【提升卷】1.4解直角三角形—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·广宗期末）如图是一个以O为对称中心的中心对称图形，若∠A=30°，∠C=90°，AC=1，则AB的长为（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2022九上·芝罘期中）已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·南宁月考）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠.恰好得到菱形AECF.若AD＝，则菱形AECF的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
4．（2022九上·晋州期中）如图所示，是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，，，均在格点上，则和的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
5．（2022九上·晋州期中）如图，一块矩形薄木板斜靠在墙角处（，点，，，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022九下·大埔期中）如图，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AD边E上，将沿BE折叠，使点A的对应点F落在直线MN上，若，则BE的长是（ ）
A．5 B． C． D．
7．（2022九下·义乌开学考）如图，将长、宽分别为6cm，
cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）
A． cm2
B．（36
）cm2
C． cm2
D． cm2
8．（2021九上·蜀山期末）如图，在△ABC中，∠C=45°，=，AD⊥BC于点D，AC=，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（ ）
A． B．2 C． D．
9．（2021九上·讷河期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线（k≠0）上，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣2 C． D．
10．（2022九上·西山期中）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，，．若，则图中与位似的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2022九上·哈尔滨月考）已知在中，于D，，，，则线段AB的长为 ．
12．（2022九上·黄浦月考）如图，四边形中，，平分，交于点，，那么 ．
13．（2023九下·江油月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为 ．
14．（2022九上·青岛期中）如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝ cm．
15．（2022九上·章丘期中）如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为，正方形FPQG面积为，则的值为 ．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2020九上·青县期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算 时，如图，在 中， ，延长 使 ，连接 ，得 ，所以 ，类比这种方法，计算 （画图并写出过程）
17．（2022九上·海阳期中）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点所连线段长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图①，在中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“奇点”．问题解决：如图②，在中，，，，点D是边上的“奇点”，求线段的长．
18．（2023·广州）如图，是菱形的对角线．
（1）尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为保留作图痕迹，不写作法；
（2）在（1）所作的图中，连接，．
求证：∽；
若，求的值．
19．（2021九上·普宁期末）如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，，．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若，，求四边形ADCE的周长．
20．（2021九上·揭阳期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=， AD=4．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
21．（2023·香洲模拟）如图，将矩形绕点B旋转得到矩形，点E在上，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长度．
22．（2020九上·佛山月考）如图，在边长为6的正方形 中，点P是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折，点A的对应点为点E，连接 ．
（1）如图1，当 时，直接写出 的度数为 ；
（2）如图2，当 时，求证： ；
（3）如图3，点M是边 上一动点，当 时，求 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵在Rt△AOC中，∠A=30°，∠C=90°，AC=1，
∴AO=＝ ＝，
∴BA=2AO=
故答案为：D．
【分析】先利用解直角三角形的方法求出AO的长，再利用中心对称图形的性质可得BA=2AO=。
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：过点A作于D，过点B作于E
设 间的距离为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在等腰直角中，，
在和中
∴，
∴，
在中，
∴．
故答案为：A．
【分析】过点A作AD于D，过点B作BE于E，根据同角的余角相等求出CAD=BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE= AD，然后利用勾股定理列式求出BC，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】由翻折的性质得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD＝ ，
在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE，
∴∠OAE＝ ×90°＝30°，
∴AE＝AO÷cos30°＝ ÷ ＝2，
∴菱形AECF的面积＝AE AD＝2.
故答案为：A.
【分析】利用折叠的性质可得到∠DAF＝∠OAF，OA＝AD，利用菱形的性质可求出∠OAE的度数；再利用解直角三角形求出AE的长；然后利用菱形的面积公式求出菱形AECF的面积.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
，，
，
又，即，
，
，
，
，即，
，
故答案为：C．
【分析】利用正弦的定义可得，，再结合，即，即可得到。
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
过点作于，于，
∴到的距离是，
∵，矩形，即，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵MN是矩形ABCD的一条对称轴，
∴，，
∴∠AEF+∠MFE=180°，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴∠BFM=30°，
∴∠MFE=60°，
∴∠AEF=120°，
∴∠AEB=60°，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用矩形和折叠的性质求出∠AEB=60°，再利用锐角三角函数求出即可。
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据翻折可得，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC
∴∠BAC=∠PAB+∠PAC=
（∠MAB+∠PAB+∠NAC+∠PAC）=
×180°=90°
∵∠α＝60°
∴∠MAB=180°-∠BAC-∠α=180°-90°-60° =30°
∵长方形的长、宽分别为6cm、
cm
∴AB=
，AC=
∴阴影部分的面积=
故答案为：D.
