【培优卷】1.3三角函数的计算—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·高青模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=42°37'，BC=8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．用科学记算器算得①293=24389；② ≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tana=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
3．锐角 满足 ，利用计算器求 时，依次按键 ，则计算器上显示的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．利用计算器求值时，小明将按键顺序为 的显示结果为a， 的显示结果为b，则a与b的乘积为（ ）
A．﹣16 B．16 C．﹣9 D．9
5．在计算器上，小明将按键顺序的显示结果记为a，的显示结果记为b，则a与b的乘积为（ ）
A． B． C． D．6
6．下列说法正确的是（ ）
A．求sin30°的按键顺序是 、30、=
B．求23的按键顺序 、2、 、3、=
C．求 的按键顺序是 、 、8、=
D．已知sinA=0.5018，用计算器求锐角A的大小，按键顺序是 、 、0.5018、=
7．（2022·牟平模拟）下列关于运用计算器的说法错误的是（ ）．
A．用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键
B．要启动计算器的统计计算功能应按的键是
C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键
D．用计算器计算时，依次按键显示结果是0.5
8．如图，有一个山坡，如果沿山坡在水平AC方向上每前进100m铅直高度就升高60m，那么用科学计算器求坡角∠A的度数，并以“度、分、秒”为单位表示出这个度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022九上·莱州期末）2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习，如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下100米，若斜坡的坡比为，用计算器求下滑的水平距离，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每空1分，共18)
11．填空：
sin15°=cos ≈ （精确到0.0001）；
cos63°=sin ≈ （精确到0.0001）；
sin（90°－α）= ， cos（90°－α）= （α为锐角）.
12．用计算器求下列各式的值 精确到 .
（1） ；
（2） .
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若AC=5，BC=12，则AB= ，tanA= ，∠A≈ （精确到1″）；
（2）若AC=3，AB=5，则sinA= ，tanB= ，∠A≈ ，∠B≈ （精确到1″）.
14．一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长 米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，则梯子与地面所成锐角的度数为 .（用科学计算器计算，结果精确到 分）
15．请从以下两个小题中任选一个作答.
A：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ .
B：用科学计算器计算： +3tan56°≈ .（结果精确到0.01）
三、解答题（共7题，共52分）
16．利用计算器求满足下列条件的锐角 的度数.（精确到 ）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
17．利用计算器求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
18．如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下 的A处，射线从肿瘤右侧 的B处进入身体，求射线与皮肤所成的锐角.
19．一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长 ，梯子位于地面上的一端离墙壁 ，求梯子与地面所成锐角的度数.
20．如图
（1）用计算器计算并验证 与 之间的大小关系；
（2）若 ， ， 都是锐角，猜想 与 之间的大小关系；
（3）请借助如下图形证明上述猜想.
21．（2019·烟台）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 ， 可绕点 开合，在 边上有一固定点 ，支柱 可绕点 转动，边 上有六个卡孔，其中离点 最近的卡孔为 ，离点 最远的卡孔为 .当支柱端点 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得 的长为 ， 为 ，支柱 为 .
（1）当支柱的端点 放在卡孔 处时，求 的度数；
（2）当支柱的端点 放在卡孔 处时， ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)
22．（2020·烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（18～60岁） 女性（18～55岁）
抽样人数（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000
平均身高（厘米） 173 175 176 164 165 164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（近似值） 计算器按键顺序 计算结果（近似值）
0.1 78.7
0.2 84.3
1.7 5.7
3.5 11.3
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵tanB＝ ，BC＝8，
∴AC＝BCtanB＝8tan42°37'，
故答案为：D．
【分析】根据利用计算器求解三角函数的顺序求解即可。
2．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】前3个利用计算器计算可得是正确，最后一个tan45°=1，tana=5，说明α的度数应大于45°，所以错误，故选A
【分析】前3个用计算器计算即可；最后一个根据45°的正切值与所给正切值比较即可．
3．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意可知， ，由特殊角的三角函数值可知
依次按键，显示的是 的值，即 的度数为 .
