【培优卷】2.2二次函数的图象与性质—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2023·新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①根据图象可知：当时，直线在抛物线的上方，∴，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴是方程的一个解，故②正确；
③将点（-2，5）、（3，0）分别代入可得：，解得，∴抛物线的解析式为，当x=-1时，，当x=4时，，∴，故③正确；
④由③可知：（-2，5）与点（4，5）关于对称轴对称，∴对称轴为直线，将x=1代入抛物线可得，∴当-2综上所述，正确的有①②③，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
2．（2023·枣庄）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①根据函数图象可得：a>0，c<0，∵对称轴是直线x=1，∴，∴b=-2a，∴b<0，∴abc>0，故①不正确；
②根据题意可得：方程的解即是函数与x轴的交点坐标的横坐标，根据图象可知函数与x轴的一个交点为，∵函数的对称轴为直线x=1，∴另一个交点范围为，故②正确；
③∵对称轴是直线x=1，，∴点离对称轴更近，∴，故③不正确；
④将x=-1代入，可得a-b+c>0，∵b=-2a，∴3a+c>0，∴6a+2c>0，∵a>0，∴，故④正确；
⑤∵，∴，即证明，∵，∴m为任意实数，恒成立，故⑤正确；
综上所述，正确的有②④⑤，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
3．（2023·青岛模拟）抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点．则下列四个结论正确的有（ ）
①；②；③若该抛物线与直线有交点，则a的取值范围是；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程（t为常数，）的根为整数，则t的值只有3个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将点(0，0)，(4，0)代入抛物线得：
，解得：，
∴抛物线表达式为y=ax2-4ax，
①∵b=-4a，
∴b+4a =0，
∴结论①正确；
②∵5a+3b+2c =5a-12a=-7a，
又∵a>0，
∴-7a<0，
∴5a+3b+2c<0，
∴结论②错误；
③当抛物线y=axr+bx+c与直线y=-3有交点时，
令ax2-4ax =-3，得：一元二次方程ax2-4ax+3=0，有实数根，
∴16a2-12a =a(16a-12)≥0，
∵a>0，
∴16a-12≥0，
解得：a≥，
∴结论③正确；
④∵一元二次方程可化为ax2-4ax-t=0，
∴抛物线y=ax2-4ax与直线y=t(t为常数，t≤0)的交点横坐标为整数，横坐标可以为0，1，2，3，4.
如下图所示，
∵由图可知t的值只有3个，
∴结论④正确；
综上所述：正确的结论有3个，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数图象与性质对每个结论一一判断即可。
4．（2023·安徽）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的一个分支在第一象限，∴k＞0，∵一次函数y=-x+b的图象经过第一、二象限，∴b＞0，又根据图像可知：的图象与一次函数y=-x+b的图象有两个交点，分别为（1，k）和（k，1），∴1=-k+b，∴b=k+1。且方程有两个不相等的实数根，根的判别式=b2-4k=（k+1）2-4k=（k-1）2＞0，∴k-1≠0，即二次函数不经过原点；又∵二次函数y=x2-bx+k-1中，∵二次项系数大于0，∴抛物线开口向上，对称轴所以对称轴在y轴的右边，且当x=1时，二次函数函数 =12-b+k-1=-b+k=-k-1+k=-1，即二次函数的图象经过点（1，-1）。
A、图象开口向上，对称轴在y轴右边，不经过原点，且当x=1时，抛物线上对应点的纵坐标为负，有可能是-1，所以A符合题意；
B、抛物线的对称轴是y轴，所以B不符合题意；
C、抛物线经过原点，所以C不符合题意；
D、当x=1时，抛物线上对应点的纵坐标为正，不可能是-1，所以D不符合题意。
故答案为：A。
【分析】先根据反比例函数和一次函数y=-x+b的图象在平面直角坐标系中的位置，判断系数k、b的正负号，并由此判断出抛物线对称轴的位置，再根据反比例函数和一次函数y=-x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），得出抛物线不经过原点，且抛物线经过点（1-，1），然后根据各选项的二次函数图象判断，选出符合条件的即可。
5．（2023·济南模拟）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，点在点的左侧，
∴，
∴令，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴顶点坐标为，
∵，
∴线段上有3个整点，
∵区域内有6个整点，
当时，，
即；
当时，，
即，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为：C．
【分析】先求出二次函数的顶点式，可得顶点坐标为，再利用二次函数的性质求解即可。
6．（2023·寻乌模拟）已知二次函数的图象如图所示，下列四个命题：①；②；③若，是该抛物线上的两点，则；④若，是该抛物线上的两点，则；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由图可知，二次函数的图象开口向下，与轴交点位于轴正半轴，
，，
对称轴为，
，
，
故①不符合题意；
对称轴为，
，
，
故②符合题意；
当，在对称轴左侧时，；当，在对称轴右侧时，，故③不符合题意；
，
，，关于对称轴对称，
，
故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个命题一一判断即可。
7．（2023·永嘉模拟）规定二次函数的相关函数是.已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图1，
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有1个公共点，
∴当x=2时y=1，
∴-4+8+n=1，
解之：n=-3；
如图2，
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴的交点的纵坐标为1，
∴-n=1
解之：n=-1，
∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，
如图3，
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个公共点，
∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1）
∴n=1
如图4
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点M
∴
解之：，
∴当时线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，
∴n的取值范围为 或.
故答案为：A
【分析】线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有1个公共点，当x=2时y=1，代入函数解析式求出n的值；线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个公共点，可知抛物线y=x2-4x-n与y轴的交点的纵坐标为1，可求出n的值；即可得到n的取值范围；线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个公共点，抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），代入计算求出n的值；线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，抛物线y=x2-4x-n经过点M，代入计算求出n的值，即可得到n的取值范围；综上所述可得到n的取值范围.
