【基础卷】1.6利用三角函数测高—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·合肥期末）某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
2．（2023·合肥模拟）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·莲池期末）一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（ ）
A．30° B． C． D．
4．（2022·十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·来宾月考）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）(参考数据： ，
A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
6．（2023·官渡）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·宽城模拟）如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆的高度，点B、C在同一条水平线上，测角仪在D处测得旗杆最高点A的仰角为．若测角仪，，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·无锡期中）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，坡面AB= ，则堤高的高度是（ ）
A．3 B． C．6 D．
9．（2023·花都模拟）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·黄冈模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）
12．（2023·荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30o，底部C的俯角为60o，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1）
13．（2023·岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是 米（结果精确到0.1米，）．
14．（2022·山西模拟）2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 米．
15．（2022九上·闵行期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点处送到离地面米高的处，则物体从到所经过的路程为 米．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）
17．（2023·宁波模拟）小华想利用太阳光测量楼的高，他带着尺子来到楼下，发现地面和对面斜坡（坡角为45°）上都有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：先测得在此时刻1.2m高的物体垂直于地面放置时，影长是1m；楼落在地面上的影长，落在斜坡上的影长，请你帮小华求出楼的高.
18．（2023·大连）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：）
19．（2023·张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）
20．（2023·邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）
21．（2023·本溪）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
22．（2023·抚顺）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设该斜坡的坡角为α，
∵斜坡的坡度，
∴，
则＝30°，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：铁球上滚的距离铁球距地面的高度，
铁球距地面的高度．
故答案为：B．
【分析】利用解直角三角形的方法求解即可。
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如下图所示：
由题意即图可知：，，
在中，由勾股定理可得：，
坡度为：．
故答案为：B．
【分析】由题意即图可知：，，在中，由勾股定理得出OB的值，从而得出答案。
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°.
在Rt△CDB中，CD=m×cosα，BD=m×sinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）.
故答案为：A.
【分析】过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，根据锐角三角形函数的定义求出CD=
mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，可得AD=CD×tan45°=mcosα，根据AB=AD-BD即可求解.
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得：sin37°=，
∴h=5×=3，
∴调整后的楼梯长==6，
∴调整后的楼梯会加长：6-5=1m.
故答案为：D.
【分析】根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后抓住楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥CB于点C，如图所示：
∴，
∵AB=100，
∴AC=，
故答案为：A.
【分析】过点A作AC⊥CB于点C，根据解直角三角形即可求解。
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过点D作DE//CB交AB于点E，
∴BC=DE=b，CD=BE=a，
在Rt△ADE中，，
∴AE=DE×tan=，
∴AB=AE+BE=.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE//CB交AB于点E，先利用解直角三角形的方法求出AE=DE×tan=，再利用线段的和差求出AB的长即可。
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度是1：2，
即 ，
∴
又∵在 中， ， ，
∴
解之得： （取正值）.
故答案为：C.
【分析】根据迎水坡AB的坡度可得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，运用勾股定理求解即可.
9．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在中，，，
∴
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再计算求解即可。
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴DB=DA，
设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，
∴，
∴a≈36，
∴灯塔的高度大约是，
故答案为：B
【分析】先根据等腰直角三角形的性质即可得到DB=DA，设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，进而根据锐角三角函数的定义即可得到a≈36，进而即可求解。
11．【答案】12.7
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
设AD=CD=x，
则BD=AB-AD=20-x，
在Rt△CBD中，∵，
∴，
∴x≈12.7.
故答案 为：12.7.
【分析】易得△ADC是等腰直角三角形，则CD=AD，设AD=CD=x，则BD=AB-AD=20-x，在Rt△CBD中，利用∠B的正切函数建立方程，求解即可.
12．【答案】13.8
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠BAD=30°，AD=6，
∴BD=AD·tan30°=6×=.
