【提升卷】1.2 30°、45°、60°角的三角函数值—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2022九上·包头期末）下列运算中，值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2023九上·扶沟期末）在中，，都是锐角，，，则对的形状最确切的判断是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
3．（2021九上·肇源期中）点 关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九上·怀宁月考）已知是锐角，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·合肥月考）已知锐角α满足tan（α+10°）=1， 则锐用α的度数为（ ）
A．20° B．35° C．45° D．50°
6．（2021九上·信都期中）若数轴上tan30°的值用一个点表示，这个点的位置可能落在段（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2023九上·沭阳期末）在直角三角形ABC中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．3
8．（2022九下·长安月考）下列说法中正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，若tanA＝，则a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝
C．tan30°＋tan60°＝1
D．tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋
9．（2021九上·宁波期中）如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
10．（2021九上·越城月考）在矩形中，有一个菱形（点、分别在线段、上），记它们的面积分别为和，现给出下列命题：①若，则，②若，则.则（ ）.
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
二、填空题
11．（2021九上·龙凤期中）若 ，则锐角 °．
12．（2022九下·义乌开学考）关于x的一元二次方程
+tanα=0有两个相等的实数根，则锐角α = ．
13．（2021九上·东营月考）已知a＝3，且 ，则以a、b、c为边长的三角形面积等于 ．
14．（2022九上·怀宁月考）如图，点A、B分别在反比例函数、的图象上，且，，则
15．（2022九上·长清期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ．
三、计算题
16．（2022九上·蓬莱期中）计算：
（1）
（2）已知为锐角，，计算的值．
17．（2021九上·南阳月考）已知是锐角，且，计算的值.
18．（2020九上·龙沙期末）
（1）计算：2tan60°·tan30°﹣4cos245°+sin60°；
（2）如图，在△ABC中，tanC＝ ，点D在边BC上，AB＝AD，CD＝2BD＝4，求sinB的值．
19．（2021九上·杭州月考）在中，，，为锐角且.
（1）求的度数；
（2）求的正切值.
20．（2020九上·镇海期末）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB的端点均在格点上，按下列要求画出图形.
（ 1 ）在图①中找到两个格点C，使∠BAC是锐角，且tan∠BAC＝ ；
（ 2 ）在图②中找到两个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1.
21．（2020九上·泰兴期末）对钝角α，定义三角函数值如下：
sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．
（1）求sin120°，cos120°的值；
（2）若一个钝角三角形的三个内角比是1：1：4，点A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．
22．（2021九上·衢江期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β） .利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°） 2 .
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正 ABC沿直线滚动设当 ABC滚动240°时，C点的位置在 ，当 ABC滚动480°时，A点的位置在 .
①求tan∠ 的值；
②试确定 的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
2．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由，，得
，.
.
则对形状的判断最确切的是等腰直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据特殊锐角三角函数值可得∠B=45°，∠C=45°，根据三角形的内角和定理可得∠A=90°，从而即可得出结论.
3．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：点 化简得 ，
∴关于y轴对称的点的坐标是 ；
故答案为：A．
【分析】先求出点 化简得 ，再求解即可。
4．【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
，
又，
，
解得，
故答案为：A．
【分析】由可得，利用特殊角三角函数值可得，继而得解.
5．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵tan（α+10°）=1，且 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 tan30° ，
这个点的位置可能落在段①
故答案为：A
【分析】根据tan30° ， 判断求解即可。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴
又，
∴
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】画出示意图，根据勾股定理可得AC的值，求出tanA的值，结合特殊角的三角函数值可得∠A的度数，然后求出的度数，再利用特殊角的三角函数值进行计算.
8．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A．在Rt△ABC中，若tanA=，由于没有指明直角，也没有给出具体某条边的长度，所以无法确定边长，故A不符合题意．
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝，故B符合题意．
C．tan30°＋tan60°=，故C不符合题意，
D．tan75°=tan（45°+30°）==，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角形函数的定义及特殊角三角函数值逐一解答即可.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3 ），B（6，0），
∴AF＝3 ，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝ ，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ ＝ ，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则 ＝ ， ＝ ，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴ ＝ ，
即AC：AD＝2：3.
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 ，△DEB周长 ，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3.
故答案为：B.
【分析】过A作AF⊥OB于F，根据tan∠AOB＝并结合特殊角的三角函数值可得∠AOB=60°，结合已知可得△AOB是等边三角形，由折叠的性质可得△CEO∽△EDB，则可得比例式，设CE＝a，ED＝b，可得关于a、b的方程，整理方程可求解.
