【提升卷】1.5三角函数的应用—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·瓯海模拟）如图，一把梯子斜靠在墙上，端点A离地面的高度长为时，.当梯子底端点B沿水平方向向左移动到点，端点A沿墙竖直向上移动到点，设，则的长可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∵，
∴，故，
∵，
∴，
则：，
故答案为：B.
【分析】由正弦函数的定义及特殊角的三角函数值可得，故，在Rt△A'B'C中，根据正弦函数的定义可得，进而根据AA'=A'C-AC即可算出答案.
2．（2023·温州模拟）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则，，
由题意可得，，
在直角三角形ACE中，
，
故答案为：D.
【分析】作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则CE⊥AE，DF⊥BF，由题意可得CE=DF，EF=60cm，根据三角函数的概念可得CE，然后根据CD=EF-2CE进行解答.
3．（2022九上·襄汾期中）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴m，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故答案为：B．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据，求出，再求出的长即可。
4．（2022·济南模拟）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°，
∠EAH=37°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72（米），
∵AB=1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米．
故答案为：A．
【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，先利用解直角三角形的方法求出AB和EH的长，再利用线段的和差求解即可。
5．（2023九上·内江期末）如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（ ）米.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于，交的延长线于点，
斜坡的坡比为，即，
，
又米，
，，
，
在中，，，
米，
米，
故答案为：B.
【分析】过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，由坡比的概念、正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得∠DCN=30°，根据含30°角直角三角形的性质得DN、CN的长，再由BN=BC+CN=MD得MD的长，在Rt△AMD中，根据含30°角直角三角形的性质得AM的长，最后根据AB=AM+BM即可得出答案.
6．（2022九上·潞城月考）如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河坝面宽减少的长度等于（ ）（结果精确到，参考数据）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作于点F，过E作于点H，
∵，，，
∴，
∵坡度，
∴，
解得：，
∵，
∴（），
∴（m）．
故答案为：B
【分析】过点A作于点F，过E作于点H，根据求出，再利用线段的和差求出即可。
7．（2023·福田模拟）如图2，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从点A经过旗杆顶点恰好可观测到矮建筑物的最底端点C处，从点A测得点C的俯角α为60°，测得点D的俯角β为30°，若旗杆底部G为BC的中点，则，矮建筑物的高CD为（ ）
A．18米 B．20米 C．10米 D．(45-15)米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长CD交AH于点H，则CH⊥AH，
由题意知：EG⊥AB， G为BC的中点 ，EG =15米，
∴EG为△ABC的中位线，
∴AB=2EG=30米，
∴CH=AB=30米，
在Rt△ACH中，α=60°，∴AH=米，
在Rt△ADH中，β=30°，DH=tanβ·AH=10米，
∴CD=CH-DH=20米，
故答案为：B.
【分析】延长CD交AH于点H，则CH⊥AH，易得EG为△ABC的中位线，可得AB=2EG=30米，即CH=AB=30米，利用解直角三角形先求出AH，再求出DH，利用CD=CH-DH即可求解.
8．（2023·光明模拟）在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度米，米，则树BD的高度是（ ）【参考数据：，，】
A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】连接EF与BD的交点为M，
由题可得：EF⊥BD，AE=BM=CF=1.65，EF=AC=28，
设DM=x，则EM=DM=x，MF=28-x，
在Rt△DFM中，tan∠DFM==tan37°，
∴tan37°=，
解得：x=12，即DM=12，
∴BD=DM+BM=13.65，
∴树BD的高度是13.65米，
故答案为：D.
【分析】设DM=x，则EM=DM=x，MF=28-x，结合tan37°=，求出x的值，再利用线段的和差求出BD的长即可。
9．（2023·金东模拟）如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若米，则AB的长等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得∠ACD=45°，∠BCD=35°，则∠DAC=DCA=45°，∴AD=CD，
在Rt△BCD中，BC=50米，cos∠BCD=，∴CD=50cos35°，
BD=BCsin∠BCD=50sin35°，
∴AD=CD=50cos35°，
∴AB=AD+BD=50cos35°+50sin35°=50（cos35°+sin35°）米，
故答案为：D.
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得∠ACD=45°，∠BCD=35°，从而得出∠DAC=DCA=45°，即得AD=CD，在Rt△BCD中，利用解直角三角形分别求出CD=50cos35°，BD=BCsin∠BCD=50sin35°，利用AB=AD+BD即可求解.