【分析】根据翻折的性质可以得出∠BAC=90°以及∠MAB=30°，结合角度，运用解直角三角形，可以计算出AB、AC的长，再根据阴影部分的面积=长方形面积-三角形ABC的面积，代入数值，可以算出阴影部分的面积，从而得到答案.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵E、F分别为AC、BC的中点
∴
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据翻折图形可得：AC=AO=2，∠CAO=60°，
过点C作x轴于
点C的坐标为，
则k的值为.
故答案为：D
【分析】根据翻折图形可得：AC=AO=2，∠CAO=60°，过点C作x轴于 根据直角三角形的性质以及勾股定理得出C的坐标，最后根据反比例函数解析式解答即可。
10．【答案】B
【知识点】位似变换；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△AOB中，∠AOB=30°，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
……，
∴，
由题意可得：△GOH与△AOB位似，位似比为，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】结合图形，先求出，再求出，最后利用位似比计算求解即可。
11．【答案】10或2
【知识点】解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵在中，于D，
∴，
在中，∵，，
∴设，则，
由勾股定理得即，
解得：，则，，
在中，由得，
若点D在线段上时，，
若点D在线段的延长线上时，，
综上，线段的长为10或2．
故答案为：10或2．
【分析】设，则，利用勾股定理可得即，求出，再求出，最后分两种情况：①若点D在线段上时，②若点D在线段的延长线上时，再求出AB的长即可。
12．【答案】1
【知识点】解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
∵平分，，
∴，，
设
∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】延长交于点，先利用“AAS”证明，可得，再利用线段的和差求出即可。
13．【答案】4
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G，
设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x，
∴∠ADF=2α，∠B=2β，AB=AD+BD=x+1，
∵∠ACB=90°，AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=∠ACB-∠BCD=90°-α
∵∠ADC=∠BCD+∠B=α+2β，
∴90°-α=α+2β，
∴2α+2β=90°，
∵在Rt△DFG中，∠FGD=90°-∠FDA=90°-2α=2β，
∴∠FGD=∠B，
∵，
∴
解之：，
∴；
∵∠FGD=2β，∠BAE=β，
∴∠GFA=∠FGD-∠BAE=β=∠BAE，
∴GF=AG，
在Rt△FGD中，
FG2+DF2=GD2即AG2+4=（x-AG）2，
解之：，
解之：x1=4，x2=0（舍去），
∴AD=4.
故答案为：4
【分析】过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G，设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x，可表示出∠ADF，∠B，AC=AD=x，可表示出BA的长，再利用等腰三角形的性质可得到2α+2β=90°，；再证明∠FGD=∠B，利用解直角三角形可得到方程，解方程表示出DG，AG的长；利用三角形的外角的性质可表示出∠GFA，利用等角对等边可证得GF=AG，在Rt△FGD中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AD的长.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作交于点E，的延长线于点F，连接，
∵cm， ，
∴ ，
，
在中， ，
∴ ．
故答案为 ．
【分析】作交于点E，的延长线于点F，连接，根据解直角三角形可求出DE、CF、BF的长，在中，利用勾股定理求出AC即可.
15．【答案】49：20
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：四边形，FGQP是正方形，
，
，，
E为AB中点，
，
，
设，，
则，，
，，
，，
，
，
．
故答案为：49：20．
【分析】设，，则，，，再利用线段的和差求出，可得，最后求出。
16．【答案】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD= ，
∴tan22.5°= = ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在等腰直角△ABC中，延长CB至点D，使得AB= BD，则∠BAD=∠D.设AC= 1，求出CD，即可求解.