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：①设CF=x，DF=y，BC=h，则由已知菱形BFDE，BF=DF=y，
∵
∴ ，
得： ，即cos∠BFC=，
∴∠BFC=30°，
∴∠EDF=30°
∴tan∠EDF=，
所以①是真命题.
根据菱形的性质可得，；
∵，，
∴
∴②是真命题.
故答案为：A.
【分析】①设CF=x，DF=y，BC=h，则由菱形性质得，BF=DF=y，由可求出cos∠BFC=，从而求出∠BFC=30°，继而得出∠EDF=∠BFC=30°，据此即可判断；②根据菱形的性质可得，据此可求出DF=2AD，据此即可判断.
11．【答案】40
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40．
【分析】根据互余两角三角函数间的关系进行计算即可。
12．【答案】45°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵方程x2-2x+
=0有两个相等的实数根，
∴△=（-2）2-4
=0，
∴=1，
∴=45°.
故答案为：45°.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意得出△=（-2）2-4
=0，进而根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.
13．【答案】6
【知识点】勾股定理的逆定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：根据题意知 解得
所以a＝3，b＝4，c＝5，即 ，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°，
所以 ．
故答案为：6．
【分析】根据题意可求出b，c的值，然后利用勾股定理逆定理可判断三角形为直角三角形，进而求解。
14．【答案】-3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过作轴，过作轴，可得，
，
，
，
，
，
点、分别在反比例函数，的图象上，
，，
，
，
则在中，，
，
，
的图象在第四象限，
，
故答案为：-3．
【分析】过作轴，过作轴，易证，利用反比例函数k的几何意义可得，，即得，利用特殊角三角函数值可得∠B=30°，即得，从而得出，据此求出k值即可.
15．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；定义新运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】参照题干中的计算将原式变形为，再利用特殊角的三角函数值求解即可。
16．【答案】（1）解：．
（2）解：∵，
∴，
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值及幂的运算进行计算即可。
17．【答案】解：∵α是锐角，且，
∴α-15°＝45°，即α＝60°，
则原式＝2--|1﹣2×|+
＝2-2-+1+
＝1.
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】由已知条件结合特殊角的三角函数值可得α-15°＝45°，即α＝60°，然后将特殊角的三角函数值代入，先计算乘法，再计算加减即可得到结果.
18．【答案】（1）解：2tan60°·tan30°﹣4cos245°+sin60°
＝2× × ﹣4×（ ）2+
＝2﹣4× +
＝2﹣2+
＝ ；
（2）解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，
∵AB＝AD，CD＝2BD＝4，
∴BE＝DE＝1，
∴CE＝CD+DE＝5，
∵tanC＝ ，
∴ ，
∴AE＝3，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∴sinB＝ ．
【知识点】实数的运算；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可以解答问题；
（2）根据题意和图形可以求得AE和AB的值，即可求出sinB的值．
19．【答案】（1）解：∵∠B为锐角且，
∴∠B＝60°；
（2）解：作AD⊥BC于D，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝，
∵BC＝4，BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝1，
∴tanC＝＝＝3.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据60°的余弦值可得结论；
（2） 作AD⊥BC于D，如图由于=，可求出BD=3，利用勾股定理求出AD的长，再利用CD=BC-BD求出CD的长，根据tanC＝即可求解.
20．【答案】解：（1）如图①点C即为所求作的点；
（ 2 ）如图②，点D即为所求作的点|
【知识点】锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，由tan∠BAC==在图①中找到两个格点C；
（2）由tan∠ADB＝1可知∠ADB=45°，利用网格纸的特点在图②中找到两个格点D即可.
21．【答案】（1）解：
（2）解：三角形的三个内角的比是1:1:4,三个内角分别为30°,30°,120°，
①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为 ，
将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 是方程 的根,m=0符合题意;
②当∠A=120°,∠B=30°时,两根为 ，不符合题意;
③当∠A=30°,∠B=30°时,两根为 ，将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 不是方程4x2-1=0的根.
综上所述:m=0,∠A=30°,∠B=120°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】(1)按照题目所给的信息求解即可;(2)分三种情况进行分析:①当∠A=30°,∠B=120°时;②当∠A=120°，∠B=30°时;③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可.
22．【答案】（1） sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
（2）过点 作 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，如图
是等边三角形
，
② tan（α+β）
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°，然后结合特殊角的三角函数值进行计算；
（2）①过点B作BD⊥l于D，过C′作C′E⊥l 于E，过A′作A′F⊥l 于F′，由等边三角形的性质可得AD=CD=1，由勾股定理求出BD，进而得到AE、AF，然后根据三角函数的概念进行解答；
②易得tan(∠CAC′+∠CAA′)=，根据①的结果求出其值，然后结合特殊角的三角函数值进行解答.