8．（2022九上·杭州期中）在下列函数图象上任取不同的两点P（x1， y1）， Q（x2， y2）， 一定能使的是（ ）
A．y=（x>0） B．y=-（x-2）2+5（x≥0）
C．y=（x-3）2-4（x<0） D．y=3x+7
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵y＝（x＞0），
∴x＞0时，y随x的增大而增大，
∴当x2＞x1时，必有y2＞y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＞0，
此时＞0，
∴A选项不符合题意；
B、∵y＝-（x-2）2+5的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下，
∴当0≤x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时y随x的增大而减小，
∴0≤x＜2时，若x2＞x1，必有y2＞y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＞0，
此时＞0，
∴B选项不符合题意；
C、∵y＝（x-3）2-4的对称轴为直线x＝3，抛物线开口向上，
∴0＜x＜3时，y随x的增大而减小，
∴当x2＞x1时，必有y2＜y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＜0，
此时＜0，
∴C选项符合题意；
D、∵y＝3x+7中，
∴y随x的增大而增大，
∴当x2＞x1时，必有y2＞y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＞0，
此时＞0，
∴A选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象的增（减）性，得出y＝（x＞0），x＞0时，y随x的增大而增大，从而得当x2＞x1时，必有y2＞y1，进而判断A选项即可；根据二次函数函数图象的顶点式可得抛物线的开口方向及对称轴，从而得出图象的增（减）性范围，进而判断B、C选项即可；根据一次函y＝3x+7可得函数图象的增（减）性，即y随x的增大而增大，从而得x2＞x1时，必有y2＞y1，进而判断D选项即可.
9．（2022九上·温州期中）如图，抛物线y=x2-2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（ ）
A． B．-2 C． D．-3
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵△DEB与△ACD的面积比为9：10，
∴即，
∵点E为BM的中点，
∴|yE|=|yM|，
当x=0时yC=c，
∴|yE|=|yM|
∵yM＜0，c＜0，
∴即
∵y=x2-2x+c =（x-2）2+c-2
∵顶点M（2，c-2），
当x=2时2-4+c=c
解之：c=.
故答案为：C
【分析】利用线段中点的定义，可证得AD=BD，利用三角形的面积公式及△DEB与△ACD的面积比为9：10，可得到；再根据点E为BM的中点，可得到|yE|=|yM|；当x=0时y=c，观察点的坐标所在的象限，可知yM＜0，c＜0，由此可推出，再将顶点的横坐标代入函数解析式，可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
10．（2022·济南模拟）已知函数y＝﹣x2+2ax，当x≤2时，函数值随x增大而增大，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1、x2相应的函数值y1、y2总满足|y1﹣y2|≤16，则实数a的取值范围是（ ）
A．2≤a≤5 B．﹣3≤a≤5 C．a≥2 D．2≤a≤3
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：函数的对称轴为x＝a，而x≤2时，函数值随x增大而减小，故a≥2；
∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，
∴x＝a时，开口向下，函数的最大值＝a2，
故函数的最大值在x＝1和x＝a+1中产生，
则x＝1，x＝a+1那个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值，
∵a≥2，
∴a﹣1≥1，而a+1﹣a＝1，
∴1距离a 更远，
∴x＝1时，函数取得最小值为：﹣1+2a，
∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤16，
只需最大值与最小值的差小于等于16即可，
∴，a2﹣（﹣1+2a）≤16，
（a﹣1）2＝16，
解得﹣4≤a﹣1≤4，而a≥2，
∴2≤a≤5，
故答案为：A．
【分析】对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤16，只需最大值与最小值的差小于等于16即可。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·郫都模拟）定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当、两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，的取值范围为 ．
【答案】或-1＜m＜2
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令，解得：
所以，函数的图像上有两个“等值点”（-1，-1）或（2，2）
（1）当时，W1，W2两部分组成的图像上必有2个“等值点”（-1，-1）或（2，2）
W1：
W2：
令，整理得：
因为W2的图像上不存在“等值点”
所以
所以，解得：
（2）当m=-1时，有3个“等值点”（-2，-2）、（-1，-1）、（2，2）
（3）当时， W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”
（4）当m=2时，W1，W2两部分组成的图像上恰有1个“等值点”（2，2）
（5）当m>2时，W1，W2两部分组成的图像上没有“等值点”
综上所述，当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时
或
故答案为 或
【分析】先求出函数的图像上有两个“等值点”（-1，-1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可。
12．（2022九上·宁波月考）如图，点A是抛物线对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，则三角形OAO′的面积为 ．
【答案】2.5或4
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2-4x，
∴对称轴为直线x＝2，
∴设点A坐标为（2，a），
如图，过点A作AP⊥y轴于点P，过点O′作O′Q⊥直线x＝2于点Q，再连接OO′，
∴∠APO＝∠AQO′＝90°，
∴∠QAO′+∠AO′Q＝90°，
∵以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，
∵∠QAO′+∠OAQ＝90°，
∴∠AO′Q＝∠OAQ，
∵AQ∥PO，
∴∠OAQ＝∠AOP，
∴∠AO′Q＝∠AOP，
∴△AOP≌△AO′Q（AAS），
∴AP＝AQ＝2，PO＝QO′＝a，
∴点O′（2+a，a-2），
当O′恰好落在抛物线上时，
∴a-2＝（2+a）2-4（2+a），
解得：a＝-1或a＝2，
∴点A（2，-1）或（2，2），
∴AO=AO′=或AO=AO′=2，
∴S△OAO′=AO2=×5=2.5；或S△OAO′=AO2=×8=4.
故答案为：2.5或4.
【分析】根据抛物线对称轴解析式求出对称轴，设点A坐标为（2，a），过点A作AP⊥y轴于点P，过点O′作O′Q⊥直线x＝2于点Q，再连接OO′，利用“AAS”定理证△AOP≌△AO′Q，可得得AP＝AQ＝2、PO＝QO′＝a，从而可得点O′（2+a，a-2），将点O′坐标代入抛物线解析式得到关于a的方程，解之可得a的值，再利用勾股定理求得AO的长，最后通过三角形面积公式计算，即可得解．
13．（2022九上·温州期中）已知二次函数y1＝2x2-8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ．
【答案】 或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=0时y=3，
∴点A（0，3），
∵ 过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），
∴b=3，
∴y2＝kx+3，
∴即kx+3=2x2-8x+3
解之：x1=0，，
∵点B在点A的右侧，
∴xB＞xA＞0，
∴
解之：k＞-8；
∵y1=2（x-2）2-5，
∴抛物线的顶点坐标为（2，5），
∴n的最小值为-5，
∵n的最大值与最小值的和为1，
∴n的最大值为6，
∵6＞3，
∴点B在抛物线的图象上高于点A，
∴k＞0，
当y=6时，2（x-2）2-5=6
解之：（舍去）
∴点B的横坐标为；
当点P在点A处取得最大值时，当n=3时即n的最小值为-2，
∴当y=-2时，2（x-2）2-5=-2
解之：（舍去）
∴点B的横坐标为 或
【分析】利用函数解析式可求出点A的坐标，同时可得到b的值，将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，利用点点B在点A的右侧，可得到k的取值范围；将函数解析式转化为顶点式，可得到n的最大值，由此可推出点B在抛物线的图象上高于点A，将y=6代入二次函数解析式，可得到对应的x的值，即可得到符合题意的点B的横坐标；当点P在点A处取得最大值时，当n=3时即n的最小值为-2，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的点B的横坐标.
