【培优卷】1.2 30°、45°、60°角的三角函数值—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·青岛模拟）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，） B．（3，-） C．（，） D．（，-）
【答案】D
【知识点】菱形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0=∠B′FO=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=，
∴∠B′OF=45°，
在Rt△B′OF中，
OF=OB′ cos45°=×=，
∴B′F=，
∴点B′的坐标为：（，-）．
故答案为：D．
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
2．（2022·仙桃）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AD，如图：
∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=.
故答案为：C.
【分析】连接AD，易得△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，则AD= BD= BC= AC，推出四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，则∠ABD=∠ABC=30°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
3．（2022·灞桥模拟）在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E，F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+）：2，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
，
，
四边形BEDF是菱形，
，，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由，可得，由，可得，从而得出∠EDF=30°，根据特殊角三角函数值即可求解.
4．（2021·河南模拟）如图，在 OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）.按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；求特殊角的三角函数值；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接HC，OH，过A点作AM⊥x轴于M，如图，
∵点A（1， ），点C（3，0）
∴OM＝1，AM＝ ，OC＝3，
∴OA＝ ＝2，
∵tan∠AOM＝ ＝ ，
∴∠AOM＝60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠AOM＝60°，BC＝OA＝2，
由作法得EF垂直平分BC，
∴HC＝HB，
∴△HBC为等边三角形，
∴BH＝2，
∴AH＝1，
∴H点的坐标为（2， ），
∴OH＝ ＝ .
故答案为：B.
【分析】连接HC，OH，过A点作AM⊥x轴于M，如图，由A、B坐标可得OM＝1，AM＝ ，OC＝3，利用勾股定理求出OA=2，根据∠AOM正切函数值，可求出∠AOM＝60°，由平行四边形的性质可得∠B＝∠AOM＝60°，BC＝OA＝2，再证△HBC为等边三角形，可得BH=BC＝2，从而求出AH＝1，即得H点的坐标为（2， ），利用勾股定理求出OH即可.
5．（2021·滨湖模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连结BE.若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图：设 相交于点
由翻折可知： ，
∠ACB＝90°
四边形BCDE是平行四边形
，
在 中
，
AC＝3
故答案为：A.
【分析】设 相交于点 ，先求出，利用锐角三角函数可求出，由，即可求出BC.
6．（2021·许昌模拟）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点B在x轴的正半轴上， ，点A的坐标为 ，将 绕点О逆时针旋转，使点B的对应点 落在边OA上，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：过 点作x轴垂线，垂足为C，
A的坐标为 ，即 ，
，
则 ，
，则 ，
，
，
，
的坐标为(-1， )，
故答案为：A.
【分析】过A'点作x轴垂线，垂足为C，根据旋转的性质和勾股定理求出OA=OA′=2，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值求出∠A=30°，故∠A′OC=60°，再根据锐角三角函数的定义求出OC=1，A′C=，即可求出点A′的坐标.
7．（2021·淅川模拟）如图，矩形OABC的顶点O（ 0，0），B（－2，2 ），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．（－1， ） B．（－1，－3）
C．（－2，0 ） D．（1，－3）
【答案】C
【知识点】矩形的判定；求特殊角的三角函数值；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵矩形OABC的顶点O（0，0），B（-2，2 ），
∴D（-1， ），
过D作DE⊥x轴于点E，则OE=1，DE= ，
∴ ，
∴tan∠DOE= ，
∴∠DOE=60°，
∵60°×145÷360°=24 ，
∵ ×360°＝60°，
又∵旋转24周时，D点刚好回到起始位置，
∴第145秒时，矩形绕点O逆时针旋转24 周，此时D点在x轴负半轴上，
∴此时D点的坐标为（-2，0），
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可知点D的坐标，过D作DE⊥x轴于点E，则OE=1，DE= ，利用勾股定理可得OD，以及特殊三角函数值得出∠DOE=60°，通过计算得出得出 第145秒时 旋转24周，D点刚好回到起始位置，即可得出点D的坐标.
8．（2022·章丘模拟）如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，如图所示：
∵点A（1，），
∴AM=1，OM=，
∵在Rt△AMO中，，
，
∴∠AOM=30°，
∴∠AOC=∠B=60°，
∵EF为BC的垂直平分线，BC=2，
∴BN=1，∠BHN=30°，
∴HB=2BN=2，
∵点C(3，0)，
∴OC=AB=3，
∴AH=AB BH=1，
∴MH=MA+AH=2，
∴在Rt△HMO中，，
故答案为：B．
【分析】延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，利用特殊角的三角函数和平行四边形的性质求出∠B，进而求BH，根据B点、C点坐标和平行四边形对边长度相等可知H点坐标，最后用勾股定理求OH
9．（2020九下·碑林月考）如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A， B， E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长GP交DC于点H，
∵AB=AD，BG=BE，
∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，(三线合一)
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴ = .
故答案为：B.
【分析】延长GP交DC于点H，首先根据菱形的判断方法判断出平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，再根据菱形的性质及全等三角形的判定方法判断出△GFP≌△HDP，根据全等三角形的性质得出GP=HP，GF=HD，进而判断出△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出PG⊥PC，最后根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值即可得出答案.
10．（2019·温州模拟）如图，正△AOB的边长为5，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝ （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，若OC＝2BD，则实数k的值为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵等边三角形AOB的边长为5，边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，
∴B（5，0），
∴OB＝5，
作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，
∴CE∥DF，
∴∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵△AOB是正三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∴△COE∽△DBF，
∴ ，
设C（a，b），
∴OE＝a，CE＝b，
∵OC＝2BD，
∴ ，
∴BF＝ a，DF＝ b，
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣ b，
∴D（5﹣ b， b），
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，
∴k＝ab＝（5﹣ b） b，解得a＝2，
∴OE＝2，
在Rt△COE中，∠AOB＝60°，
∴CE＝OE tan60°＝2 ，
∴C（2，2 ），
∴k＝2×2 ＝4 。
故答案为：A。
【分析】根据等边三角形的性质得出OB＝5，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，很容易判断出△COE∽△DBF，根据相似三角形对应边成比例得出，设C（a，b），故OE＝a，CE＝b，根据比例式用含a，b的式子表示出BF，CF，进而表示出OF，表示出带你D的坐标，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积等于常数k，列出方程求解算出a的值，进而在Rt△COE中，根据正切函数的定义，由CE＝OE tan60°表示出CE，求出点C的坐标，从而即可求出k的值。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2019·上海模拟）在△ABC中，AB = AC
= 5，tanB = . 若⊙O的半径为 ，且⊙O经过点B与C，那么线段OA的长等于 .
【答案】3或5
【知识点】等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：分两种情况考虑：
（i）如图1所示，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AO垂直平分BC，
∴OA⊥BC，D为BC的中点，
在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝ ＝ ，
设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52，
解得x＝1，
∴BD＝3，AD＝4，
在Rt△BDO中，OD＝ ，BD＝3，
则AO＝AD＋OD＝4＋1＝5；
（ii）如图2所示，AO＝AD OD＝4 1＝3；
综合上述，OA的长为3或5．
故答案为：3或5．
【分析】根据题意可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角，根据tanB的值可以得出BC=8，经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上，然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论．
12．（2023·凤县模拟）如图，中，，，以边上的中线为折痕将折叠，使点A落在点D处，如果恰好与垂直，则的值为 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线，
∴CM=AM=BM，
∴∠A =∠ACM，
由折叠的性质可得∠A=∠D，∠MCD=∠MCA，AM=DM，
∴MC=MD，∠A=∠ACM=∠MCE，
∵AB⊥CD，
∴∠CMB=∠DMB，∠CEB=∠MED=90°，
∵∠B+∠A=90°，∠B+∠ECB=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴∠A=∠ACM=∠MCE=∠ECB，
∴∠A=∠ACB=30°，
∴tanA=tan30°=.
故答案为：.
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM，则∠A=∠ACM，由折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠A=∠D，∠MCD=∠MCA，于是∠MCD=∠D，从而可得∠A=30°，根据特殊角的三角函数值可得tanA=tan 30°=.
13．（2021·西安模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 ，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，过点M作MF⊥BC于F，
∴NC＝CE，PN＝PE，
∵∠A＝∠B＝∠MFB＝90°，
∴四边形ABFM是矩形，
∴AB＝MF＝2，AM＝BF，
∵AM＝CN，
∴BF＝AM＝CN＝CE，
∴BC＝EF＝ ，
∵
∴∠E＝30°，
∵PN＝PE，
∴∠E＝∠PNE＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∴tan∠MPN＝.
故答案为：.
