【基础卷】2.2二次函数的图象与性质—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·南海模拟）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴对称轴是直线．
故答案为：B．
【分析】根据函数解析式直接求出函数对称轴即可。
2．（2022九上·佛山月考）若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵根据题意得：当时，，
当x=3时，，
∴．
故答案为：A．
【分析】将点坐标代入解析式求出a、b的值，再比较大小即可。
3．（2023九上·大朗开学考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（-2，1） B．（-2，-1） C．（2，1） D．（2，-1）
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=(x-2)2-1的顶点坐标为（2，-1）.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k）可直接得出答案.
4．（2023·增城模拟）已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：将，代入，
得：，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出，，再比较大小即可。
5．（2023九下·义乌开学考）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线，有最小值是3
B．对称轴是直线，有最大值是3
C．对称轴是直线，有最大值是3
D．对称轴是直线，有最小值是3
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴直线是x=-2，二次项系数a=＞0，
∴图象开口向上，
∴当x=-2时，有最小值3.
故答案为：D.
【分析】此题给出的是抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，故对称轴直线是x=h，由于二次项系数大于0可得抛物线的开口向上，故函数有最小值k.
6．（2023九下·宿迁开学考）二次函数y＝x2-2x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，6） B．（1，2） C．（-1，6） D．（-1，2）
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：，
抛物线顶点坐标为(1，2)，
故答案为：B.
【分析】将解析式配成顶点式y=a（x-h）2+k的形式，进而根据顶点式中其顶点坐标为（h，k）直接得出答案.
7．（2023九下·丹徒月考）关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：关于x的二次函数的对称轴为直线，
∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小，
∴，
解得：，故B正确.
故答案为：B.
【分析】首先根据二次函数对称轴直线公式求出对称轴直线为，由于二次项系数a=-1＜0，且在y轴右侧y随x的增大而减小，所以可得对称轴直线在y轴左侧或与y轴重合，即，求解即可得出a的取值范围，从而得出答案.
8．（2023·天河模拟）二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】当时，，
∴抛物线经过
∴只有B选项符合
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线经过的定点坐标，再求解即可。
9．（2023·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为y=(x+1-2)2+3-1，即y=(x-1)2+2.
故答案为：B.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
10．（2023·浙江模拟）已知点两点均在二次函数的图象上，则b的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点两点均在二次函数的图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
故答案为：A.
【分析】由于A、B两点的纵坐标相同，故A、B两点关于对称轴直线对称，从而由对称轴直线公式建立方程，求解即可.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·金山模拟）抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）．
【答案】下降
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴抛物线在y轴的右侧呈下降趋势，
故答案为：下降。
【分析】 先画出函数的草图，再结合图象求解即可。
12．（2023·宝山模拟）抛物线的对称轴是 ．
【答案】直线
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为：直线x=1，
故答案为：直线x=1.
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出对称轴即可。
13．（2023·亳州模拟）二次函数的图象经过原点，则a的值为 ．
【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴ ，
解得： ．
故答案为：-1
【分析】根据二次函数的图象经过原点求出，再解方程即可。
14．（2023·杨浦模拟）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是 ．
【答案】a＜0
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵顶点是抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0．
故答案为：a＜0．
【分析】根据二次函数的性质与系数的关系求解即可。
15．（2023·松江模拟）抛物线向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将抛物线向左平移1个单位后抛物线为 ；
故答案为： .
【分析】抛物线平移规律：上加下减，左加右减，据此解答即可.
三、解答题（共8题，共55分）
16．（2022九上·商南期中）已知点，在抛物线上，比较，的大小．
【答案】解：∵点，在抛物线上，
∴当时，；
当时，．
，
．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】分别将两个点的坐标代入函数解析式用含c的代数式表示出y1与y2，再求出y1-y2的值，根据y1-y2的值可得到y1和y2的大小关系.
17．（2021九上·淮南月考）求抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值．
【答案】解：抛物线 y＝x2﹣x＋1，
抛物线的对称轴方程为：
则函数图象的开口向上，
当时，
当时，
当时，
而
所以抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值为5，最小值为
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】先求出x=1，再计算求解即可。
18．（2022九上·广水月考）指出函数y=的图象的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=？
【答案】解：由y=得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，-1）；
∵抛物线y=的顶点坐标是（0，0），
∴由顶点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到顶点（-1，-1），
∴抛物线y=向左平移1个单位，再向下平移1个单位就可以得到抛物线y=．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，据此可得到已知二次函数的顶点坐标和对称轴及开口方向；利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
19．（2022·泗洪模拟）把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式.
【答案】解：把点（﹣3，2）向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（2，3），即二次函数图象的顶点坐标为（2，3），
所以原抛物线相应的函数表达式为，即
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】根据点的平移规律结合题意可得二次函数y＝x2+bx+c的顶点坐标为（2，3），据此不难得到对应的函数表达式.