1 / 1【提升卷】1.2 30°、45°、60°角的三角函数值—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2022九上·包头期末）下列运算中，值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
2．（2023九上·扶沟期末）在中，，都是锐角，，，则对的形状最确切的判断是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由，，得
，.
.
则对形状的判断最确切的是等腰直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据特殊锐角三角函数值可得∠B=45°，∠C=45°，根据三角形的内角和定理可得∠A=90°，从而即可得出结论.
3．（2021九上·肇源期中）点 关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：点 化简得 ，
∴关于y轴对称的点的坐标是 ；
故答案为：A．
【分析】先求出点 化简得 ，再求解即可。
4．（2022九上·怀宁月考）已知是锐角，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
，
又，
，
解得，
故答案为：A．
【分析】由可得，利用特殊角三角函数值可得，继而得解.
5．（2021九上·合肥月考）已知锐角α满足tan（α+10°）=1， 则锐用α的度数为（ ）
A．20° B．35° C．45° D．50°
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵tan（α+10°）=1，且 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
6．（2021九上·信都期中）若数轴上tan30°的值用一个点表示，这个点的位置可能落在段（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 tan30° ，
这个点的位置可能落在段①
故答案为：A
【分析】根据tan30° ， 判断求解即可。
7．（2023九上·沭阳期末）在直角三角形ABC中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴
又，
∴
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】画出示意图，根据勾股定理可得AC的值，求出tanA的值，结合特殊角的三角函数值可得∠A的度数，然后求出的度数，再利用特殊角的三角函数值进行计算.
8．（2022九下·长安月考）下列说法中正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，若tanA＝，则a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝
C．tan30°＋tan60°＝1
D．tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A．在Rt△ABC中，若tanA=，由于没有指明直角，也没有给出具体某条边的长度，所以无法确定边长，故A不符合题意．
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝，故B符合题意．
C．tan30°＋tan60°=，故C不符合题意，
D．tan75°=tan（45°+30°）==，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角形函数的定义及特殊角三角函数值逐一解答即可.
9．（2021九上·宁波期中）如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3 ），B（6，0），
∴AF＝3 ，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝ ，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ ＝ ，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则 ＝ ， ＝ ，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴ ＝ ，
即AC：AD＝2：3.
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 ，△DEB周长 ，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3.
故答案为：B.
【分析】过A作AF⊥OB于F，根据tan∠AOB＝并结合特殊角的三角函数值可得∠AOB=60°，结合已知可得△AOB是等边三角形，由折叠的性质可得△CEO∽△EDB，则可得比例式，设CE＝a，ED＝b，可得关于a、b的方程，整理方程可求解.
10．（2021九上·越城月考）在矩形中，有一个菱形（点、分别在线段、上），记它们的面积分别为和，现给出下列命题：①若，则，②若，则.则（ ）.
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：①设CF=x，DF=y，BC=h，则由已知菱形BFDE，BF=DF=y，
∵
∴ ，
得： ，即cos∠BFC=，
∴∠BFC=30°，
∴∠EDF=30°
∴tan∠EDF=，
所以①是真命题.
根据菱形的性质可得，；
∵，，
∴
∴②是真命题.
故答案为：A.
【分析】①设CF=x，DF=y，BC=h，则由菱形性质得，BF=DF=y，由可求出cos∠BFC=，从而求出∠BFC=30°，继而得出∠EDF=∠BFC=30°，据此即可判断；②根据菱形的性质可得，据此可求出DF=2AD，据此即可判断.
二、填空题
11．（2021九上·龙凤期中）若 ，则锐角 °．
【答案】40
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40．
【分析】根据互余两角三角函数间的关系进行计算即可。
12．（2022九下·义乌开学考）关于x的一元二次方程
+tanα=0有两个相等的实数根，则锐角α = ．
【答案】45°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵方程x2-2x+
=0有两个相等的实数根，
∴△=（-2）2-4
=0，
∴=1，
∴=45°.
故答案为：45°.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意得出△=（-2）2-4
=0，进而根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.
13．（2021九上·东营月考）已知a＝3，且 ，则以a、b、c为边长的三角形面积等于 ．
【答案】6
【知识点】勾股定理的逆定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：根据题意知 解得
所以a＝3，b＝4，c＝5，即 ，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°，
所以 ．
故答案为：6．
【分析】根据题意可求出b，c的值，然后利用勾股定理逆定理可判断三角形为直角三角形，进而求解。
14．（2022九上·怀宁月考）如图，点A、B分别在反比例函数、的图象上，且，，则
【答案】-3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过作轴，过作轴，可得，
，
，
，
，
，
点、分别在反比例函数，的图象上，
，，
，
，
则在中，，
，
，
的图象在第四象限，
，
故答案为：-3．
【分析】过作轴，过作轴，易证，利用反比例函数k的几何意义可得，，即得，利用特殊角三角函数值可得∠B=30°，即得，从而得出，据此求出k值即可.