14．（2022·惠民模拟）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：设A1B1=x，
∵△OA1B1 是等腰直角三角形，
∴OB1=x，
则A1的坐标为（x，x），代入二次函数y=x2+x，
得x=x2+x，
解得x=1或x=0（舍），
设A2B2=m，
∵△B1A2B2腰是等腰直角三角形，
∴B1B2=m，
∴A2的坐标为（m，1+m），
代入二次函数y=x2+x，
得m2+m＝1+m，
解得m=2或m=-1（舍），
同理可求出A3B3=3，
A4B4=4，
∴B2022A2022=2022，根据勾股定理，
得B2021A2022=，
故答案为：．
【分析】先求出A3B3=3，A4B4=4，可得规律，再求出B2022A2022=2022，最后利用勾股定理求出B2021A2022=即可。
15．（2021九上·柯桥月考）如图，“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；旋转的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：如图，连接OD，作BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP，BP相交于点P，
∵点C绕原点O旋转60°得到点D，
.∠COD=60° ，
由“心”形的对称性得AB为对称轴，
∴OB平分∠COD，
∴∠COB=30°，
∴∠BOG=60° ，
设OM=k，在Rt△OBM中，BM=OMtan∠BOM =k，
∴点B坐标为(k，k)，
∵点B在抛物线y= - x2+6上，
- k2+6=k，
解得k1=，k2=-2，
∴点B坐标为(，3)，点A的坐标为( -2，-6)，
∴AP=3，BP=9，
在Rt△ABP中，AB= =6.
故答案为：6.
【分析】连接OD，作BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP，BP相交于点P，根据旋转的性质和“心形的对称性得到∠COB=30°，∠BOG=60°， 设OM=k，得到点B坐标为(k，k)，把点B代入y= -x2+6中，求出k的值，即可得到A、B点坐标，最后根据勾股定理求出AB即可.
三、解答题（共7题，共65分）
16．（2023·徐州）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）随着点线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为．
【答案】（1）解：∵，
∴顶点为，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不变，理由如下：
在上取点，使得，连接，
∵，
∴抛物线对称轴为，即，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，即的大小不变；
②，∵，
∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即线段的长度存在最大值为；
（3）解：设的中点为点，连接，过点作于点，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵的中点为点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵的中点为点，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标，令y=0，求出x的值，可得点A的坐标；
（2）①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，由解析式可得对称轴为x=1，即ON=1，根据旋转的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，推出△BAC是等边三角形，得到AB=AC=BC，∠C=60°，根据点A、B、O的坐标可得OA=OB=AB，推出△OAB是等边三角形，得到OA=OB=AC=BC=2，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，易得△BME是等边三角形，进而推出∠DBE=∠AME，由平行线的性质可得∠BED=∠MEA，利用AAS证明△BED≌△MEA，得到DE=EA，推出△AED是等边三角形，据此解答；
②易得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，由等边三角形的性质可得∠DAF=30°，根据三角函数的概念可得AD、AE，然后根据BF=AB-AF进行计算；
（3）设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，易得四边形OACB是菱形，利用AAS证明△MBE≌△MHD，得到DH=BE，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BME∽△NAM，由相似三角形的性质可得BM，然后求出MN、DH，再根据S△BDE=S△BDM+S△BEM进行计算.
17．（2023·山西）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
（1）求直线的函数表达式及点C的坐标；
（2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）解：①点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．
∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．
∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②如图3，由（1）得，．
∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由求出y=0时x值，即得A（4，0） ，利用待定系数法求出直线AB解析式，再求出x=0时y值，即得C的坐标；
（2）①由题意知， 可得，由点C坐标可得=2， 分两种情况：当点在直线上方时 ，=2，解之即可； 当点在直线下方时，=2， 解之即可；
② 由（1）得， ，则EQ=m-1，证明．
可得，据此求出FQ=-m+4，即得FQ=DE，从而证四边形为矩形，继而得出 ∴，利用二次函数的性质求解即可.
18．（2023·凤庆模拟）如图，抛物线与y轴交于点，顶点坐标为，C是x轴上一动点．
（1）求b，c的值．
（2）当周长最小时，求点C的坐标．
（3）设m是抛物线与x轴的交点的横坐标，求的值．
【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
∴，
把点代入，得，解得，
∴，．
（2）解：由题意知，当周长最小时，的值最小，如图，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点C，点C的坐标即为所求，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴，
令，则，解得，
∴点C的坐标为．
（3）解：由（1）得二次函数解析式为，
∵m是抛物线与x轴的交点的横坐标，
∴，即，
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标即可得到c的值，再将点B代入即可求解；
（2）由题意知，当周长最小时，的值最小，如图，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点C，点C的坐标即为所求，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线的解析式，进而即可求解；
（3）由（1）得二次函数解析式为，再根据m是抛物线与x轴的交点的横坐标即可得到，进而运用提公因式法进行因式分解，再代入即可求解。
19．（2023·楚雄模拟）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图①，当时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图②，直线交抛物线于另一点E，连接交y轴于点F，点C的横坐标为m，求的值（用含m的式子表示）．
【答案】（1）解：令 ，得 ，
解得： 或 ，
， ；
（2）解： ，
，
直线 的解析式为 ．
①若点 在 的下方时，
过点 作 的平行线与抛物线交点即为 ．
， ，
直线 的解析式为 ，
由 ，解得 或 ，
，
的横坐标为0．
②若点 在 的上方时，点 关于点 的对称点 ，
过点 作 的平行线 交抛物线于点 ， ， ， 符合条件．
直线 的解析式为 ，
由 ，可得 ，
解得： 或 ，
， 的横坐标为 ， ，
综上所述，满足条件的点 的横坐标为0， ， ．
（3）解：D设 点的横坐标为 ，过点 的直线的解析式为 ，
由 ，可得 ，
设 ， 是方程 的两根，则 ，
，
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
同法可得
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数图象与几何变换；一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由，求出y=0时x值，即得A、B的坐标；
（2）先求出直线AC解析式为y=x+1， ①若点 在 的下方时， 过点 作 的平行线与抛物线交点即为 ，求出直线 的解析式为 ， 联立抛物线解析式为方程组并解之即可；②若点 在 的上方时， 则点 关于点 的对称点 ， 求出直线 的解析式为 ， 联立抛物线解析式为方程组并解之即可；
（3） 设 点的横坐标为 ，过点 的直线的解析式为 ， 由 ，可得 ， 设 ， 是方程的两根，根据根与系数的关系可得，从而推出，继而得出 ，设直线 的解析式为，同法可得 ，即得 ， 从而得出 ， 据此可得 ， 继而求解.
