【培优卷】2.1二次函数—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·杭州月考）下列y和x之间的函数表达式中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x2+ B．y＝2x3+5
C．y＝（x+4）（x﹣1） D．y＝2x﹣7
2．（2022九上·舟山月考）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝＋x＋1 B．y＝x2－(x＋1)2
C．y＝－x2＋3x＋1 D．y＝3x＋1
3．（2023九下·威远月考） 是二次函数，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九下·婺城月考）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
5．（2022九上·北仑期中）若关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
6．（2022九上·顺义期末）下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数
B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数
D．①②都是反比例函数
7．（2022·诸暨模拟）如图，周长为定值的平行四边形 中， ，设 的长为 的长为y，平行四边形 的面积为S．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与 与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
8．（2022·岳池模拟）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负贵处理)．销售中发现当每件产品的售价为99元时，日销售量为200件，当每件产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品的售价为x元，主播每天的利润为w元，则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w=(99-x)[200+10(x-50)] B．w=(x-50)[200+10(99-x)]
C．w=(x-50)(200+×10) D．w=(x-50)(200+×10)
9．（2022九上·龙港期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x-35）（200-5x） B．y＝（x+40）（200 10x）
C．y＝（x+5）（200-5x） D．y＝（x+5）（200 10x）
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（
A．y= B． y= C． y= D．y=
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2022九上·嘉兴期中）有下列函数：
①y＝5x-4；②y＝；③y＝2x3-8x2+3；④y＝x2-1；⑤y＝；
其中属于二次函数的是 （填序号）．
12．（2022九上·北仑期中）若y＝（m-1）x|m|+1-2x是二次函数，则m＝ .
13．（2022九上·龙口期中）若是关于x的二次函数，则m的值是 ．
14．（2022九上·通州期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ．
15．（2023·淮北模拟）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，当时，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）之间满足关系式，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为 ．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2021九上·碑林月考）一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.1二次函数的定义 同步练习）已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
18．（2021九上·合肥月考）已知函数y=（|m|-1）x2+（m+1)x+3.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
19．（2020九上·嘉祥月考）一条隧道的横截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为 米．如果隧道下部的宽度大于 米但不超过 米，求隧道横截面积 （平方米）关于上部半圆半径 （米）的函数解析式及函数的定义域．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.1二次函数的定义 同步练习）已知函数（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
21．（2020九上·永善月考）为配合我市“推进爱国卫生专项行动，创建全国文明城市”，某单位计划在一块矩形空地上修建绿色植物园（如图所示），其中边靠墙（墙长为 米），另外三边用总长 米的材料围成.若 米，矩形 的面积为 平方米.
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若矩形面积为 平方米，求 的长.
22．（2019·盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B'处，如图③，两次折痕交于点O；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．
【探究】
（1）证明：△OBC≌△OED：
（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、自变量x在分母上，不是二次函数，故A不符合题意；
B、自变量x的次数为3，不是二次函数，故B不符合题意；
C、y=（x+4）（x-1）=x2+3x-4，是二次函数，故C符合题意；
D、自变量x的次数为1，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A，此函数不是二次函数，故A不符合题意；
B、 y＝x2－(x＋1)2=x2-x2-2x-1=-2x-1，此函数是一次函数，故B不符合题意；
C、此函数是二次函数，故C符合题意；
D、此函数是一次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数，判定时要将函数解析式转化为一般形式，然后对各选项逐一判断.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解： 是二次函数，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，其中a、b、c为常数，且a≠0，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此列出混合组，求解即可.
5．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y＝（2 a）x2 x是二次函数，
∴2 a≠0，即a≠2，
故答案为：B．
【分析】如“y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）”的函数，叫做二次函数，据此可得不等式，求解即可.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念；二次函数的定义
【解析】【解答】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质分别求出y与x的函数关系式，再根据反比例函数和二次函数的定义判断即可.
7．【答案】D
【知识点】列二次函数关系式；锐角三角函数的定义；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，
∴x+y=a，
∴y=-x+a，
∵∠B=65°，
∴AE=sin65°·x，
∴S=sin65°·x（-x+a）=-sin65°·x2+asin65°·x，
∴y与x满足的函数关系为一次函数，S与x满足的函数关系为二次函数.
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，根据平行四边形的周长公式得出x+y=a，从而得出y=-x+a，再利用锐角三角函数的定义得出AE=sin65°·x，然后根据矩形的面积公式得出S=-sin65°·x2+asin65°·x，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件产品的售价为x元，主播每天的利润为w元 ，则每件利润为（x-50）元，每天可销售的数量为件，
由题意可得.
故答案为：D.
