【基础卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·渝中开学考）已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
2．（2022九上·翁源期末）小兰画了一个函数的图象如图，关于的方程的解是（ ）
A．无解 B． C． D．或
3．（2023·梅州模拟）二次函数与x轴交点个数情况为（ ）
A．有两个不同的交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法确定
4．（2022九上·将乐期中）由下表估算一元二次方程x2+12x＝15的一个根的范围，正确的是（ ）
x 1.0 1.1 1.2 1.3
x2+12x 13 14.41 15.84 17.29
A．1.0＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2
C．1.2＜x＜1.3 D．14.41＜x＜15.84
5．（2023九上·宿城期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·温岭期末）二次函数与x轴交于（1，0）、（－3，0），则关于x的方程的解为（ ）
A．1，3 B．1，－5 C．－1，3 D．1，－3
7．（2023·澄城模拟）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2023·柳南模拟）已知二次函数（k为常数）的图象与x轴的一个交点是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2023·花都模拟）已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2023九下·瑞安开学考）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2根是（ ）
A．x1＝-4，x2＝-3 B．x1＝-3，x2＝-2
C．x1＝-2，x2＝-1 D．x1＝-1，x2＝0
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·德城模拟）二次函数的部分对应值列表如下：
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
则一元二次方程的解为 ．
12．（2023九上·崇左期末）抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）.
13．（2023九上·长顺期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根为 ．
14．（2023·兴隆台模拟）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
15．（2022九上·上杭期中）已知方程的两个根为1和-3，则抛物线的对称轴为直线 .
三、解答题（共7题，共55分）
16．一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．
17．（2018九上·宁县期中）画出函数 的图像，观察函数图象，请直接写出方程 的根.
18．（2022九上·滁州期中）已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．
19．（2020九上·宜春月考）已知抛物线的解析式为 ，求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点．
20．（2022九上·平桂期末）若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.
21．（2021·四川模拟）已知抛物线 经过 、 两点，求关于x的一元二次方程 的解.
22．（2023·和平模拟）二次函数（，，为常数，）的顶点坐标为，与轴交于点和，与轴交于点．
（1）求二次函数解析式和点的坐标；
（2）一元二次方程的根为 ；
（3）当时，的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解： 二次函数的图像与 轴无交点，
∴
答案为：A
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系及根与判别式的关系，求判别式小于0时的k解集。
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：观察图象可得函数的图象与轴的交点坐标为、，
方程的解为或，
故答案为：D.
【分析】对于，当时，或， 即的解为或.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，方程为，
∵，，，
∴，
∴二次函数的图像与x轴有两个不同交点，
故答案为：A．
【分析】将二次函数的图象与x轴的交点个数问题转为根的判别式求解即可。
4．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：，
一元二次方程的一个根的范围为.
故答案为：B.
【分析】由表格中的数据可得当x=1.1时，x2+12x=14.41；当x=1.2时，x2+12x=15.84，据此不难得到方程x2+12x=15的一个解的范围.
5．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的图象的对称轴方程为直线，
∵二次函数的图象经过点，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴方程解为，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），接下来根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
6．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2-bx-5的图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2-bx=5，即ax2-bx-5=0的解为x1＝1，x2＝-3.
故答案为：D.
【分析】由二次函数与一元二次方程之间的关系，即抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的根，据此解答即可．
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（-1，0）、（2，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=2.
故答案为：A.
【分析】二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的根，据此解答.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数（k为常数）的图象与x轴的一个交点是，
∴二次函数（k为常数）的图象与x轴的另一个交点是，
∴方程的两个实数根为，，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），然后根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为（-1，），
又关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点所在象限是第二象限，
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线顶点坐标为（-1，），再求出，最后判断即可。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c向左平移3个单位，向下平移2个单位得到a(x+3)2+b(x+3)+c-2＝0，
则原抛物线向下平移2个单位，则此时抛物线和x轴的交点坐标为（0，0）、（1，0），
此时，再将抛物线向左平移3个单位，则此时抛物线和x轴的交点坐标为（-3，0）、（-2，0），
即x＝-3或-2.
故答案为：B.
