【提升卷】2.2二次函数的图象与性质—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2023·闵行模拟）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中错误的是（ ）
A．开口方向相同； B．对称轴相同；
C．顶点的横坐标相同； D．顶点的纵坐标相同．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：把抛物线向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为，
∴这两条抛物线的开口方向都是向上，对称轴都为直线，顶点的横坐标都为0，顶点的纵坐标一个为0，一个为-3；
故答案为：D．
【分析】先求出平移后的解析式，再逐项判断即可。
2．（2023九上·福州开学考）对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴开口向下，错误；
B、抛物线的顶点坐标是，错误；
C、对称轴为直线，正确；
D、当时，，错误.
故答案为：C.
【分析】由二次函数顶点式可得到抛物线的开口方向，对称轴即及顶点坐标，再将代入抛物线，即可知道是否大于0.
3．（2023·邢台模拟）关于抛物线：与：，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线的形状相同
B．抛物线通过平移可以与重合
C．抛物线与的对称轴相同
D．两条抛物线均与x轴有两个交点
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：与的形状相同，故A不符合题意；
将抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，得到，所以抛物线通过平移可以与重合，故B不符合题意；
抛物线关于y轴对称，的顶点坐标为，对称轴是直线，抛物线与的对称轴不相同，故C符合题意；
当时，，故抛物线与x轴有两个交点，当时，，故抛物线与x轴有两个交点，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
4．（2023·浙江模拟）已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y=-x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（ ）
A．若x1>x2，则y1>y2 B．若x1C．若：，则y1>y2 D．若，则y1【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，
A、 若x1>x2，y1>y2或y1＜y2，故A不符合题意；
B、 若x1＜x2，y1>y2或y1＜y2，故B不符合题意；
C、当x1=-3时y1=-9；当x2=3时y2=-9；
∴x1x2=-9，（x2）2=9，
∴x1x2＜（x2）2，此时y1＜y2，故C不符合题意；
D、若x1x2＞（x2）2即x1x2＞x2x2＞0，
当x1＞x2＞0时y1当x1＜x2＜0时y1故答案为：D
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，由x1>x2，不能确定y1和y2的大小关系，可对A作出判断；由x1＞x2，不能确定y1和y2的大小关系，可对B作出判断；当x1=-3时y1=-9；当x2=3时y2=-9，可得到y1＜y2，可对C作出判断；由已知可得到x1x2＞x2x2＞0，分情况讨论：当x1＞x2＞0时y15．（2023·瑶海模拟）若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解，由题意可得：
令 则
对称轴，函数图象开口朝上，最低点在x轴上方
解得
故答案为D
【分析】要是分式有意义，则分母不能为0；将分母设为二次函数，则函数的最小值大于零，二次函数对称轴上取得最小值或最大值。
6．（2023·日照）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：解不等式组得-3a＜b＜-a，a＞0，
∴对称轴，
∴，，，
∴离对称轴水平距离较近，离对称轴水平距离较远，结合开口向上，
即距离对称轴越近，值越小，
∴，
故答案为：C.
【分析】先解不等式组即可得到对称轴及开口方向，进而根据二次函数对称性结合点到对称轴的水平距离远近判断对应值的大小即可得出答案。
7．（2023·阜新）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．点在函数图象上
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故A选项错误，不符合题意；
B、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，
∴，
∴-b=2a，
∴2a+b=0，故B选项正确，符合题意；
C、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac＜b2，故C选项错误，不符合题意；
D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（-1，0），故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向向上判断出a＞0，由二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”判断出b＜0，根据二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，判断出c＜0，进而根据有理数的乘法法则可判断A选项；由二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，结合对称轴直线公式可判断B选项；由二次函数y=ax2+bx+c的图象的于x轴的交点个数是2两个可得b2-4ac＞0，据此可判断C选项；根据抛物线的对称性判断出二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（-1，0），据此可判断D选项.