10．（2023·斗门模拟）某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，
∴∠CAB=60°-30°=30°，
∵驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，
∴∠ACB=30°+30°=60°，
∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，
∵，AB=10km，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠CAB=30°，再求出∠ABC=90°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·武汉模拟）一艘在南北航线上的测量船，在点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东45°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是 （结果保留整数）．（参考数据：，）
【答案】11
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：画出示意图如下，过B作BD⊥AC，垂足为点D，
由题意可得：AC=30海里，∠CAB=30°，∠DCB=45°，
设BD=x海里，则AD==x海里，CD==x海里.
∵AD+CD=AC，
∴x+x=30，
解得x=-15，
∴BD=-15≈11（海里），
∴海岛B离此航线的最近距离是11海里.
故答案为：11.
【分析】画出示意图如下，过B作BD⊥AC，垂足为点D，由题意可得：AC=30海里，∠CAB=30°，∠DCB=45°，设BD=x海里，根据三角函数的概念可得AD=x海里，CD=x海里，然后根据AD+CD=AC求解即可.
12．（2023·肇东模拟）如图，轮船B在码头A的正东方向，与码头A的距离为100海里，轮船B向北航行40海里到达C处时，接到D处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西45°方向航行到D处，解教渔船后轮船沿南偏西82°返回到码头A，那么码头A与D的距离为 海里．（结果保留整数，参考数据：，，．）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点D作于F，过C作于E，
则，
∴四边形为矩形，
∴海里，，
由题意，，
∴，
在中，，，
由得海里，
∴（海里），
∴（海里），
故答案为：105．
【分析】过点D作于F，过C作于E，根据，求出，再利用线段的和差求出，最后求出即可。
13．（2023·黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，
由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，
∴EM=CM-BC=15.
∵∠ECM=45°，
∴BM=EM=15.
∵A为CD的中点，
∴BN=AD=AC=BM=15.
∵tan∠FBN=，
∴，
∴FN=，
∴DF=30-.
故答案为：30-.
【分析】过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，则EM=CM-BC=15，根据三角函数的概念可得EM、FN，然后根据DF=DN-FN进行计算.
14．（2023·游仙模拟）某水上乐园在一平地推出了“急流勇进”的项目，项目有两条斜坡滑道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道的坡度为，米，米，（其中点A、B、C、D均在同一平面内），则垂直升降电梯的高度约为 米．（参考数据：，，）
【答案】12.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】延长AB和DC相交于点E，如图：
根据BC的坡度为，得到BE：CE=5：12，
设BE=5x m，则CE=12x m，
由勾股定理可得：BE2+CE2=BC2，
∴（5x）2+（12x）2=132，
解得：x1=1，x2=-1（舍），
∴BE=5，CE=12，
∴DE=DC+CE=16+12=28，
由，可得，
∴AE=DE×tan∠D=28×tan32°，
∴AB=AE-BE=28tan32°-5≈12.5，
故答案为：12.5.
【分析】设BE=5x m，则CE=12x m，利用勾股定理可得BE2+CE2=BC2，将数据代入求出x的值，再求出DE的长，利用解直角三角形的方法求出AE的长，最后利用线段的和差求出AB的长即可。
15．（2023九下·黄石港月考）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方米处的点C出发，沿斜面坡度的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．旗杆AB的高度为 米．（参考数据：．计算结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，延长、交于点，作，
，，
，，
，
的斜面坡度为，
，
，
米，
米，米，
米，米，
米，米，
，
，
四边形是矩形，
米，米，
，
米，
米，
故答案为：.
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造所需直角三角形和熟练掌握三角函数是解题关键.先通过CD的斜面坡度可得的三边长度，再利用矩形的性质得到BF、EF的长，然后根据三角函数求出AF的长度，进而得到AB的值.
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·恩施）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】解：能求出信号塔DE的高，信号塔DE的高为31m，理由如下：
过B作BF⊥DE，垂足为F，
∵，，
∴四边形BCEF是矩形，
∴，．
∵AB的长为5m，高BC为3m，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔DE的高，信号塔DE的高为31m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过B作BF⊥DE，垂足为F，由有三个角是直角的四边形是矩形得四边形BCEF是矩形，则CE=BF，EF=BC，在Rt△ABC中用勾股定理算出AC，然后根据等腰直角三角形的性质可得AE=DE，设AE=DE=xm，则DF=(x-3)m，CE=(x+4)m，由∠DBF的正切函数定义可建立方程求出x的值.