∵∠DAC=60°，AD=6，
∴CD=AD·tan60°=，
∴BC=BD+CD=+=≈13.8.
故答案为：13.8.
【分析】利用三角函数的概念可得BD、CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
13．【答案】9.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，
∵AD=BC=20m，∠EAD=21.8°，
∴DE=AD·tan21.8°≈20x0.4000=8 (m)，
∴CE=CD+DE=1.5+8=9.5 (m)，
即气球顶部离地面的高度EC是9.5m，
故答案为：9.5.
【分析】根据矩形的性质先求出AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，再利用锐角三角函数计算求解即可。
14．【答案】18
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：标记字母如图，设他下降的高度为x米，
∵坡度为=BC：AC，
∴AC=，
∴AB=，
∴sinA=，
解得x=18，
即他下降的高度18米．
故答案为18．
【分析】设他下降的高度为x米，先利用勾股定理求出AB的长，再利用正弦的定义可得sinA=，最后求出x的值即可。
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过作地面于，如图所示：
，
即，
米，
米，
即物体从到所经过的路程为米，
故答案为：．
【分析】过作地面于，先求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
16．【答案】解：如图，设大转动轮转时，粮袋移动到点，
则：，
过点作，于点，
∴，
∴，即：粮袋上升的高度是cm．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】设大转动轮转时，粮袋移动到点，首先求出AB，过点作，即可根据求出BC，BC即为所求的粮袋上升的高度．
17．【答案】解：如图，过点C作于点M，作于点N，
则四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
测得在此时刻高的物体垂直于地面放置时，影长是，
，即，
解得，
则，
答：楼的高为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】 过点C作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，易得四边形AMCN是矩形，根据矩形的对边相等得AM=CN，AN=CM， 在Rt△CDN中，根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出CN、DN的长，从而可得CM、AM的长，进而根据同一时刻同一地点物体的长度与其影子的长度的比值相等可建立方程，求出BM的长，最后根据AB=AM+BM即可算出答案.
18．【答案】解：如图所示，延长交于点，
∵，
∴
在中，，，
∵，
∴
∴，
答：楼的高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长CD交AE于点F，则EF=BC=1.26m，根据三角函数的概念可得AF，然后根据AE=AF+EF进行计算.
19．【答案】解：延长，交的延长线于点C，
则
由题意得，，，
在中，，
则
∴，
在中，，
解得，
∴奇楼的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长，交的延长线于点C，则，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可得到，从而得到PC，进而得到，再运用即可求解。
20．【答案】解：依题意，得，，，，
在中，，
，
在中，，
∴，
∴火箭从到处的平均速度为，
答：火箭从到处的平均速度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意运用解直角三角形的知识即可求解。
21．【答案】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】(1)作辅助线BC⊥AF，BE⊥DF的目的，就是分别将30°（∠BAC）和53°（∠DBE）置于，通过Rt△ABC和Rt△DBE中，通过解直角三角形的方式来求解线段.因为已知AB=300，利用“在直角三角形，30°所对的直角边是斜边的一半”的性质得到BC，由“矩形对边相等”得到EF=BC.最后因为DF=600已知，即可通过DF-EF得到DE的值.
（2）从A到D的总时间分两段：A—B的步行时间300÷30=10分钟，B—D的乘缆车时间.因为乘缆车的速度已知为60，只要求出路程长，即BD的长度即可.在Rt△DBE中，可以通过∠DBE（53°）的正弦函数（sin）建立起DE和BD之间的数量关系，从而求出BD的值.最后把两段时间相加，近似到0.1分钟.
22．【答案】（1）解：如图，作于点E，则，
由题意知，，，
故，
即两楼之间的距离为米；
（2）解：由题意知，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大厦的高度为92米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥DC于点E，在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）利用已知易证四边形ABEC是矩形，利用矩形的性质可得到BE，CE的长；再在Rt△BED中，利用解直角三角形求出DE的长；然后根据CD=DE+CE，代入计算求出CD的长.
