【培优卷】2.4二次函数的应用—北师大版数学九年级下册同步测试

【培优卷】2.4二次函数的应用—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2020九上·余姚月考）如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒)，y=PC2，则y关于x的函数的图象大致是（　　)
A． B．
C． D．
2．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022九上·新昌期中）学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形.小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且三点共线.小王在距离台面处接洗手液时，手心Q到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021九上·椒江期末）小明发现鸡蛋的形状可以近似用抛物线与圆来刻画.于是他画了两只鸡蛋的示意图（如图，单位：cm），其中 AB 和 A'B'；上方为两条开口大小相同的抛物线，下方为两个圆的一部分.若第一个鸡蛋的高度 CD 为 8.4 cm，则第二个鸡蛋的高度C'D'为（　　）
A．7.29 cm B．7.34 cm C．7.39 cm D．7.44 cm
5．（2020九上·瑞安期中）我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
6．（2023九上·温州期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是．（　　）
A． B． C． D．
7．（2021九上·临海期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（　　）
A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m
8．（2019九下·温州竞赛）一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为30cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE=CF=xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（　　）
A．12.5cm B．10cm C．7.5cm D．5cm
9．（2022九上·鄞州开学考）物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是
②小球抛出后，速度越来越快
③小球抛出时速度为0
④小球的高度时，
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
10．（2020九上·安新期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为 （元/千克）（ ，且 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为 （千克）．有下列说法：
①当 时， ② 与 之间的函数关系式为 ③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·长春）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面　 　米．
12．（2023·宜城模拟）某学生推铅球，铅球所经过的路线是抛物线的一部分，若这名学生出手点A（0，1.6），铅球路线最高处为B（6，4），则该学生将铅球推出的距离是　 　．
13．（2023·宜阳模拟）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为　 　m.
14．（2021九上·瑞安期中）如图所示，从高为2m的点 处向右上抛一个小球 ，小球路线呈抛物线 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，已知 m， m， m，若小球弹起形成一条与 形状相同的抛物线，且落点 与 ， 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是　 　m
15．（2020·温岭模拟）图1是一个高脚杯截面图， 杯体CBD呈抛物线状(杯体厚度不计) ，点B是抛物线的顶点，AB=9，EF=2 ，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD=4 ，此时最大深度(液面到最低点的距离)为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH=30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是　 　；此时杯体内液体的最大深度为　 　。
三、解答题（共7题，共65分）
16．（2023·青岛模拟）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x（场） 3 10 25
p（万元） 10.6 12 14.2
（2）求p与x之间满足的函数关系式；
（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
（4）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
17．（2019九上·汕头月考）某工厂用 天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件 元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第 天的生产成本 （元/件）与 （天）之间的关系如图所示，第 天该产品的生产量 （件）与 （天）满足关系式
（1）第 天，该厂生产该产品的利润是　 　元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于 元的共有多少天？
18．（2023·黄岩模拟）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与到高楼的水平距离x（m）之间的函数关系式为：．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
19．（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
20．（2022·石家庄模拟）如图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置，如图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，发射装置底部在轮廓线的点A处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为，从发射装置的发射点弹射一个小球（忽略空气阻力）时，小球的飞行路线为一段抛物线．
（1）直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；
（2）若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值；
（3）圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在上，其横坐标为14，轴，，．若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b的取值范围．
21．（2022九上·义乌月考）如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB＝5，AD＝4．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．
（1）如图2，将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时EF恰好经过点A，请证明：△ADE∽△FGE；
（2）如图3，在（1）的条件下，小明先将△EFG的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．
（3）如图，在（1）的条件下，小明把该图形放在直角坐标系中，使B（G）为坐标原点BC为x轴，在x轴和y上分别找P，Q两点使△DPQ与△ABF相似，直接写出P点的坐标。
22．（2018九上·于洪期末）
（1）【探索发现】 如图1，是一张直角三角形纸片， ，小明想从中剪出一个以 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　.
（2）【拓展应用】如图2，在 中， ，BC边上的高 ，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值 用含a、h的代数式表示 ；
（3）【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE， ， ， ， ，小明从中剪出了一个面积最大的矩形 为所剪出矩形的内角 ，直接写出该矩形的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，
∵△ABC为正三角形，
∴AH=AB=，CH=AC×sinA=3×=，
∵AP=x，
∴PH=，
∴
即y=x2-3x+9，
∴该函数是图象张口向上的抛物线；
②当3＜x≤6，即P在BC上时，
PC=6-x，
PC2=（6-x）2=（x-6）2，
∴该函数是y=（x-6）2（3＜x≤6）的抛物线.
综上，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论，①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，利用勾股定理求出PC2的表达式；②当3＜x≤6，即P在BC上时，可得PC=6-x，则PC2的表达式可知，结合两种情况，得出y关于x的函数的图象大致两种情况下抛物线的一部分组合而成.
2．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
3．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意：所在直线为x轴，的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，，
设抛物线解析式为 ，
将Q点坐标代入解析式得，，
解得：，
所以抛物线解析式为：，
当时，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是.
故答案为：B.
【分析】根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意可得Q（9，15.5）、B（6，16）、OH=6，设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+16，将Q点坐标代入求出a的值，可得对应的函数解析式，然后令y=0，求出x的值，据此求解.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图1，
在Rt△AOE中， AO=BO=3.6，∠AOE=60 ，
∴OE=OAsin60 =3.6× =1.8，AE= OAcos60 =3.6× = ，
以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，
设抛物线的解析式为：y=ax2+3，
当x= 时，y=a×（ ）2+3=0，
∴a= ，
如图2，
在Rt△A O E 中， A O =B O =3.24，∠A O E =60 ，
∴O E =O A cos60 =3.24× =1.62，A E = O A sin60 =3.24× = ，
以A B 所在直线为x轴，C D 所在直线为y轴，
设抛物线的解析式为：y= x2+b ，
当x= 时，y= ×（ ）2+b =0，
∴b =2.43，即C E =2.43，
∴C D =C E +O E +O D =2.43+1.62+3.24=7.29cm.
故答案为：A.