17．（2023·营口）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）
【答案】如图，过B点作于点D，
根据题意有：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵在中，，（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
即（米），
答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过B点作BD⊥AC于点D，根据题意有∠BAS=20°，∠ACN=25°，∠BCN=55°，则∠BCA=∠BCN-∠ACN=30°，∠SAD=∠ACN=25°，∠BAD=∠SAB+∠SAD=45°，推出△ABD为等腰直角三角形，得到AD=BD=AB，由三角函数的概念可得BC、CD，由AC=AD+DC求出AC，然后求出AC-BC的值即可.
18．（2023·包头）为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为.点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角为.
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角的度数；
⑵求检查点和之间的距离(结果保留根号).
【答案】解：如图，根据题意得，，.
⑴，
.
在中，，
.
答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为.
⑵过点作，垂足为
，
.
在Rt中，
，
.
在Rt中，
，
.
答：检查点和之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，在△ABD中，利用45°的三角函数求出AD和BD长，在△ACD中，利用60°的三角函数求出CD长，进而得出BC的长.
19．（2023·贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）
（1）求索道的长（结果精确到）；
（2）求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，
∴；
（2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为，
∴，，
∴；
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用解直角三角形的知识即可求解；
（2）先根据题意即可得到，，再根据即可求解。
20．（2023·广元）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．
（1）已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；
（2）求风叶的长度．
【答案】（1）解：由题意可得：，
∴；
（2）解：过点A作，连接，，如图所示，
由题意得：米，，
∴米，，
∵三片风叶两两所成的角为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴米，
∵，，
∴，
由（1）得：，
∴米，
∴米，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，
∴，
∴米，
∴风叶的长度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由， 利用α，β两角和的余弦公式长并计算即可；
（2）过点A作，连接，， 先求出∠AED=75°，从而求出米， 即得DF=DE-EF=90-米， 易证四边形是矩形， 可得米，结合题意可得， 根据OA=即可求解.
21．（2023·福建）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的两点，可测得的大小，如图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得； （ⅱ）分别在上测得；测得．求解过程： 由测量知，， ，又①____， ． 又②____（． 故小水池的最大宽度为____．
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得用到的几何知识是 ；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】（1）①；
②.
（2）相似角形的判定与性质
（3）解：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；
（ⅱ）用皮尺测得．
求解过程：
由测量知，在中，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故小水池的最大宽度为．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）由测量可知：AC=a，BC=b，CM=，CN=，
∴.
∵∠C=∠C，
∴△CMN∽△CAB，
∴.
∵MN=c，
∴AB=3c.
（2）小明求得AB用到的几何知识是：相似角形的判定与性质；
【分析】（1）由测量可知：AC=a，BC=b，CM=，CN=，则，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CMN∽△CAB，然后根据相似三角形的性质进行求解；
（2）根据求解过程进行解答；
（3）由测量知：在△ABC中，∠ABC=α，∠BAC=β，BC=a，过C作CD⊥AB，由三角函数的概念可得BD、AD，然后根据AB=AD+BD进行计算.
22．（2023·宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【答案】解：[问题背景]如图所示：
，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活动探究]如图所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[应用拓展]延长，过作于，过作于，如图所示：
，
，
，，
，
坡比为（即），，设，
，解得，
，
，，设，
，解得，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
在中，．
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】[问题背景]由题意可得∠AEB=∠CED，∠B=∠D=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质进行计算；
[活动探究]同理证明△GBE1∽△CDE1，△ABE2∽△CDE2，由相似三角形的性质可得GB、AB，然后根据AG=GB-AB进行计算；
[应用拓展]延长DA，过C作CF⊥DA于F，过B作BH⊥DA于H，由平行线的性质可得∠CDE=∠DAG，根据坡比可设AG=8x，GD=15x，由勾股定理可得x的值，然后求出AG、GD，由∠CDE=∠DAG结合三角函数的概念可设CF=15y，FD=8y，由勾股定理可得y，然后求出CF、FD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△HBE∽△FCE，由相似三角形的性质结合三角函数的概念可得HB、HA，再利用勾股定理计算即可.
