【培优卷】2.5二次函数与一元二次方程—北师大版数学九年级下册同步测试

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名称 【培优卷】2.5二次函数与一元二次方程—北师大版数学九年级下册同步测试
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2023-09-17 12:55:16

文档简介

【培优卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(2023·南充)抛物线与x轴的一个交点为,若,则实数的取值范围是(  )
A. B.或
C. D.或
2.(2023·郧西模拟)如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m< n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根,且a< b, 则a、b、m、n的大小关系是(  )
A.a < m< b< n B.a< m< n< b
C.m < a< b< n D.m< a< n< b
3.(2022九下·杭州期中)已知二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象交于(x1,y1)和(x2,y2)两点,(  )
A.若a<0,m<0,则x1+x2>2h B.若a>0,m<0,则x1+x2>2h
C.若x1+x2>2h, 则a>0,m>0 D.若x1+x2<2h,则a>0,m<0
4.(2021九下·福州开学考)方程 (k是实数)有两个实根 、 ,且 , ,那么k的取值范围是(  )
A. B.
C. 或 D.无解
5.(2022·建华模拟)如图,抛物线 经过点 和 ,则下列结论:① ;② ;③ ;④ ;⑤若双曲线 经过点 ,则以 、 为根的一元二次方程是 .其中正确结论的个数为(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6.(2021·河南模拟)抛物线(a,b,c为常数,)经过两点,下列四个结论:
①一元二次方程的根为;②若点在该抛物线上,则;③对于任意实数t,总有;④对于a的每一个确定值,若一元二次方程(p为常数,)的根为整数,则p的值只有两个.其中正确的结论是(  )
A.①② B.①②③ C.①③ D.①③④
7.(2017·荆州)规定:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论:
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程;
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,则a=±3;
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是(2,0)和(4,0);
④若点(m,n)在反比例函数y= 的图象上,则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.
上述结论中正确的有(  )
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
8.(2017·蓝田模拟)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC,则下列结论:
①abc>0;②9a+3b+c<0;③c>﹣1;④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为﹣
其中正确的结论个数有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.(2022九上·东阳月考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点B的坐标为(1,0)其图象如图所示,下列结论:①abc<0; ②2a-b=0; ③一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1;④当y>0时,-3<x<1;⑤当x>0时,y随x的增大而增大;⑥若点E(-4,y1),F(-2,y2),M(3,y3)是函数图象上的三点,则y1>y2>y3,其中正确的有(  )个
A.5 B.4 C.3 D.2
10.(2023·莱阳模拟)已知二次函数的部分图象如图所示,图象过点,对称轴为直线,下列结论:①;②;③;④若点在该函数图象上,则;⑤若方程的两根为和,且,则.其中正确的结论有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题(每题3分,共15分)
11.(2021九上·铁东期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(﹣1,0),(0,4),(t,4)三点,当t≥3时,一元二次方程ax2+bx+c=n一定有实数根,则n的取值范围是    .
12.(2020九上·海门月考)若关于x的一元二次方程 的两个不等实数根都在-1和1之间(不包括-1,1),则a的取值范围是   .
13.(2022九下·东阳期中)已知,二次函数,规定,若使的正数x有且只有三个,则a的取值范围是   .
14.(2023·黄冈模拟)已知抛物线(a,b,c是常数)开口向下,过,且.下列四个结论:
①;②若,则;
③若点,在抛物线上,,且,则;
④当时,关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根.其中正确的是   (填写序号).
15.(2022九上·北仑期中)对于实数a,b,定义运算“*”:; ,关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根,则m的取值范围是    .
三、解答题(共7题,共55分)
16.(2023·云南)数和形是数学研究客观物体的两个方面,数(代数)侧重研究物体数量方面,具有精确性、形(几何)侧重研究物体形的方面,具有直观性.数和形相互联系,可用数来反映空间形式,也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题,充分利用代数、几何各自的优势,数形互化,共同解决问题.
同学们,请你结合所学的数学解决下列问题.
在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点.设函数(实数为常数)的图象为图象.
(1)求证:无论取什么实数,图象与轴总有公共点;
(2)是否存在整数,使图象与轴的公共点中有整点?若存在,求所有整数的值;若不存在,请说明理由.
17.(2023·鲁甸模拟)已知抛物线的顶点坐标为,设是拋物线与轴交点的横坐标.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求的值.
18.(2023九下·长沙月考)我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点,如点,点.
(1)函数的双语点是   ;
(2)函数(k为常数,目)上是否存在双语点?若存在,求出双语点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)函数的图象上只有唯一一个双语点,且当时,m的最小值为k,求实数k的值.
19.(2023·株洲)已知二次函数.
(1)若,且该二次函数的图象过点,求的值;
(2)如图所示,在平面直角坐标系中,该二次函数的图象与轴交于点,且,点D在上且在第二象限内,点在轴正半轴上,连接,且线段交轴正半轴于点,.
①求证:.
②当点在线段上,且.的半径长为线段的长度的倍,若,求的值.
20.(2019·江陵模拟)已知关于x的一元二次方程ax2+x+2=0.
(1)求证:当a<0时,方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根;
(2)若代数式﹣x2+x+2的值为正整数,且x为整数时,求x的值;
(3)当a=a1时,抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M(m,0);当a=a2时,抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N(n,0);若点M在点N的左边,试比较a1与a2的大小.
21.(2020九上·江津月考)借鉴已有研究函数的经验,探索函数 的图象与性质,研究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
其中:    ,    .
(2)根据列表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出函数图象;
(3)观察函数图象:
①写出函数的一条性质   
②当方程 有且仅有两个不相等的实数根,根据函数图象直接写出b的取值范围.   .
22.(2022·抚州模拟)我们约定[a,b,c]为二次函数的“相关数”.
【特例感知】
“相关数”为[1,4,3]的二次函数的解析式为,
“相关数”为[2,5,3]的二次函数的解析式为;
“相关数”为[3,6,3]的二次函数的解析式为;
(1)下列结论正确的是   (填序号).
①抛物线,,都经过点;
②抛物线,,与直线都有两个交点;
③抛物线,,有两个交点.
(2)【形成概念】
把满足“相关数”为[n,n+3,3](n为正整数)的抛物线称为“一簇抛物线”,分别记为,,,…,.抛物线与x轴的交点为,.
【探究问题】
①“—簇抛物线”,,,…,都经过两个定点,这两个定点的坐标分别为   .
②拋物线的顶点为,是否存在正整数n,使是直角三角形?若存在,请求出n的值;若不存在,请说明理由.
③当时,抛物线与x轴的左交点,与直线的一个交点为,且点不在y轴上.判断和是否相等,并说明理由.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:∵与x轴的一个交点为,
∴存在实数根,
∴,
解得,
当k≤-5时,画出图像如图所示:
∴当x=-2时,,
解得,
当k≥1时,画出图像如图所示:
当x=-2时,,
解得,
∴,
故答案为:B
【分析】先根据题意得到存在实数根,进而运用一元二次方程的判别式即可得到,再分类讨论结合题意即可求解。
2.【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵ m、n(m< n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根 ,
∴ 函数y= 1-(x-a)(x-b) 的图象与x轴的交点为(m,0),(n,0),
将二次函数y= 1-(x-a)(x-b) 向下平移一个单位可得二次函数y=-(x-a)(x-b)的图象,
∵函数y=-(x-a)(x-b)与x轴交点坐标为(a,0)(b、0),
两函数图象如图:

∴ m < a< b< n ;
故答案为:C.
【分析】由m、n(m< n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根 ,可得函数y= 1-(x-a)(x-b) 的图象与x轴的交点为(m,0),(n,0),将二次函数y= 1-(x-a)(x-b) 向下平移一个单位可得二次函数y=-(x-a)(x-b)的图象,即得平移后函数图象与x轴的交点坐标为(a,0)(b、0),画出两函数草图,根据交点的位置,即得 a、b、m、n的大小关系 .
3.【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用;不等式的性质
【解析】【解答】解:∵y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=mx+n(m≠0)交于(x1,y1)和(x2,y2) ,
∴y=ax2-2ahx+ah2+k=mx+n,
整理得:ax2-(2ah+m)x+ah2+k-n=0,
∴x1+x2=,即x1+x2=2h+,
A、若a<0,m<0,
∴>0,
∴x1+x2=2h+>2h,
∴A选项符合题意;
B、若a>0,m<0,
∴<0,
∴x1+x2=2h+<2h,
∴B选项不符合题意;
C、若x1+x2>2h,
∴2h+>2h,
∴>0,
∴a和m同号,
∴C选项不符合题意;
D、若x1+x2<2h,
∴2h+<2h,
∴<0,
∴a和m异号,
∴D选项不符合题意.
故答案为:A.
【分析】由y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=mx+n(m≠0)交于(x1,y1)和(x2,y2) ,可联立方程,利用根与系数关系求得x1+x2=2h+,再通过不等式性质,逐项进行分析判断,即可得出正确答案.
4.【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:设f(x)= ,抛物线开口向上,画出f(x)的大致图形,可以得到f(0)= >0,解得k>2或k<-1;f(1)=7-k-13 <0,解得-20,解得k<0或k>3,可利用穿针引线法求得他们的公共部分得到 或 ,故答案为:C.
【分析】设f(x)= ,可得抛物线开口向上, 由于方程 的两个实数根在 , ,根据函数图象可得f(0)>0,f(1) <0,f(2) >0,求出不等式解集的公共部分即可.
5.【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:①将点(0,-3)代入函数解析式,得 ,
故①符合题意;
②由图像可知 时, ,当 时, ,
故②不符合题意;
③有图像可知,函数与x轴有两个交点,
∴ ,
∴ ,
故③不符合题意;
④将(1,0)代入函数解析式的得 ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
故④不符合题意;
⑤∵ ,
∴点(ac,b)为(-3a,b),代入 ,得 ,
由 ,
解得 , ,

