【基础卷】2.1二次函数—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题4分，共40分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九下·江都）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B． C． D．
3．（2023·杨浦模拟）下列函数中，二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九上·新昌期中）下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（x﹣1）（x+3） B．y＝x2﹣x3
C．y＝2x﹣3 D．y＝+1
5．（2022九上·汽开区期末）若函数是二次函数，则有（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·北仑期中）二次函数的一次项系数是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-5
7．（2022九上·济南期末）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为（ ）.
A． B． C．S=a2-16a D．S=a2-16a
9．（2019九上·武威期中）用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm，面积是Scm2，则S与x的函数关系式为（ ）
A．S＝x（20﹣x） B．S＝x（20﹣2x）
C．S＝x（10﹣x） D．S＝2x（10﹣x）
10．（2022九上·汕尾期中）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，-6，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2022九上·海东期中）在二次函数y=-x2+1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
12．（2022九上·南湖期中）有下列函数：
①y=5x-4；②；③；④；⑤；
其中属于二次函数的是 （填序号）.
13．（2023九上·崇左期末）函数是二次函数，则 .
14．（2020九上·顺昌月考）用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式）
15．（2021九上·甘州期末）一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y ，那么y与x的关系式是
三、解答题（共5题，共40分）
16．春节期间，物价局规定花生油的最低价格为4.1元/kg，最高价格为4.5元/kg，小王按4.1元/kg购入，若原价出售，则每天平均可卖出200kg，若价格每上涨0.1元，则每天少卖出20kg，若油价定为X元，每天获利W元，求W与X满足怎样的关系式？
17．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件，如果他每天所赚利润为y元，试求出y与售出价x之间的函数关系式．
18．若函数y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围。
19．函数y=（kx-1）（x-3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？
20．（2021九上·合肥月考）已知函数y=（m2-2）x2+（m+ ）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得是二次函数，
故答案为：B
【分析】根据二次函数的定义结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不正确.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：中，未知数的次数为1次，故A不是二次函数，不符合题意；
，满足二次函数的定义，故B是二次函数，符合题意；
，未知数的次数为1次，故C不是二次函数，不符合题意；
，分母中有未知数，故D不是二次函数，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A. 可化为，符合二次函数的定义，故本选项正确；
B. ，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误；
C. y＝2x-3，属于一次函数，故本选项错误；
D. ，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
故答案为：A.
【分析】二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0），据此判断.
5．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义可得，再求出m的取值范围即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：y=5x（x-1）=5x2-5x，
∴一次项的系数为-5.
故答案为：D.
【分析】将函数解析式化为一般形式，再找出一次项系数即可，注意，一次项的系数要包括前面的负号.
7．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次函数，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
8．【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵a+b=16，
∴AC=b=16-a（0＜a＜16），
又∵BC=a
∴Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为
S=
=
，
故答案为：B.
【分析】因为△ABC是直角三角形，利用面积公式可表示，S= ，又通过a+b=16，得AC=b=16-a，将BC=a、AC =16-a代入，即可得到，△ABC的面积S与边长a的函数关系式。
9．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：S＝x(10﹣x)，
故答案为：C.
【分析】根据题意可得矩形的宽为(10-x)cm，再根据矩形的面积公式S=长×宽可得函数解析式.
10．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次函数，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
11．【答案】0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵y=-x2+1，
∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1，
∴；
故答案是0．
【分析】根据二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
12．【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数；
③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数.
综上所述，其中属于二次函数的是②④.
故答案为：②④.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
13．【答案】1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：函数是二次函数，
，
解得：，
故答案为：1.
【分析】二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0），则2m=2，求解可得m的值.
14．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=80÷2-x=40-x，
∴y=x（40-x）= ．
故答案为 ．
【分析】由矩形的一边长为xcm,周长为80cm，可求出矩形的另一边长=40-x，根据矩形的面积=长×宽解答即可.