8．（2023·商河模拟）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵把向右平移个单位，得到二次函数的图象，
∴
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】先求出平移后的解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
9．（2023·雅安）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵函数开口向下，
∴a＜0，①错误；
②∵二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，
∴B（6，0），②正确；
③∵B（6，0），，
∴，
∴①-②×9得24b-8c=0，
∴，③正确；
④由题意得x=2时，函数取得最大值，
∴当x=2时，y=4a+2b+c，
当x=m时，，
∴，
∴，④正确；
∴正确结论的序号为②③④，
故答案为：C
【分析】根据二次函数的图象与性质结合二次函数的对称轴对选项逐一分析即可求解。
10．（2023·邵阳）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①抛物线的对称轴是直线，①正确；
②当x=0时，y=3，
∴点在抛物线上，②正确；
③当a＜0时，y1＜y2，
当a＞0时，y1＞y2，③错误；
④由题意得，
∴，④错误；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的对称轴公式即可判断①；将x=0代入求出y即可判断②；根据二次函数系数与开口关系结合题意即可判断③；根据二次函数图象的对称性即可判断④。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·宁南模拟）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】（-1，1）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】抛物线向右平移1个单位后为，即，再将其向上平移2个单位后为，即，
∴函数的顶点坐标为（-1，1），
故答案为：（-1，1）.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
12．（2023·上海）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 的 对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，
∴a＜0，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，
∴，c＞0
∴b=0，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） ，
故答案为： （答案不唯一）.
【分析】根据题意先求出a＜0，再求出，c＞0，最后求解即可。
13．（2023·福建）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=ax2-2ax+b（a>0），
∴对称轴为直线x=1，图象开口向上.
∵y1∴若点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧时，有2n+3<1、n-1>1、1-(2n+3)若点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧时，有2n+3>1、n-1<1、1-(n-1)>2n+3-1，
解得-1故答案为：-1【分析】根据抛物线解析式可得：对称轴为直线x=1，图象开口向上，然后分点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧；点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧，根据距离对称轴越远的点对应的函数值越大进行解答.
14．（2023·九台模拟）已知抛物线图像上有两点，我们把两点间的图像记为图像，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的对称轴为x=a，
∵，
∴，
∴，
∴当x=a+2时，y可取最大值；当x=a时，y可取最小值；
∴最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为4，
故答案为：4
【分析】先将解析式化为顶点式，然后结合题意分别求出最高点的纵坐标和最低点的纵坐标即可求解。
15．（2023·高明模拟）根据函数和的图像写出一个满足的值，那可能是 .
【答案】（答案不唯一，只要是0＜x＜1都可以）
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：由图象可得：y=x2、y=、y=x的图象都经过点（1，1），且当0x>x2，故可取x=.
故答案为：.（答案不唯一）
【分析】由图象可得：当0x>x2，据此解答.
三、解答题（共8题，共65分）
16．（2020九上·巩义月考）已知二次函数 .
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式.
【答案】（1）解：二次函数的顶点坐标为：x= =-1，y= =2，
当x=0时，y= ，
当y=0时，x=1或x=-3，
图象如图：
（2）解：据图可知：当y＜0时，x＜-3，或x＞1；
（3）解：y=- x2-x+ =- （x+1）2+2
根据二次函数图象移动特点，
∴此图象沿x轴向右平移3个单位，平移后图象所对应的函数关系式：y=- （x-2）2+2.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x、y轴交点坐标即可画出图象；
（2） 当y＜0时，x的取值范围 ，根据图象就是求x轴下方图象自变量的取值范围；
（3）根据图象平移“左加右减、上加下减”特点即可写出函数解析式.
17．（2022九上·凤阳月考）已知二次函数．
（1）确定该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线
（2）解：∵对称轴为直线，抛物线开口朝上，
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由a＞0知开口向上，再将二次函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2） 由对称轴为直线，且开口向上，可知在对称轴左侧， y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
18．（2022九上·莲都期中）如图，已知抛物线y＝-x2+mx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（5，0）.
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标.
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：将点（5，0）代入y＝-x2+mx+5得，
0＝-25+5m+5，m＝4，
∴抛物线解析式为y＝-x2+4x+5
y＝-x2+4x+5＝-（x-2）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（2，9）
（2）解：如下图，点A与点B是关于直线l成轴对称，
根据其性质有，PA+PC＝PC+PB，
当点C、点P、点B共线时，PC+PB＝BC为最小值，即为PA+PC的最小值，
由抛物线解析式为y＝-x2+4x+5＝-（x-2）2+9，可得点C坐标为（0，5），点B坐标为（5，0），对称轴l为x＝2，
设直线BC的解释为y＝kx+b，将点C（0，5），点B（5，0），代入y＝kx+b得，
， 解得
∴直线BC的解析式为y＝-x+5，联立方程，
，解得
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（2，3）.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（5，0）代入y＝-x2+mx+5中，求出m值得其解析式，从而求出顶点坐标；
（2） 由点A与点B是关于直线l成轴对称，当点C、点P、点B共线时，PC+PB＝BC为最小值，即为PA+PC的最小值， 利用待定系数法求出直线BC解析式，在求其与对称轴的交点坐标即可.
