期末）已知：，则锐角的度数为 ．
【答案】75°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据特殊三角函数值，确定角的度数即可解得.
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023九下·灌南期中）计算：
【答案】解；原式
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，再根据0指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，最后计算有理数的加减法可得答案.
17．（2023九下·大丰月考）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值；含乘方的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）先计算乘方运算及化简绝对值，再计算有理数的除法，进而计算有理数的加法即可得出答案；
（2）先代入特殊锐角三角函数值，同时根据负整数指数幂的性质、二次根式的性质及绝对值性质分别化简，再计算有理数的加减法及合并同类二次根式即可.
18．（2022九上·临清开学考）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行混合运算，即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
19．（2023九下·江都月考）
（1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1）解：
∴
∴，
（2）解：原式
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式求出方程的根；
（2）先代入特殊锐角三角函数值，再根据二次根式的性质及0指数幂的性质分别化简，然后计算乘法，进而合并同类二次根式即可.
20．（2022九上·哈尔滨月考）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：原式=
；
∵，
∴原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出a的值，最后将a的值代入计算即可。
21．（2022九上·淅川期中）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
，
∵，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，由特殊角的三角函数值和二次根式的运算法则求得a的值，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
22．（2022九上·芝罘期中）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船正在沿南偏西75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以14海里的速度沿北偏西某一方向航行，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
【答案】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时
由题意得：
过点A作交其延长线于点D
在中，，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：
，
解得(不合题意，舍去)
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为1小时．
【知识点】勾股定理的应用；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意可得出∠ABC，AB=6，BC=10x，AC=14x，过点A作 ADCB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出 CD=10x+3.在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可。
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