1 / 1【基础卷】1.6利用三角函数测高—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·合肥期末）某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设该斜坡的坡角为α，
∵斜坡的坡度，
∴，
则＝30°，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
2．（2023·合肥模拟）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：铁球上滚的距离铁球距地面的高度，
铁球距地面的高度．
故答案为：B．
【分析】利用解直角三角形的方法求解即可。
3．（2021九上·莲池期末）一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（ ）
A．30° B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如下图所示：
由题意即图可知：，，
在中，由勾股定理可得：，
坡度为：．
故答案为：B．
【分析】由题意即图可知：，，在中，由勾股定理得出OB的值，从而得出答案。
4．（2022·十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°.
在Rt△CDB中，CD=m×cosα，BD=m×sinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）.
故答案为：A.
【分析】过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，根据锐角三角形函数的定义求出CD=
mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，可得AD=CD×tan45°=mcosα，根据AB=AD-BD即可求解.
5．（2021九上·来宾月考）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）(参考数据： ，
A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得：sin37°=，
∴h=5×=3，
∴调整后的楼梯长==6，
∴调整后的楼梯会加长：6-5=1m.
故答案为：D.
【分析】根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后抓住楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化.
6．（2023·官渡）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥CB于点C，如图所示：
∴，
∵AB=100，
∴AC=，
故答案为：A.
【分析】过点A作AC⊥CB于点C，根据解直角三角形即可求解。
7．（2023·宽城模拟）如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆的高度，点B、C在同一条水平线上，测角仪在D处测得旗杆最高点A的仰角为．若测角仪，，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过点D作DE//CB交AB于点E，
∴BC=DE=b，CD=BE=a，
在Rt△ADE中，，
∴AE=DE×tan=，
∴AB=AE+BE=.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE//CB交AB于点E，先利用解直角三角形的方法求出AE=DE×tan=，再利用线段的和差求出AB的长即可。
8．（2021九上·无锡期中）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，坡面AB= ，则堤高的高度是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度是1：2，
即 ，
∴
又∵在 中， ， ，
∴
解之得： （取正值）.
故答案为：C.
【分析】根据迎水坡AB的坡度可得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，运用勾股定理求解即可.
9．（2023·花都模拟）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在中，，，
∴
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再计算求解即可。
10．（2023·日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴DB=DA，
设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，
∴，
∴a≈36，
∴灯塔的高度大约是，
故答案为：B
【分析】先根据等腰直角三角形的性质即可得到DB=DA，设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，进而根据锐角三角函数的定义即可得到a≈36，进而即可求解。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·黄冈模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）
【答案】12.7
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
设AD=CD=x，
则BD=AB-AD=20-x，
在Rt△CBD中，∵，
∴，
∴x≈12.7.
故答案 为：12.7.
【分析】易得△ADC是等腰直角三角形，则CD=AD，设AD=CD=x，则BD=AB-AD=20-x，在Rt△CBD中，利用∠B的正切函数建立方程，求解即可.
12．（2023·荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30o，底部C的俯角为60o，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1）
【答案】13.8
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠BAD=30°，AD=6，
∴BD=AD·tan30°=6×=.
∵∠DAC=60°，AD=6，
∴CD=AD·tan60°=，
∴BC=BD+CD=+=≈13.8.
故答案为：13.8.
【分析】利用三角函数的概念可得BD、CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.
13．（2023·岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是 米（结果精确到0.1米，）．
【答案】9.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，
∵AD=BC=20m，∠EAD=21.8°，
∴DE=AD·tan21.8°≈20x0.4000=8 (m)，
∴CE=CD+DE=1.5+8=9.5 (m)，
即气球顶部离地面的高度EC是9.5m，
故答案为：9.5.
