【基础卷】1.5三角函数的应用—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·临清开学考）如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（ ）
A．米 B．米 C．50sin40°米 D．50cos40°米
2．（2022九上·文登期中）已知一个不等臂跷跷板长4米，支撑柱垂直地面，如图1，当的一端A着地时，与地面夹角的正弦值为﹔如图2，当的另一端B着地时，与地面夹角的正弦值为，则支撑柱的长为（ ）
A．0.5米 B．0.6米 C．米 D．0.8米
3．（2022九上·寒亭期中）苏州虎丘塔是我国江南著名的园林景点． 它建成于宋代（961年），共7层，高h米． 由于地基的原因，塔身自400年前就开始向西北方向倾斜． 据测量，至今塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的角度为，被称为“东方比萨斜塔”． 如今虎丘塔塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的距离是（ ）米
A． B． C． D．
4．（2022九上·金华期中）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在婺州公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·海阳期中）如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（ ）
A．50米 B．米 C．米 D．100米
6．（2021九上·莘县期中）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1∶，则AC的长是（ ）
A．6米 B．12米 C．3米 D．6米
7．（2022九上·广平期末）已知从点B观测热气球A的俯角为，从点C观测热气球A的仰角为，则两条视线的夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·顺义期末）如图，为测楼房的高，在距楼房50米的处，测得楼顶的仰角为，则楼房的高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．（2022九上·淅川期中）如图，一艘船向东航行，上午8时到达O处，测得一灯塔A在船的北偏东60°方向，且与船相距海里；上午11时到达B处，测得灯塔在船的正北方向.则这艘船航行的速度为（ ）
A．海里/时 B．海里/时
C．海里/时 D．海里/时
10．（2021九上·莘县期中）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东55°方向的处，已知海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离的长是（ ）
A．6海里 B．海里
C．海里 D．海里
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2022九上·威海月考）一艘货轮又西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为 海里（结果保留根号）．
12．（2022九上·牟平期中）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为 （结果精确到）．
13．（2023九下·长沙月考）如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），水平宽度，则坡面的长度是 m.
14．（2023九上·临湘期末）如图所示，河坝横断面迎水坡的坡比为1∶2（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是 m.
15．（2021九上·静安期末）如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点处观察A点的俯角为 （用含的式子表示）
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023九下·靖江月考）动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
17．（2023九下·姜堰月考）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘处离桌面的高度的长.（结果精确到；参考数据：，，）
18．（2022九上·即墨期末）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图（1）所示的坡路进行改造．如图（2）所示，改造前的斜坡的高度米，坡角；将斜坡的高度降低20米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为1：4，改造后的斜坡多占多长一段地面？（结果保留根号）
19．（2021九下·东坡开学考）楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.
20．（2022九上·乳山期中）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）
21．（2023九下·仙桃会考）如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距.海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东30°方向，与灯塔相距的的处；乙船位于灯塔的北偏东15°方向，与灯塔相距的处.求：
（1）甲船与灯塔之间的距离；
（2）两艘货船之间的距离.
22．（2023九下·沭阳月考）如图①中共线，若米，的范围：的范围：.
（1）如图②，当，BC恰好垂直时，求的长；（结果保留根号）
（2）若（1）中长度不变，求点间最远的距离多少米.（结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵BC⊥AC于点C，∠A=40°，BC=50
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据正弦的定义，即可求解．
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设米，
在中，，米，
在中，，米，
所以，，即，解得，
即支撑柱的长为0.8米，
故答案为：D
【分析】根据正弦的定义得到OA=2OH，OB=3OH，根据题意列式计算求值。
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：
在中，
则（米），
∴如今虎丘塔塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的距离是米，
故答案为：B．
【分析】在中，由求出AC即可.
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ABC=90°，∠C=65°，AC=100米，
∴，
∴AB=AC·=100，
∴风筝离地面的高度可以表示为100.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出∠ABC=90°，∠C=65°，AC=100米，再根据锐角三角函数定义得出，求出AB的长，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米.
根据勾股定理可得：x2+(x)2=1002．
解得x=50．
即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．
故答案为：A．
【分析】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米，利用勾股定理列出方程x2+(x)2=1002，再求出x的值即可。
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1∶，
，
∵堤高BC=6米，
（米）.
故答案为：D.
【分析】根据坡度比可得，再将数据代入求出AC的长即可。
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题可知，，，，过点A作，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点A作，根据平行线的性质可得，，再利用角的运算求出即可。
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，sinα=，cosα=，
∴=tanα，
∴BC=AC tanα=50tanα．
故答案为：A.
【分析】由题意知AC=50米，利用tanα=即可求解.