20．（2020九上·厦门月考）已知二次函数 ．
（1）在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）若函数图象与 轴交于A、B两点，与 轴交于C点，求 ABC的面积．
【答案】（1）解：当y=0时，x=±1，当x=0时，y=-1，
∴（-1，0）、（1，0）、（0，-1）在二次函数图象上，
根据描点法可以得出二次函数图象如下图所示，
（2）解：由题(1)知：A（1，0），B（-1，0），C（0，-1），
△ABC的面积：2×1÷2=1，
∴△ABC的面积为1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)根据描点法即可画出二次函数图象；(2)分别得出A、B、C的坐标即可得出△ABC的面积．
21．（2021九上·大兴期中）已知点 是二次函数 图象上一点，求代数式 的值．
【答案】解：∵点 是二次函数 图象上一点，
，
．
【知识点】代数式求值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】先将代入二次函数，可得，再利用整式的混合运算化简可得，再将代入计算即可。
22．（2023九上·杭州期末）已知，请写出一个二次函数同时满足以下两个条件：
①与函数图象开口大小、方向相同；
②当时，y随x的增大而增大.
【答案】解：∵当时，y随x的增大而增大，
∴可设对称轴为直线，
∵该函数的开口大小、形状均与函数的图象相同，
∴二次项系数为2，
∴满足条件二次函数表达式可为（答案不唯一）.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】根据条件②可设抛物线的对称轴为直线x=1，由条件①可得a=2，据此不难得到对应的函数表达式.
23．（2023·博乐模拟）在平面直角坐标系中，抛物线．
（1）若，当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求a的值；
（3）若抛物线上存在两点和，当时，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，抛物线为，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，函数有最小值为；
当时，函数有最大值为，
当时，函数最小值为，最大值为．
（2）解：抛物线为，顶点坐标为，
抛物线开口向上且抛物线上有且只有个点到直线的距离等于5，
∴，解得，．
（3）解：当时，；当时，；
拋物线开口向上，对称轴为，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，，
，，
∴且，
∴或．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】 (1) 根据一元二次函数图象的性质，开口向上有最小值，且当时，最小值为，再根据定义域综合考虑最值；(2)根据顶点坐标，抛物线上有3个点到y=2的距离是5，根据图象的对称性，说明y=2上方有2个点，下方有1个，这个点必定是最低点，即顶点，由此可求a值。(3)判断a为对称轴，由此入手，且异号，得知y10，y20，进一步求解a即可。
1 / 1【基础卷】2.2二次函数的图象与性质—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·南海模拟）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（2022九上·佛山月考）若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（2023九上·大朗开学考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（-2，1） B．（-2，-1） C．（2，1） D．（2，-1）
4．（2023·增城模拟）已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2023九下·义乌开学考）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线，有最小值是3
B．对称轴是直线，有最大值是3
C．对称轴是直线，有最大值是3
D．对称轴是直线，有最小值是3
6．（2023九下·宿迁开学考）二次函数y＝x2-2x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，6） B．（1，2） C．（-1，6） D．（-1，2）
7．（2023九下·丹徒月考）关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·天河模拟）二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江模拟）已知点两点均在二次函数的图象上，则b的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·金山模拟）抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）．
12．（2023·宝山模拟）抛物线的对称轴是 ．
13．（2023·亳州模拟）二次函数的图象经过原点，则a的值为 ．
14．（2023·杨浦模拟）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是 ．
15．（2023·松江模拟）抛物线向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为 ．
三、解答题（共8题，共55分）
16．（2022九上·商南期中）已知点，在抛物线上，比较，的大小．
17．（2021九上·淮南月考）求抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值．
18．（2022九上·广水月考）指出函数y=的图象的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=？
19．（2022·泗洪模拟）把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式.
20．（2020九上·厦门月考）已知二次函数 ．
（1）在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）若函数图象与 轴交于A、B两点，与 轴交于C点，求 ABC的面积．
21．（2021九上·大兴期中）已知点 是二次函数 图象上一点，求代数式 的值．
22．（2023九上·杭州期末）已知，请写出一个二次函数同时满足以下两个条件：
①与函数图象开口大小、方向相同；
②当时，y随x的增大而增大.
23．（2023·博乐模拟）在平面直角坐标系中，抛物线．
（1）若，当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于，求a的值；
（3）若抛物线上存在两点和，当时，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴对称轴是直线．
故答案为：B．
【分析】根据函数解析式直接求出函数对称轴即可。
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵根据题意得：当时，，
当x=3时，，
∴．
故答案为：A．
【分析】将点坐标代入解析式求出a、b的值，再比较大小即可。
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=(x-2)2-1的顶点坐标为（2，-1）.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k）可直接得出答案.
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：将，代入，
得：，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出，，再比较大小即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴直线是x=-2，二次项系数a=＞0，
∴图象开口向上，
∴当x=-2时，有最小值3.
故答案为：D.