【分析】对于图一：在Rt△AOE中，根据∠AOE的三角函数可得OE、AE的值，以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=ax2+3，将x=，y=0代入求解可得a的值；对于图二：同理可得O E ，A E 的值 ，以A B 所在直线为x轴，C D 所在直线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=x2+b ，将x=，y=0代入求解可得b′的值，然后根据C D =C E +O E +O D 计算即可.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1，O)，
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则 ＝0，即b＝0．
∴y＝ax2 +c．
将A(1，0)代入得a+c＝0，则c＝－a．
∴y＝ax2－a．
∵OH＝2× × ＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）
同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．
∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a
EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．
又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a
∴1＋0.96a＝－0.64a．
解得a＝ ．
∴y＝ x2＋ ．
∴EF＝（ ）×（-0.6）2＋ ＝ ．
故选：C．
【分析】设P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1，O)，根据图像设抛物线的函数解析式为y＝ax2 +c，根据题意可知点A，B的坐标，由中间被4根栏杆五等分，可得到点H，点F的坐标；再用含a代数式表示出PH，EF的长，然后根据PQ＝EF，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到函数解析式，利用函数解析式可求出EF的长。
6．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：以GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，
由题意得：点Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，
设抛物线解析式为 y＝a（x 6）2＋16，
∴15.5＝a（9 6）2＋16，
解之：，
∴抛物线解析式为：
当y＝0时，则，
解之：，（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是.
故答案为：D
【分析】以GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，利用已知条件可得到点Q，顶点B的坐标，因此设函数解析式为y＝a（x 6）2＋16，将点Q的坐标代入，可求出a的值，即可得到函数解析式；由y=0，解方程求出对应得x的值，然后求出GH的长，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系
由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y=ax2+3.5，
代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05
解得，a=-0.2，
因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，
当x=-2.5时，y= =2.25；
所以，球出手时离地面2.25米时才能投中.
故答案为：C.
【分析】以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系，利用已知条件可得到点C，B的坐标，设函数解析式为y=ax2+3.5，将点B代入可求出函数解析式；再求出当x=-2.5时的y的值，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】 解：如图：
在Rt△GBE中，
∵BG=BE=x，
∴GE2=BG2+BE2，
∴GE=x，
又∵BE=CF=x，BC=30，
∴EF=30-2x，
在Rt△HEF中，
∵EH2+FH2=EF2，
∴EH=，
∴S侧=4××x，
=4x（30-2x），
=-8x2+120x，
=-8（x-）2+450，
∴当x=7.5时，包装盒的侧面积最大.
故答案为：C.
【分析】在Rt△GBE中，根据勾股定理求得GE=x，在Rt△HEF中，根据勾股定理求得EH=，由侧面积公式得S侧=-8（x-）2+450，根据二次函数性质即可求得答案.
9．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：，
把O（0，0）代入得，解得，
函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，或，故④错误.
故答案为：D.
【分析】找出图象的最高点对应的纵坐标的值可判断①；小球抛出3秒后从最高点向下运动，据此判断②；小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，据此判断③；设函数解析式为h=a(t-3)2+40，将（0，0）代入求出a的值，得到函数解析式，令h=30，求出t的值，据此判断④.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】当 时， ，故①符合题意；
由题意得： ，故②符合题意；
日销售利润为 ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴ 不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③不符合题意；
由上问可知： ，
即 ，
∵ ，
∴当 时， ，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④符合题意；
故正确的是①②④；
故答案为：B．
【分析】利用“每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克 ”列出y和x的函数关系式，再利用“总利润=每件利润×数量”可得w和x的函数关系式，再逐项判断即可。
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意得B（40，4），H（0，20），A（-40，4），
设抛物线的解析式为，
将A（-40，4）代入解得，
∴，
∵两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，
∴抛物线的解析式变为，
当x=0时，y=19，
故答案为：19
【分析】先根据题意得到B（40，4），H（0，20），A（-40，4），进而运用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到平移后的抛物线解析式，再令x=0即可求解。
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵铅球路线最高处为B（6，4），
∴可设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4.
∵这名学生出手点A（0，1.6），
∴1.6=a(0-6)2+4，
∴a= ，
∴y=(x-6)2+4，
令y=0，可得x1=6+，x2=6-（舍去），
∴该学生将铅球推出的距离是6+.
故答案为：6+.
【分析】由题意可设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4，将A（0，1.6）代入求出a的值，得到对应的函数解析式，然后令y=0，求出x的值即可.
13．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线表达式为，
当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，
在抛物线上，即，解得，
抛物线的表达式为，
当水面下降时，，即，解得或，
当水面下降时，水面的宽度为，
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线表达式为y=ax2，由题意可得（2，-2）在抛物线上，代入求出a的值，得到抛物线的表达式，然后将y=-4代入求出x的值，进而进行解答.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
点A（0，2），抛物线的顶点（2，6）
设抛物线的解析式为
代入A点坐标得
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
点B的纵坐标为MN-EF-CD=4-1-1=2，
∴y=2时， ，
解得 ，
∴点B（4，2），
点D的横坐标=4-CB=4-1.2=2.8，点D的纵坐标2+1=3，
点D（2.8，3）
设直线BD解析式为 代入坐标得
解得
直线BD解析式为
当y=0时，
点Q（ ，0）
过B、Q的抛物线解析式为 ，代入坐标得
解得
∴小球弹起时的最大高度是 m.
故答案为 ：.
【分析】以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，2），顶点坐标为（2，6），设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+6，将点A代入求出a，可得抛物线的解析式，点B的纵坐标为MN-EF-CD=2，令y=2，求出x，可得B（4，2），同理可得D（2.8，3），利用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，求出x，可得Q（ ，0），过B、Q的抛物线解析式为y=-(x-m)2+n，将点B、Q代入求出m、n，据此解答.
15．【答案】；
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点F作FQ⊥CD于点Q，将DF绕着点F旋转30°后为PF，过点P作PH⊥EF于点H，
由题意可知FG=9+12=21，DG=
∴
∴
∴cos∠PFG=
∵PH∥FG
∴∠PFG=∠FPH
∴
解之：；
∴ 当∠EFH=30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是.