【分析】根据矩形的性质先求出AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，再利用锐角三角函数计算求解即可。
14．（2022·山西模拟）2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 米．
【答案】18
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：标记字母如图，设他下降的高度为x米，
∵坡度为=BC：AC，
∴AC=，
∴AB=，
∴sinA=，
解得x=18，
即他下降的高度18米．
故答案为18．
【分析】设他下降的高度为x米，先利用勾股定理求出AB的长，再利用正弦的定义可得sinA=，最后求出x的值即可。
15．（2022九上·闵行期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点处送到离地面米高的处，则物体从到所经过的路程为 米．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过作地面于，如图所示：
，
即，
米，
米，
即物体从到所经过的路程为米，
故答案为：．
【分析】过作地面于，先求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）
【答案】解：如图，设大转动轮转时，粮袋移动到点，
则：，
过点作，于点，
∴，
∴，即：粮袋上升的高度是cm．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】设大转动轮转时，粮袋移动到点，首先求出AB，过点作，即可根据求出BC，BC即为所求的粮袋上升的高度．
17．（2023·宁波模拟）小华想利用太阳光测量楼的高，他带着尺子来到楼下，发现地面和对面斜坡（坡角为45°）上都有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：先测得在此时刻1.2m高的物体垂直于地面放置时，影长是1m；楼落在地面上的影长，落在斜坡上的影长，请你帮小华求出楼的高.
【答案】解：如图，过点C作于点M，作于点N，
则四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
测得在此时刻高的物体垂直于地面放置时，影长是，
，即，
解得，
则，
答：楼的高为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】 过点C作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，易得四边形AMCN是矩形，根据矩形的对边相等得AM=CN，AN=CM， 在Rt△CDN中，根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出CN、DN的长，从而可得CM、AM的长，进而根据同一时刻同一地点物体的长度与其影子的长度的比值相等可建立方程，求出BM的长，最后根据AB=AM+BM即可算出答案.
18．（2023·大连）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：）
【答案】解：如图所示，延长交于点，
∵，
∴
在中，，，
∵，
∴
∴，
答：楼的高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长CD交AE于点F，则EF=BC=1.26m，根据三角函数的概念可得AF，然后根据AE=AF+EF进行计算.
19．（2023·张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）
【答案】解：延长，交的延长线于点C，
则
由题意得，，，
在中，，
则
∴，
在中，，
解得，
∴奇楼的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长，交的延长线于点C，则，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可得到，从而得到PC，进而得到，再运用即可求解。
20．（2023·邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）
【答案】解：依题意，得，，，，
在中，，
，
在中，，
∴，
∴火箭从到处的平均速度为，
答：火箭从到处的平均速度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意运用解直角三角形的知识即可求解。
21．（2023·本溪）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
【答案】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】(1)作辅助线BC⊥AF，BE⊥DF的目的，就是分别将30°（∠BAC）和53°（∠DBE）置于，通过Rt△ABC和Rt△DBE中，通过解直角三角形的方式来求解线段.因为已知AB=300，利用“在直角三角形，30°所对的直角边是斜边的一半”的性质得到BC，由“矩形对边相等”得到EF=BC.最后因为DF=600已知，即可通过DF-EF得到DE的值.
（2）从A到D的总时间分两段：A—B的步行时间300÷30=10分钟，B—D的乘缆车时间.因为乘缆车的速度已知为60，只要求出路程长，即BD的长度即可.在Rt△DBE中，可以通过∠DBE（53°）的正弦函数（sin）建立起DE和BD之间的数量关系，从而求出BD的值.最后把两段时间相加，近似到0.1分钟.
22．（2023·抚顺）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，作于点E，则，
由题意知，，，
故，
即两楼之间的距离为米；
（2）解：由题意知，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大厦的高度为92米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥DC于点E，在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）利用已知易证四边形ABEC是矩形，利用矩形的性质可得到BE，CE的长；再在Rt△BED中，利用解直角三角形求出DE的长；然后根据CD=DE+CE，代入计算求出CD的长.
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