1 / 1【提升卷】1.5三角函数的应用—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·瓯海模拟）如图，一把梯子斜靠在墙上，端点A离地面的高度长为时，.当梯子底端点B沿水平方向向左移动到点，端点A沿墙竖直向上移动到点，设，则的长可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·温州模拟）图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022九上·襄汾期中）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·济南模拟）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B． C． D．
5．（2023九上·内江期末）如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（ ）米.
A． B． C． D．
6．（2022九上·潞城月考）如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河坝面宽减少的长度等于（ ）（结果精确到，参考数据）
A． B． C． D．
7．（2023·福田模拟）如图2，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从点A经过旗杆顶点恰好可观测到矮建筑物的最底端点C处，从点A测得点C的俯角α为60°，测得点D的俯角β为30°，若旗杆底部G为BC的中点，则，矮建筑物的高CD为（ ）
A．18米 B．20米 C．10米 D．(45-15)米
8．（2023·光明模拟）在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度米，米，则树BD的高度是（ ）【参考数据：，，】
A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米
9．（2023·金东模拟）如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若米，则AB的长等于（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·斗门模拟）某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·武汉模拟）一艘在南北航线上的测量船，在点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东45°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是 （结果保留整数）．（参考数据：，）
12．（2023·肇东模拟）如图，轮船B在码头A的正东方向，与码头A的距离为100海里，轮船B向北航行40海里到达C处时，接到D处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西45°方向航行到D处，解教渔船后轮船沿南偏西82°返回到码头A，那么码头A与D的距离为 海里．（结果保留整数，参考数据：，，．）
13．（2023·黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）
14．（2023·游仙模拟）某水上乐园在一平地推出了“急流勇进”的项目，项目有两条斜坡滑道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道的坡度为，米，米，（其中点A、B、C、D均在同一平面内），则垂直升降电梯的高度约为 米．（参考数据：，，）
15．（2023九下·黄石港月考）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方米处的点C出发，沿斜面坡度的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．旗杆AB的高度为 米．（参考数据：．计算结果保留根号）
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·恩施）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
17．（2023·营口）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）
18．（2023·包头）为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为.点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角为.
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角的度数；
⑵求检查点和之间的距离(结果保留根号).
19．（2023·贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）
（1）求索道的长（结果精确到）；
（2）求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
20．（2023·广元）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．
（1）已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；
（2）求风叶的长度．
21．（2023·福建）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的两点，可测得的大小，如图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得； （ⅱ）分别在上测得；测得．求解过程： 由测量知，， ，又①____， ． 又②____（． 故小水池的最大宽度为____．
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得用到的几何知识是 ；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
22．（2023·宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∵，
∴，故，
∵，
∴，
则：，
故答案为：B.
【分析】由正弦函数的定义及特殊角的三角函数值可得，故，在Rt△A'B'C中，根据正弦函数的定义可得，进而根据AA'=A'C-AC即可算出答案.
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则，，
由题意可得，，
在直角三角形ACE中，
，
故答案为：D.
【分析】作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则CE⊥AE，DF⊥BF，由题意可得CE=DF，EF=60cm，根据三角函数的概念可得CE，然后根据CD=EF-2CE进行解答.
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴m，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故答案为：B．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据，求出，再求出的长即可。
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°，
∠EAH=37°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72（米），
∵AB=1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米．
故答案为：A．
【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，先利用解直角三角形的方法求出AB和EH的长，再利用线段的和差求解即可。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于，交的延长线于点，
斜坡的坡比为，即，
，
又米，
，，
，
在中，，，
米，
米，
故答案为：B.
【分析】过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，由坡比的概念、正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得∠DCN=30°，根据含30°角直角三角形的性质得DN、CN的长，再由BN=BC+CN=MD得MD的长，在Rt△AMD中，根据含30°角直角三角形的性质得AM的长，最后根据AB=AM+BM即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作于点F，过E作于点H，
∵，，，
∴，
∵坡度，
∴，
解得：，
∵，
∴（），
∴（m）．
故答案为：B
【分析】过点A作于点F，过E作于点H，根据求出，再利用线段的和差求出即可。
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长CD交AH于点H，则CH⊥AH，
由题意知：EG⊥AB， G为BC的中点 ，EG =15米，
∴EG为△ABC的中位线，
∴AB=2EG=30米，
∴CH=AB=30米，
在Rt△ACH中，α=60°，∴AH=米，
在Rt△ADH中，β=30°，DH=tanβ·AH=10米，
∴CD=CH-DH=20米，
故答案为：B.