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得cosA=，然后结合按键顺序进行解答.
4．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算器知a＝（cos30°）﹣2＝（ ）﹣2＝ ，b═ ＝12，
a与b的乘积为 ×12＝16，
故答案为：B.
【分析】根据按键顺序结合特殊角的三角函数值可得a＝(cos30°)-2＝()-2＝，b=＝12，r然后利用有理数的乘法法则进行计算.
5．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数；有理数的乘法法则；利用计算器求平均数
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合计算器的使用方法可得a等于cos60°的3次幂，b等于3、4、5的平均数，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
6．【答案】A
【知识点】计算器在数的开方中的应用；计算器—三角函数
【解析】【解答】求sin30°的按键顺序是 、30、=，A正确；
求23的按键顺序2、 、3、=，B错误；
求 的按键顺序是 、8、=，C错误；
已知sinA=0.5018，用计算器求锐角A的大小，按键顺序是先按shift键 、0.5018、=，D错误，
故答案为：A.
【分析】本题是要求学生熟练使用科学计算器，利用计算器求yx的值按键顺序y、 、x，不需要按
；求 值的按键顺序是 、x、不需要按；已知sinA= k ，用计算器求锐角A的大小，按键顺序是先按、 、 k .
7．【答案】D
【知识点】计算器在数的开方中的应用；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：A、用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键，不符合题意；
B、要启动计算器的统计计算功能应按的键是，不符合题意；
C、启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，不符合题意；
D、用计算器计算时，依次按键显示结果是0.866025403，不是0.5，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据利用计算器计算方法和步骤逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵tanA= =0.6，
∴∠A度数的按键顺序为：
故答案为：D.
【分析】根据正切三角函数定义求出tanA的值，然后利用科学计算器，根据按键顺序求∠A的度数即可.
9．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
10．【答案】C
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：如图：过点B作，垂足为C，
∵斜坡的坡比为，
∴，
在中，米，
∴米，
故答案为：C．
【分析】过点B作，垂足为C，再利用解直角三角形的的方法求出，最后利用计算器的按键顺序求解即可。
11．【答案】75°；0.2588；27°；0.4540；cosα；sinα
【知识点】互余两角三角函数的关系；计算器—三角函数
【解析】【解答】sin15°=cos(90°-15°)=cos75°，由计算器求得：cos75°≈0.2588；
cos63°=sin(90°-63°)= sin27°，由计算器求得：sin27°≈0.4540；
sin（90°－α）= cosα，cos（90°－α）=sinα.
【分析】如果两个锐角互余，则一个角的正弦值等于另一角的余弦值，一个角的余弦值等于另一角的正弦值。依此分别进行第一步的运算，再利用科学计算器分别求函数值即可.
12．【答案】（1）-0.1570
（2）-5.2426
【知识点】计算器﹣角的换算；计算器—三角函数；计算器-有理数的混合运算
【解析】【解答】解：（1）sin15°18′+cos7°30′﹣tan54°42′≈0.26387+0.99144﹣1.41235≈﹣0.1570；
（2）sin48°25′+cos23°27′﹣tan48° tan80°52′
≈0.74799+0.91741﹣1.11061×6.2200
≈1.6654﹣6.90799
≈﹣5.2426.
故答案为﹣0.1527，﹣5.2425.
【分析】(1)先根据角度的换算关系把各度数用度表示，然后利用计算器分别求出各三角函数值，再进行有理数的加减运算，即可得出结果；
(2)先根据角度的换算关系把各度数用度表示，然后利用计算器分别求出各三角函数值，再进行有理数的混合运算，即可得出结果.
13．【答案】（1）13；；67°22′48″
（2）；；53°7′48″；36°52′12″.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】（1）根据题意得：AB= =13，
∴tanA= = ，
则用计算器求得：∠A≈67°22′48″；
（2）根据题意得：BC= =4，
∴sinA= = ，tanB= = ，
则用计算器求得：∠A≈53°7′48″，∠B≈36°52′12″.