【分析】 设每件产品的售价为x元，主播每天的利润为w元 ，根据每件利润=实际售价-成本价，销售量=原销售量+因为价格下降而增加的数量，总利润=每件商品的利润×销售刷领，即可得出w关于x的函数关系式.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x-35）（200-5x）＝（x+5）（200-5x），
故答案为：C.
【分析】每件商品的利润为（40+x-35）元，销售的数量为（200-5x）个，根据单件商品的利润×销售商品的数量=总利润可建立出y与x的函数关系式.
10．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性质得出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a与x的关系，分别用含x的代数式表示出DE、DF、AC，求出梯形AEDC的面积即为四边形ABCD的面积。
11．【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：②y＝ -6xy＝；④y＝ x2-1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y＝5x-4是一次函数，不属于二次函数；
③y＝2x3-8x2+3自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y＝ - -2的左边不是整式，不属于二次函数．
综上所述，其中属于二次函数的是②④．
故答案为：②④．
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，从而即可一一判断得出答案.
12．【答案】-1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由y＝（m-1）x|m|+1-2x是二次函数，得
解得m＝-1.
故答案为：-1.
【分析】由二次函数的定义可得且m-1≠0，据此解答即可.
13．【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意，
∵是关于x的二次函数，
∴，且，
解得：，，，
∴；
故答案为：2
【分析】根据二次函数的定义可得且，据此解答即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为
故答案为：
【分析】根据题意直接列出函数解析式即可。
15．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个），
销售利润为：（元/个），
依题意得，
故答案为：．
【分析】利用“总利润=每件的利润×数量”直接列出函数解析式即可。
16．【答案】（1）解：由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
（2）解：把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，
当x=0.5时，y=．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】（1）由二次函数的定义可得 k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0， 据此即可求解；
（2）由（1）可得y=x2+2x﹣1， 将x=0.5代入求出y值即可.
17．【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
18．【答案】（1）解： ∵ 函数y=（|m|-1）x2+（m+1)x+3是一次函数，
∴，
∴m=1；
（2）解： ∵ 函数y=（|m|-1）x2+（m+1)x+3是二次函数，
∴|m|-1≠0，
∴m≠±1.
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义得出，即可求出m的值；
（2）根据二次函数的定义得出|m|-1≠0，即可求出m的值.
19．【答案】解：半圆的半径为r，矩形的另一边长为2r，则：隧道截面的面积S= πr2+2r×2.5，即S= πr2+5r；
∵5＜2r≤10，∴2.5＜r≤5．
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【分析】已知半圆的半径为r，可知矩形的另一边长为2r，根据隧道横截面积=半圆面积+矩形面积列出函数关系式，再由隧道下部的宽度大于5米但不超过10米得到5＜2r≤10，由此求出函数的定义域．
20．【答案】（1）解：由（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m= ，
当m= 时，y是x的一次函数；
（2）解：y=﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m=2，m=﹣2（不符合题意的要舍去），
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=﹣8时，﹣8=﹣4x2，
解得x= ，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（ ，0）．
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）由已知y是x的一次函数，可得出x的次数=1，且x的系数≠0，就可求出m的值。
（2）根据y是x的二次函数，可知x的次数=2且x的系数≠0，求出m的值，从而可得出函数解析式，再将y=-8代入函数解析式，解关于x的方程，求出x的值，就可得出纵坐标为-8的点的坐标。
21．【答案】（1）解：由题意
即 ；
（2）解：由（1）知： ，即
，
解得 ， ，
答： 的长为 米或20米.
【知识点】列二次函数关系式；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据三边总长36米，表示出AD的长为 ，然后根据矩形面积公式即可列出y和x的关系式；（2）令（1）中y=160，解出对应x值即可；
22．【答案】（1） 证明：由折叠图形的特点可知 ， AD=ED， 又∵ BC=AD， ∴BC=DE，
∠BCO=∠DCO=∠ADO=∠CDO=45°， ∠COD=90° ， OC=OD.
在 △OBC和 △OED 中，BC=DE，OC=OD，∠OCB=∠ODE，
∴△OBC ≌ △OED(SAS)。
（2）解： 过点O作OH⊥CD于H，
∵△OBC ≌ △OED，
∴OE=OB，
∵BC=x， 则AD=DE=x，
∴CE=8-x， OC=OD， ∠COD=90°，
∴CH=CD=AB=4，
OH=CD=4， EH=CH-CE=4-(8-x)=x-4.
在Rt△OHE中，由勾股定理得 OE2=OH2+EH2， 则OE2=42+(x-4)2，
即 y关于x的关系式.为：y=x2-8x+32 .
【知识点】列二次函数关系式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠图形的特点，找出有关线段相等和角相等，再证明△OBC ≌ △OED.