17．【答案】解：如图，作于点H，
∵，，
∴可设，则，
∴，
∴，
∴，
设，
如图，当点D在点左侧时，
∵点D是边上的“奇点”，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即，
解得或（舍去），
∴，
如图，当点D在点H右侧时，
∵，
∴，
即，
解得或（舍去），
∴，
∴的长为2或．
【知识点】勾股定理；解直角三角形；定义新运算
【解析】【分析】根据三角函数，转化为边的比例，求出AH、BH、CH的值，结合点D的位置分类讨论：当点D在点左侧时，当点D在点H右侧时，利用已知定义建立方程，求解即可。
18．【答案】（1）解：如图，
（2）解：①如图2，由旋转得，，，
，，
，
∽；
②如图，延长AD交CE于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
解关于的方程得，
，
，
的值是．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）解：如图1，作法：1、以点D为圆心，BC长为半径作弧，
2、以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E，
3、连接DE、AE，
△ADE就是所求的图形；
证明：四边形ABCD是菱形，
，
，，
≌，
就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形；
【分析】（1） 由菱形的性质可知AD=AB，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，也就是以AD为一边在菱形ABCD外作一个三角形与△ABC全等，第三个顶点E的作法是：以点D为圆心，BC 长为半径作弧，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E；
（2）①由旋转的性质得AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，则，∠BAD=∠CAE，进而根据两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABD∽△ACE；
②根据菱形的每条对角线平分一组对角得∠BAC=∠DAC，利用等量代换可得∠CAD=∠EAD，然后根据等腰三角形的三线合一得AD⊥CE，设CF=m，CD=AD=x，根据正切函数的定义及等角的同名三角函数值相等可得AF=3CF=3m，DF=3m-x，进而在Rt△CDF中，利用勾股定理建立方程可用含M的式子表示出CD，最后再根据∠DCE的余弦函数的定义可得答案.
19．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形为菱形；
（2）解：在中，，，
，
，
，
四边形为菱形，
，
菱形的周长为：．
【知识点】菱形的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先求出 四边形是平行四边形， 再求出CD=AD，最后证明即可；
（2）利用锐角三角函数先求出AC=8，再利用勾股定理求出AB=10，最后求周长即可。
20．【答案】（1）解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，
∴DC=AD=4．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=4，
∴AB=
∴BD=，
∴BC=BD+DC=
（2）解：∵AE是BC边上的中线，
∴CE=BC=，
∴DE=CE-CD=，
∴tan∠DAE=．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=90°，再得出DC、AB的值，再根据勾股定理求出BD的值，再根据BC=BD+DC即可求解；
（2）先用三角形的中线的定义求出CE的值，得出DE=CE-CD，再根据正切函数的定义即可求解。
21．【答案】（1）证明：根据图形旋转的性质可知：BC=BE，
∴∠BEC=∠DEC。
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC。
∴∠ECB=∠DEC。
∴∠BEC=∠DEC。
∴CE平分∠BED。
（2）解：如图，过点C作BE的垂线，交BE于点N，BE于CH交于点O。
在Rt△BCN中，BC=4，∠EBC=30°，
∴ ，
。
在△ECN和△ECD中，
∴△ECN≌△ECD，
∴CD=CN。
根据图形旋转的性质可知：BH=AB，
又AB=CD，
∴BH=CN。
根据图形旋转的性质可知：∠HBE=90°，
在△HBO和△CNO中，
∴△HBO≌△CNO，
∴HO=CO，BO=NO=BN=。
在Rt△CON中，
。
∴CH=2CO=。
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）若要证明CE平分∠BED，可证明∠BEC=∠DEC；根据图形旋转的性质可知：BC=BE，可得到∠BEC=∠DEC；根据矩形对边平行的性质，可得到∠ECB=∠DEC，从而得到∠BEC=∠DEC，问题得证。