【分析】作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，过点M作MF⊥BC于F，则四边形ABFM是矩形，得到AB＝MF＝2，AM＝BF，结合AM＝CN可得BF＝AM＝CN＝CE，利用三角函数的概念以及特殊角的三角函数值可得∠E＝30°，根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠PNE＝30°，利用外角的性质可得∠MPN＝60°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
14．（2020·新昌模拟）如图，点A在反比例函数y= （x>0）的图象上，点B在反比例函数y= （k<0）的图象上，且OA⊥OB，线段AB交反比例函数y= （x>0） 的图象于另一点C，连结OC。若点C为AB的中点，tan∠OCA= ，则k的值为 。
【答案】-3
【知识点】相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵tan∠OCA= ，∴∠OCA=60°，
∵OA⊥OB ，点C为AB的中点 ，∴OA=AC=BC，
∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∴tan∠OAB=tan60°==，
过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵∠BOE+∠AOD=90°，∠BOE+∠EBO=90°，∴∠AOD=∠EBO，
∴△BEO∽△ODA，∴=，
∵点A在反比例函数y= （x>0）的图象上，可设点A(a，)，即得AD=，OD=a，
∴OE=，BE=a，∴B（-，a），
∵点B在反比例函数y= 上，∴k=-×a=-3.
故答案为：-3.
【分析】由tan∠OCA= ，可得∠OCA=60°，根据直角三角形的性质可得OA=AC=BC，即得∠OAC=∠OCA=60°，从而可得=.过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，根据两角对应相等可证△BEO∽△ODA，可得=，设点A(a，)，即得AD=，OD=a，从而可得OE=，BE=a，即得B（-，a），将点B代入y= 中，即可求出k值.
15．（2020·深圳模拟）已知 ， （其中 和 都表示角度），比如求 ，可利用公式得 ，又如求 ，可利用公式得 ，请你结合材料，若 （ 为锐角），则 的度数是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】设 由题意得：
解得
经检验， 是分式方程的根
即
为锐角
故答案为： ．
【分析】设 ，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2022·潍坊）
（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】（1）解：其他错误，有：④tan30°=；⑤（-2）-2=，⑥（-2）0=1，
正确的计算过程：
解：
=28；
（2）解：
=，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式==．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的定义、零指数幂性质解答即可；
（2）根据分式的运算法则，一元二次方程的解法解答即可。
17．（2022九上·凤阳月考）已知，矩形中，点F在上，连接交于点E．
（1）若于点E，如图1．
①证明：；
②若，求的度数；
（2）若，点F是的中点，连接，如图2，求的值．
【答案】（1）解：①证明：∵四边形为矩形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：∵四边形为矩形，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
则，
∴；
（2）解：过点F作于H，
设，则，
由勾股定理得： ，
∵点F是的中点，
∴，
则，
∵，
∴，
解得： ，
则
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）①根据两角对应相等的两个三角形相似可证；② 证明，利用相似三角形的性质可得， 设，则，证，利用相似三角形的性质可求出， 根据即可求解；
（2）过点F作于H，设，则，即得 由勾股定理求出AC=a，AF=a，根据可求出，由 即可求解.
18．（2021·河西模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点P为线段 外一动点，且 ．点B为x轴上一点，现在以B为中心，将 顺时针旋转 至 ，连接 ．
（1）求证： 为等边三角形；
（2）当 轴， 时，求 的长；
（3）当点B的坐标为 时，求线段 的最大值（直接写出结果即可）．
【答案】（1）证明：∵线段 绕B点顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，且 ，
∴ 为等边三角形．
（2）解：∵ ， ，
∴PA=2，
∵ 轴，
∴∠PAB=90°，AB= ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）5
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理；求特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，当点P在第一象限时，将△APM绕点P顺时针旋转60°到△DPB，连接AD，
则△DPB≌△APM，
∴AM=BD，∠DPA=60°，PA=PD，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=PA=2，
由BD≤AD+AB知，当点D在BA的延长线上时BD最长，
∵B（5，0），A（2，0），
∴AB=3，
∴BD≤AD+AB=2+3=5，
即AM的最大值为5；
当点P在第四象限时，同理可得AM的最大值为5，
综上，AM的最大值为5．
【分析】（1） 根据旋转的性质得出，且 ，据此即证△PBM为等边三角形；
（2）由A坐标得出PA=2，由B坐标得出AB= ，利用勾股定理求出PB=4，利用特殊角三角函数值求出∠PBA=30°，根据等边三角形的性质得出， ，从而得出∠ABM=90°，利用勾股定理即可求出AM的长；
（3）当点P在第一象限时，将△APM绕点P顺时针旋转60°到△DPB，连接AD，证得△APD是等边三角形，可得AD=PA=2，由BD≤AD+AB知，当点D在BA的延长线上时BD最长，利用A、B的坐标求出AB的长，BD=AD+AB即得最大值；当点P在第四象限时，同理求解即可.
19．（2023·江西模拟）
（1）课本再现
如图1，在和中，，，，
求证：．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证，可设法证，若设，则只需证．
请你根据以上分析，完成证明．
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，求的度数．
【答案】（1）解：设，则，，
在，由勾股定理，得
，
在，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴
∵
∴由（1）知：
∴
在中，，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）设，则，，利用勾股定理求出，再求出，可得；
（2）先证出，可得，再结合，可得。
20．（2020九上·会宁期中）已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°.