建立平面直角坐标系，在DG的右下方的抛物线上任取点Q，过点Q作QP∥y轴，交DG于点P，过点Q作QM⊥DG于点M，
由题意可知DG绕点F顺时针旋转30°后与水平方向平行，
∴交旋转前DG与水平方向的交角为30°，
设直线DG的解析式为y=kx+b，
由题意可知D（），k=tan30°=
∴
解之：b=19
∴
设抛物线的函数解析式为y=ax2+9，将点D代入可知抛物线的解析式为y=x2+9
∴
解之：
∴点G；
设点Q（m，m2+9），P
∴
∴当时，PQ有最大值为
∴当PQ取最大值时S△DGQ的最大值为
∴
∴
∴当△DQG的面积最大时，QM的值最大，
∴
解之：QM=.
故答案为：；.
【分析】如图，过点F作FQ⊥CD于点Q，将DF绕着点F旋转30°后为PF，过点P作PH⊥EF于点H，根据已知条件求出FG，DG对策，利用勾股定理求出DF的长，再根据锐角三角函数的定义求出cos∠PFG的值；然后利用平行线的性质易证∠PFG=∠FPH，利用解直角三角形求出PH的长即可；建立平面直角坐标系，在DG的右下方的抛物线上任取点Q，过点Q作QP∥y轴，交DG于点P，过点Q作QM⊥DG于点M，由题意可知DG绕点F顺时针旋转30°后与水平方向平行，可得到交旋转前DG与水平方向的交角为30°，设直线DG的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出其函数解析式，设抛物线的函数解析式为y=ax2+9，将点D代入可知抛物线的解析式为y=x2+9将此函数解析式与抛物线联立方程组，求出点G的坐标，利用函数解析式设点Q，P的坐标，可得到PQ关于m的函数解析式，由此可得到当PQ取最大值时S△DGQ的最大值，利用勾股定理求出DG，根据当△DQG的面积最大时，QM的值最大，由此建立关于QM的方程，解方程求出MQ的值即可求解。
16．【答案】（1）
（2）解：设基本价为，
①第1场～第20场，且为正整数，
设与的函数关系式为，
依题意得，解得，
∴．
第21场～第40场，即且为正整数时，
设与的函数关系式为，即．
依题意得，解得，
∴，
综上所述，其中为正整数；
（3）解：当时，，
解得；
，解得．
故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场.
（4）解：设每场获得的利润为（万元）．
当且为正整数时，
，
∵在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∴当时，最大，最大利润为（万元）．
当且为正整数时，，
∵随的增大而减小，
∴当时，最大，最大利润为（万元），
∵，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：当x=5时，y=45，
∴y与x的函数关系式为y=50-x.
【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）分类讨论，利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ，最后解方程求解即可；
（4）分类讨论，利用利润公式求函数解析式即可。
17．【答案】（1）1600
（2）解：①设直线AB的解析式为 把 代入得
，解得
直线AB的解析式为
（Ⅰ）当 时
当 时，
（Ⅱ）当 时，
∵w随x的增大而减小
当
第 天的利润最大，最大利润为 元
②（Ⅰ）当 时，令 元
解得
抛物线 开口向下
由其图象可知，当 时，
此时，当天利润不低于2400元的天数为： 天
（Ⅱ）当 时，
由①可知当天利润均低于2400元
综上所述，当天利润不低于 元的共有 天
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为
则第40天的利润为：
故答案为1600
【分析】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为 ，则可求得第40天的利润．（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
18．【答案】（1）解：依题意顶点坐标为，设抛物线解析式为，
将点代入得，
解得：
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
（2）解：不能，理由如下，
依题意，抛物线向左平移2个单位得到
令，解得：，
∴水流不能到达点处，
（3）解：依题意，设水流到达墙面高度为，
设抛物线解析式为
当时，时，
解得：，则抛物线解析式为，
当时，，
当，时，
解得：，则抛物线解析式为，
当时，，
当时，时，，解得：
∴抛物线解析式为
当时，，
当，时，，解得：
∴抛物线解析式为
当时，，
∴，
综上所述，．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到抛物线的顶点坐标及点A的坐标，因此设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+16，再将点A的坐标代入可求出a的值，即可得到消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式.
（2）利用二次函数图象的平移规律可得到平移后的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，据此可作出判断.
（3）设水流到达墙面高度为d，设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+k，分别求出当x=11和a=时的k的值，可得到抛物线的函数解析式；再求出当x=0和的函数值；再求出当x=11，a=时的k的值，据此可得到此时的函数解析式，利用函数解析式求出当x=0时的函数值；再求出当x=12，a=时的k的值，可得到抛物线的函数解析式；再求出当x=0和的函数值；再求出当x=12，a=时的k的值，据此可得到此时的函数解析式，利用函数解析式求出当x=0时的函数值；综上所述可得到d的取值范围.
19．【答案】（1）解：由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）解：（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2） （ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围即可。
20．【答案】（1）解：；
∵与y轴交于点A，
∴，．由题意可知，抛物线经过点（4，8），
∴，解得．
∴抛物线的函数表达式；
∵小球与小山丘的竖直距离为1米，∴，
解得：（不合题意，舍去），，
∴当小球与小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离为12米；
（2）解：将代入抛物线，得，
∴最远着陆点在小山丘外的平地上，其坐标为（15，0）
将代入抛物线，得，
解得：
∵抛物线，∴小山丘顶坐标为，
∵当小球飞行到小山丘顶正上方，且与顶部距离不小于米时，
∴，解得：
∴b的取值范围是．
∵，∴抛物线，∴的顶点坐标为，
∵，∴当时，有最小值为．
∴小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值为米；
（3）解：b的取值范围：．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1)由题意可得点B的坐标为，
将代入中，
解得；
解：(3)∵抛物线
当时，，
∴，
∵，，∴，
当时，，
∴与CD的交点坐标为
若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），
则当时，，解得，
当时，，解得；
故b的取值范围：．
【分析】（1）由题意可得B（0，4），代入解析式可得c=4，又抛物线经过点（4，8），可得，求出，再根据题意列出方程求出x的值即可；
（2）将代入抛物线，得，求出，再根据题意列出求出可得，再求出的顶点坐标为，再结合可得当时，有最小值为；
（3）由题意可知，先求出与CD的交点坐标为，再分别将x=14和x=13代入求出，，即可得到。
21．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=∠FGE=90°，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵BE=BA，
∴∠FEB=∠BAE=∠AED，
∴△ADE∽△FGE
（2）解：如图2，∵BE=AB=GE=CD=5，BC=AD=4，
∴，
∴DE=CD-CE=5-3=2，
∵△ADE∽△FGE，
∴即
解之：BF=FG=10；
当0≤x≤4时，如图
∵BG=x，则BF=10-x，
∵HB∥EG，
∴△FBH∽△FGE，
∴即
解之：，
∴；
当4＜x≤10时，如图
∵BG=x，则BF=10-x，
∴CG=x-4，FC=FG-CG=10-（x-4）=14-x，
∵BH∥EG，
∴△FCM∽△FGE，
∴即
解之：；
；
∴.