【分析】此题给出的是抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，故对称轴直线是x=h，由于二次项系数大于0可得抛物线的开口向上，故函数有最小值k.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：，
抛物线顶点坐标为(1，2)，
故答案为：B.
【分析】将解析式配成顶点式y=a（x-h）2+k的形式，进而根据顶点式中其顶点坐标为（h，k）直接得出答案.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：关于x的二次函数的对称轴为直线，
∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小，
∴，
解得：，故B正确.
故答案为：B.
【分析】首先根据二次函数对称轴直线公式求出对称轴直线为，由于二次项系数a=-1＜0，且在y轴右侧y随x的增大而减小，所以可得对称轴直线在y轴左侧或与y轴重合，即，求解即可得出a的取值范围，从而得出答案.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】当时，，
∴抛物线经过
∴只有B选项符合
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线经过的定点坐标，再求解即可。
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为y=(x+1-2)2+3-1，即y=(x-1)2+2.
故答案为：B.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点两点均在二次函数的图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
故答案为：A.
【分析】由于A、B两点的纵坐标相同，故A、B两点关于对称轴直线对称，从而由对称轴直线公式建立方程，求解即可.
11．【答案】下降
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴抛物线在y轴的右侧呈下降趋势，
故答案为：下降。
【分析】 先画出函数的草图，再结合图象求解即可。
12．【答案】直线
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为：直线x=1，
故答案为：直线x=1.
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出对称轴即可。
13．【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴ ，
解得： ．
故答案为：-1
【分析】根据二次函数的图象经过原点求出，再解方程即可。
14．【答案】a＜0
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵顶点是抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0．
故答案为：a＜0．
【分析】根据二次函数的性质与系数的关系求解即可。
15．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将抛物线向左平移1个单位后抛物线为 ；
故答案为： .
【分析】抛物线平移规律：上加下减，左加右减，据此解答即可.
16．【答案】解：∵点，在抛物线上，
∴当时，；
当时，．
，
．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】分别将两个点的坐标代入函数解析式用含c的代数式表示出y1与y2，再求出y1-y2的值，根据y1-y2的值可得到y1和y2的大小关系.
17．【答案】解：抛物线 y＝x2﹣x＋1，
抛物线的对称轴方程为：
则函数图象的开口向上，
当时，
当时，
当时，
而
所以抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值为5，最小值为
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】先求出x=1，再计算求解即可。
18．【答案】解：由y=得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，-1）；
∵抛物线y=的顶点坐标是（0，0），
∴由顶点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到顶点（-1，-1），
∴抛物线y=向左平移1个单位，再向下平移1个单位就可以得到抛物线y=．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，据此可得到已知二次函数的顶点坐标和对称轴及开口方向；利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
19．【答案】解：把点（﹣3，2）向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（2，3），即二次函数图象的顶点坐标为（2，3），
所以原抛物线相应的函数表达式为，即
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】根据点的平移规律结合题意可得二次函数y＝x2+bx+c的顶点坐标为（2，3），据此不难得到对应的函数表达式.
20．【答案】（1）解：当y=0时，x=±1，当x=0时，y=-1，
∴（-1，0）、（1，0）、（0，-1）在二次函数图象上，
根据描点法可以得出二次函数图象如下图所示，
（2）解：由题(1)知：A（1，0），B（-1，0），C（0，-1），
△ABC的面积：2×1÷2=1，
∴△ABC的面积为1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)根据描点法即可画出二次函数图象；(2)分别得出A、B、C的坐标即可得出△ABC的面积．
21．【答案】解：∵点 是二次函数 图象上一点，
，
．
【知识点】代数式求值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】先将代入二次函数，可得，再利用整式的混合运算化简可得，再将代入计算即可。
22．【答案】解：∵当时，y随x的增大而增大，
∴可设对称轴为直线，
∵该函数的开口大小、形状均与函数的图象相同，
∴二次项系数为2，
∴满足条件二次函数表达式可为（答案不唯一）.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】根据条件②可设抛物线的对称轴为直线x=1，由条件①可得a=2，据此不难得到对应的函数表达式.
23．【答案】（1）解：当时，抛物线为，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，函数有最小值为；
当时，函数有最大值为，
当时，函数最小值为，最大值为．
（2）解：抛物线为，顶点坐标为，
抛物线开口向上且抛物线上有且只有个点到直线的距离等于5，
∴，解得，．
（3）解：当时，；当时，；
拋物线开口向上，对称轴为，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，，
，，
∴且，
∴或．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】 (1) 根据一元二次函数图象的性质，开口向上有最小值，且当时，最小值为，再根据定义域综合考虑最值；(2)根据顶点坐标，抛物线上有3个点到y=2的距离是5，根据图象的对称性，说明y=2上方有2个点，下方有1个，这个点必定是最低点，即顶点，由此可求a值。(3)判断a为对称轴，由此入手，且异号，得知y10，y20，进一步求解a即可。
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