（1）当α＝60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD＝ AE；
（2）当α＝90°时（如图2），求 的值.
【答案】（1）解：①判断：△ABC是等边三角形.
理由：∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形
②证明：同理△EBD也是等边三角形
连接DC，
则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°
在Rt△EDC中， ，
∴ ，即BD= AE.
（2）解：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴ ，即
又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2
∴ ，
即 .
【知识点】等边三角形的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论；
（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，由相似比即得到比值.
21．（2020·绍兴模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC.
（1）当sinB＝ 时，
①求证：BE＝2CD；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）.BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.
（2）当sinB＝ 时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2 ，求线段CD的长.
【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝ ，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
①如图1，作EH⊥BC于点H，
∵ED⊥AC
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，
∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，
∴BE＝2EH
∴BE＝2CD；
②BE＝2CD成立，
理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
又∵ ， ，
∴ ，
∴△ACD∽△ABE，
∴ ，
又∵Rt△ABC中， ＝2，
∴ ＝2，
即BE＝2CD
（2）解：∵sinB＝ ，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AD，
∴∠AED＝∠BAC＝45°，
∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：
②如图3所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝2 ，
∵AC＝10＝BC，
根据勾股定理得，AB＝10 ，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6 ，
∴BE＝BF﹣EF＝4 ，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
且∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵ ， ，
∴ ，
∴△ACD∽△ABE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝2 ；
③如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，
当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝2 ，
又∵AC＝10＝BC，
∴AB＝10 ，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6 ，
∴BE＝BF+EF＝8 ，
又∵△ACD∽△ABE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝4 ，
综上所述，线段CD的长为2 或4 .
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用特殊角三角形函数值，可得∠B＝30°，从而求出∠A＝60°，①如图1，作EH⊥BC于点H， 可证四边形CDEH是矩形，可得EH＝CD，利用含30°角直角三角形的性质可得BE＝2EH ，从而求出BE＝2CD；②BE＝2CD成立，理由，根据两边成比例且夹角相等可证△ACD∽△ABE，可得， 由于Rt△ABC中， ＝2 ，可得 ＝2，即证结论；
（2）根据特殊三角函数值可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，从而求出AD＝DE，AC＝BC.将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，分两种情况，①如图3所示②如图4所示 ，分别解答即可.
22．（2020·陕西模拟）某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1、图2、图3中， 、 是 的中线， 于点 ，像 这样的三角形均称为“中垂三角形”.
（1）（特例探究）
如图1，当 ， 时， ， ；
如图2，当 ， 时， ， ；
（2）（归纳证明）
请你观察（1）中的计算结果，猜想 、 、 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；
（3）（拓展证明）
如图4，在 中， ， ， 、 、 分别是边 、 的中点，连结 并延长至 ，使得 ，连结 ，当 于点 时，求 的长.
【答案】（1）；；；
（2）解： ，理由如下：
设 ， ，则 ，
∵
∴
∴ ，
∴
即
（3）解：连结 ， 过点 作 交 于点 ，交 于点 ，
∵ ，
∴
∵ 是 的中点
∴ 是 的中点
∵ ， 是 ， 的中点
∴ ，
∵
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
∴ 是 的中点
∴ 是中垂三角形
∵ ， ，
∴ ，
有（2）中结论可知：
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求特殊角的三角函数值；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：如图，连接EF
∵ ， ，
∴
∵ 、 是 的中线， 是交点
∴
∴
∴
∵
∴由勾股定理可得：
∴
如图连接EF
∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 是 的中线， 是交点
∴
∴
∴ ，
∵
∴由勾股定理可得： ，
∴ ，
故答案为： ， ， ， .