（3） 解：如图，点P、Q分别在BC，AB上时，
∵在（1）的条件下，BF=10，
∵△DPQ∽△ABF
当∠DQP=∠ABF=90°，∠QDP=∠AFB
∴，
∴DQ=2QP；
∵∠DAQ=∠QOP=∠DQP=90°，
∴∠AQD+∠ADQ=90°，∠AQD+∠OQP=90°，
∴∠ADQ=∠OQP，
∴△ADQ∽△OQP，
∴即，
解之：OQ=2，OP=，
∴点P（，0）；
当∠QPD=90°时
∵△DPQ∽△ABF，
∴，
∵∠QOP=∠QPD=∠DPC=90°，
∴∠QPO+∠OQP=90°，∠DPC+∠QPO=90°，
∴∠DPC=∠OQP，
∴△CPD△OQP，
∴即，
解之：OP=，
∴点P（，0）；
当点P在x轴的负半轴，Q在y轴的负半轴时，
当∠DPQ=90°时，
∵△DPQ∽△ABF，
∴，
∵∠QOP=∠DCP=∠DPQ=90°，
∴∠QPO+∠OQP=90°，∠DPC+∠QPO=90°，
∴∠OQP=∠DPC，
∴△OQP∽△CPD，
∴即，
解之：OP=，
∴点P（，0）；
当∠DQP=90°时
同理可知，△AQD∽△OPQ，
即，
解之：BQ=2，OP=，
∴点P（，0）；
当点P在x轴的负半轴，点Q在y轴的正半轴时，
同理可知，△AQD∽△OPQ，
∴
解之：BQ=8，OP=6，
∴点P（-6，0）；
当点P在x轴的正半轴，点Q在y轴的负半轴，∠DPC=90°，
同理可知，△CDP∽△OPQ，
∴即，
解之：OP=10，
∴点P（10，0），
∴点P的坐标为（10，0）或（-6，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（，0）.
【知识点】勾股定理；平移的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可得到∠D=∠ABC=∠FGE=90°，AB∥CD，利用平行线的性质可推出∠AED=∠BAE，再根据等边对等角可知∠FEB=∠BAE=∠AED；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出CE的长，同时可求出DE的长，利用相似三角形的对应边成比例可求出BF，FG的长；再分情况讨论：当0≤x≤4时，用含x的代数式表示出BF的长，由HB∥EG，可证得△FBH∽△FGE，利用相似三角形的性质可表示出BH的长，然后利用梯形的面积公式可得到y与x的关系式；当4＜x≤10时，用含x的代数式表示出BF，CG，FG的长，由BH∥EG，可证得△FCM∽△FGE，利用相似三角形的对应边成比例，可表示出CM的长；然后利用梯形的面积公式可得到y与x的关系式，即可求解.
（3）在（1）的条件下，可知BF=10，分情况讨论：点P、Q分别在BC，AB上时，当∠DQP=∠ABF=90°，∠QDP=∠AFB，利用△DPQ∽△ABF，可得到DQ和PQ的比值，再利用余角的性质可证得∠ADQ=∠OQP，根据有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ADQ∽△OQP，利用相似三角形的对应边成比例可得到，由此可求出OQ，OP的长，即可得到点P的坐标；当∠QPD=90°时，同理可得到DP与PQ的比值，利用余角的性质可证得∠DPC=∠OQP，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CPD△OQP，利用相似三角形的对应边成比例可求出OP的长，可得到点P的坐标；当点P在x轴的负半轴，Q在y轴的负半轴时，又有两种情况：当∠DPQ=90°时，可得到DP与PQ的比值；同时可证得△OQP∽△CPD，利用相似三角形的对应边成比例可求出OP的长，可得到点P的坐标；当∠DQP=90°时；同理可知，△AQD∽△OPQ，利用相似三角形的对应边成比例可得到，据此可求出BQ，OP的长，可得到点P的坐标；当点P在x轴的负半轴，点Q在y轴的正半轴时，同理可得到，△AQD∽△OPQ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BQ，OP的长，可得到点P的坐标；当点P在x轴的正半轴，点Q在y轴的负半轴，∠DPC=90°，同理可知，△CDP∽△OPQ，利用相似三角形的性质可求出OP的长，即可得到点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
22．【答案】（1）
（2）解： ，
∽ ，
，可得 ，
设 ，由 ，
当 时， 最大值为 .
（3）解：如图，过DE上的点P作 于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P作 于点H，
则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形，
设 ，则 ，
， ， ， ，
， ，
由 ∽ 知 ，
即 ，得 ，
，
则矩形BGPH的面积 ，
当 时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解： 、ED为 中位线，
， ， ， ，
又 ，
四边形FEDB是矩形，
则 ，
故答案为： ；
【分析】（1）由中位线知EF= BC、ED= AB、由 可得；（2）由△APN∽△ABC知 ，可得PN=a- ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ PN= ，据此可得；（3）结合图形过DE上的点P作PG⊥BC于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P作PH⊥AB，设PG=x，知PI=28-x，由△EIP∽△EKD知 ，据此求得EI= ，PH= ，再根据矩形BGPH的面积S= 可得答案.