15．（2022九上·长清期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；定义新运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】参照题干中的计算将原式变形为，再利用特殊角的三角函数值求解即可。
三、计算题
16．（2022九上·蓬莱期中）计算：
（1）
（2）已知为锐角，，计算的值．
【答案】（1）解：．
（2）解：∵，
∴，
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值及幂的运算进行计算即可。
17．（2021九上·南阳月考）已知是锐角，且，计算的值.
【答案】解：∵α是锐角，且，
∴α-15°＝45°，即α＝60°，
则原式＝2--|1﹣2×|+
＝2-2-+1+
＝1.
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】由已知条件结合特殊角的三角函数值可得α-15°＝45°，即α＝60°，然后将特殊角的三角函数值代入，先计算乘法，再计算加减即可得到结果.
18．（2020九上·龙沙期末）
（1）计算：2tan60°·tan30°﹣4cos245°+sin60°；
（2）如图，在△ABC中，tanC＝ ，点D在边BC上，AB＝AD，CD＝2BD＝4，求sinB的值．
【答案】（1）解：2tan60°·tan30°﹣4cos245°+sin60°
＝2× × ﹣4×（ ）2+
＝2﹣4× +
＝2﹣2+
＝ ；
（2）解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，
∵AB＝AD，CD＝2BD＝4，
∴BE＝DE＝1，
∴CE＝CD+DE＝5，
∵tanC＝ ，
∴ ，
∴AE＝3，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∴sinB＝ ．
【知识点】实数的运算；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可以解答问题；
（2）根据题意和图形可以求得AE和AB的值，即可求出sinB的值．
19．（2021九上·杭州月考）在中，，，为锐角且.
（1）求的度数；
（2）求的正切值.
【答案】（1）解：∵∠B为锐角且，
∴∠B＝60°；
（2）解：作AD⊥BC于D，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝，
∵BC＝4，BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝1，
∴tanC＝＝＝3.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据60°的余弦值可得结论；
（2） 作AD⊥BC于D，如图由于=，可求出BD=3，利用勾股定理求出AD的长，再利用CD=BC-BD求出CD的长，根据tanC＝即可求解.
20．（2020九上·镇海期末）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB的端点均在格点上，按下列要求画出图形.
（ 1 ）在图①中找到两个格点C，使∠BAC是锐角，且tan∠BAC＝ ；
（ 2 ）在图②中找到两个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1.
【答案】解：（1）如图①点C即为所求作的点；
（ 2 ）如图②，点D即为所求作的点|
【知识点】锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，由tan∠BAC==在图①中找到两个格点C；
（2）由tan∠ADB＝1可知∠ADB=45°，利用网格纸的特点在图②中找到两个格点D即可.
21．（2020九上·泰兴期末）对钝角α，定义三角函数值如下：
sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．
（1）求sin120°，cos120°的值；
（2）若一个钝角三角形的三个内角比是1：1：4，点A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．
【答案】（1）解：
（2）解：三角形的三个内角的比是1:1:4,三个内角分别为30°,30°,120°，
①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为 ，
将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 是方程 的根,m=0符合题意;
②当∠A=120°,∠B=30°时,两根为 ，不符合题意;
③当∠A=30°,∠B=30°时,两根为 ，将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 不是方程4x2-1=0的根.
综上所述:m=0,∠A=30°,∠B=120°
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】(1)按照题目所给的信息求解即可;(2)分三种情况进行分析:①当∠A=30°,∠B=120°时;②当∠A=120°，∠B=30°时;③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可.
22．（2021九上·衢江期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β） .利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°） 2 .
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正 ABC沿直线滚动设当 ABC滚动240°时，C点的位置在 ，当 ABC滚动480°时，A点的位置在 .
①求tan∠ 的值；
②试确定 的度数.
【答案】（1） sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
（2）过点 作 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，如图
是等边三角形
，
② tan（α+β）
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°，然后结合特殊角的三角函数值进行计算；
（2）①过点B作BD⊥l于D，过C′作C′E⊥l 于E，过A′作A′F⊥l 于F′，由等边三角形的性质可得AD=CD=1，由勾股定理求出BD，进而得到AE、AF，然后根据三角函数的概念进行解答；
②易得tan(∠CAC′+∠CAA′)=，根据①的结果求出其值，然后结合特殊角的三角函数值进行解答.
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