15．【答案】y=-x2+8x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（8-x）cm，
∵长方形面积为ycm2，
∴y与x的关系式为y=x(8 x)=-x2+8x.
故答案为：y=-x2+8x.
【分析】首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解即可.
16．【答案】解：定价为x元/kg，每千克获利（x﹣4.1）元，
则每天的销售量为：200﹣20（x﹣4.1）×10=﹣200x+1020，
每天获利W=（﹣200x+1020）（x﹣4.1）=﹣200x2+1840x﹣4182
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据题意得出定价为x元/kg，每千克获利（x﹣4.1）元，进而得出每天的销售量，即可利用销量×每千克获利=总获利得出答案．
17．【答案】解：由题意得：每件利润为（x﹣8）元，销量为[100﹣10（x﹣10）]件，
所以y=（x﹣8） [100﹣10（x﹣10）]=﹣10x2+280x﹣1600（10≤x＜20）
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】每件利润为（x﹣8）元，销量为[100﹣10（x﹣10）]，根据利润=单件利润×销量，可得每天所赚利润y与售出价x之间的函数关系式．
18．【答案】解：①b+1=2，解得b=1，a-1+1≠0，解得a≠0；②b+1≠2，则b≠1，∴b=0或-1，a取全体实数．③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】分情况讨论：①b+1=2；②b+1≠2；③当a=1，b为全体实数时。分别求解。
19．【答案】解：∵y=（kx-1）（x-3）=kx2-3kx-x+3=kx2-（3k+1）x+3，
∴k=0时，y是x的一次函数，
k≠0时，y是x的二次函数．
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】将函数解析式转化为y=kx2-（3k+1）x+3，根据y是x的一次函数，则二次项系数为0；y是x的二次函数，则二次项系数≠0，即可解答。
20．【答案】（1）解：由题意得， ，解得m=
（2）解：由题意得，m2-2≠0，解得m≠ 且m≠- .
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数，据此解答即可；
（2）形如 y=ax2+bx+c(a≠0）的函数叫做二次函数，据此解答即可.
1 / 1【基础卷】2.1二次函数—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题4分，共40分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得是二次函数，
故答案为：B
【分析】根据二次函数的定义结合题意即可求解。
2．（2023九下·江都）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不正确.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
3．（2023·杨浦模拟）下列函数中，二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：中，未知数的次数为1次，故A不是二次函数，不符合题意；
，满足二次函数的定义，故B是二次函数，符合题意；
，未知数的次数为1次，故C不是二次函数，不符合题意；
，分母中有未知数，故D不是二次函数，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。
4．（2022九上·新昌期中）下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（x﹣1）（x+3） B．y＝x2﹣x3
C．y＝2x﹣3 D．y＝+1
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A. 可化为，符合二次函数的定义，故本选项正确；
B. ，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误；
C. y＝2x-3，属于一次函数，故本选项错误；
D. ，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
故答案为：A.
【分析】二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0），据此判断.
5．（2022九上·汽开区期末）若函数是二次函数，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义可得，再求出m的取值范围即可。
6．（2022九上·北仑期中）二次函数的一次项系数是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-5
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：y=5x（x-1）=5x2-5x，
∴一次项的系数为-5.
故答案为：D.
【分析】将函数解析式化为一般形式，再找出一次项系数即可，注意，一次项的系数要包括前面的负号.
7．（2022九上·济南期末）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次函数，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为（ ）.
A． B． C．S=a2-16a D．S=a2-16a
【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵a+b=16，
∴AC=b=16-a（0＜a＜16），
又∵BC=a
∴Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为
S=
=
，
故答案为：B.
【分析】因为△ABC是直角三角形，利用面积公式可表示，S= ，又通过a+b=16，得AC=b=16-a，将BC=a、AC =16-a代入，即可得到，△ABC的面积S与边长a的函数关系式。
9．（2019九上·武威期中）用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm，面积是Scm2，则S与x的函数关系式为（ ）
A．S＝x（20﹣x） B．S＝x（20﹣2x）
C．S＝x（10﹣x） D．S＝2x（10﹣x）
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：S＝x(10﹣x)，
故答案为：C.