1 / 1【培优卷】2.4二次函数的应用—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2020九上·余姚月考）如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒)，y=PC2，则y关于x的函数的图象大致是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，
∵△ABC为正三角形，
∴AH=AB=，CH=AC×sinA=3×=，
∵AP=x，
∴PH=，
∴
即y=x2-3x+9，
∴该函数是图象张口向上的抛物线；
②当3＜x≤6，即P在BC上时，
PC=6-x，
PC2=（6-x）2=（x-6）2，
∴该函数是y=（x-6）2（3＜x≤6）的抛物线.
综上，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论，①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，利用勾股定理求出PC2的表达式；②当3＜x≤6，即P在BC上时，可得PC=6-x，则PC2的表达式可知，结合两种情况，得出y关于x的函数的图象大致两种情况下抛物线的一部分组合而成.
2．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
3．（2022九上·新昌期中）学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形.小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且三点共线.小王在距离台面处接洗手液时，手心Q到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意：所在直线为x轴，的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，，
设抛物线解析式为 ，
将Q点坐标代入解析式得，，
解得：，
所以抛物线解析式为：，
当时，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是.
故答案为：B.
【分析】根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意可得Q（9，15.5）、B（6，16）、OH=6，设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+16，将Q点坐标代入求出a的值，可得对应的函数解析式，然后令y=0，求出x的值，据此求解.
4．（2021九上·椒江期末）小明发现鸡蛋的形状可以近似用抛物线与圆来刻画.于是他画了两只鸡蛋的示意图（如图，单位：cm），其中 AB 和 A'B'；上方为两条开口大小相同的抛物线，下方为两个圆的一部分.若第一个鸡蛋的高度 CD 为 8.4 cm，则第二个鸡蛋的高度C'D'为（　　）
A．7.29 cm B．7.34 cm C．7.39 cm D．7.44 cm
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图1，
在Rt△AOE中， AO=BO=3.6，∠AOE=60 ，
∴OE=OAsin60 =3.6× =1.8，AE= OAcos60 =3.6× = ，
以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，
设抛物线的解析式为：y=ax2+3，
当x= 时，y=a×（ ）2+3=0，
∴a= ，
如图2，
在Rt△A O E 中， A O =B O =3.24，∠A O E =60 ，
∴O E =O A cos60 =3.24× =1.62，A E = O A sin60 =3.24× = ，
以A B 所在直线为x轴，C D 所在直线为y轴，
设抛物线的解析式为：y= x2+b ，
当x= 时，y= ×（ ）2+b =0，
∴b =2.43，即C E =2.43，
∴C D =C E +O E +O D =2.43+1.62+3.24=7.29cm.
故答案为：A.
【分析】对于图一：在Rt△AOE中，根据∠AOE的三角函数可得OE、AE的值，以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=ax2+3，将x=，y=0代入求解可得a的值；对于图二：同理可得O E ，A E 的值 ，以A B 所在直线为x轴，C D 所在直线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=x2+b ，将x=，y=0代入求解可得b′的值，然后根据C D =C E +O E +O D 计算即可.
5．（2020九上·瑞安期中）我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1，O)，
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则 ＝0，即b＝0．
∴y＝ax2 +c．
将A(1，0)代入得a+c＝0，则c＝－a．
∴y＝ax2－a．
∵OH＝2× × ＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）
同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．
∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a
EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．
又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a
∴1＋0.96a＝－0.64a．
解得a＝ ．
∴y＝ x2＋ ．
∴EF＝（ ）×（-0.6）2＋ ＝ ．
故选：C．
【分析】设P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1，O)，根据图像设抛物线的函数解析式为y＝ax2 +c，根据题意可知点A，B的坐标，由中间被4根栏杆五等分，可得到点H，点F的坐标；再用含a代数式表示出PH，EF的长，然后根据PQ＝EF，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到函数解析式，利用函数解析式可求出EF的长。
6．（2023九上·温州期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是．（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：以GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，
由题意得：点Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，
设抛物线解析式为 y＝a（x 6）2＋16，
∴15.5＝a（9 6）2＋16，
解之：，
∴抛物线解析式为：
当y＝0时，则，
解之：，（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是.
故答案为：D
【分析】以GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，利用已知条件可得到点Q，顶点B的坐标，因此设函数解析式为y＝a（x 6）2＋16，将点Q的坐标代入，可求出a的值，即可得到函数解析式；由y=0，解方程求出对应得x的值，然后求出GH的长，即可求解.
7．（2021九上·临海期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（　　）
A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系
由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y=ax2+3.5，
代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05
解得，a=-0.2，
因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，
当x=-2.5时，y= =2.25；
所以，球出手时离地面2.25米时才能投中.
故答案为：C.
【分析】以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系，利用已知条件可得到点C，B的坐标，设函数解析式为y=ax2+3.5，将点B代入可求出函数解析式；再求出当x=-2.5时的y的值，即可求解.
8．（2019九下·温州竞赛）一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为30cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE=CF=xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（　　）
A．12.5cm B．10cm C．7.5cm D．5cm
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】 解：如图：
在Rt△GBE中，
∵BG=BE=x，
∴GE2=BG2+BE2，
∴GE=x，
又∵BE=CF=x，BC=30，
∴EF=30-2x，
在Rt△HEF中，
∵EH2+FH2=EF2，
∴EH=，
∴S侧=4××x，
=4x（30-2x），
=-8x2+120x，
=-8（x-）2+450，
∴当x=7.5时，包装盒的侧面积最大.
故答案为：C.
【分析】在Rt△GBE中，根据勾股定理求得GE=x，在Rt△HEF中，根据勾股定理求得EH=，由侧面积公式得S侧=-8（x-）2+450，根据二次函数性质即可求得答案.
9．（2022九上·鄞州开学考）物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是
②小球抛出后，速度越来越快
③小球抛出时速度为0
④小球的高度时，
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：，
把O（0，0）代入得，解得，
函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，或，故④错误.
故答案为：D.