20．（2022九上·青田期中）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是抛物线上的一个动点.
（1）求直线的解析式；
（2）当点在第一象限时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：对于，令，则，令，解得或3，
故点、、的坐标分别为、、，
点与点关于轴对称，故点，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为
（2）解：连接，过点作轴的平行线交于点，
由点、的坐标，同理可得，直线的表达式为，
设点，则点，
则四边形面积，
，故四边形面积存在最大值，当时，四边形面积最大值为，此时点；
（3）解：存在，理由：
当为直角时，如上图所示，
此时点与点重合，过点的坐标为；
当为直角时，
由的表达式知，直线与轴的倾斜角为，
当为直角时，即，则直线与轴负半轴的夹角为，
故设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得：，
故点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用求出B、C的坐标，由点与点关于轴对称可求出D坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可；
（2）连接，过点作轴的平行线交于点， 先求出直线BC解析式为， 设点，则点，则四边形面积，据此求出关于x关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3） 分两种情况：当为直角时 ， 当为直角时，据此分别求解即可.
21．（2023·常州）如图，二次函数的图象与x轴相交于点，其顶点是C．
（1） ；
（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）-1
（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，
∵，
∴二次函数的解析式为
设，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，，
∴，
解得m=或m=8（舍去），
当m=时，，
∴，
∵，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为，
把代入得，
解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得抛物线为，
∵过点（k，0）作x轴的垂线l，已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴；
（3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为，
∵顶点为在上，
∴，
∴平移后的抛物线为，顶点为，
∵原抛物线，
∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴，
化简得，
∴p=1（舍去），或p=3或p=，
当p=3时，，
当p=时，，
∴点P坐标为或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（1）将点A（-2，0）代入二次函数 ，
得，
解得b=-1；
故答案为：-1；
【分析】（1）将点A（-2，0）代入二次函数 ，即可求出b的值；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，根据抛物线上点的坐标特点设，由∠AOD的正切函数定义及其函数值可建立出关于字母m的方程，求解并检验可得适合题意的m的值，从而即可得出点D的坐标；将原抛物线的解析式配成顶点式并根据抛物线的平移规律设平移后抛物线的解析式为，将点D的坐标代入求出符合题意的a的值，从而得到平移后的抛物线的解析式，进而根据抛物线的性质即可解决此题；
（3）设平移后抛物线的解析式为为，则顶点为P（p，q），将点P的坐标代入原抛物线解析式可用含p的式子表示出点Q，从而可用含p的式子表示出平移后抛物线的解析式的顶点坐标，再表示出点Q的坐标，则点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，故∠PCQ与∠CQP都是锐角，则只能是∠CPQ=90°，从而由勾股定理建立方程可建立出关于字母p的方程，求解可得p的值，从而求出点P的坐标.
22．（2023·鄂州模拟）如图
（1）【特例感知】如图23-1，对于抛物线，下列结论正确的序号是
①抛物线都经过点；
②抛物线的对称轴由拋物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等.
（2）
【形成概念】把满足(为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
【知识应用】在(2)中，如图.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移拔物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，，其横坐标分别为：为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，请求出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断直线是否平行 请直接写出判断结果.
【答案】（1）①②③
（2）解：①，所以顶点
令顶点横坐标，纵坐标
即：Pn顶点满足关系式：y=x2+1
②令，
则，
∴
∵
结果与n无关，∴相邻两点之间距离为定值，定值为
③两线段不平行
【知识点】平行线的判定；锐角三角函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）令x=0，可得y1=y2=y3=1，故①正确；
抛物线y1、y2、y3的对称轴分别为x=、x=-1、x=，故②正确；
抛物线y1、y2、y3与y=1的交点的横坐标分别为-1、-2，-3，则相邻两点之间的距离相等，均为1，故③正确.
故答案为：①②③.
（2）③根据题意可得Cn（-k-n，-k2-nk+1），Cn-1（-k-n+1，-k2-nk+k+1），An（-n，1），An-1（-n+1，1），
在Rt△DAnCn中，tan∠DAnCn==k+n，
在Rt△EAn-1Cn-1中，tan∠EAn-1Cn-1==k+n-1，
∴∠DAnCn≠∠EAn-1Cn-1，
∴CnAn与Cn-1An-1不平行.
【分析】（1）令x=0，求出y的值，据此判断①；分别求出y1、y2、y3的对称轴，进而判断②；抛物线y1、y2、y3与y=1的交点的横坐标分别为-1、-2，-3，据此判断③；
（2）①将yn解析式化为顶点式，可得Pn（，），令x=，则y==()2+1=x2+1，据此解答；
②令xn-1=-k-(n-1)=-k-n+1，yn-1=-xn-12-(n-1)xn-1+1，xn=-k-n，yn=-xn2-nxn+1，则Cn（xn，yn），Cn-1（xn-1，yn-1），xn-1-xn=1，yn-1-yn=-xn-12-(n-1)xn-1+1+xn2+nxn-1=k，然后根据进行解答；
③根据题意可得Cn（-k-n，-k2-nk+1），Cn-1（-k-n+1，-k2-nk+k+1），An（-n，1），An-1（-n+1，1），根据三角函数的概念可得tan∠DAnCn，tan∠EAn-1Cn-1 ，然后根据平行线的判定定理进行解答.