【分析】（1）由三角函数的性质得到 根据三角形中位线的性质，得到EF//AB. ，由平行线分线段成比例可得 ，可求得PE、PE的长，再由勾股定理得到结果；由三角函数的性质得到 根据三角形中位线的性质，得到EF//AB. ，由平行线分线段成比例可得 ，可求得PE、PE的长再由勾股定理得到结果；（2）设 ， ，则 ， ，利用勾股定理用x、y、z分别表示出： 、 、 ，再用x、y、z分别表示出 ， ，由 即可得出答案；（3）连结 ， 过点 作 交 于点 ，交 于点 ，可得四边形 是平行四边形，可得 是中垂三角形，即可知： ， 代入（2）中结论可求得
1 / 1【培优卷】1.2 30°、45°、60°角的三角函数值—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·青岛模拟）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，） B．（3，-） C．（，） D．（，-）
2．（2022·仙桃）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·灞桥模拟）在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E，F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+）：2，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2021·河南模拟）如图，在 OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）.按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
5．（2021·滨湖模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连结BE.若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．3
6．（2021·许昌模拟）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点B在x轴的正半轴上， ，点A的坐标为 ，将 绕点О逆时针旋转，使点B的对应点 落在边OA上，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·淅川模拟）如图，矩形OABC的顶点O（ 0，0），B（－2，2 ），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．（－1， ） B．（－1，－3）
C．（－2，0 ） D．（1，－3）
8．（2022·章丘模拟）如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
9．（2020九下·碑林月考）如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A， B， E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，则 =（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·温州模拟）如图，正△AOB的边长为5，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝ （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，若OC＝2BD，则实数k的值为（ ）
A．4 B． C． D．8
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2019·上海模拟）在△ABC中，AB = AC
= 5，tanB = . 若⊙O的半径为 ，且⊙O经过点B与C，那么线段OA的长等于 .
12．（2023·凤县模拟）如图，中，，，以边上的中线为折痕将折叠，使点A落在点D处，如果恰好与垂直，则的值为 ．
13．（2021·西安模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 ，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是 .
14．（2020·新昌模拟）如图，点A在反比例函数y= （x>0）的图象上，点B在反比例函数y= （k<0）的图象上，且OA⊥OB，线段AB交反比例函数y= （x>0） 的图象于另一点C，连结OC。若点C为AB的中点，tan∠OCA= ，则k的值为 。
15．（2020·深圳模拟）已知 ， （其中 和 都表示角度），比如求 ，可利用公式得 ，又如求 ，可利用公式得 ，请你结合材料，若 （ 为锐角），则 的度数是 ．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2022·潍坊）
（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
17．（2022九上·凤阳月考）已知，矩形中，点F在上，连接交于点E．
（1）若于点E，如图1．
①证明：；
②若，求的度数；
（2）若，点F是的中点，连接，如图2，求的值．
18．（2021·河西模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点P为线段 外一动点，且 ．点B为x轴上一点，现在以B为中心，将 顺时针旋转 至 ，连接 ．
（1）求证： 为等边三角形；
（2）当 轴， 时，求 的长；
（3）当点B的坐标为 时，求线段 的最大值（直接写出结果即可）．
19．（2023·江西模拟）
（1）课本再现
如图1，在和中，，，，
求证：．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证，可设法证，若设，则只需证．
请你根据以上分析，完成证明．
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，求的度数．
20．（2020九上·会宁期中）已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°.
（1）当α＝60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD＝ AE；
（2）当α＝90°时（如图2），求 的值.
21．（2020·绍兴模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC.
（1）当sinB＝ 时，
①求证：BE＝2CD；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）.BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.
（2）当sinB＝ 时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2 ，求线段CD的长.
22．（2020·陕西模拟）某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1、图2、图3中， 、 是 的中线， 于点 ，像 这样的三角形均称为“中垂三角形”.
（1）（特例探究）
如图1，当 ， 时， ， ；
如图2，当 ， 时， ， ；
（2）（归纳证明）
请你观察（1）中的计算结果，猜想 、 、 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；
（3）（拓展证明）
如图4，在 中， ， ， 、 、 分别是边 、 的中点，连结 并延长至 ，使得 ，连结 ，当 于点 时，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0=∠B′FO=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=，
∴∠B′OF=45°，
在Rt△B′OF中，
OF=OB′ cos45°=×=，
∴B′F=，
∴点B′的坐标为：（，-）．
故答案为：D．
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AD，如图：
∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=.
故答案为：C.
【分析】连接AD，易得△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，则AD= BD= BC= AC，推出四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，则∠ABD=∠ABC=30°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
，
，
四边形BEDF是菱形，
，，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由，可得，由，可得，从而得出∠EDF=30°，根据特殊角三角函数值即可求解.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；求特殊角的三角函数值；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接HC，OH，过A点作AM⊥x轴于M，如图，
∵点A（1， ），点C（3，0）
∴OM＝1，AM＝ ，OC＝3，
∴OA＝ ＝2，
∵tan∠AOM＝ ＝ ，
∴∠AOM＝60°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠AOM＝60°，BC＝OA＝2，
由作法得EF垂直平分BC，
∴HC＝HB，
∴△HBC为等边三角形，
∴BH＝2，
∴AH＝1，
∴H点的坐标为（2， ），
∴OH＝ ＝ .
故答案为：B.