【分析】延长CD交AH于点H，则CH⊥AH，易得EG为△ABC的中位线，可得AB=2EG=30米，即CH=AB=30米，利用解直角三角形先求出AH，再求出DH，利用CD=CH-DH即可求解.
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】连接EF与BD的交点为M，
由题可得：EF⊥BD，AE=BM=CF=1.65，EF=AC=28，
设DM=x，则EM=DM=x，MF=28-x，
在Rt△DFM中，tan∠DFM==tan37°，
∴tan37°=，
解得：x=12，即DM=12，
∴BD=DM+BM=13.65，
∴树BD的高度是13.65米，
故答案为：D.
【分析】设DM=x，则EM=DM=x，MF=28-x，结合tan37°=，求出x的值，再利用线段的和差求出BD的长即可。
9．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得∠ACD=45°，∠BCD=35°，则∠DAC=DCA=45°，∴AD=CD，
在Rt△BCD中，BC=50米，cos∠BCD=，∴CD=50cos35°，
BD=BCsin∠BCD=50sin35°，
∴AD=CD=50cos35°，
∴AB=AD+BD=50cos35°+50sin35°=50（cos35°+sin35°）米，
故答案为：D.
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得∠ACD=45°，∠BCD=35°，从而得出∠DAC=DCA=45°，即得AD=CD，在Rt△BCD中，利用解直角三角形分别求出CD=50cos35°，BD=BCsin∠BCD=50sin35°，利用AB=AD+BD即可求解.
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，
∴∠CAB=60°-30°=30°，
∵驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，
∴∠ACB=30°+30°=60°，
∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，
∵，AB=10km，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠CAB=30°，再求出∠ABC=90°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
11．【答案】11
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：画出示意图如下，过B作BD⊥AC，垂足为点D，
由题意可得：AC=30海里，∠CAB=30°，∠DCB=45°，
设BD=x海里，则AD==x海里，CD==x海里.
∵AD+CD=AC，
∴x+x=30，
解得x=-15，
∴BD=-15≈11（海里），
∴海岛B离此航线的最近距离是11海里.
故答案为：11.
【分析】画出示意图如下，过B作BD⊥AC，垂足为点D，由题意可得：AC=30海里，∠CAB=30°，∠DCB=45°，设BD=x海里，根据三角函数的概念可得AD=x海里，CD=x海里，然后根据AD+CD=AC求解即可.
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点D作于F，过C作于E，
则，
∴四边形为矩形，
∴海里，，
由题意，，
∴，
在中，，，
由得海里，
∴（海里），
∴（海里），
故答案为：105．
【分析】过点D作于F，过C作于E，根据，求出，再利用线段的和差求出，最后求出即可。
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，
由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，
∴EM=CM-BC=15.
∵∠ECM=45°，
∴BM=EM=15.
∵A为CD的中点，
∴BN=AD=AC=BM=15.
∵tan∠FBN=，
∴，
∴FN=，
∴DF=30-.
故答案为：30-.
【分析】过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，则EM=CM-BC=15，根据三角函数的概念可得EM、FN，然后根据DF=DN-FN进行计算.
14．【答案】12.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】延长AB和DC相交于点E，如图：
根据BC的坡度为，得到BE：CE=5：12，
设BE=5x m，则CE=12x m，
由勾股定理可得：BE2+CE2=BC2，
∴（5x）2+（12x）2=132，
解得：x1=1，x2=-1（舍），
∴BE=5，CE=12，
∴DE=DC+CE=16+12=28，
由，可得，
∴AE=DE×tan∠D=28×tan32°，
∴AB=AE-BE=28tan32°-5≈12.5，
故答案为：12.5.
【分析】设BE=5x m，则CE=12x m，利用勾股定理可得BE2+CE2=BC2，将数据代入求出x的值，再求出DE的长，利用解直角三角形的方法求出AE的长，最后利用线段的和差求出AB的长即可。
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，延长、交于点，作，
，，
，，
，
的斜面坡度为，
，
，
米，
米，米，
米，米，
米，米，
，
，
四边形是矩形，
米，米，
，
米，
米，
故答案为：.
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造所需直角三角形和熟练掌握三角函数是解题关键.先通过CD的斜面坡度可得的三边长度，再利用矩形的性质得到BF、EF的长，然后根据三角函数求出AF的长度，进而得到AB的值.