1 / 1【培优卷】2.2二次函数的图象与性质—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2023·新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023·枣庄）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2023·青岛模拟）抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点．则下列四个结论正确的有（ ）
①；②；③若该抛物线与直线有交点，则a的取值范围是；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程（t为常数，）的根为整数，则t的值只有3个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023·安徽）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·济南模拟）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．（2023·寻乌模拟）已知二次函数的图象如图所示，下列四个命题：①；②；③若，是该抛物线上的两点，则；④若，是该抛物线上的两点，则；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·永嘉模拟）规定二次函数的相关函数是.已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2022九上·杭州期中）在下列函数图象上任取不同的两点P（x1， y1）， Q（x2， y2）， 一定能使的是（ ）
A．y=（x>0） B．y=-（x-2）2+5（x≥0）
C．y=（x-3）2-4（x<0） D．y=3x+7
9．（2022九上·温州期中）如图，抛物线y=x2-2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（ ）
A． B．-2 C． D．-3
10．（2022·济南模拟）已知函数y＝﹣x2+2ax，当x≤2时，函数值随x增大而增大，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1、x2相应的函数值y1、y2总满足|y1﹣y2|≤16，则实数a的取值范围是（ ）
A．2≤a≤5 B．﹣3≤a≤5 C．a≥2 D．2≤a≤3
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·郫都模拟）定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当、两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，的取值范围为 ．
12．（2022九上·宁波月考）如图，点A是抛物线对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，则三角形OAO′的面积为 ．
13．（2022九上·温州期中）已知二次函数y1＝2x2-8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ．
14．（2022·惠民模拟）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则 ．
15．（2021九上·柯桥月考）如图，“心”形是由抛物线 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ．
三、解答题（共7题，共65分）
16．（2023·徐州）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）随着点线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为．
17．（2023·山西）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
（1）求直线的函数表达式及点C的坐标；
（2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
18．（2023·凤庆模拟）如图，抛物线与y轴交于点，顶点坐标为，C是x轴上一动点．
（1）求b，c的值．
（2）当周长最小时，求点C的坐标．
（3）设m是抛物线与x轴的交点的横坐标，求的值．
19．（2023·楚雄模拟）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图①，当时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图②，直线交抛物线于另一点E，连接交y轴于点F，点C的横坐标为m，求的值（用含m的式子表示）．
20．（2022九上·青田期中）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是抛物线上的一个动点.
（1）求直线的解析式；
（2）当点在第一象限时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（2023·常州）如图，二次函数的图象与x轴相交于点，其顶点是C．
（1） ；
（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．
22．（2023·鄂州模拟）如图
（1）【特例感知】如图23-1，对于抛物线，下列结论正确的序号是
①抛物线都经过点；
②抛物线的对称轴由拋物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等.
（2）
【形成概念】把满足(为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
【知识应用】在(2)中，如图.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移拔物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，，其横坐标分别为：为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，请求出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断直线是否平行 请直接写出判断结果.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①根据图象可知：当时，直线在抛物线的上方，∴，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴是方程的一个解，故②正确；
③将点（-2，5）、（3，0）分别代入可得：，解得，∴抛物线的解析式为，当x=-1时，，当x=4时，，∴，故③正确；
④由③可知：（-2，5）与点（4，5）关于对称轴对称，∴对称轴为直线，将x=1代入抛物线可得，∴当-2综上所述，正确的有①②③，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①根据函数图象可得：a>0，c<0，∵对称轴是直线x=1，∴，∴b=-2a，∴b<0，∴abc>0，故①不正确；
②根据题意可得：方程的解即是函数与x轴的交点坐标的横坐标，根据图象可知函数与x轴的一个交点为，∵函数的对称轴为直线x=1，∴另一个交点范围为，故②正确；
③∵对称轴是直线x=1，，∴点离对称轴更近，∴，故③不正确；
④将x=-1代入，可得a-b+c>0，∵b=-2a，∴3a+c>0，∴6a+2c>0，∵a>0，∴，故④正确；
⑤∵，∴，即证明，∵，∴m为任意实数，恒成立，故⑤正确；
综上所述，正确的有②④⑤，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将点(0，0)，(4，0)代入抛物线得：
，解得：，
∴抛物线表达式为y=ax2-4ax，
①∵b=-4a，
∴b+4a =0，
∴结论①正确；
②∵5a+3b+2c =5a-12a=-7a，
又∵a>0，
∴-7a<0，
∴5a+3b+2c<0，
∴结论②错误；
③当抛物线y=axr+bx+c与直线y=-3有交点时，
令ax2-4ax =-3，得：一元二次方程ax2-4ax+3=0，有实数根，
∴16a2-12a =a(16a-12)≥0，
∵a>0，
∴16a-12≥0，
解得：a≥，
∴结论③正确；
④∵一元二次方程可化为ax2-4ax-t=0，
∴抛物线y=ax2-4ax与直线y=t(t为常数，t≤0)的交点横坐标为整数，横坐标可以为0，1，2，3，4.
如下图所示，
∵由图可知t的值只有3个，
∴结论④正确；
综上所述：正确的结论有3个，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数图象与性质对每个结论一一判断即可。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的一个分支在第一象限，∴k＞0，∵一次函数y=-x+b的图象经过第一、二象限，∴b＞0，又根据图像可知：的图象与一次函数y=-x+b的图象有两个交点，分别为（1，k）和（k，1），∴1=-k+b，∴b=k+1。且方程有两个不相等的实数根，根的判别式=b2-4k=（k+1）2-4k=（k-1）2＞0，∴k-1≠0，即二次函数不经过原点；又∵二次函数y=x2-bx+k-1中，∵二次项系数大于0，∴抛物线开口向上，对称轴所以对称轴在y轴的右边，且当x=1时，二次函数函数 =12-b+k-1=-b+k=-k-1+k=-1，即二次函数的图象经过点（1，-1）。
A、图象开口向上，对称轴在y轴右边，不经过原点，且当x=1时，抛物线上对应点的纵坐标为负，有可能是-1，所以A符合题意；
B、抛物线的对称轴是y轴，所以B不符合题意；
C、抛物线经过原点，所以C不符合题意；
D、当x=1时，抛物线上对应点的纵坐标为正，不可能是-1，所以D不符合题意。
故答案为：A。
【分析】先根据反比例函数和一次函数y=-x+b的图象在平面直角坐标系中的位置，判断系数k、b的正负号，并由此判断出抛物线对称轴的位置，再根据反比例函数和一次函数y=-x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），得出抛物线不经过原点，且抛物线经过点（1-，1），然后根据各选项的二次函数图象判断，选出符合条件的即可。
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，点在点的左侧，
∴，
∴令，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴顶点坐标为，
∵，
∴线段上有3个整点，
∵区域内有6个整点，
当时，，
即；
当时，，
即，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为：C．
【分析】先求出二次函数的顶点式，可得顶点坐标为，再利用二次函数的性质求解即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由图可知，二次函数的图象开口向下，与轴交点位于轴正半轴，
，，
对称轴为，
，
，
故①不符合题意；
对称轴为，
，
，
故②符合题意；
当，在对称轴左侧时，；当，在对称轴右侧时，，故③不符合题意；
，
，，关于对称轴对称，
，
故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个命题一一判断即可。
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图1，
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有1个公共点，
∴当x=2时y=1，
∴-4+8+n=1，
解之：n=-3；
如图2，
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴的交点的纵坐标为1，
∴-n=1
解之：n=-1，
∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，
如图3，
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个公共点，
∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1）
∴n=1
如图4
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点M
∴
解之：，
∴当时线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，
∴n的取值范围为 或.
