【培优卷】1.4解直角三角形—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·颍上月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°，
∵tan∠ABF＝2，
∴＝2，
设BN＝x，则FN＝2x，
∴AN＝4﹣x，
∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵AN2＋NF2＝AF2，
∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝，
∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴＝，即，
∴EF＝，
∴DE＝EF＝．
故答案为：C．
【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，根据tan∠ABF＝2，可得＝2，设BN＝x，则FN＝2x，可得AN＝4﹣x，再利用勾股定理列出方程（4﹣x）2＋（2x）2＝42，求出x的值，最后根据cos∠EFM＝cos∠FAN，可得＝，即，求解即可。
2．（2021·重庆市模拟）如图，已知反比例函数 （k≠0）的图象经过矩形ABCD的对角线AC的端点A和C，AC交y轴于点F，BC边交y轴于点E，过线段FO中点G的直线与AC平行，连接AE，若∠BAE=∠ACB，．则k的值为（ ）
A．－24 B．－16 C．－36 D．－12
【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设直线
与x轴交于点H，
交x轴于点M，
令
，
，则
，
，
令
，则
，
．
．
．
，
．
轴，
，
，
，
，
．
在
中，
，
．
设
，则
，
在
中，
，
．
．
，
，
，
．
，
．
，
．
在
中，
，
．
为
的中点，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】设直线y=
x+2与x轴交于点H，AC交x轴于点M，由y=
x+2求得OG和OH的长，得出tan∠GHO=
，易得∠BAE=∠ACB，得tan∠BAE=tan∠ACB=tan∠GHO=，即
，设BE=a，由直角三角形边角关系分别得出AB=2a，BC=4a，EC=3a，根据S△AEC是48，可求得a=4，即BE=4，EC=12，进而求得EF=6，OE=4，从而得出C点坐标，再由“k=xy”，代入C点坐标即可求出k值.
3．（2021·涧西模拟）如图①，在菱形 中， ，点 是 的中点，点 是对角线 上一动点，设 ， ，图②是 关于 的函数图象，且图象上最低点 的坐标为 ，则菱形 的边长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】解： 、D关于直线AC对称，
连接DP， ，
，（点E，D，P三点共线）
的值最小，
，
， ，
∵四边形ABCD为菱形，DB为对角线，∠D=120°，
∴∠ADB=∠CDB= ，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵点E为AB中点，
∴ED⊥AB，
∴∠EDB=30°，
∴tan∠EDB=
∴
∴AB=2BE=4.
故答案为：D.
【分析】连接DP，可证得PB=PD，由此可推出PB+PE=DE，则点E，D，P三点共线，此时PE+PB的值最小；利用点Q的坐标，可得到PC，DE的长；利用菱形的性质去证明△ABD是等边三角形；由此可得到 ∠EDB=30°，利用解直角三角形可求出EB的长；从而可求出AB的长.
4．（2021·柘城模拟）如图，以矩形 的顶点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；作射线 ，交 于点 ，连接 ，交 于点 .若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；矩形的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得AE为 的角平分线
以BC为x轴，以BA为y轴建立平面直角坐标系
点E的坐标为
四边形ABCD为矩形
点D的坐标为 ，点A的坐标为 ，点C坐标为
设直线ED的解析式为 ，直线AC解析式为
将E、D、C、A坐标分别代入解析式，得
，
解得： ，
直线ED的解析式为 ，直线AC解析式为
将两解析式联立，得
解得：
点F的坐标为
过点F作 交CD于点K
，
在 中，
（负值已舍去）
故答案为：C.
【分析】由题意得AE为∠BAC的角平分线，以BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，由AB、BC的值可得tan∠BAC的值，求出∠BAC的度数，由角平分线的概念可得∠BAE=∠CAE，求出BE的值，得到点E的坐标，根据矩形的性质不难得到点D、A、C的坐标，求出直线ED、AC的解析式，联立求解可得x、y，据此得到点F的坐标，过点F作FK⊥CD交CD于点K，求出FK、DK的值，然后在Rt△FKD中，应用勾股定理就可得到DF.
5．（2021·扬州模拟）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点C坐标为（﹣4，0），E为BC上靠近点C的三等分点，点B、E均在反比例函数y＝ （k＜0，x＜0）的图象上，若tan∠OAD＝ ，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图所示，过点B作BN⊥ 轴，过点E作EM⊥ 轴
∴EM∥BN
∴△ECM∽△BCN
∵E为BC三等分点
∴EC= BC
∴
设B点的坐标为：（-m，n）
∵C（-4，0）
∴OC=4
∴ON=m，BN=n
则CN=4-m
∴EM= BN=
CM= CN=
OM=OC-CM=4- =
∴E（- ， ）
∵tan∠OAD=
∴tan∠OAD=
则OA=2OF
∴tan∠AFO=2
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ECM=∠AFO
∴tan∠ECM=
即 ÷ =2
n=8-2m
∴B（-m，8-2m）E（- ， ），两点都在 上
∴-m（8-2m）=- ×
解得m=1
∴B（-1，6）
∴k=-1×6=-6
故答案为：C.
【分析】根据已知条件运用点B， E都在反比例函数图象上，再运用tam∠OAD=即可求解.
6．（2021·龙港模拟）如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ， 是正方形 边上的线段，点 在其中某条线段上，若射线 与 轴正半轴的夹角为 ，且 ，则点 所在的线段可以是
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】如图，当点 在线段 上时，连接 ．
， ， ，
，
同法可证，点 在 上时， ，
如图，当点 在 上时，作 于 ．
， ， ，
，
同法可证，点 在 上时， ，
故答案为：D．
【分析】当点 在线段 上时，连接 ．根据正弦函数，余弦函数的定义判断的大小，点 在 上时，作 于 ．判断的大小即可解决问题。
7．（2021·江阴模拟）已知如图， 中， ， ，D为线段 上一点，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，F为 中点，直线 交射线 于点G.下列说法：①若连接 ，则 ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】连接AF，EC，
∵∠BAC=∠DAE=90 ，则∠BAD+∠CAD =∠CAE+∠CAD =90 ，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD △CAE(SAS)，
∴∠ABC=∠ACE，BD=EC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴EC⊥BC，故答案为：①正确；
当AD⊥BC时，∠ADB=90°，
∵∠ADE=45°，
∴∠EDC=45°，
∴∠BDA ∠EDC，故答案为：②错误；
∵∠BCE=90°，F为DE中点，
∴CF=DF=EF= DE，
∵∠DAE=90°，F为DE中点，
∴AF=DF=EF= DE，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
又∵∠GAC=90°，
∴∠GAF+∠FAC =∠AGF+∠FCA =90 ，
∴∠GAF=∠AGF，
∴GF=AF，则AF=GF=FC= CG，
∴DE=CG，故答案为：③正确；
∵BD=2DC，
设DC=a，则BD=2a，
∴BC=3a，AB=AC=BC a，
在Rt△DCE中，EC=BD=2a，DC=a，
∴DE= ，
在等腰直角三角形ADE中，AD= DE= ，
又∵∠GAC=90°，CG=DE ，
∴AG= ，
∴AD= AG，故答案为：④正确；
综上，正确的结论有3个，
故答案为：C.