【分析】根据题意可得矩形的宽为(10-x)cm，再根据矩形的面积公式S=长×宽可得函数解析式.
10．（2022九上·汕尾期中）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，-6，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次函数，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2022九上·海东期中）在二次函数y=-x2+1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
【答案】0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵y=-x2+1，
∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1，
∴；
故答案是0．
【分析】根据二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
12．（2022九上·南湖期中）有下列函数：
①y=5x-4；②；③；④；⑤；
其中属于二次函数的是 （填序号）.
【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数；
③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数.
综上所述，其中属于二次函数的是②④.
故答案为：②④.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
13．（2023九上·崇左期末）函数是二次函数，则 .
【答案】1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：函数是二次函数，
，
解得：，
故答案为：1.
【分析】二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0），则2m=2，求解可得m的值.
14．（2020九上·顺昌月考）用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式）
【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=80÷2-x=40-x，
∴y=x（40-x）= ．
故答案为 ．
【分析】由矩形的一边长为xcm,周长为80cm，可求出矩形的另一边长=40-x，根据矩形的面积=长×宽解答即可.
15．（2021九上·甘州期末）一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y ，那么y与x的关系式是
【答案】y=-x2+8x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（8-x）cm，
∵长方形面积为ycm2，
∴y与x的关系式为y=x(8 x)=-x2+8x.
故答案为：y=-x2+8x.
【分析】首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解即可.
三、解答题（共5题，共40分）
16．春节期间，物价局规定花生油的最低价格为4.1元/kg，最高价格为4.5元/kg，小王按4.1元/kg购入，若原价出售，则每天平均可卖出200kg，若价格每上涨0.1元，则每天少卖出20kg，若油价定为X元，每天获利W元，求W与X满足怎样的关系式？
【答案】解：定价为x元/kg，每千克获利（x﹣4.1）元，
则每天的销售量为：200﹣20（x﹣4.1）×10=﹣200x+1020，
每天获利W=（﹣200x+1020）（x﹣4.1）=﹣200x2+1840x﹣4182
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据题意得出定价为x元/kg，每千克获利（x﹣4.1）元，进而得出每天的销售量，即可利用销量×每千克获利=总获利得出答案．
17．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件，如果他每天所赚利润为y元，试求出y与售出价x之间的函数关系式．
【答案】解：由题意得：每件利润为（x﹣8）元，销量为[100﹣10（x﹣10）]件，
所以y=（x﹣8） [100﹣10（x﹣10）]=﹣10x2+280x﹣1600（10≤x＜20）
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】每件利润为（x﹣8）元，销量为[100﹣10（x﹣10）]，根据利润=单件利润×销量，可得每天所赚利润y与售出价x之间的函数关系式．
18．若函数y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围。
【答案】解：①b+1=2，解得b=1，a-1+1≠0，解得a≠0；②b+1≠2，则b≠1，∴b=0或-1，a取全体实数．③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】分情况讨论：①b+1=2；②b+1≠2；③当a=1，b为全体实数时。分别求解。
19．函数y=（kx-1）（x-3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？
【答案】解：∵y=（kx-1）（x-3）=kx2-3kx-x+3=kx2-（3k+1）x+3，
∴k=0时，y是x的一次函数，
k≠0时，y是x的二次函数．
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】将函数解析式转化为y=kx2-（3k+1）x+3，根据y是x的一次函数，则二次项系数为0；y是x的二次函数，则二次项系数≠0，即可解答。
20．（2021九上·合肥月考）已知函数y=（m2-2）x2+（m+ ）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得， ，解得m=
（2）解：由题意得，m2-2≠0，解得m≠ 且m≠- .
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数，据此解答即可；
（2）形如 y=ax2+bx+c(a≠0）的函数叫做二次函数，据此解答即可.
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