故答案为：A
【分析】线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有1个公共点，当x=2时y=1，代入函数解析式求出n的值；线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个公共点，可知抛物线y=x2-4x-n与y轴的交点的纵坐标为1，可求出n的值；即可得到n的取值范围；线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个公共点，抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），代入计算求出n的值；线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，抛物线y=x2-4x-n经过点M，代入计算求出n的值，即可得到n的取值范围；综上所述可得到n的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵y＝（x＞0），
∴x＞0时，y随x的增大而增大，
∴当x2＞x1时，必有y2＞y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＞0，
此时＞0，
∴A选项不符合题意；
B、∵y＝-（x-2）2+5的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下，
∴当0≤x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时y随x的增大而减小，
∴0≤x＜2时，若x2＞x1，必有y2＞y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＞0，
此时＞0，
∴B选项不符合题意；
C、∵y＝（x-3）2-4的对称轴为直线x＝3，抛物线开口向上，
∴0＜x＜3时，y随x的增大而减小，
∴当x2＞x1时，必有y2＜y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＜0，
此时＜0，
∴C选项符合题意；
D、∵y＝3x+7中，
∴y随x的增大而增大，
∴当x2＞x1时，必有y2＞y1，
即x2-x1＞0时，y2-y1＞0，
此时＞0，
∴A选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象的增（减）性，得出y＝（x＞0），x＞0时，y随x的增大而增大，从而得当x2＞x1时，必有y2＞y1，进而判断A选项即可；根据二次函数函数图象的顶点式可得抛物线的开口方向及对称轴，从而得出图象的增（减）性范围，进而判断B、C选项即可；根据一次函y＝3x+7可得函数图象的增（减）性，即y随x的增大而增大，从而得x2＞x1时，必有y2＞y1，进而判断D选项即可.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵△DEB与△ACD的面积比为9：10，
∴即，
∵点E为BM的中点，
∴|yE|=|yM|，
当x=0时yC=c，
∴|yE|=|yM|
∵yM＜0，c＜0，
∴即
∵y=x2-2x+c =（x-2）2+c-2
∵顶点M（2，c-2），
当x=2时2-4+c=c
解之：c=.
故答案为：C
【分析】利用线段中点的定义，可证得AD=BD，利用三角形的面积公式及△DEB与△ACD的面积比为9：10，可得到；再根据点E为BM的中点，可得到|yE|=|yM|；当x=0时y=c，观察点的坐标所在的象限，可知yM＜0，c＜0，由此可推出，再将顶点的横坐标代入函数解析式，可得到关于c的方程，解方程求出c的值.
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：函数的对称轴为x＝a，而x≤2时，函数值随x增大而减小，故a≥2；
∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，
∴x＝a时，开口向下，函数的最大值＝a2，
故函数的最大值在x＝1和x＝a+1中产生，
则x＝1，x＝a+1那个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值，
∵a≥2，
∴a﹣1≥1，而a+1﹣a＝1，
∴1距离a 更远，
∴x＝1时，函数取得最小值为：﹣1+2a，
∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤16，
只需最大值与最小值的差小于等于16即可，
∴，a2﹣（﹣1+2a）≤16，
（a﹣1）2＝16，
解得﹣4≤a﹣1≤4，而a≥2，
∴2≤a≤5，
故答案为：A．
【分析】对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤16，只需最大值与最小值的差小于等于16即可。
11．【答案】或-1＜m＜2
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令，解得：
所以，函数的图像上有两个“等值点”（-1，-1）或（2，2）
（1）当时，W1，W2两部分组成的图像上必有2个“等值点”（-1，-1）或（2，2）
W1：
W2：
令，整理得：
因为W2的图像上不存在“等值点”
所以
所以，解得：
（2）当m=-1时，有3个“等值点”（-2，-2）、（-1，-1）、（2，2）
（3）当时， W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”
（4）当m=2时，W1，W2两部分组成的图像上恰有1个“等值点”（2，2）
（5）当m>2时，W1，W2两部分组成的图像上没有“等值点”
综上所述，当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时
或
故答案为 或
【分析】先求出函数的图像上有两个“等值点”（-1，-1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可。
12．【答案】2.5或4
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2-4x，
∴对称轴为直线x＝2，
∴设点A坐标为（2，a），
如图，过点A作AP⊥y轴于点P，过点O′作O′Q⊥直线x＝2于点Q，再连接OO′，
∴∠APO＝∠AQO′＝90°，
∴∠QAO′+∠AO′Q＝90°，
∵以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，
∵∠QAO′+∠OAQ＝90°，
∴∠AO′Q＝∠OAQ，
∵AQ∥PO，
∴∠OAQ＝∠AOP，
∴∠AO′Q＝∠AOP，
∴△AOP≌△AO′Q（AAS），
∴AP＝AQ＝2，PO＝QO′＝a，
∴点O′（2+a，a-2），
当O′恰好落在抛物线上时，
∴a-2＝（2+a）2-4（2+a），
解得：a＝-1或a＝2，
∴点A（2，-1）或（2，2），
∴AO=AO′=或AO=AO′=2，
∴S△OAO′=AO2=×5=2.5；或S△OAO′=AO2=×8=4.