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：连接AB，
∵上午8时到达O处，测得一灯塔A在船的北偏东方向，上午11时到达B处，测得灯塔在船的正北方向
∴∠AOB=90°-60°=30°，∠ABO=90°
∴在Rt△AOB中，OB=海里
∴这艘船航行的速度为45÷3=15海里/时
故答案为：B
【分析】连接AB，由题意易得∠AOB=90°-60°=30°，∠ABO=90°，在Rt△AOB中，由锐角三角函数cos∠AOB=求出OB的值，然后根据速度=路程÷时间可求解.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由题意可知∠NPA＝55°，PA＝6海里，∠ABP＝90°．
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，PA＝6海里，
∴AB＝AP cosA＝6cos55°海里．
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得∠A＝∠NPA＝55°，再利用解直角三角形的方法求出AB＝AP cosA＝6cos55°海里即可。
11．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意得：PC=4海里，∠PBC=90°-45°=45°，∠PAC=90°-60°=30°，
在直角三角形APC中，
∵∠PAC=30°，∠C=90°，
∴AC=PC=（海里），
在直角三角形BPC中，
∵∠PBC=45°，∠C=90°，
∴BC=PC=4海里，
∴AB=AC=BC=（）海里，
故答案为．
【分析】先利用解直角三角形的方法求出AC=PC=，BC=PC=4，再利用线段的和差求出AB=AC=BC=（）即可。
12．【答案】4.4m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得：AD∥CP，
∵∠DPC=30°，
∴∠ADB=30°，
∵，
∴，
∵AF=2m，CF=1m，
∴BC=AF+CF-AB=2.54m，
∴，
即的长度为4.4m．
故答案为：4.4m.
【分析】根据题意得AD∥CP，利用平行线的性质可得∠ADB=∠CPB=30°，利用解直角三角形求出AB的长，从而求出BC的长，根据即可求解.
13．【答案】6
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在中，，：
∴，
∴.
故答案为：6.
【分析】根据坡比的概念及正切三角函数的定义可得BC的长，进而根据勾股定理即可算出AB的长.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵河坝的横断面AB的坡比是1：2，
∴，
∵BC=3米，
∴AC=6米，
由勾股定理得：（米），
故答案为：3.
【分析】根据横断面AB的坡比是1：2可得，结合BC的值可得AC的值，然后利用勾股定理进行计算.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示：在A点处观察B点的仰角为，即，
∵，
∴，
∴在B点处观察A点的俯角为，
故答案为：．
【分析】顶点在x轴上，根据平行线的性质得出，即可得出答案。
16．【答案】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 由题意可得：∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=104(cm)，然后根据∠ACE正弦函数的概念进行计算.
17．【答案】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，
∴OA=，
在Rt△中，，cm，
∴cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 根据邻补角的性质可得∠AOC=180°-∠AOB=30°，∠A′OC=180°-∠A′OB=72°，由题意可得AC=10cm，然后根据三角函数的概念进行计算.
18．【答案】解：∵，米，，
∴米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵斜坡的坡度为，即，
∴，即，
∴米，
∴（米），
答：改造后的斜坡多占的地面为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先利用解直角三角形的方法求出，，再利用线段的和差求出即可。
19．【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i＝ ＝ ＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，
∴EF＝ CE＝9米，CF＝9 米，
∴BH＝EF＝9米，HE＝BF＝BC+CF＝（30+9 ）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝（30+9 ）米，
∴AB＝AH+HB＝（39+9 ）米.
答：楼房AB的高为（39+9 ）米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，利用坡度的定义可求出∠ECF的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF的长，同时可求出CF的长及HE的长；然后在Rt△AHE中，根据AH=HE，可求出AH的长，根据AB=AH+BH，可求出AB的长.
20．【答案】解：过点C作CD⊥AB于D．
设．
∵在 中，，
∴．
在中，，
，
∴．
即．
解得．
∴这条河的宽度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D，设，则，再根据，可得，求出x的值即可。
21．【答案】（1）解：如图，连接.
∵甲船位于灯塔 B 的北偏东30°方向
∴∠ABC=60°
∵，，
∴为正三角形，
∴，
即甲船与灯塔之间的距离为.
（2）解：过作于点.
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴.
∴两艘货船之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）连接AC，易得∠ABC=60°，△ABC是等边三角形，得AC=AB，从而得出答案；
（2） 过C作CH⊥AD于点H，易得∠CAH=45°，故△ACH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质算出AH=CH=，进而在Rt△CDH中，利用勾股定理即可算出CD的长，从而得出答案.
22．【答案】（1）解：如图：
由题意得：，，，
，
答：的长为；
（2）解：如图：
由题意得，，时，伸展到最远，过点作交的延长线于，
在中，，，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
.
∴点C、A间最远的距离为米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据∠MAB的正弦函数的概念就可求出BC；
（2）由题意得∠MAB=30°，∠ABC=105°时，伸展到最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，根据三角函数的概念可得AD、CD，然后根据AC=CD+AD进行计算.