【分析】连接HC，OH，过A点作AM⊥x轴于M，如图，由A、B坐标可得OM＝1，AM＝ ，OC＝3，利用勾股定理求出OA=2，根据∠AOM正切函数值，可求出∠AOM＝60°，由平行四边形的性质可得∠B＝∠AOM＝60°，BC＝OA＝2，再证△HBC为等边三角形，可得BH=BC＝2，从而求出AH＝1，即得H点的坐标为（2， ），利用勾股定理求出OH即可.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图：设 相交于点
由翻折可知： ，
∠ACB＝90°
四边形BCDE是平行四边形
，
在 中
，
AC＝3
故答案为：A.
【分析】设 相交于点 ，先求出，利用锐角三角函数可求出，由，即可求出BC.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：过 点作x轴垂线，垂足为C，
A的坐标为 ，即 ，
，
则 ，
，则 ，
，
，
，
的坐标为(-1， )，
故答案为：A.
【分析】过A'点作x轴垂线，垂足为C，根据旋转的性质和勾股定理求出OA=OA′=2，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值求出∠A=30°，故∠A′OC=60°，再根据锐角三角函数的定义求出OC=1，A′C=，即可求出点A′的坐标.
7．【答案】C
【知识点】矩形的判定；求特殊角的三角函数值；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵矩形OABC的顶点O（0，0），B（-2，2 ），
∴D（-1， ），
过D作DE⊥x轴于点E，则OE=1，DE= ，
∴ ，
∴tan∠DOE= ，
∴∠DOE=60°，
∵60°×145÷360°=24 ，
∵ ×360°＝60°，
又∵旋转24周时，D点刚好回到起始位置，
∴第145秒时，矩形绕点O逆时针旋转24 周，此时D点在x轴负半轴上，
∴此时D点的坐标为（-2，0），
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可知点D的坐标，过D作DE⊥x轴于点E，则OE=1，DE= ，利用勾股定理可得OD，以及特殊三角函数值得出∠DOE=60°，通过计算得出得出 第145秒时 旋转24周，D点刚好回到起始位置，即可得出点D的坐标.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，如图所示：
∵点A（1，），
∴AM=1，OM=，
∵在Rt△AMO中，，
，
∴∠AOM=30°，
∴∠AOC=∠B=60°，
∵EF为BC的垂直平分线，BC=2，
∴BN=1，∠BHN=30°，
∴HB=2BN=2，
∵点C(3，0)，
∴OC=AB=3，
∴AH=AB BH=1，
∴MH=MA+AH=2，
∴在Rt△HMO中，，
故答案为：B．
【分析】延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，利用特殊角的三角函数和平行四边形的性质求出∠B，进而求BH，根据B点、C点坐标和平行四边形对边长度相等可知H点坐标，最后用勾股定理求OH
9．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长GP交DC于点H，
∵AB=AD，BG=BE，
∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，(三线合一)
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴ = .
故答案为：B.
【分析】延长GP交DC于点H，首先根据菱形的判断方法判断出平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，再根据菱形的性质及全等三角形的判定方法判断出△GFP≌△HDP，根据全等三角形的性质得出GP=HP，GF=HD，进而判断出△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出PG⊥PC，最后根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵等边三角形AOB的边长为5，边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，
∴B（5，0），
∴OB＝5，
作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，
∴CE∥DF，
∴∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵△AOB是正三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∴△COE∽△DBF，
∴ ，
设C（a，b），
∴OE＝a，CE＝b，
∵OC＝2BD，
∴ ，
∴BF＝ a，DF＝ b，
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣ b，
∴D（5﹣ b， b），
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，
∴k＝ab＝（5﹣ b） b，解得a＝2，
∴OE＝2，
在Rt△COE中，∠AOB＝60°，
∴CE＝OE tan60°＝2 ，
∴C（2，2 ），
∴k＝2×2 ＝4 。
故答案为：A。
【分析】根据等边三角形的性质得出OB＝5，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，很容易判断出△COE∽△DBF，根据相似三角形对应边成比例得出，设C（a，b），故OE＝a，CE＝b，根据比例式用含a，b的式子表示出BF，CF，进而表示出OF，表示出带你D的坐标，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积等于常数k，列出方程求解算出a的值，进而在Rt△COE中，根据正切函数的定义，由CE＝OE tan60°表示出CE，求出点C的坐标，从而即可求出k的值。
11．【答案】3或5
【知识点】等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：分两种情况考虑：
（i）如图1所示，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AO垂直平分BC，
∴OA⊥BC，D为BC的中点，
在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝ ＝ ，
设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52，
解得x＝1，
∴BD＝3，AD＝4，
在Rt△BDO中，OD＝ ，BD＝3，
则AO＝AD＋OD＝4＋1＝5；
（ii）如图2所示，AO＝AD OD＝4 1＝3；
综合上述，OA的长为3或5．
故答案为：3或5．
【分析】根据题意可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角，根据tanB的值可以得出BC=8，经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上，然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论．
12．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CM是斜边AB的中线，
∴CM=AM=BM，
∴∠A =∠ACM，
由折叠的性质可得∠A=∠D，∠MCD=∠MCA，AM=DM，
∴MC=MD，∠A=∠ACM=∠MCE，
∵AB⊥CD，
∴∠CMB=∠DMB，∠CEB=∠MED=90°，
∵∠B+∠A=90°，∠B+∠ECB=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴∠A=∠ACM=∠MCE=∠ECB，
∴∠A=∠ACB=30°，
∴tanA=tan30°=.