故答案为：2.5或4.
【分析】根据抛物线对称轴解析式求出对称轴，设点A坐标为（2，a），过点A作AP⊥y轴于点P，过点O′作O′Q⊥直线x＝2于点Q，再连接OO′，利用“AAS”定理证△AOP≌△AO′Q，可得得AP＝AQ＝2、PO＝QO′＝a，从而可得点O′（2+a，a-2），将点O′坐标代入抛物线解析式得到关于a的方程，解之可得a的值，再利用勾股定理求得AO的长，最后通过三角形面积公式计算，即可得解．
13．【答案】 或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=0时y=3，
∴点A（0，3），
∵ 过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），
∴b=3，
∴y2＝kx+3，
∴即kx+3=2x2-8x+3
解之：x1=0，，
∵点B在点A的右侧，
∴xB＞xA＞0，
∴
解之：k＞-8；
∵y1=2（x-2）2-5，
∴抛物线的顶点坐标为（2，5），
∴n的最小值为-5，
∵n的最大值与最小值的和为1，
∴n的最大值为6，
∵6＞3，
∴点B在抛物线的图象上高于点A，
∴k＞0，
当y=6时，2（x-2）2-5=6
解之：（舍去）
∴点B的横坐标为；
当点P在点A处取得最大值时，当n=3时即n的最小值为-2，
∴当y=-2时，2（x-2）2-5=-2
解之：（舍去）
∴点B的横坐标为 或
【分析】利用函数解析式可求出点A的坐标，同时可得到b的值，将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，利用点点B在点A的右侧，可得到k的取值范围；将函数解析式转化为顶点式，可得到n的最大值，由此可推出点B在抛物线的图象上高于点A，将y=6代入二次函数解析式，可得到对应的x的值，即可得到符合题意的点B的横坐标；当点P在点A处取得最大值时，当n=3时即n的最小值为-2，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合题意的点B的横坐标.
14．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：设A1B1=x，
∵△OA1B1 是等腰直角三角形，
∴OB1=x，
则A1的坐标为（x，x），代入二次函数y=x2+x，
得x=x2+x，
解得x=1或x=0（舍），
设A2B2=m，
∵△B1A2B2腰是等腰直角三角形，
∴B1B2=m，
∴A2的坐标为（m，1+m），
代入二次函数y=x2+x，
得m2+m＝1+m，
解得m=2或m=-1（舍），
同理可求出A3B3=3，
A4B4=4，
∴B2022A2022=2022，根据勾股定理，
得B2021A2022=，
故答案为：．
【分析】先求出A3B3=3，A4B4=4，可得规律，再求出B2022A2022=2022，最后利用勾股定理求出B2021A2022=即可。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；旋转的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：如图，连接OD，作BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP，BP相交于点P，
∵点C绕原点O旋转60°得到点D，
.∠COD=60° ，
由“心”形的对称性得AB为对称轴，
∴OB平分∠COD，
∴∠COB=30°，
∴∠BOG=60° ，
设OM=k，在Rt△OBM中，BM=OMtan∠BOM =k，
∴点B坐标为(k，k)，
∵点B在抛物线y= - x2+6上，
- k2+6=k，
解得k1=，k2=-2，
∴点B坐标为(，3)，点A的坐标为( -2，-6)，
∴AP=3，BP=9，
在Rt△ABP中，AB= =6.
故答案为：6.
【分析】连接OD，作BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP，BP相交于点P，根据旋转的性质和“心形的对称性得到∠COB=30°，∠BOG=60°， 设OM=k，得到点B坐标为(k，k)，把点B代入y= -x2+6中，求出k的值，即可得到A、B点坐标，最后根据勾股定理求出AB即可.
16．【答案】（1）解：∵，
∴顶点为，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不变，理由如下：
在上取点，使得，连接，
∵，
∴抛物线对称轴为，即，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，即的大小不变；
②，∵，
∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即线段的长度存在最大值为；
（3）解：设的中点为点，连接，过点作于点，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵的中点为点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵的中点为点，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标，令y=0，求出x的值，可得点A的坐标；
（2）①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，由解析式可得对称轴为x=1，即ON=1，根据旋转的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，推出△BAC是等边三角形，得到AB=AC=BC，∠C=60°，根据点A、B、O的坐标可得OA=OB=AB，推出△OAB是等边三角形，得到OA=OB=AC=BC=2，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，易得△BME是等边三角形，进而推出∠DBE=∠AME，由平行线的性质可得∠BED=∠MEA，利用AAS证明△BED≌△MEA，得到DE=EA，推出△AED是等边三角形，据此解答；
②易得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，由等边三角形的性质可得∠DAF=30°，根据三角函数的概念可得AD、AE，然后根据BF=AB-AF进行计算；
（3）设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，易得四边形OACB是菱形，利用AAS证明△MBE≌△MHD，得到DH=BE，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BME∽△NAM，由相似三角形的性质可得BM，然后求出MN、DH，再根据S△BDE=S△BDM+S△BEM进行计算.
17．【答案】（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）解：①点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．
∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．
∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②如图3，由（1）得，．
∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由求出y=0时x值，即得A（4，0） ，利用待定系数法求出直线AB解析式，再求出x=0时y值，即得C的坐标；
（2）①由题意知， 可得，由点C坐标可得=2， 分两种情况：当点在直线上方时 ，=2，解之即可； 当点在直线下方时，=2， 解之即可；
② 由（1）得， ，则EQ=m-1，证明．
可得，据此求出FQ=-m+4，即得FQ=DE，从而证四边形为矩形，继而得出 ∴，利用二次函数的性质求解即可.