【分析】利用SAS证明△BAD △CAE，推出∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，即可判断选项①；利用直角三角形中线的性质证明AF=GF=FC，即可判断选项③；设DC=a，则BD=2a，解直角三角形得到AD= ，AG ，即可判断选项④；取AD⊥BC时，得到∠BDA ∠EDC，即可判断选项②.
8．（2020九上·邗江月考）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为（ ）.
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可知，OM= ，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，
∴ ON= .
如答图①所示，
设动点P在O点（起点）时，点B的位置为 ，动点P在N点（末点）时，点B的位置为 ，连接 .
∵AO⊥AB0 ，AN⊥ABn ，
∴∠OAC=∠B0ABn.
又∵AB0 =AO tan30°，ABn =AN tan30°，
∴AB0 ：AO=ABn ：AN=tan30°.
∴△AB0Bn ∽△AON，且相似比为tan30°.
∴ B0Bn =ON tan30°= ×
＝ .
现在来证明线段 就是点B运动的路径（或轨迹）：
如答图②所示，
当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi ，连接AP，ABi ， B0Bi .
∵AO⊥AB0 ，AP⊥ABi ，
∴∠OAP=∠B0ABi .
又∵AB0 =AO tan30°，A =AP tan30°，
∴AB0 ：AO=ABi ：AP.
∴△AB0Bi∽△AOP，
∴∠AB0Bi=∠AOP.
又∵△AB0Bn ∽△AON，
∴∠AB0Bn=∠AOP.
∴∠AB0Bi =∠AB0Bn .
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn 就是点B运动的路径（或轨迹）.
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为 .
故答案为：B.
【分析】由题意易证△AB0Bn∽△AON，由相似三角形的性质可得点B的运动路径是线段，且点B的运动路径长为点P运动路径长的倍，然后求出B0Bn的长即可求解．
9．（2020九上·四川月考）如图，在 中， ， ， 于点D， 于点E， ．连接DE，将 沿直线AE翻折至 所在的平面内，得 ，连接DF．过点D作 交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵ ， 于点D，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 沿直线AE翻折得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴四边形DFEG的周长为：
，
故答案为：D．
【分析】先证 ，得出 ，再证 与 是等腰直角三角形，在直角 中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．
10．（2020·阳新模拟）如果，正方形ABCD的边长为2cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则PD等于（ ）
A． cm或 cm B． cm
C． cm或 cm D． cm或 cm
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=2cm，
∴tan30°= ，即DE= cm，
根据勾股定理得：AE= = cm，
∵M为AE的中点，
∴AM= AE= cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，
∴AP= cm，
所以PD=2﹣ = 或 .
故答案为：D.
【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由四边形ABCD为正方形可得AD＝DC＝PN，在直角三角形ADE中，根据tan30°=可求出DE的长，然后用勾股定理求出AE的长，根据线段中点的定义可求出AM的长，用HL定理易证Rt△ADE≌Rt△PNQ，由全等三角形的性质可得DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，而PN∥DC，由平行线的性质可得∠PFA＝∠DEA＝60°，于是可得PM⊥AE，在直角三角形APM中，根据cos30°=可求出AP的长，结合线段的构成得PD=AD-AP可求解.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·雅安）如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，如图所示：
∵，，
∴△DCB为等边三角形，
∴DC=CB=DB=8，
∵，，
∴DB⊥CA，DO=OB=4，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
∵，
∴∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，
∴CE=EA=6，
∴
∴，
∴，
由勾股定理得，
故答案为：
【分析】连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，先根据等边三角形的判定与性质即可得到DC=CB=DB=8，进而根据平行线的性质结合垂直平分线的性质即可得到∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，CE=EA=6，再运用解直角三角形求出FC、FA、OC，然后运用勾股定理即可求解。
12．（2023·长宁模拟）如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为 ．（参考数据：）
【答案】4.96m
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，如图所示：
由折叠可知∠ACB=∠ACM，
∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴∠D=76°，AB∥CD，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠CAD=∠ACM，
∴△CNA为等腰三角形，
∴CN=AN，
设∠MCD=a，则∠ACM=∠BCA=a+10°，
∴a+2(a+10°)+76°=180°，
解得a=28°，
∴∠MCB=76°，
∴CF=NCcos76°=0.24m，BE=BAcos76°=0.24m，
∴BC=EB+EF+CF=1.48m，
∴平行四边形的周长为2×（1+1.48）=4.96m，
故答案为：4.96m
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，先根据折叠的性质得到∠ACB=∠ACM，再根据平行四边形的性质得到∠D=76°，AB∥CD，进而根据平行线的性质结合题意得到∠CAD=∠ACM，再根据等腰三角形的判定与性质得到CN=AN，设∠MCD=a，则∠ACM=∠BCA=a+10°，运用三角形内角和定理即可求出a的值，进而得到∠MCB=76°，最后再解直角三角形结合平行四边形的周长公式即可求解。
13．（2023·连云）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点.若矩形的面积是，则 .
【答案】
【知识点】解直角三角形；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】设点A（a，b），则AO=，DO=b，
∵∠AOC=90°，cos∠OAC=
∴AC=.
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3.
∴
∴.
在Rt△ADO中，∵cos∠OAC=.