（2）过O作DC的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理列式，求得y与x的关系式。这里先根据折叠图形的特点和等腰直角三角形边之间的关系，把构造的直角三角形的各边用x、y来表示。
1 / 1【培优卷】2.1二次函数—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·杭州月考）下列y和x之间的函数表达式中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x2+ B．y＝2x3+5
C．y＝（x+4）（x﹣1） D．y＝2x﹣7
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、自变量x在分母上，不是二次函数，故A不符合题意；
B、自变量x的次数为3，不是二次函数，故B不符合题意；
C、y=（x+4）（x-1）=x2+3x-4，是二次函数，故C符合题意；
D、自变量x的次数为1，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2022九上·舟山月考）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝＋x＋1 B．y＝x2－(x＋1)2
C．y＝－x2＋3x＋1 D．y＝3x＋1
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A，此函数不是二次函数，故A不符合题意；
B、 y＝x2－(x＋1)2=x2-x2-2x-1=-2x-1，此函数是一次函数，故B不符合题意；
C、此函数是二次函数，故C符合题意；
D、此函数是一次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数，判定时要将函数解析式转化为一般形式，然后对各选项逐一判断.
3．（2023九下·威远月考） 是二次函数，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解： 是二次函数，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，其中a、b、c为常数，且a≠0，据此解答即可.
4．（2023九下·婺城月考）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此列出混合组，求解即可.
5．（2022九上·北仑期中）若关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y＝（2 a）x2 x是二次函数，
∴2 a≠0，即a≠2，
故答案为：B．
【分析】如“y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）”的函数，叫做二次函数，据此可得不等式，求解即可.
6．（2022九上·顺义期末）下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数
B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数
D．①②都是反比例函数
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念；二次函数的定义
【解析】【解答】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质分别求出y与x的函数关系式，再根据反比例函数和二次函数的定义判断即可.
7．（2022·诸暨模拟）如图，周长为定值的平行四边形 中， ，设 的长为 的长为y，平行四边形 的面积为S．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与 与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【知识点】列二次函数关系式；锐角三角函数的定义；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，
∴x+y=a，
∴y=-x+a，
∵∠B=65°，
∴AE=sin65°·x，
∴S=sin65°·x（-x+a）=-sin65°·x2+asin65°·x，
∴y与x满足的函数关系为一次函数，S与x满足的函数关系为二次函数.
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，根据平行四边形的周长公式得出x+y=a，从而得出y=-x+a，再利用锐角三角函数的定义得出AE=sin65°·x，然后根据矩形的面积公式得出S=-sin65°·x2+asin65°·x，即可得出答案.
8．（2022·岳池模拟）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负贵处理)．销售中发现当每件产品的售价为99元时，日销售量为200件，当每件产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品的售价为x元，主播每天的利润为w元，则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w=(99-x)[200+10(x-50)] B．w=(x-50)[200+10(99-x)]
C．w=(x-50)(200+×10) D．w=(x-50)(200+×10)
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件产品的售价为x元，主播每天的利润为w元 ，则每件利润为（x-50）元，每天可销售的数量为件，
由题意可得.
故答案为：D.
【分析】 设每件产品的售价为x元，主播每天的利润为w元 ，根据每件利润=实际售价-成本价，销售量=原销售量+因为价格下降而增加的数量，总利润=每件商品的利润×销售刷领，即可得出w关于x的函数关系式.
9．（2022九上·龙港期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x-35）（200-5x） B．y＝（x+40）（200 10x）
C．y＝（x+5）（200-5x） D．y＝（x+5）（200 10x）
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x-35）（200-5x）＝（x+5）（200-5x），
故答案为：C.
【分析】每件商品的利润为（40+x-35）元，销售的数量为（200-5x）个，根据单件商品的利润×销售商品的数量=总利润可建立出y与x的函数关系式.
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（
A．y= B． y= C． y= D．y=
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性质得出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a与x的关系，分别用含x的代数式表示出DE、DF、AC，求出梯形AEDC的面积即为四边形ABCD的面积。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2022九上·嘉兴期中）有下列函数：
①y＝5x-4；②y＝；③y＝2x3-8x2+3；④y＝x2-1；⑤y＝；
其中属于二次函数的是 （填序号）．
【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：②y＝ -6xy＝；④y＝ x2-1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y＝5x-4是一次函数，不属于二次函数；
③y＝2x3-8x2+3自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y＝ - -2的左边不是整式，不属于二次函数．
综上所述，其中属于二次函数的是②④．
故答案为：②④．
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，从而即可一一判断得出答案.
12．（2022九上·北仑期中）若y＝（m-1）x|m|+1-2x是二次函数，则m＝ .
【答案】-1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由y＝（m-1）x|m|+1-2x是二次函数，得
解得m＝-1.
故答案为：-1.
【分析】由二次函数的定义可得且m-1≠0，据此解答即可.