19．（2022九上·蚌埠月考）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．
（1）当时，求b的值．
（2）抛物线上有两点和，若，且，比较的大小关系．
【答案】（1）解：当时，，
将点A的坐标代入，得，
∴，
∴
将代入，得，
∴
∵抛物线交x轴于点和，
∴
（2）解：抛物线的对称轴为直线，中点的横坐标为，
∵，
∴，即中点的横坐标大于1，
∴点Q到对称轴的距离大于点P到对称轴的距离，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴距离对称轴越远，纵坐标越小，
∴．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出m的值可得，再将代入解析式求出b的值即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质求解即可。
20．（2023·北京）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
（2）解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求出抛物线的对称轴；
（2）先根据题意即可得到，，进而得到离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，从而结合题意得到，然后即可求解。
21．（2023·增城模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数，
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）当时，设抛物线与轴交于，两点点在点左侧，顶点为，若为等边三角形，求的值；
（3）过其中且垂直轴的直线与抛物线交于，两点若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
当时，抛物线的顶点坐标为
（2）解：依照题意，画出图形，如图1所示．
当时，，
解得：，．
由Ⅰ可知，顶点的坐标为．
，
．
为等边三角形，，
，
点的坐标为，
，
；
（3）解：分两种情况考虑，如图2所示：
，设在对称轴左边，
当时，，
当时，，
，
解得：；
当时，，
，
解得：，
综上，当时，；当时，．
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）当a=1时，y=x2-4x+3=(x-2)2-1，据此可得顶点坐标；
（2）画出示意图，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，由等边三角形的性质可得BC=AB=2，利用三角函数的概念求出CD的值，据此可得点C的坐标，进而可得a的值；
（3）设M在对称轴左边，由MN=1可得点M的横坐标，当a>0时，y=-1；当a<0时，t=2，据此求解.
22．（2023·开江模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为.当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：在中，令，得不成立，
∴函数的图像上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
综上所述，不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或.
（2）解：在函数中，令，解得：，
∴，
在函数中，令，解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
当时，，解得，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，解得：，
综上所述，的值为或.
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）解：令，解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，
：，：，
令，整理得：，
∵的图像上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
②当时，有3个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，或.
【分析】（1）根据 “等值点” 的定义建立方程并解之即可；
（2）先根据 “等值点” 的定义求出函数的“等值点” ，同理求出 ， 根据的面积为3， 可得， 求解即可；
（3）先求出函数的图像上有两个“等值点”或，再用翻折的性质分类讨论即可.
23．（2023·柯桥模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点，在抛物线上，试比较m，n的大小；
（3），是抛物线上的任意两点，若对于且，都有，求t的取值范围；
（4），是抛物线上的两点，且均满足，求t的最大值．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵点，在抛物线上，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又∵，，，
∴点离抛物线的对称轴距离较大，
∴；
（3）解：∵抛物线的开口向上，
∴离抛物线的对称轴距离较大，函数值越大．
当时，点P离对称轴远，不符合题意；
当时，由题意得，
，
解得，
∴时，都有；
当时，点Q离对称轴远，都有．
综上，当时，都有；
（4）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴点P在抛物线对称轴的右侧，
∵，
①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，
∴且，
解得；
②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，
∴，，
解得，
综上所述：当时，满足题意．
∴t的最大值为5．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）直接将抛物线的解析式配成顶点式即可求出其对称轴直线；
（2）由于抛物线的开口向上，故抛物线上离对称轴距离越远的点函数值就越大，据此可解题；
（3）分①当t＞3时，②当-1≤t≤3时，③当t＜-1时三种情况，分别根据函数性质求解即可；
（4）首先判断出点P在抛物线的对称轴右侧，然后分①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件两种情况，分别列出不等式，求解可得答案.