∴.
∴.
∴ab=.
∵点A在上，
∴.
故答案为：
【分析】本题先设点A坐标为（a，b），再在Rt△AOC、Rt△ADO中根据cos∠OAC=，分别列出含有a，b的式子，最后整理得出ab的值即可，k=ab.
14．（2023·自贡）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（6，0），B（0，2），
过点B作其关于x轴的对称点B'，再把B'向右平移3个单位得到C，过点C作CD⊥AB于点D且交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD，过点C作CP⊥x轴于点P，则CP=2，PO=3，如图所示：
∴四边形EFCB'为平行四边形，B'E=BE=CF，B'（0，-2），C（3，-2），
∴FD+EB=FC+DF=CD存在最小值，
∵∠DFA=∠PFC，
∴∠PCF=∠FAD，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意得，解得，
∴y=3x-11，
∴，
∴，
过点D作GD⊥y轴于点G，如图所示：
∵直线与x轴交于点Q，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：
【分析】过点B作其关于x轴的对称点B'，再把B'向右平移3个单位得到C，过点C作CD⊥AB于点D且交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD，过点C作CP⊥x轴于点P，则CP=2，PO=3，进而即可得到四边形EFCB'为平行四边形，B'E=BE=CF，B'（0，-2），C（3，-2），进而得到FD+EB=FC+DF=CD存在最小值，再运用解直角三角形即可得到点F的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可得到直线CD的解析式，进而即可得到点D的坐标，过点D作GD⊥y轴于点G，先根据一次函数的性质即可得到点Q的坐标，再运用勾股定理即可求出QB的长，最后运用即可求解。
15．（2023九下·鹿城月考）如图1，将一张等腰三角形纸片沿虚线剪开，得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片.小博按图2方式拼接，恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形；小雅按图3方式拼接，也拼出一个矩形，但由于两个四边形纸片有重叠（阴影）部分，整个面积减少了.若，则 ，矩形的面积为 .
【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；图形的剪拼；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
设AE=5a，
∵AE∶DE=5∶3，
∴DE=3a，
设LE=5b，AL=5c，
由题意易知∠AEL=∠ADC=90°，AB=AC，
∴LM∥BC，CD=BD，
∴△ALE∽△ACD，
∴，
∴CD=BD=8b，AC=8c，LC=3c，
对照图1与图2可得可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+LC，即5b+3c，
对照图1与图3可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+DE，即5b+3a，
∵图2的矩形面积比图3的矩形面积大5cm2，
∴5a·（5b+3c）-5a（5b+3a）=5，
整理得3ac-3a2=1，
在Rt△AEL中，由勾股定理得AE2+LE2=AL2，即a2+b2=c2，
对照图1与图2可5C=13b，
∴c=，
∴a2+b2=，
∴a2=，，
∴；
∴，
将代入3ac-3a2=1，
得，
解得a=2，
∴b=，c=，
∴矩形FHLK的面积为5a（5b+3a）=cm2.
故答案为：，.
【分析】设AE=5a，结合已知得DE=3a，设LE=5b，AL=5c，由题意易得LM∥BC，CD=BD，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ALE∽△ACD，由相似三角形对应边成比例可得CD=BD=8b，AC=8c，LC=3c，对照图1与图2可得可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+LC，即5b+3c，对照图1与图3可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+DE，即5b+3a，由矩形面积计算公式及图2的矩形面积比图3的矩形面积大5cm2，可得3ac-3a2=1，在Rt△AEL中，由勾股定理得a2+b2=c2，对照图1与图2可5C=13b，从而用含b的式子表示出a、c，再根据正切函数的定义可可求出∠C的正切值；将代入3ac-3a2=1，可求出a的值，从而即可得出b、c的值，此题得解.
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·榕城模拟）已知等边，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点
（1）如图1，，求证：
（2）如图2，，，，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，分别作，且角的顶点落在直线l上．
由（1）可知，
∴，．
设，则．
∵在中，
，
，
∴．
∵在中，，
∴，即，
解得：，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）分别作，且角的顶点落在直线l上，设，则，先求出，再结合，可得，即，求出，最后求出即可。
17．（2023·抚顺）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．交于点．
（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【答案】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，作 于，
∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在上时，作于，
由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠BAC=∠DAE=60°，同时可求出∠BAE=30°，AD=AE，再根据∠BAD=∠DAE-∠BAE，代入计算求出∠BAD的度数，可证得∠DAE=∠BAE，利用等角对等边可证得AM与EM的数量关系.
（2）连接BD，DF，利用等边三角形的性质可证得∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠ABD=120°，同时可证得BD=CE；再证明∠DBE+∠BEF=180°，可推出BD∥EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可证得AM与EM的数量关系.
（3）分情况讨论：当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BE于点G，连接BD，利用解直角三角形可求出CG的长，根据EG=CG+CE，代入计算求出EG的长，利用勾股定理求出AE的长；由（2）可知DM=EM，由AM⊥DE，可得到∠AME=90°，∠AED=60°，利用解直角三角形求出AM的长；当点E在BC上时，过点A作AG⊥BC于点G，同理可求出AG，CG，EG的长，利用勾股定理求出AE的长，利用解直角三角形求出AM的长，综上所述可得到符合题意的AM的长.
18．（2023·山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）解：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先证四边形为矩形，再由，可得，从而证得四边形为正方形；
（2）①由可得，再根据 ，可得BC=AM， 由（1）得， 利用等量代换即得结论；
② 设的交点为M，过M作于G， 先证， 利用等腰三角形三线合一的性质可得点G是的中点，利用解直角三角形求出DG、DM的长，从而求出AM的长，再证， 利用相似三角形的对应边成比例求出AH的长即可.
19．（2023·宜昌）如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，连接，，．
（1）若正方形的边长为2，E是的中点．
①如图1，当时，求证：；
②如图2，当时，求的长；
（2）如图3，延长，交于点G，当时，求证：．
【答案】（1）解：如图，
正方形中，，
①，
∴，
，
，
②如图，
延长，交于点G，
作，垂足为H，
且，
，
，
，
，
方法一：设，
∴，
∴，
在中，，
，
，
方法二：在中，由，设，
，
，
，
又且，
，
，
，
；
（2）解：如图
延长，作，垂足为H，
且，
，
设，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，则，
又且，
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）①根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；
②如图，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GF⊥CE交CE的延长线于点H.先证明，然后根据，求出.