1 / 1【基础卷】1.5三角函数的应用—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·临清开学考）如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（ ）
A．米 B．米 C．50sin40°米 D．50cos40°米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵BC⊥AC于点C，∠A=40°，BC=50
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据正弦的定义，即可求解．
2．（2022九上·文登期中）已知一个不等臂跷跷板长4米，支撑柱垂直地面，如图1，当的一端A着地时，与地面夹角的正弦值为﹔如图2，当的另一端B着地时，与地面夹角的正弦值为，则支撑柱的长为（ ）
A．0.5米 B．0.6米 C．米 D．0.8米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设米，
在中，，米，
在中，，米，
所以，，即，解得，
即支撑柱的长为0.8米，
故答案为：D
【分析】根据正弦的定义得到OA=2OH，OB=3OH，根据题意列式计算求值。
3．（2022九上·寒亭期中）苏州虎丘塔是我国江南著名的园林景点． 它建成于宋代（961年），共7层，高h米． 由于地基的原因，塔身自400年前就开始向西北方向倾斜． 据测量，至今塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的角度为，被称为“东方比萨斜塔”． 如今虎丘塔塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的距离是（ ）米
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：
在中，
则（米），
∴如今虎丘塔塔顶的中心偏离底层中心铅垂线的距离是米，
故答案为：B．
【分析】在中，由求出AC即可.
4．（2022九上·金华期中）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在婺州公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ABC=90°，∠C=65°，AC=100米，
∴，
∴AB=AC·=100，
∴风筝离地面的高度可以表示为100.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出∠ABC=90°，∠C=65°，AC=100米，再根据锐角三角函数定义得出，求出AB的长，即可得出答案.
5．（2022九上·海阳期中）如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为（ ）
A．50米 B．米 C．米 D．100米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米.
根据勾股定理可得：x2+(x)2=1002．
解得x=50．
即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．
故答案为：A．
【分析】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米，利用勾股定理列出方程x2+(x)2=1002，再求出x的值即可。
6．（2021九上·莘县期中）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1∶，则AC的长是（ ）
A．6米 B．12米 C．3米 D．6米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1∶，
，
∵堤高BC=6米，
（米）.
故答案为：D.
【分析】根据坡度比可得，再将数据代入求出AC的长即可。
7．（2022九上·广平期末）已知从点B观测热气球A的俯角为，从点C观测热气球A的仰角为，则两条视线的夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题可知，，，，过点A作，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点A作，根据平行线的性质可得，，再利用角的运算求出即可。
8．（2022九上·顺义期末）如图，为测楼房的高，在距楼房50米的处，测得楼顶的仰角为，则楼房的高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，sinα=，cosα=，
∴=tanα，
∴BC=AC tanα=50tanα．
故答案为：A.
【分析】由题意知AC=50米，利用tanα=即可求解.
9．（2022九上·淅川期中）如图，一艘船向东航行，上午8时到达O处，测得一灯塔A在船的北偏东60°方向，且与船相距海里；上午11时到达B处，测得灯塔在船的正北方向.则这艘船航行的速度为（ ）
A．海里/时 B．海里/时
C．海里/时 D．海里/时
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：连接AB，
∵上午8时到达O处，测得一灯塔A在船的北偏东方向，上午11时到达B处，测得灯塔在船的正北方向
∴∠AOB=90°-60°=30°，∠ABO=90°
∴在Rt△AOB中，OB=海里
∴这艘船航行的速度为45÷3=15海里/时
故答案为：B
【分析】连接AB，由题意易得∠AOB=90°-60°=30°，∠ABO=90°，在Rt△AOB中，由锐角三角函数cos∠AOB=求出OB的值，然后根据速度=路程÷时间可求解.
10．（2021九上·莘县期中）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东55°方向的处，已知海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离的长是（ ）
A．6海里 B．海里
C．海里 D．海里
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由题意可知∠NPA＝55°，PA＝6海里，∠ABP＝90°．
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，PA＝6海里，
∴AB＝AP cosA＝6cos55°海里．
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得∠A＝∠NPA＝55°，再利用解直角三角形的方法求出AB＝AP cosA＝6cos55°海里即可。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2022九上·威海月考）一艘货轮又西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为 海里（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意得：PC=4海里，∠PBC=90°-45°=45°，∠PAC=90°-60°=30°，
在直角三角形APC中，
∵∠PAC=30°，∠C=90°，
∴AC=PC=（海里），
在直角三角形BPC中，
∵∠PBC=45°，∠C=90°，
∴BC=PC=4海里，
∴AB=AC=BC=（）海里，
故答案为．
【分析】先利用解直角三角形的方法求出AC=PC=，BC=PC=4，再利用线段的和差求出AB=AC=BC=（）即可。
12．（2022九上·牟平期中）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为 （结果精确到）．
【答案】4.4m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得：AD∥CP，
∵∠DPC=30°，
∴∠ADB=30°，
∵，
∴，
∵AF=2m，CF=1m，
∴BC=AF+CF-AB=2.54m，
∴，
即的长度为4.4m．
故答案为：4.4m.