故答案为：.
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AM=BM，则∠A=∠ACM，由折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠A=∠D，∠MCD=∠MCA，于是∠MCD=∠D，从而可得∠A=30°，根据特殊角的三角函数值可得tanA=tan 30°=.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，过点M作MF⊥BC于F，
∴NC＝CE，PN＝PE，
∵∠A＝∠B＝∠MFB＝90°，
∴四边形ABFM是矩形，
∴AB＝MF＝2，AM＝BF，
∵AM＝CN，
∴BF＝AM＝CN＝CE，
∴BC＝EF＝ ，
∵
∴∠E＝30°，
∵PN＝PE，
∴∠E＝∠PNE＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∴tan∠MPN＝.
故答案为：.
【分析】作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，过点M作MF⊥BC于F，则四边形ABFM是矩形，得到AB＝MF＝2，AM＝BF，结合AM＝CN可得BF＝AM＝CN＝CE，利用三角函数的概念以及特殊角的三角函数值可得∠E＝30°，根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠PNE＝30°，利用外角的性质可得∠MPN＝60°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
14．【答案】-3
【知识点】相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵tan∠OCA= ，∴∠OCA=60°，
∵OA⊥OB ，点C为AB的中点 ，∴OA=AC=BC，
∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∴tan∠OAB=tan60°==，
过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵∠BOE+∠AOD=90°，∠BOE+∠EBO=90°，∴∠AOD=∠EBO，
∴△BEO∽△ODA，∴=，
∵点A在反比例函数y= （x>0）的图象上，可设点A(a，)，即得AD=，OD=a，
∴OE=，BE=a，∴B（-，a），
∵点B在反比例函数y= 上，∴k=-×a=-3.
故答案为：-3.
【分析】由tan∠OCA= ，可得∠OCA=60°，根据直角三角形的性质可得OA=AC=BC，即得∠OAC=∠OCA=60°，从而可得=.过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，根据两角对应相等可证△BEO∽△ODA，可得=，设点A(a，)，即得AD=，OD=a，从而可得OE=，BE=a，即得B（-，a），将点B代入y= 中，即可求出k值.
15．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】设 由题意得：
解得
经检验， 是分式方程的根
即
为锐角
故答案为： ．
【分析】设 ，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．
16．【答案】（1）解：其他错误，有：④tan30°=；⑤（-2）-2=，⑥（-2）0=1，
正确的计算过程：
解：
=28；
（2）解：
=，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式==．
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的定义、零指数幂性质解答即可；
（2）根据分式的运算法则，一元二次方程的解法解答即可。
17．【答案】（1）解：①证明：∵四边形为矩形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：∵四边形为矩形，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
则，
∴；
（2）解：过点F作于H，
设，则，
由勾股定理得： ，
∵点F是的中点，
∴，
则，
∵，
∴，
解得： ，
则
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）①根据两角对应相等的两个三角形相似可证；② 证明，利用相似三角形的性质可得， 设，则，证，利用相似三角形的性质可求出， 根据即可求解；
（2）过点F作于H，设，则，即得 由勾股定理求出AC=a，AF=a，根据可求出，由 即可求解.