16．【答案】解：能求出信号塔DE的高，信号塔DE的高为31m，理由如下：
过B作BF⊥DE，垂足为F，
∵，，
∴四边形BCEF是矩形，
∴，．
∵AB的长为5m，高BC为3m，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔DE的高，信号塔DE的高为31m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过B作BF⊥DE，垂足为F，由有三个角是直角的四边形是矩形得四边形BCEF是矩形，则CE=BF，EF=BC，在Rt△ABC中用勾股定理算出AC，然后根据等腰直角三角形的性质可得AE=DE，设AE=DE=xm，则DF=(x-3)m，CE=(x+4)m，由∠DBF的正切函数定义可建立方程求出x的值.
17．【答案】如图，过B点作于点D，
根据题意有：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵在中，，（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
即（米），
答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过B点作BD⊥AC于点D，根据题意有∠BAS=20°，∠ACN=25°，∠BCN=55°，则∠BCA=∠BCN-∠ACN=30°，∠SAD=∠ACN=25°，∠BAD=∠SAB+∠SAD=45°，推出△ABD为等腰直角三角形，得到AD=BD=AB，由三角函数的概念可得BC、CD，由AC=AD+DC求出AC，然后求出AC-BC的值即可.
18．【答案】解：如图，根据题意得，，.
⑴，
.
在中，，
.
答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为.
⑵过点作，垂足为
，
.
在Rt中，
，
.
在Rt中，
，
.
答：检查点和之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，在△ABD中，利用45°的三角函数求出AD和BD长，在△ACD中，利用60°的三角函数求出CD长，进而得出BC的长.
19．【答案】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，
∴；
（2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为，
∴，，
∴；
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用解直角三角形的知识即可求解；
（2）先根据题意即可得到，，再根据即可求解。
20．【答案】（1）解：由题意可得：，
∴；
（2）解：过点A作，连接，，如图所示，
由题意得：米，，
∴米，，
∵三片风叶两两所成的角为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴米，
∵，，
∴，
由（1）得：，
∴米，
∴米，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，
∴，
∴米，
∴风叶的长度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由， 利用α，β两角和的余弦公式长并计算即可；
（2）过点A作，连接，， 先求出∠AED=75°，从而求出米， 即得DF=DE-EF=90-米， 易证四边形是矩形， 可得米，结合题意可得， 根据OA=即可求解.
21．【答案】（1）①；
②.
（2）相似角形的判定与性质
（3）解：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；
（ⅱ）用皮尺测得．
求解过程：
由测量知，在中，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故小水池的最大宽度为．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）由测量可知：AC=a，BC=b，CM=，CN=，
∴.
∵∠C=∠C，
∴△CMN∽△CAB，
∴.
∵MN=c，
∴AB=3c.
（2）小明求得AB用到的几何知识是：相似角形的判定与性质；
【分析】（1）由测量可知：AC=a，BC=b，CM=，CN=，则，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CMN∽△CAB，然后根据相似三角形的性质进行求解；
（2）根据求解过程进行解答；
（3）由测量知：在△ABC中，∠ABC=α，∠BAC=β，BC=a，过C作CD⊥AB，由三角函数的概念可得BD、AD，然后根据AB=AD+BD进行计算.
22．【答案】解：[问题背景]如图所示：
，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活动探究]如图所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[应用拓展]延长，过作于，过作于，如图所示：
，
，
，，
，
坡比为（即），，设，
，解得，
，
，，设，
，解得，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
在中，．
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】[问题背景]由题意可得∠AEB=∠CED，∠B=∠D=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质进行计算；
[活动探究]同理证明△GBE1∽△CDE1，△ABE2∽△CDE2，由相似三角形的性质可得GB、AB，然后根据AG=GB-AB进行计算；
[应用拓展]延长DA，过C作CF⊥DA于F，过B作BH⊥DA于H，由平行线的性质可得∠CDE=∠DAG，根据坡比可设AG=8x，GD=15x，由勾股定理可得x的值，然后求出AG、GD，由∠CDE=∠DAG结合三角函数的概念可设CF=15y，FD=8y，由勾股定理可得y，然后求出CF、FD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△HBE∽△FCE，由相似三角形的性质结合三角函数的概念可得HB、HA，再利用勾股定理计算即可.
1 / 1