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c向左平移3个单位，向下平移2个单位得到a(x+3)2+b(x+3)+c-2＝0，将原抛物线向下平移2个单位，此时抛物线和x轴的交点坐标为（0，0）、（1，0），将其向左平移3个单位长度即可得到方程的解.
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：对于二次函数，
∵时，；时，，
即方程一元二次方程的两根为，
把一元二次方程看作关于的一元二次方程，
∴或，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，结合题意可得方程一元二次方程的两根为，把一元二次方程看作关于的一元二次方程，解之即可。
12．【答案】0.3或1.7
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、，
又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根，
∴方程的两个近似根是0.3 或1.7.
故答案为：0.3或1.7.
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
13．【答案】x=-1或x=3
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式可得对称轴为直线x=1，由图象可得与x轴的一个交点为（3，0），则另一个交点为（-1，0），
∴方程ax2-2ax-m=0的解为x=-1或x=3.
故答案为：x=-1或x=3.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴，由图象可得与x轴的一个交点的坐标，然后根据对称性求出另一个交点的坐标，进而可得方程的解.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】①当k-3=0，即k=3时，函数为y=2x+0.5为一次函数，函数与x轴有交点符合题意；
②当k-3≠0，即k≠3时，函数为二次函数，
∵二次函数与x轴有交点，
∴△≥0，即，
解得：
∴且k≠3，
综上所述，k的取值范围是.
【分析】分类讨论，再利用二次函数与x轴的交点问题转换为一元二次方程根的判别式求解即可。
15．【答案】x=-1
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：方程的两个根为1和-3，
抛物线与x轴的交点横坐标分别为1和-3，
抛物线的对称轴为直线.
故答案为：x=-1.
【分析】由方程的两个根为1和-3，可得抛物线与x轴的交点横坐标分别为1和-3，根据抛物线的对称性求出对称轴即可.
16．【答案】解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值；
当y=1时，x2+7x+9=1，
∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈﹣5.6或﹣1.4，
∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为x1≈﹣5.6，x2≈﹣1.4．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】画出二次函数y=x2+7x+9的图象，则一元二次方程x2+7x+9=1的根为图象中y=1时x的值．
17．【答案】解：y=x2+2x-3=（x+1）2-4， ∴图象的顶点为（-1，-4）， 当y=0，则0=（x+1）2-4， 解得：x1=1，x2=-3， ∴图象与x轴交点坐标为：（1，0），（-3，0）， 故函数图形如图所示， 观察图象，方程x2+2x-3=0的解为：x1=1，x2=-3.
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】观察此函数图象，可得出抛物线与x轴的两交点坐标。根据抛物线 与x轴的两交点的横坐标就是一元二次方程 的两个根。 即可求解。
18．【答案】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴方程有两个实数根．
解得.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将抛物线与x轴交点的个数转换为一元二次方程根的判别式列出不等式，再求出即可。
19．【答案】解：令y=0，
∴ >0
∴无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的判别式求解即可。
20．【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得.
将代入中，得：，
解得，.
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】利用二次函数的对称轴公式
即可算出b的值，将求得的b代入方程，用因式分解法解关于x的一元二次方程即可.
21．【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（4，0），
∴ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4，
∵方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程，
∴x-1=-3或x-1=4，
解得x1=-2，x2=5.
故答案为x1=-2，x2=5.
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由点A，B的坐标可知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标就是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根；再将方程转化为a（x-1）2+b（x-1）+c=0，由此可得到x-1=-3或x-1=4，分别求出两个关于x的一元一次方程的解即可.
22．【答案】（1）解：∵二次函数的顶点坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线与轴交于两点，
∴点A与点B关于直线对称，
∵，
∴，
把，，分别代入，得：
，
解得，，
∴，
当时，，
∴
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴方程的根为：
故答案为：；
（3）∵
∴抛物线开口向下，如图，
由图象知，在范围内，y有最大值为4，有最小值为0，
∴y的取值范围为，
故答案为：
【分析】（1）将点，，分别代入，求出a、b、c的值可得函数解析式，再求出点C的坐标即可；
（2）利用二次函数的图象与一元二次方程的关系求解即可；
（3）结合函数图象直接求解即可。
1 / 1【基础卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·渝中开学考）已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解： 二次函数的图像与 轴无交点，
∴
答案为：A
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系及根与判别式的关系，求判别式小于0时的k解集。
2．（2022九上·翁源期末）小兰画了一个函数的图象如图，关于的方程的解是（ ）
A．无解 B． C． D．或
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：观察图象可得函数的图象与轴的交点坐标为、，
方程的解为或，
故答案为：D.