（2）过点C作BE的垂线，交BE于点N。在Rt△BCN中，根据勾股定理可计算出CN=2，BN=；根据，可得到△ECN≌△ECD，进而得到CD=CN；根据图形旋转的性质，可得到BH=CN；根据，可得到△HBO≌△CNO，进而得到HO=CO，BO=NO=BN=；根据勾股定理可计算得到CO的值，根据CO与CH的关系，可以计算得出CH的值。
22．【答案】（1）150°
（2）证明：过E作MN垂直AD于M，垂直BC于N，
∵ 沿 翻折
∴∠PEB=90°，
∴∠MPB=∠BEN，∠PEM=∠EBN
∴△PME∽△ENB，
∴ ，
又AP=2，BE=AB=6，
∴ ，
设ME=x，则BN=3x，EN=6－x，
，
即 ，
解得x= ，
∴ME= ，则NE= ，BN= ，PM= ，
∴DM=6－2－ = ，
∴ ，又∠DME=∠ENC=90°，
∴△DME∽△ENC，
∴∠MDE=∠NEC，∠MED=∠NCE，
又∠DME=90°，
∴∠MED+∠NEC=90，
∴∠DEC=90°，
∴ ；
（3）解：以∠CBG=45°在BC下方作射线BG，然后过M向BG作垂线，可得到△BGM为等腰直角三角形，
∴ =MG，
∴ 的最小值即为EM+MG的最小值，
过E作EQ垂直BG于Q点，则 的最小值即为EQ的长，
∵
∴∠PBE=37.5°
∴∠EBC=15°，
又∠CBG=45°，
∴∠EBQ=60°，
在直角三角形EBQ中，∠EBQ=60°
∴∠BEQ=30°，
∴EQ= ×BE=3 ，
∴ 的最小值为3 ．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）连接AE，
∵ ， 沿 BP 翻折
∴∠ABE=60°，AB=BE
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=BE=AB=BC=AD，∠BAE=60°，
∴∠EAD=30°，∠EBC=30°，
又AE=AD，BE=BC
∴∠ADE=∠AED=∠BEC=∠BCE=75°，
∴∠EDC=∠ECD=15°，
∴∠DEC=150°
故答案为：150°；
【分析】（1）连接AE，可证△ABE为等边三角形，可得AE=BE=AB=BC=AD，∠BAE=60°，
由AE=AD，BE=BC，可得∠ADE=∠AED=∠BEC=∠BCE=75°，从而求出∠EDC=∠ECD=15°，利用三角形内角和即可求出结论；
（2）过E作MN垂直AD于M，垂直BC于N， 可证△PME∽△ENB，利用相似三角形 的对应边成比例可得，设ME=x，则BN=3x，EN=6－x，利用勾股定理可得 ，即 ，求出x的值，从而得出ME，NE，BN，PM的长，再根据两边对应成比例及夹角相等可证△DME∽△ENC，可得∠MDE=∠NEC，∠MED=∠NCE，从而求出∠DEC=90°，据此即证结论；
（3）以∠CBG=45°在BC下方作射线BG，然后过M向BG作垂线，可得到△BGM为等腰直角三角形，可得 =MG，从而可知 的最小值即为EM+MG的最小值，过E作EQ垂直BG于Q点，则 的最小值即为EQ的长， 根据锐角锐角三角函数求出EQ的长即可.
1 / 1【提升卷】1.4解直角三角形—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·广宗期末）如图是一个以O为对称中心的中心对称图形，若∠A=30°，∠C=90°，AC=1，则AB的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵在Rt△AOC中，∠A=30°，∠C=90°，AC=1，
∴AO=＝ ＝，
∴BA=2AO=
故答案为：D．
【分析】先利用解直角三角形的方法求出AO的长，再利用中心对称图形的性质可得BA=2AO=。
2．（2022九上·芝罘期中）已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：过点A作于D，过点B作于E
设 间的距离为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在等腰直角中，，
在和中
∴，
∴，
在中，
∴．
故答案为：A．
【分析】过点A作AD于D，过点B作BE于E，根据同角的余角相等求出CAD=BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE= AD，然后利用勾股定理列式求出BC，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.
3．（2022九上·南宁月考）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠.恰好得到菱形AECF.若AD＝，则菱形AECF的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】由翻折的性质得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD＝ ，
在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE，
∴∠OAE＝ ×90°＝30°，
∴AE＝AO÷cos30°＝ ÷ ＝2，
∴菱形AECF的面积＝AE AD＝2.
故答案为：A.
【分析】利用折叠的性质可得到∠DAF＝∠OAF，OA＝AD，利用菱形的性质可求出∠OAE的度数；再利用解直角三角形求出AE的长；然后利用菱形的面积公式求出菱形AECF的面积.