【分析】(1)根据勾股定理求出AB长，再根据正切三角函数定义求tanA值，再利用计算器求∠A的度数即可；
(2)根据勾股定理求出BC长，再根据正切三角函数定义求sinA和tanB值，再利用计算器求∠A和∠B的度数即可.
14．【答案】75°31′
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数；近似数及有效数字
【解析】【解答】解：设一个梯子斜靠在墙上，梯子与地面所成锐角为 ，
∵梯子长10米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，
∴ ，
解得： .
故答案为：75°31′.
【分析】设梯子与地面所成锐角为α，根据三角函数的概念可得cosα==，然后利用计算器进行计算即可.
15．【答案】72；10.02
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：A、正五边形每个内角的度数＝ ＝108°，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA＝ （180°﹣∠E）＝ （180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
故答案为：72°.
B、 +3tan56°≈10.02.
故答案为：10.02.
【分析】首先根据内角和公式求出正五边形每个内角的度数，然后结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠EAD＝∠EDA=36°，根据∠BAD=∠EAB-∠EAD可得∠BAD的度数；依次按键、31、+、3、×、tan、56、=可得结果.
16．【答案】（1）解：∵ ，∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ；
（3）解：∵ ，∴ ；
（4）解： ，∴ .
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）依次输入“2ndF”，“sin”，“0.658”，“=”即可得到∠A的度数；
（2）依次输入“2ndF”，“tan”，“23.732”，“=”即可得到∠A的度数；
（3）依次输入“2ndF”，“cos”，“0.589”，“=”即可得到∠A的度数；
（4）依次输入“2ndF”，“tan”，“1.859”，“=”即可得到∠A的度数.
17．【答案】（1）解： ≈0.999996；
（2）解： ≈0.995648；
（3）解： ≈2.46；
（4）解： ≈12.06.
【知识点】计算器﹣角的换算；计算器—三角函数
【解析】【分析】把度、分、秒统一为度，然后利用科学计算器，先输入三角函数的名称、再输入角度，最后按=分别求值即可.
18．【答案】解：在Rt△ABC中，
∵tan∠CBA＝ ，
∵AC＝6.3cm，BC＝9.8cm，
∴tan∠CBA＝ ，
∴∠CBA≈ .
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】根据三角函数的概念可得tan∠CBA＝=，然后利用计算器进行计算.
19．【答案】解：如图所示：
∵cosA＝ ＝2.5÷4＝0.625，
∴∠A≈ .
答：梯子与地面所成锐角的度数约为 .
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】画出示意图，根据三角函数的概念可得cosA＝＝0.625，然后利用计算器进行计算.
20．【答案】（1）解：∵ ， ，
.
（2）解： .
（3）证明：由图，
可得 ， ，
∵ ，
，
，
∵ ，
，
.
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）依次按键sin、25、+sin、46、=可得sin25°+sin46°的结果，按键sin、71、=可得sin71°的结果，然后进行比较；
（2）根据（1）的结果进行猜想；
（3）画出示意图，表示出sinα+sinβ，sin(α+β)，结合不等式的性质进行证明.
21．【答案】（1）解：如图1，作 ，垂足为点 ，
在 中，根据勾股定理， .
同理， ( ， 为同一点).
∵ ， ， ，
，
解得 .
在 中 ，
∴ ，
即 .
（2）解：如图2，作 ，垂足为点 ，
在 中， .
.
在 中， ，
∴ .( ， 为同一点)
∴ .
.
∴相邻两个卡孔的间距为 .