【分析】对于，当时，或， 即的解为或.
3．（2023·梅州模拟）二次函数与x轴交点个数情况为（ ）
A．有两个不同的交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法确定
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，方程为，
∵，，，
∴，
∴二次函数的图像与x轴有两个不同交点，
故答案为：A．
【分析】将二次函数的图象与x轴的交点个数问题转为根的判别式求解即可。
4．（2022九上·将乐期中）由下表估算一元二次方程x2+12x＝15的一个根的范围，正确的是（ ）
x 1.0 1.1 1.2 1.3
x2+12x 13 14.41 15.84 17.29
A．1.0＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2
C．1.2＜x＜1.3 D．14.41＜x＜15.84
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：，
一元二次方程的一个根的范围为.
故答案为：B.
【分析】由表格中的数据可得当x=1.1时，x2+12x=14.41；当x=1.2时，x2+12x=15.84，据此不难得到方程x2+12x=15的一个解的范围.
5．（2023九上·宿城期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的图象的对称轴方程为直线，
∵二次函数的图象经过点，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴方程解为，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），接下来根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
6．（2023九上·温岭期末）二次函数与x轴交于（1，0）、（－3，0），则关于x的方程的解为（ ）
A．1，3 B．1，－5 C．－1，3 D．1，－3
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2-bx-5的图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2-bx=5，即ax2-bx-5=0的解为x1＝1，x2＝-3.
故答案为：D.
【分析】由二次函数与一元二次方程之间的关系，即抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的根，据此解答即可．
7．（2023·澄城模拟）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（-1，0）、（2，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=2.
故答案为：A.
【分析】二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的根，据此解答.
8．（2023·柳南模拟）已知二次函数（k为常数）的图象与x轴的一个交点是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数（k为常数）的图象与x轴的一个交点是，
∴二次函数（k为常数）的图象与x轴的另一个交点是，
∴方程的两个实数根为，，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），然后根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
9．（2023·花都模拟）已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为（-1，），
又关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点所在象限是第二象限，
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线顶点坐标为（-1，），再求出，最后判断即可。
10．（2023九下·瑞安开学考）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a（x+3）2+b（x+3）+c＝2根是（ ）
A．x1＝-4，x2＝-3 B．x1＝-3，x2＝-2
C．x1＝-2，x2＝-1 D．x1＝-1，x2＝0
【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c向左平移3个单位，向下平移2个单位得到a(x+3)2+b(x+3)+c-2＝0，
则原抛物线向下平移2个单位，则此时抛物线和x轴的交点坐标为（0，0）、（1，0），
此时，再将抛物线向左平移3个单位，则此时抛物线和x轴的交点坐标为（-3，0）、（-2，0），
即x＝-3或-2.
故答案为：B.
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c向左平移3个单位，向下平移2个单位得到a(x+3)2+b(x+3)+c-2＝0，将原抛物线向下平移2个单位，此时抛物线和x轴的交点坐标为（0，0）、（1，0），将其向左平移3个单位长度即可得到方程的解.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·德城模拟）二次函数的部分对应值列表如下：
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
则一元二次方程的解为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：对于二次函数，
∵时，；时，，
即方程一元二次方程的两根为，
把一元二次方程看作关于的一元二次方程，
∴或，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，结合题意可得方程一元二次方程的两根为，把一元二次方程看作关于的一元二次方程，解之即可。
12．（2023九上·崇左期末）抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）.
【答案】0.3或1.7
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、，
又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根，
∴方程的两个近似根是0.3 或1.7.
故答案为：0.3或1.7.
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答.
13．（2023九上·长顺期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根为 ．
【答案】x=-1或x=3
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式可得对称轴为直线x=1，由图象可得与x轴的一个交点为（3，0），则另一个交点为（-1，0），
∴方程ax2-2ax-m=0的解为x=-1或x=3.