【分析】找出图象的最高点对应的纵坐标的值可判断①；小球抛出3秒后从最高点向下运动，据此判断②；小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，据此判断③；设函数解析式为h=a(t-3)2+40，将（0，0）代入求出a的值，得到函数解析式，令h=30，求出t的值，据此判断④.
10．（2020九上·安新期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为 （元/千克）（ ，且 是按0.5的倍数上涨），当日销售量为 （千克）．有下列说法：
①当 时， ② 与 之间的函数关系式为 ③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】当 时， ，故①符合题意；
由题意得： ，故②符合题意；
日销售利润为 ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴ 不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③不符合题意；
由上问可知： ，
即 ，
∵ ，
∴当 时， ，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④符合题意；
故正确的是①②④；
故答案为：B．
【分析】利用“每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克 ”列出y和x的函数关系式，再利用“总利润=每件利润×数量”可得w和x的函数关系式，再逐项判断即可。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·长春）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面　 　米．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意得B（40，4），H（0，20），A（-40，4），
设抛物线的解析式为，
将A（-40，4）代入解得，
∴，
∵两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，
∴抛物线的解析式变为，
当x=0时，y=19，
故答案为：19
【分析】先根据题意得到B（40，4），H（0，20），A（-40，4），进而运用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到平移后的抛物线解析式，再令x=0即可求解。
12．（2023·宜城模拟）某学生推铅球，铅球所经过的路线是抛物线的一部分，若这名学生出手点A（0，1.6），铅球路线最高处为B（6，4），则该学生将铅球推出的距离是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵铅球路线最高处为B（6，4），
∴可设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4.
∵这名学生出手点A（0，1.6），
∴1.6=a(0-6)2+4，
∴a= ，
∴y=(x-6)2+4，
令y=0，可得x1=6+，x2=6-（舍去），
∴该学生将铅球推出的距离是6+.
故答案为：6+.
【分析】由题意可设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4，将A（0，1.6）代入求出a的值，得到对应的函数解析式，然后令y=0，求出x的值即可.
13．（2023·宜阳模拟）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为　 　m.
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线表达式为，
当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面时，水面宽，
在抛物线上，即，解得，
抛物线的表达式为，
当水面下降时，，即，解得或，
当水面下降时，水面的宽度为，
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线表达式为y=ax2，由题意可得（2，-2）在抛物线上，代入求出a的值，得到抛物线的表达式，然后将y=-4代入求出x的值，进而进行解答.
14．（2021九上·瑞安期中）如图所示，从高为2m的点 处向右上抛一个小球 ，小球路线呈抛物线 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，已知 m， m， m，若小球弹起形成一条与 形状相同的抛物线，且落点 与 ， 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是　 　m
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
点A（0，2），抛物线的顶点（2，6）
设抛物线的解析式为
代入A点坐标得
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
点B的纵坐标为MN-EF-CD=4-1-1=2，
∴y=2时， ，
解得 ，
∴点B（4，2），
点D的横坐标=4-CB=4-1.2=2.8，点D的纵坐标2+1=3，
点D（2.8，3）
设直线BD解析式为 代入坐标得
解得
直线BD解析式为
当y=0时，
点Q（ ，0）
过B、Q的抛物线解析式为 ，代入坐标得
解得
∴小球弹起时的最大高度是 m.
故答案为 ：.
【分析】以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，2），顶点坐标为（2，6），设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+6，将点A代入求出a，可得抛物线的解析式，点B的纵坐标为MN-EF-CD=2，令y=2，求出x，可得B（4，2），同理可得D（2.8，3），利用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，求出x，可得Q（ ，0），过B、Q的抛物线解析式为y=-(x-m)2+n，将点B、Q代入求出m、n，据此解答.
15．（2020·温岭模拟）图1是一个高脚杯截面图， 杯体CBD呈抛物线状(杯体厚度不计) ，点B是抛物线的顶点，AB=9，EF=2 ，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD=4 ，此时最大深度(液面到最低点的距离)为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH=30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是　 　；此时杯体内液体的最大深度为　 　。
【答案】；
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点F作FQ⊥CD于点Q，将DF绕着点F旋转30°后为PF，过点P作PH⊥EF于点H，
由题意可知FG=9+12=21，DG=
∴
∴
∴cos∠PFG=
∵PH∥FG
∴∠PFG=∠FPH
∴
解之：；
∴ 当∠EFH=30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是.
建立平面直角坐标系，在DG的右下方的抛物线上任取点Q，过点Q作QP∥y轴，交DG于点P，过点Q作QM⊥DG于点M，
由题意可知DG绕点F顺时针旋转30°后与水平方向平行，
∴交旋转前DG与水平方向的交角为30°，
设直线DG的解析式为y=kx+b，
由题意可知D（），k=tan30°=
∴
解之：b=19
∴
设抛物线的函数解析式为y=ax2+9，将点D代入可知抛物线的解析式为y=x2+9
∴
解之：
∴点G；
设点Q（m，m2+9），P
∴
∴当时，PQ有最大值为
∴当PQ取最大值时S△DGQ的最大值为
∴
∴
∴当△DQG的面积最大时，QM的值最大，
∴
解之：QM=.
故答案为：；.
【分析】如图，过点F作FQ⊥CD于点Q，将DF绕着点F旋转30°后为PF，过点P作PH⊥EF于点H，根据已知条件求出FG，DG对策，利用勾股定理求出DF的长，再根据锐角三角函数的定义求出cos∠PFG的值；然后利用平行线的性质易证∠PFG=∠FPH，利用解直角三角形求出PH的长即可；建立平面直角坐标系，在DG的右下方的抛物线上任取点Q，过点Q作QP∥y轴，交DG于点P，过点Q作QM⊥DG于点M，由题意可知DG绕点F顺时针旋转30°后与水平方向平行，可得到交旋转前DG与水平方向的交角为30°，设直线DG的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出其函数解析式，设抛物线的函数解析式为y=ax2+9，将点D代入可知抛物线的解析式为y=x2+9将此函数解析式与抛物线联立方程组，求出点G的坐标，利用函数解析式设点Q，P的坐标，可得到PQ关于m的函数解析式，由此可得到当PQ取最大值时S△DGQ的最大值，利用勾股定理求出DG，根据当△DQG的面积最大时，QM的值最大，由此建立关于QM的方程，解方程求出MQ的值即可求解。
三、解答题（共7题，共65分）
16．（2023·青岛模拟）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x（场） 3 10 25
p（万元） 10.6 12 14.2
（2）求p与x之间满足的函数关系式；
（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
（4）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：设基本价为，
①第1场～第20场，且为正整数，
设与的函数关系式为，
依题意得，解得，
∴．
第21场～第40场，即且为正整数时，
设与的函数关系式为，即．
依题意得，解得，
∴，
综上所述，其中为正整数；
（3）解：当时，，
解得；
，解得．
故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场.