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1） 作 ，垂足为点 。在直角三角形中利用勾股定理，分析求得OD。利用三角函数，根据三角函数值求出角的度数。
（2） 作 。求MN的距离， 。 在 中 ，根据三角函数值，求得PE，OE。 在 中 ，利用勾股定理求得EQ。即而求出MN。
22．【答案】（1）176；164
（2）解：如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，
∴tan∠FAC＝ ＝ ＝5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°．
【知识点】等腰三角形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，
故答案为：176，164；
【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题；（2）根据等腰三角形的性质得出FC，由题意得到AF，即可求出tan∠FAC，根据表格即可得出∠FAC，即可得出答案．
1 / 1【培优卷】1.3三角函数的计算—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·高青模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=42°37'，BC=8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵tanB＝ ，BC＝8，
∴AC＝BCtanB＝8tan42°37'，
故答案为：D．
【分析】根据利用计算器求解三角函数的顺序求解即可。
2．用科学记算器算得①293=24389；② ≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tana=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】前3个利用计算器计算可得是正确，最后一个tan45°=1，tana=5，说明α的度数应大于45°，所以错误，故选A
【分析】前3个用计算器计算即可；最后一个根据45°的正切值与所给正切值比较即可．
3．锐角 满足 ，利用计算器求 时，依次按键 ，则计算器上显示的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意可知， ，由特殊角的三角函数值可知
依次按键，显示的是 的值，即 的度数为 .
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得cosA=，然后结合按键顺序进行解答.
4．利用计算器求值时，小明将按键顺序为 的显示结果为a， 的显示结果为b，则a与b的乘积为（ ）
A．﹣16 B．16 C．﹣9 D．9
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算器知a＝（cos30°）﹣2＝（ ）﹣2＝ ，b═ ＝12，
a与b的乘积为 ×12＝16，
故答案为：B.
【分析】根据按键顺序结合特殊角的三角函数值可得a＝(cos30°)-2＝()-2＝，b=＝12，r然后利用有理数的乘法法则进行计算.
5．在计算器上，小明将按键顺序的显示结果记为a，的显示结果记为b，则a与b的乘积为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数；有理数的乘法法则；利用计算器求平均数
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合计算器的使用方法可得a等于cos60°的3次幂，b等于3、4、5的平均数，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
6．下列说法正确的是（ ）
A．求sin30°的按键顺序是 、30、=
B．求23的按键顺序 、2、 、3、=
C．求 的按键顺序是 、 、8、=
D．已知sinA=0.5018，用计算器求锐角A的大小，按键顺序是 、 、0.5018、=
【答案】A
【知识点】计算器在数的开方中的应用；计算器—三角函数
【解析】【解答】求sin30°的按键顺序是 、30、=，A正确；
求23的按键顺序2、 、3、=，B错误；
求 的按键顺序是 、8、=，C错误；
已知sinA=0.5018，用计算器求锐角A的大小，按键顺序是先按shift键 、0.5018、=，D错误，
故答案为：A.
【分析】本题是要求学生熟练使用科学计算器，利用计算器求yx的值按键顺序y、 、x，不需要按
；求 值的按键顺序是 、x、不需要按；已知sinA= k ，用计算器求锐角A的大小，按键顺序是先按、 、 k .
7．（2022·牟平模拟）下列关于运用计算器的说法错误的是（ ）．
A．用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键
B．要启动计算器的统计计算功能应按的键是
C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键
D．用计算器计算时，依次按键显示结果是0.5
【答案】D
【知识点】计算器在数的开方中的应用；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：A、用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键，不符合题意；
B、要启动计算器的统计计算功能应按的键是，不符合题意；
C、启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，不符合题意；
D、用计算器计算时，依次按键显示结果是0.866025403，不是0.5，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据利用计算器计算方法和步骤逐项判断即可。
8．如图，有一个山坡，如果沿山坡在水平AC方向上每前进100m铅直高度就升高60m，那么用科学计算器求坡角∠A的度数，并以“度、分、秒”为单位表示出这个度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵tanA= =0.6，
∴∠A度数的按键顺序为：
故答案为：D.
【分析】根据正切三角函数定义求出tanA的值，然后利用科学计算器，根据按键顺序求∠A的度数即可.
9．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
10．（2022九上·莱州期末）2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习，如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下100米，若斜坡的坡比为，用计算器求下滑的水平距离，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：如图：过点B作，垂足为C，
∵斜坡的坡比为，
∴，
在中，米，
∴米，
故答案为：C．
【分析】过点B作，垂足为C，再利用解直角三角形的的方法求出，最后利用计算器的按键顺序求解即可。
二、填空题（每空1分，共18)
11．填空：
sin15°=cos ≈ （精确到0.0001）；
cos63°=sin ≈ （精确到0.0001）；
sin（90°－α）= ， cos（90°－α）= （α为锐角）.