1 / 1【提升卷】2.2二次函数的图象与性质—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2023·闵行模拟）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中错误的是（ ）
A．开口方向相同； B．对称轴相同；
C．顶点的横坐标相同； D．顶点的纵坐标相同．
2．（2023九上·福州开学考）对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，
3．（2023·邢台模拟）关于抛物线：与：，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线的形状相同
B．抛物线通过平移可以与重合
C．抛物线与的对称轴相同
D．两条抛物线均与x轴有两个交点
4．（2023·浙江模拟）已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y=-x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（ ）
A．若x1>x2，则y1>y2 B．若x1C．若：，则y1>y2 D．若，则y15．（2023·瑶海模拟）若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·日照）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·阜新）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．点在函数图象上
8．（2023·商河模拟）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·雅安）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
10．（2023·邵阳）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·宁南模拟）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
12．（2023·上海）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
13．（2023·福建）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
14．（2023·九台模拟）已知抛物线图像上有两点，我们把两点间的图像记为图像，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，图像上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为 ．
15．（2023·高明模拟）根据函数和的图像写出一个满足的值，那可能是 .
三、解答题（共8题，共65分）
16．（2020九上·巩义月考）已知二次函数 .
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式.
17．（2022九上·凤阳月考）已知二次函数．
（1）确定该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
18．（2022九上·莲都期中）如图，已知抛物线y＝-x2+mx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（5，0）.
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标.
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.
19．（2022九上·蚌埠月考）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．
（1）当时，求b的值．
（2）抛物线上有两点和，若，且，比较的大小关系．
20．（2023·北京）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
21．（2023·增城模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数，
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）当时，设抛物线与轴交于，两点点在点左侧，顶点为，若为等边三角形，求的值；
（3）过其中且垂直轴的直线与抛物线交于，两点若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，求的取值范围．
22．（2023·开江模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为.当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围.
23．（2023·柯桥模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点，在抛物线上，试比较m，n的大小；
（3），是抛物线上的任意两点，若对于且，都有，求t的取值范围；
（4），是抛物线上的两点，且均满足，求t的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：把抛物线向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为，
∴这两条抛物线的开口方向都是向上，对称轴都为直线，顶点的横坐标都为0，顶点的纵坐标一个为0，一个为-3；
故答案为：D．
【分析】先求出平移后的解析式，再逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴开口向下，错误；
B、抛物线的顶点坐标是，错误；
C、对称轴为直线，正确；
D、当时，，错误.
故答案为：C.
【分析】由二次函数顶点式可得到抛物线的开口方向，对称轴即及顶点坐标，再将代入抛物线，即可知道是否大于0.
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：与的形状相同，故A不符合题意；
将抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，得到，所以抛物线通过平移可以与重合，故B不符合题意；
抛物线关于y轴对称，的顶点坐标为，对称轴是直线，抛物线与的对称轴不相同，故C符合题意；
当时，，故抛物线与x轴有两个交点，当时，，故抛物线与x轴有两个交点，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，
A、 若x1>x2，y1>y2或y1＜y2，故A不符合题意；
B、 若x1＜x2，y1>y2或y1＜y2，故B不符合题意；
C、当x1=-3时y1=-9；当x2=3时y2=-9；
∴x1x2=-9，（x2）2=9，
∴x1x2＜（x2）2，此时y1＜y2，故C不符合题意；
D、若x1x2＞（x2）2即x1x2＞x2x2＞0，
当x1＞x2＞0时y1当x1＜x2＜0时y1故答案为：D
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，由x1>x2，不能确定y1和y2的大小关系，可对A作出判断；由x1＞x2，不能确定y1和y2的大小关系，可对B作出判断；当x1=-3时y1=-9；当x2=3时y2=-9，可得到y1＜y2，可对C作出判断；由已知可得到x1x2＞x2x2＞0，分情况讨论：当x1＞x2＞0时y15．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解，由题意可得：
令 则
对称轴，函数图象开口朝上，最低点在x轴上方
解得
故答案为D
【分析】要是分式有意义，则分母不能为0；将分母设为二次函数，则函数的最小值大于零，二次函数对称轴上取得最小值或最大值。
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：解不等式组得-3a＜b＜-a，a＞0，
∴对称轴，
∴，，，
∴离对称轴水平距离较近，离对称轴水平距离较远，结合开口向上，
即距离对称轴越近，值越小，
∴，
故答案为：C.