方法一：设，根据，得，根据，可求出m的值，从而求出EG的长.
方法二：在中，由，设，根据求出n和GE；再由，根据，即可求出AF的长.
（2）如图，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H，证明AF=a-t，即可得出结论.
20．（2023·天津市）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点．
（1）填空：如图①，点C的坐标为 ，点G的坐标为 ；
（2）将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．
①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）；
（2）解：①∵点，点，点，
∴矩形中，轴，轴，．
∴矩形中，轴，轴，．
由点，点，得．
在中，，得．
在中，由，得．
∴．同理，得．
∵，得．
又，
∴，
当时，则矩形和菱形重叠部分为，
∴的取值范围是．
②
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形， ，
∴EF=GH=， EH=FG=1，
∴，
如图所示：连接AC，BD，交于一点M，
∵四边形ABCD是菱形，且，B(0，1)，，
∴AB= AD=，AC⊥BD，CM =AM = OB=1，BM=MD=OA=，
∴AC =2，
∴，
故答案为：；；
（2）②当时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：
，
∴，
当时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：
，
∴点D到G'F'的距离为：，
∵∠D=∠B=60°，
∴矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为等边三角形，
∴该等边三角形的边长为：，
∴，
综上所示： 当时，S的取值范围.
【分析】（1）根据矩形的性质求出EF=GH=， EH=FG=1，再利用菱形的性质和勾股定理计算求解即可；
（2）①利用锐角三角函数，三角形和矩形的面积公式计算求解即可；
②结合图形，利用锐角三角函数和面积公式计算求解即可。
21．（2020·宁波模拟）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫关联三角形.
（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为关联三角形.
（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，连结EG.求证：△ABC与△AEG为关联三角形.
（3）在△ABC中，∠A=30°，AC=8，点D在线段AC上，连接BD，△ABD和△BCD是关联三角形，将△ABD沿BD所在的直线翻折，得到△A1BD，若△A1BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：作△ABC的BC边上的中线，
（2）证明：延长GA，过点E作EM⊥AG于点M，
∴∠M=90°，
∴∠MAE+∠MEA=90°，
∵以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，
∴AC=AG，AB=AE，∠EAB=∠MAC=90°即∠EAM+∠BAC=90°，
∴∠MEA=∠BAC，
在△AEM和△BCA中，
∴△AEM≌△BCA（AAS）
∴EM=BC
∵，
∴S△ABC=S△AEG.
∴△ABC与△AEG为关联三角形.
（3）解：如图，过点C作CN⊥AB于点N
∵△ABD和△BCD是关联三角形，
∴S△ABD=S△BCD，
∴AD=DC=AC=4；
∵将△ABD沿BD所在的直线翻折，得到△A1BD，若△A1BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，
∴S△ABD=S△A1DB，
∴DO=CO=AD，
∴A1O=BO
∴A1DBC是平行四边形，
∴BC=A1D=4
在Rt△ACN中，∠ANC=90°，AC=8，∠A=30°，
∴CN=AC=4=BC
∴点N与点B重合，
∴AB=ACcos30°=8cos30°=
∴；
如图，连接A1C，过点B作BM⊥A1D于点M，
同理可证四边形A1BDC是平行四边形，∠BA1D=30°，
∴DC=A1B=4
∵在Rt△BA1D中，
∴BM=BA1=×4=2
∴S△A1DB=
∴S△ABC=2S△A1DB=2×4=8.
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据把两个面积相等但不全等的三角形叫关联三角形，作出△ABC的BC边上的中线即可。
（2）延长GA，过点E作EM⊥AG于点M，利用正方形的性质可证得AC=AG，AB=AE，∠EAB=∠MAC，AC=AG，AB=AE，∠EAB=∠MAC，利用AAS证明△AEM≌△BCA，利用全等三角形的对应边相等可得到EM=BC；再利用三角形的面积公式证明S△ABC=S△AEG，由此可证得结论。
（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N，利用关联三角形的定义证明AD=CD=4， 利用折叠的性质，结合已知条件可证得S△ABD=S△A1DB，DO=CO，A1O=BO，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得△A1DBC是平行四边形，由此可以推出BC=A1D=4；再证明点N与点B重合，利用解直角三角形求出AB的长，然后利用三角形的面积公式可求出△ACB的面积；如图，连接A1C，过点B作BM⊥A1D于点M，同理可证四边形A1BDC是平行四边形，∠BA1D=30°，DC=A1B=4，利用直角三角形的性质求出BM的长，然后根据S△ABC=2S△A1DB=，即可求解。
22．（2023·江西模拟）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
（1）【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是 ；
（2）【尺规作黄金分割点】如图2，在中，，，，则 ，在上截取，则 ，在上截取，则的值为 ；
（3）【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点；
（4）【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为 ．
【答案】（1）
（2）；；
（3）解：如图，设与交点为P
∵，且M为中点，
∴，
过P作，
∵平分，
∴．
设，
，
∵
即，解得，
经检验为原方程的解
∴
∴C为的黄金分割点．
（4）
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：设， 则，即
∴，解得或（舍去）
经检验，是原方程的解
．
故答案为：．
（2）解：在中，，
设，则
，解得或（舍去）
经检验是原方程的解
则．
故答案为：，，．
（4）解：如图：延长交于点K，过N作，过A作交于点S，过S作，取交点O．
∵，，
∴
即
又∵，
∴
∴
∴等腰
∴，
∴
在和中
∴
∵N为的黄金分割点，
∴设
∴
设
，解得
经检验，符合题意
．
【分析】（1）根据题意求出，再解方程即可；
（2）利用勾股定理求出AB的值，再求出，最后解方程即可；
（3）先求出 ，再求出 ， 最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可；
（4）结合图形，利用全等三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数计算求解即可。
1 / 1【培优卷】1.4解直角三角形—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·颍上月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2021·重庆市模拟）如图，已知反比例函数 （k≠0）的图象经过矩形ABCD的对角线AC的端点A和C，AC交y轴于点F，BC边交y轴于点E，过线段FO中点G的直线与AC平行，连接AE，若∠BAE=∠ACB，．则k的值为（ ）
A．－24 B．－16 C．－36 D．－12
3．（2021·涧西模拟）如图①，在菱形 中， ，点 是 的中点，点 是对角线 上一动点，设 ， ，图②是 关于 的函数图象，且图象上最低点 的坐标为 ，则菱形 的边长为（ ）
A．2 B． C． D．4
4．（2021·柘城模拟）如图，以矩形 的顶点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；作射线 ，交 于点 ，连接 ，交 于点 .若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2021·扬州模拟）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点C坐标为（﹣4，0），E为BC上靠近点C的三等分点，点B、E均在反比例函数y＝ （k＜0，x＜0）的图象上，若tan∠OAD＝ ，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4
6．（2021·龙港模拟）如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ， 是正方形 边上的线段，点 在其中某条线段上，若射线 与 轴正半轴的夹角为 ，且 ，则点 所在的线段可以是
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
7．（2021·江阴模拟）已知如图， 中， ， ，D为线段 上一点，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，F为 中点，直线 交射线 于点G.下列说法：①若连接 ，则 ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2020九上·邗江月考）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为（ ）.