【分析】根据题意得AD∥CP，利用平行线的性质可得∠ADB=∠CPB=30°，利用解直角三角形求出AB的长，从而求出BC的长，根据即可求解.
13．（2023九下·长沙月考）如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），水平宽度，则坡面的长度是 m.
【答案】6
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在中，，：
∴，
∴.
故答案为：6.
【分析】根据坡比的概念及正切三角函数的定义可得BC的长，进而根据勾股定理即可算出AB的长.
14．（2023九上·临湘期末）如图所示，河坝横断面迎水坡的坡比为1∶2（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是 m.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵河坝的横断面AB的坡比是1：2，
∴，
∵BC=3米，
∴AC=6米，
由勾股定理得：（米），
故答案为：3.
【分析】根据横断面AB的坡比是1：2可得，结合BC的值可得AC的值，然后利用勾股定理进行计算.
15．（2021九上·静安期末）如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点处观察A点的俯角为 （用含的式子表示）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示：在A点处观察B点的仰角为，即，
∵，
∴，
∴在B点处观察A点的俯角为，
故答案为：．
【分析】顶点在x轴上，根据平行线的性质得出，即可得出答案。
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023九下·靖江月考）动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
【答案】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 由题意可得：∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=104(cm)，然后根据∠ACE正弦函数的概念进行计算.
17．（2023九下·姜堰月考）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘处离桌面的高度的长.（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，
∴OA=，
在Rt△中，，cm，
∴cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 根据邻补角的性质可得∠AOC=180°-∠AOB=30°，∠A′OC=180°-∠A′OB=72°，由题意可得AC=10cm，然后根据三角函数的概念进行计算.
18．（2022九上·即墨期末）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图（1）所示的坡路进行改造．如图（2）所示，改造前的斜坡的高度米，坡角；将斜坡的高度降低20米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为1：4，改造后的斜坡多占多长一段地面？（结果保留根号）
【答案】解：∵，米，，
∴米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵斜坡的坡度为，即，
∴，即，
∴米，
∴（米），
答：改造后的斜坡多占的地面为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先利用解直角三角形的方法求出，，再利用线段的和差求出即可。
19．（2021九下·东坡开学考）楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.
【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i＝ ＝ ＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，
∴EF＝ CE＝9米，CF＝9 米，
∴BH＝EF＝9米，HE＝BF＝BC+CF＝（30+9 ）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝（30+9 ）米，
∴AB＝AH+HB＝（39+9 ）米.
答：楼房AB的高为（39+9 ）米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，利用坡度的定义可求出∠ECF的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF的长，同时可求出CF的长及HE的长；然后在Rt△AHE中，根据AH=HE，可求出AH的长，根据AB=AH+BH，可求出AB的长.
20．（2022九上·乳山期中）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D．
设．
∵在 中，，
∴．
在中，，
，
∴．
即．
解得．
∴这条河的宽度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D，设，则，再根据，可得，求出x的值即可。
21．（2023九下·仙桃会考）如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距.海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东30°方向，与灯塔相距的的处；乙船位于灯塔的北偏东15°方向，与灯塔相距的处.求：
（1）甲船与灯塔之间的距离；
（2）两艘货船之间的距离.
【答案】（1）解：如图，连接.
∵甲船位于灯塔 B 的北偏东30°方向
∴∠ABC=60°
∵，，
∴为正三角形，
∴，
即甲船与灯塔之间的距离为.
（2）解：过作于点.
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴.
∴两艘货船之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）连接AC，易得∠ABC=60°，△ABC是等边三角形，得AC=AB，从而得出答案；
（2） 过C作CH⊥AD于点H，易得∠CAH=45°，故△ACH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质算出AH=CH=，进而在Rt△CDH中，利用勾股定理即可算出CD的长，从而得出答案.
22．（2023九下·沭阳月考）如图①中共线，若米，的范围：的范围：.
（1）如图②，当，BC恰好垂直时，求的长；（结果保留根号）
（2）若（1）中长度不变，求点间最远的距离多少米.（结果保留根号）
【答案】（1）解：如图：
由题意得：，，，
，
答：的长为；
（2）解：如图：
由题意得，，时，伸展到最远，过点作交的延长线于，
在中，，，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
.
∴点C、A间最远的距离为米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据∠MAB的正弦函数的概念就可求出BC；
（2）由题意得∠MAB=30°，∠ABC=105°时，伸展到最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，根据三角函数的概念可得AD、CD，然后根据AC=CD+AD进行计算.
1 / 1