【分析】先解不等式组即可得到对称轴及开口方向，进而根据二次函数对称性结合点到对称轴的水平距离远近判断对应值的大小即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故A选项错误，不符合题意；
B、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，
∴，
∴-b=2a，
∴2a+b=0，故B选项正确，符合题意；
C、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac＜b2，故C选项错误，不符合题意；
D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（-1，0），故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向向上判断出a＞0，由二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”判断出b＜0，根据二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，判断出c＜0，进而根据有理数的乘法法则可判断A选项；由二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，结合对称轴直线公式可判断B选项；由二次函数y=ax2+bx+c的图象的于x轴的交点个数是2两个可得b2-4ac＞0，据此可判断C选项；根据抛物线的对称性判断出二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（-1，0），据此可判断D选项.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵把向右平移个单位，得到二次函数的图象，
∴
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】先求出平移后的解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵函数开口向下，
∴a＜0，①错误；
②∵二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，
∴B（6，0），②正确；
③∵B（6，0），，
∴，
∴①-②×9得24b-8c=0，
∴，③正确；
④由题意得x=2时，函数取得最大值，
∴当x=2时，y=4a+2b+c，
当x=m时，，
∴，
∴，④正确；
∴正确结论的序号为②③④，
故答案为：C
【分析】根据二次函数的图象与性质结合二次函数的对称轴对选项逐一分析即可求解。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①抛物线的对称轴是直线，①正确；
②当x=0时，y=3，
∴点在抛物线上，②正确；
③当a＜0时，y1＜y2，
当a＞0时，y1＞y2，③错误；
④由题意得，
∴，④错误；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的对称轴公式即可判断①；将x=0代入求出y即可判断②；根据二次函数系数与开口关系结合题意即可判断③；根据二次函数图象的对称性即可判断④。
11．【答案】（-1，1）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】抛物线向右平移1个单位后为，即，再将其向上平移2个单位后为，即，
∴函数的顶点坐标为（-1，1），
故答案为：（-1，1）.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 的 对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，
∴a＜0，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，
∴，c＞0
∴b=0，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） ，
故答案为： （答案不唯一）.
【分析】根据题意先求出a＜0，再求出，c＞0，最后求解即可。
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=ax2-2ax+b（a>0），
∴对称轴为直线x=1，图象开口向上.
∵y1∴若点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧时，有2n+3<1、n-1>1、1-(2n+3)若点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧时，有2n+3>1、n-1<1、1-(n-1)>2n+3-1，
解得-1故答案为：-1【分析】根据抛物线解析式可得：对称轴为直线x=1，图象开口向上，然后分点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧；点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧，根据距离对称轴越远的点对应的函数值越大进行解答.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的对称轴为x=a，
∵，
∴，
∴，
∴当x=a+2时，y可取最大值；当x=a时，y可取最小值；
∴最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为4，
故答案为：4
【分析】先将解析式化为顶点式，然后结合题意分别求出最高点的纵坐标和最低点的纵坐标即可求解。
15．【答案】（答案不唯一，只要是0＜x＜1都可以）
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：由图象可得：y=x2、y=、y=x的图象都经过点（1，1），且当0x>x2，故可取x=.
故答案为：.（答案不唯一）
【分析】由图象可得：当0x>x2，据此解答.
16．【答案】（1）解：二次函数的顶点坐标为：x= =-1，y= =2，
当x=0时，y= ，
当y=0时，x=1或x=-3，
图象如图：
（2）解：据图可知：当y＜0时，x＜-3，或x＞1；
（3）解：y=- x2-x+ =- （x+1）2+2
根据二次函数图象移动特点，
∴此图象沿x轴向右平移3个单位，平移后图象所对应的函数关系式：y=- （x-2）2+2.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x、y轴交点坐标即可画出图象；
（2） 当y＜0时，x的取值范围 ，根据图象就是求x轴下方图象自变量的取值范围；
（3）根据图象平移“左加右减、上加下减”特点即可写出函数解析式.