A． B． C．4 D．
9．（2020九上·四川月考）如图，在 中， ， ， 于点D， 于点E， ．连接DE，将 沿直线AE翻折至 所在的平面内，得 ，连接DF．过点D作 交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
10．（2020·阳新模拟）如果，正方形ABCD的边长为2cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则PD等于（ ）
A． cm或 cm B． cm
C． cm或 cm D． cm或 cm
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·雅安）如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为 ．
12．（2023·长宁模拟）如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为 ．（参考数据：）
13．（2023·连云）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点.若矩形的面积是，则 .
14．（2023·自贡）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．
15．（2023九下·鹿城月考）如图1，将一张等腰三角形纸片沿虚线剪开，得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片.小博按图2方式拼接，恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形；小雅按图3方式拼接，也拼出一个矩形，但由于两个四边形纸片有重叠（阴影）部分，整个面积减少了.若，则 ，矩形的面积为 .
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·榕城模拟）已知等边，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点
（1）如图1，，求证：
（2）如图2，，，，求AD的长．
17．（2023·抚顺）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．交于点．
（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
18．（2023·山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
19．（2023·宜昌）如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，连接，，．
（1）若正方形的边长为2，E是的中点．
①如图1，当时，求证：；
②如图2，当时，求的长；
（2）如图3，延长，交于点G，当时，求证：．
20．（2023·天津市）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点．
（1）填空：如图①，点C的坐标为 ，点G的坐标为 ；
（2）将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．
①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
21．（2020·宁波模拟）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫关联三角形.
（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为关联三角形.
（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，连结EG.求证：△ABC与△AEG为关联三角形.
（3）在△ABC中，∠A=30°，AC=8，点D在线段AC上，连接BD，△ABD和△BCD是关联三角形，将△ABD沿BD所在的直线翻折，得到△A1BD，若△A1BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，求△ABC的面积.
22．（2023·江西模拟）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
（1）【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是 ；
（2）【尺规作黄金分割点】如图2，在中，，，，则 ，在上截取，则 ，在上截取，则的值为 ；
（3）【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点；
（4）【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°，
∵tan∠ABF＝2，
∴＝2，
设BN＝x，则FN＝2x，
∴AN＝4﹣x，
∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵AN2＋NF2＝AF2，
∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝，
∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴＝，即，
∴EF＝，
∴DE＝EF＝．
故答案为：C．
【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，根据tan∠ABF＝2，可得＝2，设BN＝x，则FN＝2x，可得AN＝4﹣x，再利用勾股定理列出方程（4﹣x）2＋（2x）2＝42，求出x的值，最后根据cos∠EFM＝cos∠FAN，可得＝，即，求解即可。
2．【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设直线
与x轴交于点H，
交x轴于点M，
令
，
，则
，
，
令
，则
，
．
．
．
，
．
轴，
，
，
，
，
．
在
中，
，
．
设
，则
，
在
中，
，
．
．
，
，
，
．
，
．
，
．
在
中，
，
．
为
的中点，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】设直线y=
x+2与x轴交于点H，AC交x轴于点M，由y=
x+2求得OG和OH的长，得出tan∠GHO=
，易得∠BAE=∠ACB，得tan∠BAE=tan∠ACB=tan∠GHO=，即
，设BE=a，由直角三角形边角关系分别得出AB=2a，BC=4a，EC=3a，根据S△AEC是48，可求得a=4，即BE=4，EC=12，进而求得EF=6，OE=4，从而得出C点坐标，再由“k=xy”，代入C点坐标即可求出k值.
3．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】解： 、D关于直线AC对称，
连接DP， ，
，（点E，D，P三点共线）
的值最小，
，
， ，
∵四边形ABCD为菱形，DB为对角线，∠D=120°，
∴∠ADB=∠CDB= ，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵点E为AB中点，
∴ED⊥AB，
∴∠EDB=30°，
∴tan∠EDB=
∴
∴AB=2BE=4.
故答案为：D.
【分析】连接DP，可证得PB=PD，由此可推出PB+PE=DE，则点E，D，P三点共线，此时PE+PB的值最小；利用点Q的坐标，可得到PC，DE的长；利用菱形的性质去证明△ABD是等边三角形；由此可得到 ∠EDB=30°，利用解直角三角形可求出EB的长；从而可求出AB的长.
4．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；矩形的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得AE为 的角平分线
以BC为x轴，以BA为y轴建立平面直角坐标系
点E的坐标为
四边形ABCD为矩形
点D的坐标为 ，点A的坐标为 ，点C坐标为
设直线ED的解析式为 ，直线AC解析式为
将E、D、C、A坐标分别代入解析式，得
，
解得： ，
直线ED的解析式为 ，直线AC解析式为
将两解析式联立，得
解得：
点F的坐标为
过点F作 交CD于点K
，
在 中，
（负值已舍去）
故答案为：C.