4．（2022九上·晋州期中）如图所示，是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，，，均在格点上，则和的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
，，
，
又，即，
，
，
，
，即，
，
故答案为：C．
【分析】利用正弦的定义可得，，再结合，即，即可得到。
5．（2022九上·晋州期中）如图，一块矩形薄木板斜靠在墙角处（，点，，，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
过点作于，于，
∴到的距离是，
∵，矩形，即，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法逐项判断即可。
6．（2022九下·大埔期中）如图，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AD边E上，将沿BE折叠，使点A的对应点F落在直线MN上，若，则BE的长是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵MN是矩形ABCD的一条对称轴，
∴，，
∴∠AEF+∠MFE=180°，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴∠BFM=30°，
∴∠MFE=60°，
∴∠AEF=120°，
∴∠AEB=60°，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用矩形和折叠的性质求出∠AEB=60°，再利用锐角三角函数求出即可。
7．（2022九下·义乌开学考）如图，将长、宽分别为6cm，
cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）
A． cm2
B．（36
）cm2
C． cm2
D． cm2
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据翻折可得，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC
∴∠BAC=∠PAB+∠PAC=
（∠MAB+∠PAB+∠NAC+∠PAC）=
×180°=90°
∵∠α＝60°
∴∠MAB=180°-∠BAC-∠α=180°-90°-60° =30°
∵长方形的长、宽分别为6cm、
cm
∴AB=
，AC=
∴阴影部分的面积=
故答案为：D.
【分析】根据翻折的性质可以得出∠BAC=90°以及∠MAB=30°，结合角度，运用解直角三角形，可以计算出AB、AC的长，再根据阴影部分的面积=长方形面积-三角形ABC的面积，代入数值，可以算出阴影部分的面积，从而得到答案.
8．（2021九上·蜀山期末）如图，在△ABC中，∠C=45°，=，AD⊥BC于点D，AC=，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵E、F分别为AC、BC的中点
∴
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
9．（2021九上·讷河期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线（k≠0）上，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣2 C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：根据翻折图形可得：AC=AO=2，∠CAO=60°，
过点C作x轴于
点C的坐标为，
则k的值为.
故答案为：D
【分析】根据翻折图形可得：AC=AO=2，∠CAO=60°，过点C作x轴于 根据直角三角形的性质以及勾股定理得出C的坐标，最后根据反比例函数解析式解答即可。
10．（2022九上·西山期中）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，，．若，则图中与位似的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△AOB中，∠AOB=30°，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
……，
∴，
由题意可得：△GOH与△AOB位似，位似比为，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】结合图形，先求出，再求出，最后利用位似比计算求解即可。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2022九上·哈尔滨月考）已知在中，于D，，，，则线段AB的长为 ．
【答案】10或2
【知识点】解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵在中，于D，
∴，
在中，∵，，
∴设，则，
由勾股定理得即，
解得：，则，，
在中，由得，
若点D在线段上时，，
若点D在线段的延长线上时，，
综上，线段的长为10或2．
故答案为：10或2．
【分析】设，则，利用勾股定理可得即，求出，再求出，最后分两种情况：①若点D在线段上时，②若点D在线段的延长线上时，再求出AB的长即可。
12．（2022九上·黄浦月考）如图，四边形中，，平分，交于点，，那么 ．
【答案】1
【知识点】解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
∵平分，，
∴，，
设
∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】延长交于点，先利用“AAS”证明，可得，再利用线段的和差求出即可。
13．（2023九下·江油月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G，
设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x，
∴∠ADF=2α，∠B=2β，AB=AD+BD=x+1，
∵∠ACB=90°，AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=∠ACB-∠BCD=90°-α
∵∠ADC=∠BCD+∠B=α+2β，
∴90°-α=α+2β，
∴2α+2β=90°，
∵在Rt△DFG中，∠FGD=90°-∠FDA=90°-2α=2β，
∴∠FGD=∠B，
∵，
∴
解之：，
∴；
∵∠FGD=2β，∠BAE=β，
∴∠GFA=∠FGD-∠BAE=β=∠BAE，
∴GF=AG，
在Rt△FGD中，
FG2+DF2=GD2即AG2+4=（x-AG）2，
解之：，
解之：x1=4，x2=0（舍去），
∴AD=4.
故答案为：4
【分析】过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G，设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x，可表示出∠ADF，∠B，AC=AD=x，可表示出BA的长，再利用等腰三角形的性质可得到2α+2β=90°，；再证明∠FGD=∠B，利用解直角三角形可得到方程，解方程表示出DG，AG的长；利用三角形的外角的性质可表示出∠GFA，利用等角对等边可证得GF=AG，在Rt△FGD中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AD的长.
14．（2022九上·青岛期中）如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝ cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作交于点E，的延长线于点F，连接，
∵cm， ，
∴ ，
，
在中， ，
∴ ．
故答案为 ．
【分析】作交于点E，的延长线于点F，连接，根据解直角三角形可求出DE、CF、BF的长，在中，利用勾股定理求出AC即可.