18．【答案】（1）证明：∵线段 绕B点顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，且 ，
∴ 为等边三角形．
（2）解：∵ ， ，
∴PA=2，
∵ 轴，
∴∠PAB=90°，AB= ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）5
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理；求特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，当点P在第一象限时，将△APM绕点P顺时针旋转60°到△DPB，连接AD，
则△DPB≌△APM，
∴AM=BD，∠DPA=60°，PA=PD，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=PA=2，
由BD≤AD+AB知，当点D在BA的延长线上时BD最长，
∵B（5，0），A（2，0），
∴AB=3，
∴BD≤AD+AB=2+3=5，
即AM的最大值为5；
当点P在第四象限时，同理可得AM的最大值为5，
综上，AM的最大值为5．
【分析】（1） 根据旋转的性质得出，且 ，据此即证△PBM为等边三角形；
（2）由A坐标得出PA=2，由B坐标得出AB= ，利用勾股定理求出PB=4，利用特殊角三角函数值求出∠PBA=30°，根据等边三角形的性质得出， ，从而得出∠ABM=90°，利用勾股定理即可求出AM的长；
（3）当点P在第一象限时，将△APM绕点P顺时针旋转60°到△DPB，连接AD，证得△APD是等边三角形，可得AD=PA=2，由BD≤AD+AB知，当点D在BA的延长线上时BD最长，利用A、B的坐标求出AB的长，BD=AD+AB即得最大值；当点P在第四象限时，同理求解即可.
19．【答案】（1）解：设，则，，
在，由勾股定理，得
，
在，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴
∵
∴由（1）知：
∴
在中，，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）设，则，，利用勾股定理求出，再求出，可得；
（2）先证出，可得，再结合，可得。
20．【答案】（1）解：①判断：△ABC是等边三角形.
理由：∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形
②证明：同理△EBD也是等边三角形
连接DC，
则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°
在Rt△EDC中， ，
∴ ，即BD= AE.
（2）解：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴ ，即
又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2
∴ ，
即 .
【知识点】等边三角形的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论；
（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，由相似比即得到比值.
21．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝ ，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
①如图1，作EH⊥BC于点H，
∵ED⊥AC
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，
∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，
∴BE＝2EH
∴BE＝2CD；
②BE＝2CD成立，
理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
又∵ ， ，
∴ ，
∴△ACD∽△ABE，
∴ ，
又∵Rt△ABC中， ＝2，
∴ ＝2，
即BE＝2CD
（2）解：∵sinB＝ ，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AD，
∴∠AED＝∠BAC＝45°，
∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：
②如图3所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝2 ，
∵AC＝10＝BC，
根据勾股定理得，AB＝10 ，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6 ，
∴BE＝BF﹣EF＝4 ，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
且∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵ ， ，
∴ ，
∴△ACD∽△ABE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝2 ；
③如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，
当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝2 ，
又∵AC＝10＝BC，
∴AB＝10 ，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6 ，
∴BE＝BF+EF＝8 ，
又∵△ACD∽△ABE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝4 ，
综上所述，线段CD的长为2 或4 .
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用特殊角三角形函数值，可得∠B＝30°，从而求出∠A＝60°，①如图1，作EH⊥BC于点H， 可证四边形CDEH是矩形，可得EH＝CD，利用含30°角直角三角形的性质可得BE＝2EH ，从而求出BE＝2CD；②BE＝2CD成立，理由，根据两边成比例且夹角相等可证△ACD∽△ABE，可得， 由于Rt△ABC中， ＝2 ，可得 ＝2，即证结论；
（2）根据特殊三角函数值可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，从而求出AD＝DE，AC＝BC.将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，分两种情况，①如图3所示②如图4所示 ，分别解答即可.
22．【答案】（1）；；；
（2）解： ，理由如下：
设 ， ，则 ，
∵
∴
∴ ，
∴
即
（3）解：连结 ， 过点 作 交 于点 ，交 于点 ，
∵ ，
∴
∵ 是 的中点
∴ 是 的中点
∵ ， 是 ， 的中点
∴ ，
∵
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
∴ 是 的中点
∴ 是中垂三角形
∵ ， ，
∴ ，
有（2）中结论可知：
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求特殊角的三角函数值；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：如图，连接EF
∵ ， ，
∴
∵ 、 是 的中线， 是交点
∴
∴
∴
∵
∴由勾股定理可得：
∴
如图连接EF
∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 是 的中线， 是交点
∴
∴
∴ ，
∵
∴由勾股定理可得： ，
∴ ，
故答案为： ， ， ， .
【分析】（1）由三角函数的性质得到 根据三角形中位线的性质，得到EF//AB. ，由平行线分线段成比例可得 ，可求得PE、PE的长，再由勾股定理得到结果；由三角函数的性质得到 根据三角形中位线的性质，得到EF//AB. ，由平行线分线段成比例可得 ，可求得PE、PE的长再由勾股定理得到结果；（2）设 ， ，则 ， ，利用勾股定理用x、y、z分别表示出： 、 、 ，再用x、y、z分别表示出 ， ，由 即可得出答案；（3）连结 ， 过点 作 交 于点 ，交 于点 ，可得四边形 是平行四边形，可得 是中垂三角形，即可知： ， 代入（2）中结论可求得
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