【分析】由题意得AE为∠BAC的角平分线，以BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，由AB、BC的值可得tan∠BAC的值，求出∠BAC的度数，由角平分线的概念可得∠BAE=∠CAE，求出BE的值，得到点E的坐标，根据矩形的性质不难得到点D、A、C的坐标，求出直线ED、AC的解析式，联立求解可得x、y，据此得到点F的坐标，过点F作FK⊥CD交CD于点K，求出FK、DK的值，然后在Rt△FKD中，应用勾股定理就可得到DF.
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图所示，过点B作BN⊥ 轴，过点E作EM⊥ 轴
∴EM∥BN
∴△ECM∽△BCN
∵E为BC三等分点
∴EC= BC
∴
设B点的坐标为：（-m，n）
∵C（-4，0）
∴OC=4
∴ON=m，BN=n
则CN=4-m
∴EM= BN=
CM= CN=
OM=OC-CM=4- =
∴E（- ， ）
∵tan∠OAD=
∴tan∠OAD=
则OA=2OF
∴tan∠AFO=2
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ECM=∠AFO
∴tan∠ECM=
即 ÷ =2
n=8-2m
∴B（-m，8-2m）E（- ， ），两点都在 上
∴-m（8-2m）=- ×
解得m=1
∴B（-1，6）
∴k=-1×6=-6
故答案为：C.
【分析】根据已知条件运用点B， E都在反比例函数图象上，再运用tam∠OAD=即可求解.
6．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】如图，当点 在线段 上时，连接 ．
， ， ，
，
同法可证，点 在 上时， ，
如图，当点 在 上时，作 于 ．
， ， ，
，
同法可证，点 在 上时， ，
故答案为：D．
【分析】当点 在线段 上时，连接 ．根据正弦函数，余弦函数的定义判断的大小，点 在 上时，作 于 ．判断的大小即可解决问题。
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】连接AF，EC，
∵∠BAC=∠DAE=90 ，则∠BAD+∠CAD =∠CAE+∠CAD =90 ，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD △CAE(SAS)，
∴∠ABC=∠ACE，BD=EC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴EC⊥BC，故答案为：①正确；
当AD⊥BC时，∠ADB=90°，
∵∠ADE=45°，
∴∠EDC=45°，
∴∠BDA ∠EDC，故答案为：②错误；
∵∠BCE=90°，F为DE中点，
∴CF=DF=EF= DE，
∵∠DAE=90°，F为DE中点，
∴AF=DF=EF= DE，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
又∵∠GAC=90°，
∴∠GAF+∠FAC =∠AGF+∠FCA =90 ，
∴∠GAF=∠AGF，
∴GF=AF，则AF=GF=FC= CG，
∴DE=CG，故答案为：③正确；
∵BD=2DC，
设DC=a，则BD=2a，
∴BC=3a，AB=AC=BC a，
在Rt△DCE中，EC=BD=2a，DC=a，
∴DE= ，
在等腰直角三角形ADE中，AD= DE= ，
又∵∠GAC=90°，CG=DE ，
∴AG= ，
∴AD= AG，故答案为：④正确；
综上，正确的结论有3个，
故答案为：C.
【分析】利用SAS证明△BAD △CAE，推出∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，即可判断选项①；利用直角三角形中线的性质证明AF=GF=FC，即可判断选项③；设DC=a，则BD=2a，解直角三角形得到AD= ，AG ，即可判断选项④；取AD⊥BC时，得到∠BDA ∠EDC，即可判断选项②.
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可知，OM= ，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，
∴ ON= .
如答图①所示，
设动点P在O点（起点）时，点B的位置为 ，动点P在N点（末点）时，点B的位置为 ，连接 .
∵AO⊥AB0 ，AN⊥ABn ，
∴∠OAC=∠B0ABn.
又∵AB0 =AO tan30°，ABn =AN tan30°，
∴AB0 ：AO=ABn ：AN=tan30°.
∴△AB0Bn ∽△AON，且相似比为tan30°.
∴ B0Bn =ON tan30°= ×
＝ .
现在来证明线段 就是点B运动的路径（或轨迹）：
如答图②所示，
当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi ，连接AP，ABi ， B0Bi .
∵AO⊥AB0 ，AP⊥ABi ，
∴∠OAP=∠B0ABi .
又∵AB0 =AO tan30°，A =AP tan30°，
∴AB0 ：AO=ABi ：AP.
∴△AB0Bi∽△AOP，
∴∠AB0Bi=∠AOP.
又∵△AB0Bn ∽△AON，
∴∠AB0Bn=∠AOP.
∴∠AB0Bi =∠AB0Bn .
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn 就是点B运动的路径（或轨迹）.
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为 .
故答案为：B.
【分析】由题意易证△AB0Bn∽△AON，由相似三角形的性质可得点B的运动路径是线段，且点B的运动路径长为点P运动路径长的倍，然后求出B0Bn的长即可求解．
9．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵ ， 于点D，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 沿直线AE翻折得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴四边形DFEG的周长为：
，
故答案为：D．
【分析】先证 ，得出 ，再证 与 是等腰直角三角形，在直角 中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．
10．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=2cm，
∴tan30°= ，即DE= cm，
根据勾股定理得：AE= = cm，
∵M为AE的中点，
∴AM= AE= cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，
∴AP= cm，
所以PD=2﹣ = 或 .
故答案为：D.