15．（2022九上·章丘期中）如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为，正方形FPQG面积为，则的值为 ．
【答案】49：20
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：四边形，FGQP是正方形，
，
，，
E为AB中点，
，
，
设，，
则，，
，，
，，
，
，
．
故答案为：49：20．
【分析】设，，则，，，再利用线段的和差求出，可得，最后求出。
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2020九上·青县期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算 时，如图，在 中， ，延长 使 ，连接 ，得 ，所以 ，类比这种方法，计算 （画图并写出过程）
【答案】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD= ，
∴tan22.5°= = ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在等腰直角△ABC中，延长CB至点D，使得AB= BD，则∠BAD=∠D.设AC= 1，求出CD，即可求解.
17．（2022九上·海阳期中）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点所连线段长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图①，在中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“奇点”．问题解决：如图②，在中，，，，点D是边上的“奇点”，求线段的长．
【答案】解：如图，作于点H，
∵，，
∴可设，则，
∴，
∴，
∴，
设，
如图，当点D在点左侧时，
∵点D是边上的“奇点”，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即，
解得或（舍去），
∴，
如图，当点D在点H右侧时，
∵，
∴，
即，
解得或（舍去），
∴，
∴的长为2或．
【知识点】勾股定理；解直角三角形；定义新运算
【解析】【分析】根据三角函数，转化为边的比例，求出AH、BH、CH的值，结合点D的位置分类讨论：当点D在点左侧时，当点D在点H右侧时，利用已知定义建立方程，求解即可。
18．（2023·广州）如图，是菱形的对角线．
（1）尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为保留作图痕迹，不写作法；
（2）在（1）所作的图中，连接，．
求证：∽；
若，求的值．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：①如图2，由旋转得，，，
，，
，
∽；
②如图，延长AD交CE于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
解关于的方程得，
，
，
的值是．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）解：如图1，作法：1、以点D为圆心，BC长为半径作弧，
2、以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E，
3、连接DE、AE，
△ADE就是所求的图形；
证明：四边形ABCD是菱形，
，
，，
≌，
就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形；
【分析】（1） 由菱形的性质可知AD=AB，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，也就是以AD为一边在菱形ABCD外作一个三角形与△ABC全等，第三个顶点E的作法是：以点D为圆心，BC 长为半径作弧，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E；
（2）①由旋转的性质得AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，则，∠BAD=∠CAE，进而根据两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABD∽△ACE；
②根据菱形的每条对角线平分一组对角得∠BAC=∠DAC，利用等量代换可得∠CAD=∠EAD，然后根据等腰三角形的三线合一得AD⊥CE，设CF=m，CD=AD=x，根据正切函数的定义及等角的同名三角函数值相等可得AF=3CF=3m，DF=3m-x，进而在Rt△CDF中，利用勾股定理建立方程可用含M的式子表示出CD，最后再根据∠DCE的余弦函数的定义可得答案.
19．（2021九上·普宁期末）如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，，．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若，，求四边形ADCE的周长．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形为菱形；
（2）解：在中，，，
，
，
，
四边形为菱形，
，
菱形的周长为：．
【知识点】菱形的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先求出 四边形是平行四边形， 再求出CD=AD，最后证明即可；
（2）利用锐角三角函数先求出AC=8，再利用勾股定理求出AB=10，最后求周长即可。