17．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线
（2）解：∵对称轴为直线，抛物线开口朝上，
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由a＞0知开口向上，再将二次函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2） 由对称轴为直线，且开口向上，可知在对称轴左侧， y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
18．【答案】（1）解：将点（5，0）代入y＝-x2+mx+5得，
0＝-25+5m+5，m＝4，
∴抛物线解析式为y＝-x2+4x+5
y＝-x2+4x+5＝-（x-2）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（2，9）
（2）解：如下图，点A与点B是关于直线l成轴对称，
根据其性质有，PA+PC＝PC+PB，
当点C、点P、点B共线时，PC+PB＝BC为最小值，即为PA+PC的最小值，
由抛物线解析式为y＝-x2+4x+5＝-（x-2）2+9，可得点C坐标为（0，5），点B坐标为（5，0），对称轴l为x＝2，
设直线BC的解释为y＝kx+b，将点C（0，5），点B（5，0），代入y＝kx+b得，
， 解得
∴直线BC的解析式为y＝-x+5，联立方程，
，解得
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（2，3）.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（5，0）代入y＝-x2+mx+5中，求出m值得其解析式，从而求出顶点坐标；
（2） 由点A与点B是关于直线l成轴对称，当点C、点P、点B共线时，PC+PB＝BC为最小值，即为PA+PC的最小值， 利用待定系数法求出直线BC解析式，在求其与对称轴的交点坐标即可.
19．【答案】（1）解：当时，，
将点A的坐标代入，得，
∴，
∴
将代入，得，
∴
∵抛物线交x轴于点和，
∴
（2）解：抛物线的对称轴为直线，中点的横坐标为，
∵，
∴，即中点的横坐标大于1，
∴点Q到对称轴的距离大于点P到对称轴的距离，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴距离对称轴越远，纵坐标越小，
∴．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出m的值可得，再将代入解析式求出b的值即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质求解即可。
20．【答案】（1）解：∵对于，有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
（2）解：∵当，，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求出抛物线的对称轴；
（2）先根据题意即可得到，，进而得到离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，从而结合题意得到，然后即可求解。
21．【答案】（1）解：，
当时，抛物线的顶点坐标为
（2）解：依照题意，画出图形，如图1所示．
当时，，
解得：，．
由Ⅰ可知，顶点的坐标为．
，
．
为等边三角形，，
，
点的坐标为，
，
；
（3）解：分两种情况考虑，如图2所示：
，设在对称轴左边，
当时，，
当时，，
，
解得：；
当时，，
，
解得：，
综上，当时，；当时，．
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）当a=1时，y=x2-4x+3=(x-2)2-1，据此可得顶点坐标；
（2）画出示意图，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，由等边三角形的性质可得BC=AB=2，利用三角函数的概念求出CD的值，据此可得点C的坐标，进而可得a的值；
（3）设M在对称轴左边，由MN=1可得点M的横坐标，当a>0时，y=-1；当a<0时，t=2，据此求解.
22．【答案】（1）解：在中，令，得不成立，
∴函数的图像上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
综上所述，不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或.
（2）解：在函数中，令，解得：，
∴，
在函数中，令，解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
当时，，解得，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，解得：，
综上所述，的值为或.
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）解：令，解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，
：，：，
令，整理得：，
∵的图像上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
②当时，有3个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，或.
【分析】（1）根据 “等值点” 的定义建立方程并解之即可；
（2）先根据 “等值点” 的定义求出函数的“等值点” ，同理求出 ， 根据的面积为3， 可得， 求解即可；
（3）先求出函数的图像上有两个“等值点”或，再用翻折的性质分类讨论即可.
23．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵点，在抛物线上，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又∵，，，
∴点离抛物线的对称轴距离较大，
∴；
（3）解：∵抛物线的开口向上，
∴离抛物线的对称轴距离较大，函数值越大．
当时，点P离对称轴远，不符合题意；
当时，由题意得，
，
解得，
∴时，都有；
当时，点Q离对称轴远，都有．
综上，当时，都有；
（4）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴点P在抛物线对称轴的右侧，
∵，
①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，
∴且，
解得；
②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，
∴，，
解得，
综上所述：当时，满足题意．
∴t的最大值为5．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）直接将抛物线的解析式配成顶点式即可求出其对称轴直线；
（2）由于抛物线的开口向上，故抛物线上离对称轴距离越远的点函数值就越大，据此可解题；
（3）分①当t＞3时，②当-1≤t≤3时，③当t＜-1时三种情况，分别根据函数性质求解即可；
（4）首先判断出点P在抛物线的对称轴右侧，然后分①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件两种情况，分别列出不等式，求解可得答案.
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