故答案为：x=-1或x=3.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴，由图象可得与x轴的一个交点的坐标，然后根据对称性求出另一个交点的坐标，进而可得方程的解.
14．（2023·兴隆台模拟）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】①当k-3=0，即k=3时，函数为y=2x+0.5为一次函数，函数与x轴有交点符合题意；
②当k-3≠0，即k≠3时，函数为二次函数，
∵二次函数与x轴有交点，
∴△≥0，即，
解得：
∴且k≠3，
综上所述，k的取值范围是.
【分析】分类讨论，再利用二次函数与x轴的交点问题转换为一元二次方程根的判别式求解即可。
15．（2022九上·上杭期中）已知方程的两个根为1和-3，则抛物线的对称轴为直线 .
【答案】x=-1
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：方程的两个根为1和-3，
抛物线与x轴的交点横坐标分别为1和-3，
抛物线的对称轴为直线.
故答案为：x=-1.
【分析】由方程的两个根为1和-3，可得抛物线与x轴的交点横坐标分别为1和-3，根据抛物线的对称性求出对称轴即可.
三、解答题（共7题，共55分）
16．一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．
【答案】解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值；
当y=1时，x2+7x+9=1，
∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈﹣5.6或﹣1.4，
∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为x1≈﹣5.6，x2≈﹣1.4．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】画出二次函数y=x2+7x+9的图象，则一元二次方程x2+7x+9=1的根为图象中y=1时x的值．
17．（2018九上·宁县期中）画出函数 的图像，观察函数图象，请直接写出方程 的根.
【答案】解：y=x2+2x-3=（x+1）2-4， ∴图象的顶点为（-1，-4）， 当y=0，则0=（x+1）2-4， 解得：x1=1，x2=-3， ∴图象与x轴交点坐标为：（1，0），（-3，0）， 故函数图形如图所示， 观察图象，方程x2+2x-3=0的解为：x1=1，x2=-3.
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】观察此函数图象，可得出抛物线与x轴的两交点坐标。根据抛物线 与x轴的两交点的横坐标就是一元二次方程 的两个根。 即可求解。
18．（2022九上·滁州期中）已知抛物线与x轴有交点，求m的取值范围．
【答案】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴方程有两个实数根．
解得.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将抛物线与x轴交点的个数转换为一元二次方程根的判别式列出不等式，再求出即可。
19．（2020九上·宜春月考）已知抛物线的解析式为 ，求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点．
【答案】解：令y=0，
∴ >0
∴无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的判别式求解即可。
20．（2022九上·平桂期末）若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.
【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得.
将代入中，得：，
解得，.
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】利用二次函数的对称轴公式
即可算出b的值，将求得的b代入方程，用因式分解法解关于x的一元二次方程即可.
21．（2021·四川模拟）已知抛物线 经过 、 两点，求关于x的一元二次方程 的解.
【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（4，0），
∴ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4，
∵方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程，
∴x-1=-3或x-1=4，
解得x1=-2，x2=5.
故答案为x1=-2，x2=5.
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由点A，B的坐标可知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标就是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根；再将方程转化为a（x-1）2+b（x-1）+c=0，由此可得到x-1=-3或x-1=4，分别求出两个关于x的一元一次方程的解即可.
22．（2023·和平模拟）二次函数（，，为常数，）的顶点坐标为，与轴交于点和，与轴交于点．
（1）求二次函数解析式和点的坐标；
（2）一元二次方程的根为 ；
（3）当时，的取值范围是 ．
【答案】（1）解：∵二次函数的顶点坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线与轴交于两点，
∴点A与点B关于直线对称，
∵，
∴，
把，，分别代入，得：
，
解得，，
∴，
当时，，
∴
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴方程的根为：
故答案为：；
（3）∵
∴抛物线开口向下，如图，
由图象知，在范围内，y有最大值为4，有最小值为0，
∴y的取值范围为，
故答案为：
【分析】（1）将点，，分别代入，求出a、b、c的值可得函数解析式，再求出点C的坐标即可；
（2）利用二次函数的图象与一元二次方程的关系求解即可；
（3）结合函数图象直接求解即可。
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