【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由四边形ABCD为正方形可得AD＝DC＝PN，在直角三角形ADE中，根据tan30°=可求出DE的长，然后用勾股定理求出AE的长，根据线段中点的定义可求出AM的长，用HL定理易证Rt△ADE≌Rt△PNQ，由全等三角形的性质可得DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，而PN∥DC，由平行线的性质可得∠PFA＝∠DEA＝60°，于是可得PM⊥AE，在直角三角形APM中，根据cos30°=可求出AP的长，结合线段的构成得PD=AD-AP可求解.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，如图所示：
∵，，
∴△DCB为等边三角形，
∴DC=CB=DB=8，
∵，，
∴DB⊥CA，DO=OB=4，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
∵，
∴∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，
∴CE=EA=6，
∴
∴，
∴，
由勾股定理得，
故答案为：
【分析】连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，先根据等边三角形的判定与性质即可得到DC=CB=DB=8，进而根据平行线的性质结合垂直平分线的性质即可得到∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，CE=EA=6，再运用解直角三角形求出FC、FA、OC，然后运用勾股定理即可求解。
12．【答案】4.96m
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，如图所示：
由折叠可知∠ACB=∠ACM，
∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴∠D=76°，AB∥CD，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠CAD=∠ACM，
∴△CNA为等腰三角形，
∴CN=AN，
设∠MCD=a，则∠ACM=∠BCA=a+10°，
∴a+2(a+10°)+76°=180°，
解得a=28°，
∴∠MCB=76°，
∴CF=NCcos76°=0.24m，BE=BAcos76°=0.24m，
∴BC=EB+EF+CF=1.48m，
∴平行四边形的周长为2×（1+1.48）=4.96m，
故答案为：4.96m
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，先根据折叠的性质得到∠ACB=∠ACM，再根据平行四边形的性质得到∠D=76°，AB∥CD，进而根据平行线的性质结合题意得到∠CAD=∠ACM，再根据等腰三角形的判定与性质得到CN=AN，设∠MCD=a，则∠ACM=∠BCA=a+10°，运用三角形内角和定理即可求出a的值，进而得到∠MCB=76°，最后再解直角三角形结合平行四边形的周长公式即可求解。
13．【答案】
【知识点】解直角三角形；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】设点A（a，b），则AO=，DO=b，
∵∠AOC=90°，cos∠OAC=
∴AC=.
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3.
∴
∴.
在Rt△ADO中，∵cos∠OAC=.
∴.
∴.
∴ab=.
∵点A在上，
∴.
故答案为：
【分析】本题先设点A坐标为（a，b），再在Rt△AOC、Rt△ADO中根据cos∠OAC=，分别列出含有a，b的式子，最后整理得出ab的值即可，k=ab.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（6，0），B（0，2），
过点B作其关于x轴的对称点B'，再把B'向右平移3个单位得到C，过点C作CD⊥AB于点D且交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD，过点C作CP⊥x轴于点P，则CP=2，PO=3，如图所示：
∴四边形EFCB'为平行四边形，B'E=BE=CF，B'（0，-2），C（3，-2），
∴FD+EB=FC+DF=CD存在最小值，
∵∠DFA=∠PFC，
∴∠PCF=∠FAD，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意得，解得，
∴y=3x-11，
∴，
∴，
过点D作GD⊥y轴于点G，如图所示：
∵直线与x轴交于点Q，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：
【分析】过点B作其关于x轴的对称点B'，再把B'向右平移3个单位得到C，过点C作CD⊥AB于点D且交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD，过点C作CP⊥x轴于点P，则CP=2，PO=3，进而即可得到四边形EFCB'为平行四边形，B'E=BE=CF，B'（0，-2），C（3，-2），进而得到FD+EB=FC+DF=CD存在最小值，再运用解直角三角形即可得到点F的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可得到直线CD的解析式，进而即可得到点D的坐标，过点D作GD⊥y轴于点G，先根据一次函数的性质即可得到点Q的坐标，再运用勾股定理即可求出QB的长，最后运用即可求解。
15．【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；图形的剪拼；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
设AE=5a，
∵AE∶DE=5∶3，
∴DE=3a，
设LE=5b，AL=5c，
由题意易知∠AEL=∠ADC=90°，AB=AC，
∴LM∥BC，CD=BD，
∴△ALE∽△ACD，
∴，
∴CD=BD=8b，AC=8c，LC=3c，
对照图1与图2可得可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+LC，即5b+3c，
对照图1与图3可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+DE，即5b+3a，
∵图2的矩形面积比图3的矩形面积大5cm2，
∴5a·（5b+3c）-5a（5b+3a）=5，
整理得3ac-3a2=1，
在Rt△AEL中，由勾股定理得AE2+LE2=AL2，即a2+b2=c2，
对照图1与图2可5C=13b，
∴c=，
∴a2+b2=，
∴a2=，，
∴；
∴，
将代入3ac-3a2=1，
得，
解得a=2，
∴b=，c=，
∴矩形FHLK的面积为5a（5b+3a）=cm2.
故答案为：，.
【分析】设AE=5a，结合已知得DE=3a，设LE=5b，AL=5c，由题意易得LM∥BC，CD=BD，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ALE∽△ACD，由相似三角形对应边成比例可得CD=BD=8b，AC=8c，LC=3c，对照图1与图2可得可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+LC，即5b+3c，对照图1与图3可得矩形的一边长为AE，即为5a，邻边长为LE+DE，即5b+3a，由矩形面积计算公式及图2的矩形面积比图3的矩形面积大5cm2，可得3ac-3a2=1，在Rt△AEL中，由勾股定理得a2+b2=c2，对照图1与图2可5C=13b，从而用含b的式子表示出a、c，再根据正切函数的定义可可求出∠C的正切值；将代入3ac-3a2=1，可求出a的值，从而即可得出b、c的值，此题得解.
16．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，分别作，且角的顶点落在直线l上．
由（1）可知，
∴，．
设，则．
∵在中，
，
，
∴．
∵在中，，
∴，即，
解得：，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）分别作，且角的顶点落在直线l上，设，则，先求出，再结合，可得，即，求出，最后求出即可。
17．【答案】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，作 于，
∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在上时，作于，
由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠BAC=∠DAE=60°，同时可求出∠BAE=30°，AD=AE，再根据∠BAD=∠DAE-∠BAE，代入计算求出∠BAD的度数，可证得∠DAE=∠BAE，利用等角对等边可证得AM与EM的数量关系.
（2）连接BD，DF，利用等边三角形的性质可证得∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠ABD=120°，同时可证得BD=CE；再证明∠DBE+∠BEF=180°，可推出BD∥EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可证得AM与EM的数量关系.
（3）分情况讨论：当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BE于点G，连接BD，利用解直角三角形可求出CG的长，根据EG=CG+CE，代入计算求出EG的长，利用勾股定理求出AE的长；由（2）可知DM=EM，由AM⊥DE，可得到∠AME=90°，∠AED=60°，利用解直角三角形求出AM的长；当点E在BC上时，过点A作AG⊥BC于点G，同理可求出AG，CG，EG的长，利用勾股定理求出AE的长，利用解直角三角形求出AM的长，综上所述可得到符合题意的AM的长.