13．（2022九上·龙口期中）若是关于x的二次函数，则m的值是 ．
【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意，
∵是关于x的二次函数，
∴，且，
解得：，，，
∴；
故答案为：2
【分析】根据二次函数的定义可得且，据此解答即可.
14．（2022九上·通州期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为
故答案为：
【分析】根据题意直接列出函数解析式即可。
15．（2023·淮北模拟）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，当时，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）之间满足关系式，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个），
销售利润为：（元/个），
依题意得，
故答案为：．
【分析】利用“总利润=每件的利润×数量”直接列出函数解析式即可。
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2021九上·碑林月考）一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
【答案】（1）解：由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
（2）解：把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，
当x=0.5时，y=．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】（1）由二次函数的定义可得 k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0， 据此即可求解；
（2）由（1）可得y=x2+2x﹣1， 将x=0.5代入求出y值即可.
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.1二次函数的定义 同步练习）已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
18．（2021九上·合肥月考）已知函数y=（|m|-1）x2+（m+1)x+3.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
【答案】（1）解： ∵ 函数y=（|m|-1）x2+（m+1)x+3是一次函数，
∴，
∴m=1；
（2）解： ∵ 函数y=（|m|-1）x2+（m+1)x+3是二次函数，
∴|m|-1≠0，
∴m≠±1.
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义得出，即可求出m的值；
（2）根据二次函数的定义得出|m|-1≠0，即可求出m的值.
19．（2020九上·嘉祥月考）一条隧道的横截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为 米．如果隧道下部的宽度大于 米但不超过 米，求隧道横截面积 （平方米）关于上部半圆半径 （米）的函数解析式及函数的定义域．
【答案】解：半圆的半径为r，矩形的另一边长为2r，则：隧道截面的面积S= πr2+2r×2.5，即S= πr2+5r；
∵5＜2r≤10，∴2.5＜r≤5．
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【分析】已知半圆的半径为r，可知矩形的另一边长为2r，根据隧道横截面积=半圆面积+矩形面积列出函数关系式，再由隧道下部的宽度大于5米但不超过10米得到5＜2r≤10，由此求出函数的定义域．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.1二次函数的定义 同步练习）已知函数（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
【答案】（1）解：由（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m= ，
当m= 时，y是x的一次函数；
（2）解：y=﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m=2，m=﹣2（不符合题意的要舍去），
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=﹣8时，﹣8=﹣4x2，
解得x= ，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（ ，0）．
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）由已知y是x的一次函数，可得出x的次数=1，且x的系数≠0，就可求出m的值。
（2）根据y是x的二次函数，可知x的次数=2且x的系数≠0，求出m的值，从而可得出函数解析式，再将y=-8代入函数解析式，解关于x的方程，求出x的值，就可得出纵坐标为-8的点的坐标。
21．（2020九上·永善月考）为配合我市“推进爱国卫生专项行动，创建全国文明城市”，某单位计划在一块矩形空地上修建绿色植物园（如图所示），其中边靠墙（墙长为 米），另外三边用总长 米的材料围成.若 米，矩形 的面积为 平方米.
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若矩形面积为 平方米，求 的长.
【答案】（1）解：由题意
即 ；
（2）解：由（1）知： ，即
，
解得 ， ，
答： 的长为 米或20米.
【知识点】列二次函数关系式；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据三边总长36米，表示出AD的长为 ，然后根据矩形面积公式即可列出y和x的关系式；（2）令（1）中y=160，解出对应x值即可；
22．（2019·盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B'处，如图③，两次折痕交于点O；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．
【探究】
（1）证明：△OBC≌△OED：
（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式.
【答案】（1） 证明：由折叠图形的特点可知 ， AD=ED， 又∵ BC=AD， ∴BC=DE，
∠BCO=∠DCO=∠ADO=∠CDO=45°， ∠COD=90° ， OC=OD.
在 △OBC和 △OED 中，BC=DE，OC=OD，∠OCB=∠ODE，
∴△OBC ≌ △OED(SAS)。
（2）解： 过点O作OH⊥CD于H，
∵△OBC ≌ △OED，
∴OE=OB，
∵BC=x， 则AD=DE=x，
∴CE=8-x， OC=OD， ∠COD=90°，
∴CH=CD=AB=4，
OH=CD=4， EH=CH-CE=4-(8-x)=x-4.
在Rt△OHE中，由勾股定理得 OE2=OH2+EH2， 则OE2=42+(x-4)2，
即 y关于x的关系式.为：y=x2-8x+32 .
【知识点】列二次函数关系式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠图形的特点，找出有关线段相等和角相等，再证明△OBC ≌ △OED.
（2）过O作DC的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理列式，求得y与x的关系式。这里先根据折叠图形的特点和等腰直角三角形边之间的关系，把构造的直角三角形的各边用x、y来表示。
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