（4）解：设每场获得的利润为（万元）．
当且为正整数时，
，
∵在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∴当时，最大，最大利润为（万元）．
当且为正整数时，，
∵随的增大而减小，
∴当时，最大，最大利润为（万元），
∵，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：当x=5时，y=45，
∴y与x的函数关系式为y=50-x.
【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）分类讨论，利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ，最后解方程求解即可；
（4）分类讨论，利用利润公式求函数解析式即可。
17．（2019九上·汕头月考）某工厂用 天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件 元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第 天的生产成本 （元/件）与 （天）之间的关系如图所示，第 天该产品的生产量 （件）与 （天）满足关系式
（1）第 天，该厂生产该产品的利润是　 　元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于 元的共有多少天？
【答案】（1）1600
（2）解：①设直线AB的解析式为 把 代入得
，解得
直线AB的解析式为
（Ⅰ）当 时
当 时，
（Ⅱ）当 时，
∵w随x的增大而减小
当
第 天的利润最大，最大利润为 元
②（Ⅰ）当 时，令 元
解得
抛物线 开口向下
由其图象可知，当 时，
此时，当天利润不低于2400元的天数为： 天
（Ⅱ）当 时，
由①可知当天利润均低于2400元
综上所述，当天利润不低于 元的共有 天
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为
则第40天的利润为：
故答案为1600
【分析】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为 ，则可求得第40天的利润．（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
18．（2023·黄岩模拟）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点A和的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与到高楼的水平距离x（m）之间的函数关系式为：．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员站在到高楼的水平距离为11m~12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距高始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
【答案】（1）解：依题意顶点坐标为，设抛物线解析式为，
将点代入得，
解得：
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
（2）解：不能，理由如下，
依题意，抛物线向左平移2个单位得到
令，解得：，
∴水流不能到达点处，
（3）解：依题意，设水流到达墙面高度为，
设抛物线解析式为
当时，时，
解得：，则抛物线解析式为，
当时，，
当，时，
解得：，则抛物线解析式为，
当时，，
当时，时，，解得：
∴抛物线解析式为
当时，，
当，时，，解得：
∴抛物线解析式为
当时，，
∴，
综上所述，．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到抛物线的顶点坐标及点A的坐标，因此设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+16，再将点A的坐标代入可求出a的值，即可得到消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式.
（2）利用二次函数图象的平移规律可得到平移后的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，据此可作出判断.
（3）设水流到达墙面高度为d，设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+k，分别求出当x=11和a=时的k的值，可得到抛物线的函数解析式；再求出当x=0和的函数值；再求出当x=11，a=时的k的值，据此可得到此时的函数解析式，利用函数解析式求出当x=0时的函数值；再求出当x=12，a=时的k的值，可得到抛物线的函数解析式；再求出当x=0和的函数值；再求出当x=12，a=时的k的值，据此可得到此时的函数解析式，利用函数解析式求出当x=0时的函数值；综上所述可得到d的取值范围.
19．（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】（1）解：由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）解：（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2） （ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围即可。
20．（2022·石家庄模拟）如图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置，如图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，发射装置底部在轮廓线的点A处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为，从发射装置的发射点弹射一个小球（忽略空气阻力）时，小球的飞行路线为一段抛物线．
（1）直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；
（2）若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值；
（3）圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在上，其横坐标为14，轴，，．若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）解：；
∵与y轴交于点A，
∴，．由题意可知，抛物线经过点（4，8），
∴，解得．
∴抛物线的函数表达式；
∵小球与小山丘的竖直距离为1米，∴，
解得：（不合题意，舍去），，
∴当小球与小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离为12米；
（2）解：将代入抛物线，得，
∴最远着陆点在小山丘外的平地上，其坐标为（15，0）
将代入抛物线，得，
解得：
∵抛物线，∴小山丘顶坐标为，
∵当小球飞行到小山丘顶正上方，且与顶部距离不小于米时，
∴，解得：
∴b的取值范围是．
∵，∴抛物线，∴的顶点坐标为，
∵，∴当时，有最小值为．
∴小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值为米；
（3）解：b的取值范围：．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1)由题意可得点B的坐标为，
将代入中，
解得；
解：(3)∵抛物线
当时，，
∴，
∵，，∴，
当时，，
∴与CD的交点坐标为
若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），
则当时，，解得，
当时，，解得；
故b的取值范围：．
【分析】（1）由题意可得B（0，4），代入解析式可得c=4，又抛物线经过点（4，8），可得，求出，再根据题意列出方程求出x的值即可；
（2）将代入抛物线，得，求出，再根据题意列出求出可得，再求出的顶点坐标为，再结合可得当时，有最小值为；
（3）由题意可知，先求出与CD的交点坐标为，再分别将x=14和x=13代入求出，，即可得到。
21．（2022九上·义乌月考）如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB＝5，AD＝4．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．
（1）如图2，将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时EF恰好经过点A，请证明：△ADE∽△FGE；
（2）如图3，在（1）的条件下，小明先将△EFG的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．
（3）如图，在（1）的条件下，小明把该图形放在直角坐标系中，使B（G）为坐标原点BC为x轴，在x轴和y上分别找P，Q两点使△DPQ与△ABF相似，直接写出P点的坐标。
【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=∠FGE=90°，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵BE=BA，
∴∠FEB=∠BAE=∠AED，
∴△ADE∽△FGE
（2）解：如图2，∵BE=AB=GE=CD=5，BC=AD=4，
∴，
∴DE=CD-CE=5-3=2，
∵△ADE∽△FGE，
∴即
解之：BF=FG=10；
当0≤x≤4时，如图
∵BG=x，则BF=10-x，
∵HB∥EG，
∴△FBH∽△FGE，
∴即
解之：，
∴；
当4＜x≤10时，如图
∵BG=x，则BF=10-x，
∴CG=x-4，FC=FG-CG=10-（x-4）=14-x，
∵BH∥EG，
∴△FCM∽△FGE，
∴即
解之：；
；
∴.