18．【答案】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）解：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先证四边形为矩形，再由，可得，从而证得四边形为正方形；
（2）①由可得，再根据 ，可得BC=AM， 由（1）得， 利用等量代换即得结论；
② 设的交点为M，过M作于G， 先证， 利用等腰三角形三线合一的性质可得点G是的中点，利用解直角三角形求出DG、DM的长，从而求出AM的长，再证， 利用相似三角形的对应边成比例求出AH的长即可.
19．【答案】（1）解：如图，
正方形中，，
①，
∴，
，
，
②如图，
延长，交于点G，
作，垂足为H，
且，
，
，
，
，
方法一：设，
∴，
∴，
在中，，
，
，
方法二：在中，由，设，
，
，
，
又且，
，
，
，
；
（2）解：如图
延长，作，垂足为H，
且，
，
设，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，则，
又且，
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）①根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；
②如图，延长DA交CF的延长线于点G，过点G作GF⊥CE交CE的延长线于点H.先证明，然后根据，求出.
方法一：设，根据，得，根据，可求出m的值，从而求出EG的长.
方法二：在中，由，设，根据求出n和GE；再由，根据，即可求出AF的长.
（2）如图，过点G作GH⊥CE交CE的延长线于点H，证明AF=a-t，即可得出结论.
20．【答案】（1）；
（2）解：①∵点，点，点，
∴矩形中，轴，轴，．
∴矩形中，轴，轴，．
由点，点，得．
在中，，得．
在中，由，得．
∴．同理，得．
∵，得．
又，
∴，
当时，则矩形和菱形重叠部分为，
∴的取值范围是．
②
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形， ，
∴EF=GH=， EH=FG=1，
∴，
如图所示：连接AC，BD，交于一点M，
∵四边形ABCD是菱形，且，B(0，1)，，
∴AB= AD=，AC⊥BD，CM =AM = OB=1，BM=MD=OA=，
∴AC =2，
∴，
故答案为：；；
（2）②当时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：
，
∴，
当时，矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分如图所示：
，
∴点D到G'F'的距离为：，
∵∠D=∠B=60°，
∴矩形E'F'G'H'和菱形ABCD重叠部分为等边三角形，
∴该等边三角形的边长为：，
∴，
综上所示： 当时，S的取值范围.
【分析】（1）根据矩形的性质求出EF=GH=， EH=FG=1，再利用菱形的性质和勾股定理计算求解即可；
（2）①利用锐角三角函数，三角形和矩形的面积公式计算求解即可；
②结合图形，利用锐角三角函数和面积公式计算求解即可。
21．【答案】（1）解：作△ABC的BC边上的中线，
（2）证明：延长GA，过点E作EM⊥AG于点M，
∴∠M=90°，
∴∠MAE+∠MEA=90°，
∵以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，
∴AC=AG，AB=AE，∠EAB=∠MAC=90°即∠EAM+∠BAC=90°，
∴∠MEA=∠BAC，
在△AEM和△BCA中，
∴△AEM≌△BCA（AAS）
∴EM=BC
∵，
∴S△ABC=S△AEG.
∴△ABC与△AEG为关联三角形.
（3）解：如图，过点C作CN⊥AB于点N
∵△ABD和△BCD是关联三角形，
∴S△ABD=S△BCD，
∴AD=DC=AC=4；
∵将△ABD沿BD所在的直线翻折，得到△A1BD，若△A1BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，
∴S△ABD=S△A1DB，
∴DO=CO=AD，
∴A1O=BO
∴A1DBC是平行四边形，
∴BC=A1D=4
在Rt△ACN中，∠ANC=90°，AC=8，∠A=30°，
∴CN=AC=4=BC
∴点N与点B重合，
∴AB=ACcos30°=8cos30°=
∴；
如图，连接A1C，过点B作BM⊥A1D于点M，
同理可证四边形A1BDC是平行四边形，∠BA1D=30°，
∴DC=A1B=4
∵在Rt△BA1D中，
∴BM=BA1=×4=2
∴S△A1DB=
∴S△ABC=2S△A1DB=2×4=8.
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据把两个面积相等但不全等的三角形叫关联三角形，作出△ABC的BC边上的中线即可。
（2）延长GA，过点E作EM⊥AG于点M，利用正方形的性质可证得AC=AG，AB=AE，∠EAB=∠MAC，AC=AG，AB=AE，∠EAB=∠MAC，利用AAS证明△AEM≌△BCA，利用全等三角形的对应边相等可得到EM=BC；再利用三角形的面积公式证明S△ABC=S△AEG，由此可证得结论。
（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N，利用关联三角形的定义证明AD=CD=4， 利用折叠的性质，结合已知条件可证得S△ABD=S△A1DB，DO=CO，A1O=BO，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得△A1DBC是平行四边形，由此可以推出BC=A1D=4；再证明点N与点B重合，利用解直角三角形求出AB的长，然后利用三角形的面积公式可求出△ACB的面积；如图，连接A1C，过点B作BM⊥A1D于点M，同理可证四边形A1BDC是平行四边形，∠BA1D=30°，DC=A1B=4，利用直角三角形的性质求出BM的长，然后根据S△ABC=2S△A1DB=，即可求解。
22．【答案】（1）
（2）；；
（3）解：如图，设与交点为P
∵，且M为中点，
∴，
过P作，
∵平分，
∴．
设，
，
∵
即，解得，
经检验为原方程的解
∴
∴C为的黄金分割点．
（4）
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：设， 则，即
∴，解得或（舍去）
经检验，是原方程的解
．
故答案为：．
（2）解：在中，，
设，则
，解得或（舍去）
经检验是原方程的解
则．
故答案为：，，．
（4）解：如图：延长交于点K，过N作，过A作交于点S，过S作，取交点O．
∵，，
∴
即
又∵，
∴
∴
∴等腰
∴，
∴
在和中
∴
∵N为的黄金分割点，
∴设
∴
设
，解得
经检验，符合题意
．
【分析】（1）根据题意求出，再解方程即可；
（2）利用勾股定理求出AB的值，再求出，最后解方程即可；
（3）先求出 ，再求出 ， 最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可；
（4）结合图形，利用全等三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数计算求解即可。
1 / 1