【答案】75°；0.2588；27°；0.4540；cosα；sinα
【知识点】互余两角三角函数的关系；计算器—三角函数
【解析】【解答】sin15°=cos(90°-15°)=cos75°，由计算器求得：cos75°≈0.2588；
cos63°=sin(90°-63°)= sin27°，由计算器求得：sin27°≈0.4540；
sin（90°－α）= cosα，cos（90°－α）=sinα.
【分析】如果两个锐角互余，则一个角的正弦值等于另一角的余弦值，一个角的余弦值等于另一角的正弦值。依此分别进行第一步的运算，再利用科学计算器分别求函数值即可.
12．用计算器求下列各式的值 精确到 .
（1） ；
（2） .
【答案】（1）-0.1570
（2）-5.2426
【知识点】计算器﹣角的换算；计算器—三角函数；计算器-有理数的混合运算
【解析】【解答】解：（1）sin15°18′+cos7°30′﹣tan54°42′≈0.26387+0.99144﹣1.41235≈﹣0.1570；
（2）sin48°25′+cos23°27′﹣tan48° tan80°52′
≈0.74799+0.91741﹣1.11061×6.2200
≈1.6654﹣6.90799
≈﹣5.2426.
故答案为﹣0.1527，﹣5.2425.
【分析】(1)先根据角度的换算关系把各度数用度表示，然后利用计算器分别求出各三角函数值，再进行有理数的加减运算，即可得出结果；
(2)先根据角度的换算关系把各度数用度表示，然后利用计算器分别求出各三角函数值，再进行有理数的混合运算，即可得出结果.
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若AC=5，BC=12，则AB= ，tanA= ，∠A≈ （精确到1″）；
（2）若AC=3，AB=5，则sinA= ，tanB= ，∠A≈ ，∠B≈ （精确到1″）.
【答案】（1）13；；67°22′48″
（2）；；53°7′48″；36°52′12″.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】（1）根据题意得：AB= =13，
∴tanA= = ，
则用计算器求得：∠A≈67°22′48″；
（2）根据题意得：BC= =4，
∴sinA= = ，tanB= = ，
则用计算器求得：∠A≈53°7′48″，∠B≈36°52′12″.
【分析】(1)根据勾股定理求出AB长，再根据正切三角函数定义求tanA值，再利用计算器求∠A的度数即可；
(2)根据勾股定理求出BC长，再根据正切三角函数定义求sinA和tanB值，再利用计算器求∠A和∠B的度数即可.
14．一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长 米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，则梯子与地面所成锐角的度数为 .（用科学计算器计算，结果精确到 分）
【答案】75°31′
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数；近似数及有效数字
【解析】【解答】解：设一个梯子斜靠在墙上，梯子与地面所成锐角为 ，
∵梯子长10米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米，
∴ ，
解得： .
故答案为：75°31′.
【分析】设梯子与地面所成锐角为α，根据三角函数的概念可得cosα==，然后利用计算器进行计算即可.
15．请从以下两个小题中任选一个作答.
A：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ .
B：用科学计算器计算： +3tan56°≈ .（结果精确到0.01）
【答案】72；10.02
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：A、正五边形每个内角的度数＝ ＝108°，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA＝ （180°﹣∠E）＝ （180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
故答案为：72°.
B、 +3tan56°≈10.02.
故答案为：10.02.
【分析】首先根据内角和公式求出正五边形每个内角的度数，然后结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠EAD＝∠EDA=36°，根据∠BAD=∠EAB-∠EAD可得∠BAD的度数；依次按键、31、+、3、×、tan、56、=可得结果.
三、解答题（共7题，共52分）
16．利用计算器求满足下列条件的锐角 的度数.（精确到 ）
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）解：∵ ，∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ；
（3）解：∵ ，∴ ；
（4）解： ，∴ .