18．【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
∴，
把点代入，得，解得，
∴，．
（2）解：由题意知，当周长最小时，的值最小，如图，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点C，点C的坐标即为所求，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴，
令，则，解得，
∴点C的坐标为．
（3）解：由（1）得二次函数解析式为，
∵m是抛物线与x轴的交点的横坐标，
∴，即，
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标即可得到c的值，再将点B代入即可求解；
（2）由题意知，当周长最小时，的值最小，如图，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点C，点C的坐标即为所求，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线的解析式，进而即可求解；
（3）由（1）得二次函数解析式为，再根据m是抛物线与x轴的交点的横坐标即可得到，进而运用提公因式法进行因式分解，再代入即可求解。
19．【答案】（1）解：令 ，得 ，
解得： 或 ，
， ；
（2）解： ，
，
直线 的解析式为 ．
①若点 在 的下方时，
过点 作 的平行线与抛物线交点即为 ．
， ，
直线 的解析式为 ，
由 ，解得 或 ，
，
的横坐标为0．
②若点 在 的上方时，点 关于点 的对称点 ，
过点 作 的平行线 交抛物线于点 ， ， ， 符合条件．
直线 的解析式为 ，
由 ，可得 ，
解得： 或 ，
， 的横坐标为 ， ，
综上所述，满足条件的点 的横坐标为0， ， ．
（3）解：D设 点的横坐标为 ，过点 的直线的解析式为 ，
由 ，可得 ，
设 ， 是方程 的两根，则 ，
，
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，
同法可得
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数图象与几何变换；一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由，求出y=0时x值，即得A、B的坐标；
（2）先求出直线AC解析式为y=x+1， ①若点 在 的下方时， 过点 作 的平行线与抛物线交点即为 ，求出直线 的解析式为 ， 联立抛物线解析式为方程组并解之即可；②若点 在 的上方时， 则点 关于点 的对称点 ， 求出直线 的解析式为 ， 联立抛物线解析式为方程组并解之即可；
（3） 设 点的横坐标为 ，过点 的直线的解析式为 ， 由 ，可得 ， 设 ， 是方程的两根，根据根与系数的关系可得，从而推出，继而得出 ，设直线 的解析式为，同法可得 ，即得 ， 从而得出 ， 据此可得 ， 继而求解.
20．【答案】（1）解：对于，令，则，令，解得或3，
故点、、的坐标分别为、、，
点与点关于轴对称，故点，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为
（2）解：连接，过点作轴的平行线交于点，
由点、的坐标，同理可得，直线的表达式为，
设点，则点，
则四边形面积，
，故四边形面积存在最大值，当时，四边形面积最大值为，此时点；
（3）解：存在，理由：
当为直角时，如上图所示，
此时点与点重合，过点的坐标为；
当为直角时，
由的表达式知，直线与轴的倾斜角为，
当为直角时，即，则直线与轴负半轴的夹角为，
故设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得：，
故点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用求出B、C的坐标，由点与点关于轴对称可求出D坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可；
（2）连接，过点作轴的平行线交于点， 先求出直线BC解析式为， 设点，则点，则四边形面积，据此求出关于x关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3） 分两种情况：当为直角时 ， 当为直角时，据此分别求解即可.
21．【答案】（1）-1
（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，
∵，
∴二次函数的解析式为
设，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，，
∴，
解得m=或m=8（舍去），
当m=时，，
∴，
∵，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为，
把代入得，
解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得抛物线为，
∵过点（k，0）作x轴的垂线l，已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴；
（3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为，
∵顶点为在上，
∴，
∴平移后的抛物线为，顶点为，
∵原抛物线，
∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴，
化简得，
∴p=1（舍去），或p=3或p=，
当p=3时，，
当p=时，，
∴点P坐标为或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（1）将点A（-2，0）代入二次函数 ，
得，
解得b=-1；
故答案为：-1；
【分析】（1）将点A（-2，0）代入二次函数 ，即可求出b的值；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，根据抛物线上点的坐标特点设，由∠AOD的正切函数定义及其函数值可建立出关于字母m的方程，求解并检验可得适合题意的m的值，从而即可得出点D的坐标；将原抛物线的解析式配成顶点式并根据抛物线的平移规律设平移后抛物线的解析式为，将点D的坐标代入求出符合题意的a的值，从而得到平移后的抛物线的解析式，进而根据抛物线的性质即可解决此题；
（3）设平移后抛物线的解析式为为，则顶点为P（p，q），将点P的坐标代入原抛物线解析式可用含p的式子表示出点Q，从而可用含p的式子表示出平移后抛物线的解析式的顶点坐标，再表示出点Q的坐标，则点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，故∠PCQ与∠CQP都是锐角，则只能是∠CPQ=90°，从而由勾股定理建立方程可建立出关于字母p的方程，求解可得p的值，从而求出点P的坐标.
22．【答案】（1）①②③
（2）解：①，所以顶点
令顶点横坐标，纵坐标
即：Pn顶点满足关系式：y=x2+1
②令，
则，
∴
∵
结果与n无关，∴相邻两点之间距离为定值，定值为
③两线段不平行
【知识点】平行线的判定；锐角三角函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）令x=0，可得y1=y2=y3=1，故①正确；
抛物线y1、y2、y3的对称轴分别为x=、x=-1、x=，故②正确；
抛物线y1、y2、y3与y=1的交点的横坐标分别为-1、-2，-3，则相邻两点之间的距离相等，均为1，故③正确.
故答案为：①②③.
（2）③根据题意可得Cn（-k-n，-k2-nk+1），Cn-1（-k-n+1，-k2-nk+k+1），An（-n，1），An-1（-n+1，1），
在Rt△DAnCn中，tan∠DAnCn==k+n，
在Rt△EAn-1Cn-1中，tan∠EAn-1Cn-1==k+n-1，
∴∠DAnCn≠∠EAn-1Cn-1，
∴CnAn与Cn-1An-1不平行.
【分析】（1）令x=0，求出y的值，据此判断①；分别求出y1、y2、y3的对称轴，进而判断②；抛物线y1、y2、y3与y=1的交点的横坐标分别为-1、-2，-3，据此判断③；
（2）①将yn解析式化为顶点式，可得Pn（，），令x=，则y==()2+1=x2+1，据此解答；
②令xn-1=-k-(n-1)=-k-n+1，yn-1=-xn-12-(n-1)xn-1+1，xn=-k-n，yn=-xn2-nxn+1，则Cn（xn，yn），Cn-1（xn-1，yn-1），xn-1-xn=1，yn-1-yn=-xn-12-(n-1)xn-1+1+xn2+nxn-1=k，然后根据进行解答；
③根据题意可得Cn（-k-n，-k2-nk+1），Cn-1（-k-n+1，-k2-nk+k+1），An（-n，1），An-1（-n+1，1），根据三角函数的概念可得tan∠DAnCn，tan∠EAn-1Cn-1 ，然后根据平行线的判定定理进行解答.
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