20．（2021九上·揭阳期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=， AD=4．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【答案】（1）解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，
∴DC=AD=4．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=4，
∴AB=
∴BD=，
∴BC=BD+DC=
（2）解：∵AE是BC边上的中线，
∴CE=BC=，
∴DE=CE-CD=，
∴tan∠DAE=．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=90°，再得出DC、AB的值，再根据勾股定理求出BD的值，再根据BC=BD+DC即可求解；
（2）先用三角形的中线的定义求出CE的值，得出DE=CE-CD，再根据正切函数的定义即可求解。
21．（2023·香洲模拟）如图，将矩形绕点B旋转得到矩形，点E在上，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）证明：根据图形旋转的性质可知：BC=BE，
∴∠BEC=∠DEC。
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC。
∴∠ECB=∠DEC。
∴∠BEC=∠DEC。
∴CE平分∠BED。
（2）解：如图，过点C作BE的垂线，交BE于点N，BE于CH交于点O。
在Rt△BCN中，BC=4，∠EBC=30°，
∴ ，
。
在△ECN和△ECD中，
∴△ECN≌△ECD，
∴CD=CN。
根据图形旋转的性质可知：BH=AB，
又AB=CD，
∴BH=CN。
根据图形旋转的性质可知：∠HBE=90°，
在△HBO和△CNO中，
∴△HBO≌△CNO，
∴HO=CO，BO=NO=BN=。
在Rt△CON中，
。
∴CH=2CO=。
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）若要证明CE平分∠BED，可证明∠BEC=∠DEC；根据图形旋转的性质可知：BC=BE，可得到∠BEC=∠DEC；根据矩形对边平行的性质，可得到∠ECB=∠DEC，从而得到∠BEC=∠DEC，问题得证。
（2）过点C作BE的垂线，交BE于点N。在Rt△BCN中，根据勾股定理可计算出CN=2，BN=；根据，可得到△ECN≌△ECD，进而得到CD=CN；根据图形旋转的性质，可得到BH=CN；根据，可得到△HBO≌△CNO，进而得到HO=CO，BO=NO=BN=；根据勾股定理可计算得到CO的值，根据CO与CH的关系，可以计算得出CH的值。
22．（2020九上·佛山月考）如图，在边长为6的正方形 中，点P是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折，点A的对应点为点E，连接 ．
（1）如图1，当 时，直接写出 的度数为 ；
（2）如图2，当 时，求证： ；
（3）如图3，点M是边 上一动点，当 时，求 的最小值．
【答案】（1）150°
（2）证明：过E作MN垂直AD于M，垂直BC于N，
∵ 沿 翻折
∴∠PEB=90°，
∴∠MPB=∠BEN，∠PEM=∠EBN
∴△PME∽△ENB，
∴ ，
又AP=2，BE=AB=6，
∴ ，
设ME=x，则BN=3x，EN=6－x，
，
即 ，
解得x= ，
∴ME= ，则NE= ，BN= ，PM= ，
∴DM=6－2－ = ，
∴ ，又∠DME=∠ENC=90°，
∴△DME∽△ENC，
∴∠MDE=∠NEC，∠MED=∠NCE，
又∠DME=90°，
∴∠MED+∠NEC=90，
∴∠DEC=90°，
∴ ；
（3）解：以∠CBG=45°在BC下方作射线BG，然后过M向BG作垂线，可得到△BGM为等腰直角三角形，
∴ =MG，
∴ 的最小值即为EM+MG的最小值，
过E作EQ垂直BG于Q点，则 的最小值即为EQ的长，
∵
∴∠PBE=37.5°
∴∠EBC=15°，
又∠CBG=45°，
∴∠EBQ=60°，
在直角三角形EBQ中，∠EBQ=60°
∴∠BEQ=30°，
∴EQ= ×BE=3 ，
∴ 的最小值为3 ．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）连接AE，
∵ ， 沿 BP 翻折
∴∠ABE=60°，AB=BE
∴△ABE为等边三角形，
∴AE=BE=AB=BC=AD，∠BAE=60°，
∴∠EAD=30°，∠EBC=30°，
又AE=AD，BE=BC
∴∠ADE=∠AED=∠BEC=∠BCE=75°，
∴∠EDC=∠ECD=15°，
∴∠DEC=150°
故答案为：150°；
【分析】（1）连接AE，可证△ABE为等边三角形，可得AE=BE=AB=BC=AD，∠BAE=60°，
由AE=AD，BE=BC，可得∠ADE=∠AED=∠BEC=∠BCE=75°，从而求出∠EDC=∠ECD=15°，利用三角形内角和即可求出结论；
（2）过E作MN垂直AD于M，垂直BC于N， 可证△PME∽△ENB，利用相似三角形 的对应边成比例可得，设ME=x，则BN=3x，EN=6－x，利用勾股定理可得 ，即 ，求出x的值，从而得出ME，NE，BN，PM的长，再根据两边对应成比例及夹角相等可证△DME∽△ENC，可得∠MDE=∠NEC，∠MED=∠NCE，从而求出∠DEC=90°，据此即证结论；
（3）以∠CBG=45°在BC下方作射线BG，然后过M向BG作垂线，可得到△BGM为等腰直角三角形，可得 =MG，从而可知 的最小值即为EM+MG的最小值，过E作EQ垂直BG于Q点，则 的最小值即为EQ的长， 根据锐角锐角三角函数求出EQ的长即可.
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