（3） 解：如图，点P、Q分别在BC，AB上时，
∵在（1）的条件下，BF=10，
∵△DPQ∽△ABF
当∠DQP=∠ABF=90°，∠QDP=∠AFB
∴，
∴DQ=2QP；
∵∠DAQ=∠QOP=∠DQP=90°，
∴∠AQD+∠ADQ=90°，∠AQD+∠OQP=90°，
∴∠ADQ=∠OQP，
∴△ADQ∽△OQP，
∴即，
解之：OQ=2，OP=，
∴点P（，0）；
当∠QPD=90°时
∵△DPQ∽△ABF，
∴，
∵∠QOP=∠QPD=∠DPC=90°，
∴∠QPO+∠OQP=90°，∠DPC+∠QPO=90°，
∴∠DPC=∠OQP，
∴△CPD△OQP，
∴即，
解之：OP=，
∴点P（，0）；
当点P在x轴的负半轴，Q在y轴的负半轴时，
当∠DPQ=90°时，
∵△DPQ∽△ABF，
∴，
∵∠QOP=∠DCP=∠DPQ=90°，
∴∠QPO+∠OQP=90°，∠DPC+∠QPO=90°，
∴∠OQP=∠DPC，
∴△OQP∽△CPD，
∴即，
解之：OP=，
∴点P（，0）；
当∠DQP=90°时
同理可知，△AQD∽△OPQ，
即，
解之：BQ=2，OP=，
∴点P（，0）；
当点P在x轴的负半轴，点Q在y轴的正半轴时，
同理可知，△AQD∽△OPQ，
∴
解之：BQ=8，OP=6，
∴点P（-6，0）；
当点P在x轴的正半轴，点Q在y轴的负半轴，∠DPC=90°，
同理可知，△CDP∽△OPQ，
∴即，
解之：OP=10，
∴点P（10，0），
∴点P的坐标为（10，0）或（-6，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（，0）.
【知识点】勾股定理；平移的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可得到∠D=∠ABC=∠FGE=90°，AB∥CD，利用平行线的性质可推出∠AED=∠BAE，再根据等边对等角可知∠FEB=∠BAE=∠AED；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出CE的长，同时可求出DE的长，利用相似三角形的对应边成比例可求出BF，FG的长；再分情况讨论：当0≤x≤4时，用含x的代数式表示出BF的长，由HB∥EG，可证得△FBH∽△FGE，利用相似三角形的性质可表示出BH的长，然后利用梯形的面积公式可得到y与x的关系式；当4＜x≤10时，用含x的代数式表示出BF，CG，FG的长，由BH∥EG，可证得△FCM∽△FGE，利用相似三角形的对应边成比例，可表示出CM的长；然后利用梯形的面积公式可得到y与x的关系式，即可求解.
（3）在（1）的条件下，可知BF=10，分情况讨论：点P、Q分别在BC，AB上时，当∠DQP=∠ABF=90°，∠QDP=∠AFB，利用△DPQ∽△ABF，可得到DQ和PQ的比值，再利用余角的性质可证得∠ADQ=∠OQP，根据有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ADQ∽△OQP，利用相似三角形的对应边成比例可得到，由此可求出OQ，OP的长，即可得到点P的坐标；当∠QPD=90°时，同理可得到DP与PQ的比值，利用余角的性质可证得∠DPC=∠OQP，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CPD△OQP，利用相似三角形的对应边成比例可求出OP的长，可得到点P的坐标；当点P在x轴的负半轴，Q在y轴的负半轴时，又有两种情况：当∠DPQ=90°时，可得到DP与PQ的比值；同时可证得△OQP∽△CPD，利用相似三角形的对应边成比例可求出OP的长，可得到点P的坐标；当∠DQP=90°时；同理可知，△AQD∽△OPQ，利用相似三角形的对应边成比例可得到，据此可求出BQ，OP的长，可得到点P的坐标；当点P在x轴的负半轴，点Q在y轴的正半轴时，同理可得到，△AQD∽△OPQ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BQ，OP的长，可得到点P的坐标；当点P在x轴的正半轴，点Q在y轴的负半轴，∠DPC=90°，同理可知，△CDP∽△OPQ，利用相似三角形的性质可求出OP的长，即可得到点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
22．（2018九上·于洪期末）
（1）【探索发现】 如图1，是一张直角三角形纸片， ，小明想从中剪出一个以 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　.
（2）【拓展应用】如图2，在 中， ，BC边上的高 ，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值 用含a、h的代数式表示 ；
（3）【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE， ， ， ， ，小明从中剪出了一个面积最大的矩形 为所剪出矩形的内角 ，直接写出该矩形的面积.
【答案】（1）
（2）解： ，
∽ ，
，可得 ，
设 ，由 ，
当 时， 最大值为 .
（3）解：如图，过DE上的点P作 于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P作 于点H，
则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形，
设 ，则 ，
， ， ， ，
， ，
由 ∽ 知 ，
即 ，得 ，
，
则矩形BGPH的面积 ，
当 时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解： 、ED为 中位线，
， ， ， ，
又 ，
四边形FEDB是矩形，
则 ，
故答案为： ；
【分析】（1）由中位线知EF= BC、ED= AB、由 可得；（2）由△APN∽△ABC知 ，可得PN=a- ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ PN= ，据此可得；（3）结合图形过DE上的点P作PG⊥BC于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P作PH⊥AB，设PG=x，知PI=28-x，由△EIP∽△EKD知 ，据此求得EI= ，PH= ，再根据矩形BGPH的面积S= 可得答案.
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