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）依次输入“2ndF”，“sin”，“0.658”，“=”即可得到∠A的度数；
（2）依次输入“2ndF”，“tan”，“23.732”，“=”即可得到∠A的度数；
（3）依次输入“2ndF”，“cos”，“0.589”，“=”即可得到∠A的度数；
（4）依次输入“2ndF”，“tan”，“1.859”，“=”即可得到∠A的度数.
17．利用计算器求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
【答案】（1）解： ≈0.999996；
（2）解： ≈0.995648；
（3）解： ≈2.46；
（4）解： ≈12.06.
【知识点】计算器﹣角的换算；计算器—三角函数
【解析】【分析】把度、分、秒统一为度，然后利用科学计算器，先输入三角函数的名称、再输入角度，最后按=分别求值即可.
18．如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下 的A处，射线从肿瘤右侧 的B处进入身体，求射线与皮肤所成的锐角.
【答案】解：在Rt△ABC中，
∵tan∠CBA＝ ，
∵AC＝6.3cm，BC＝9.8cm，
∴tan∠CBA＝ ，
∴∠CBA≈ .
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】根据三角函数的概念可得tan∠CBA＝=，然后利用计算器进行计算.
19．一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长 ，梯子位于地面上的一端离墙壁 ，求梯子与地面所成锐角的度数.
【答案】解：如图所示：
∵cosA＝ ＝2.5÷4＝0.625，
∴∠A≈ .
答：梯子与地面所成锐角的度数约为 .
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】画出示意图，根据三角函数的概念可得cosA＝＝0.625，然后利用计算器进行计算.
20．如图
（1）用计算器计算并验证 与 之间的大小关系；
（2）若 ， ， 都是锐角，猜想 与 之间的大小关系；
（3）请借助如下图形证明上述猜想.
【答案】（1）解：∵ ， ，
.
（2）解： .
（3）证明：由图，
可得 ， ，
∵ ，
，
，
∵ ，
，
.
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）依次按键sin、25、+sin、46、=可得sin25°+sin46°的结果，按键sin、71、=可得sin71°的结果，然后进行比较；
（2）根据（1）的结果进行猜想；
（3）画出示意图，表示出sinα+sinβ，sin(α+β)，结合不等式的性质进行证明.
21．（2019·烟台）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 ， 可绕点 开合，在 边上有一固定点 ，支柱 可绕点 转动，边 上有六个卡孔，其中离点 最近的卡孔为 ，离点 最远的卡孔为 .当支柱端点 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得 的长为 ， 为 ，支柱 为 .
（1）当支柱的端点 放在卡孔 处时，求 的度数；
（2）当支柱的端点 放在卡孔 处时， ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)
【答案】（1）解：如图1，作 ，垂足为点 ，
在 中，根据勾股定理， .
同理， ( ， 为同一点).
∵ ， ， ，
，
解得 .
在 中 ，
∴ ，
即 .
（2）解：如图2，作 ，垂足为点 ，
在 中， .
.
在 中， ，
∴ .( ， 为同一点)
∴ .
.
∴相邻两个卡孔的间距为 .
【知识点】勾股定理的应用；锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】（1） 作 ，垂足为点 。在直角三角形中利用勾股定理，分析求得OD。利用三角函数，根据三角函数值求出角的度数。
（2） 作 。求MN的距离， 。 在 中 ，根据三角函数值，求得PE，OE。 在 中 ，利用勾股定理求得EQ。即而求出MN。
22．（2020·烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．
（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象 男性（18～60岁） 女性（18～55岁）
抽样人数（人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000
平均身高（厘米） 173 175 176 164 165 164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（近似值） 计算器按键顺序 计算结果（近似值）
0.1 78.7
0.2 84.3
1.7 5.7
3.5 11.3
【答案】（1）176；164
（2）解：如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，
∴tan∠FAC＝ ＝ ＝5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°．
【知识点】等腰三角形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，
故答案为：176，164；
【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题；（2）根据等腰三角形的性质得出FC，由题意得到AF，即可求出tan∠FAC，根据表格即可得出∠FAC，即可得出答案．
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