则 ,
∴ ,
故⑤符合题意;
故答案为:A.
【分析】①常数项c的值等于抛物线与y轴交点的纵坐标值;②④明确自变量x取特殊值时对应的函数值;③抛物线与x轴有交点时,对应的一元二次方程有两个实数根,此时根的判别式大于或等于0;⑤利用一元二次方程根与系数的关系,结合双曲线的性质即可。
6.【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵抛物线 ( ,b,c为常数, <0)经过A(2,0),B(-4,0)两点,
∴当 =0时,0= 的两个根为 =2, =﹣4,故①正确;
该抛物线的对称轴为直线 ,函数图象开口向下,若点C(-5, ),D(π, )在该抛物线上,则 > ,故②错误;
当 =-1时,函数取得最大值 ,故对于任意实数t,总有 ≤ ,即对于任意实数t,总有 ,故③正确;
对于 的每一个确定值,若一元二次方程 (p为常数,p>0)的根为整数,则两个根为-3和1或-2和0或-1和-1,故p的值有三个,故④错误;
故答案为:C.
【分析】①抛物线 与x轴交点的横坐标即为一元二次方程的根,据此判断即可;②先求就出抛物线的对称轴,再根据二次函数的对称性及增减性即可判断;③当 =-1时,函数取得最大值 ,从而得出对于任意实数t,总有 ≤ ,据此即可判断;④根据抛物线(a,b,c为常数,)经过两点 ,对于 的每一个确定值,若一元二次方程 (p为常数,p>0)的根为整数,则两个根为-3和1或-2和0或-1和-1,据此即可判断.
7.【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:①由x2+2x﹣8=0,得
(x﹣4)(x+2)=0,
解得x1=4,x2=﹣2,
∵x1≠2x2,或x2≠2x1,
∴方程x2+2x﹣8=0不是倍根方程.
故①错误;
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,
∴设x2=2x1,
∴x1 x2=2x12=2,
∴x1=±1,
当x1=1时,x2=2,
当x1=﹣1时,x2=﹣2,
∴x1+x2=﹣a=±3,
∴a=±3,故②正确;
③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,
∴x2=2x1,
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3,
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是(2,0)和(4,0),
故③正确;
④∵点(m,n)在反比例函数y= 的图象上,
∴mn=4,
解mx2+5x+n=0得x1=﹣ ,x2=﹣ ,
∴x2=4x1,
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程;
故选C.
【分析】①通过解方程得到该方程的根,结合“倍根方程”的定义进行判断;②设x2=2x1,得到x1 x2=2x12=2,得到当x1=1时,x2=2,当x1=﹣1时,x2=﹣2,于是得到结论;③根据“倍根方程”的定义即可得到结论;④若点(m,n)在反比例函数y= 的图象上,得到mn=4,然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论;
8.【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解:
由图象开口向下,可知a<0,
与y轴的交点在x轴的下方,可知c<0,
又对称轴方程为x=2,所以﹣ >0,所以b>0,
∴abc>0,故①正确;
由图象可知当x=3时,y>0,
∴9a+3b+c>0,故②错误;
由图象可知OA<1,
∵OA=OC,
∴OC<1,即﹣c<1,
∴c>﹣1,故③正确;
假设方程的一个根为x=﹣ ,把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0,
整理可得ac﹣b+1=0,
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0,
即方程有一个根为x=﹣c,
由②可知﹣c=OA,而当x=OA是方程的根,
∴x=﹣c是方程的根,即假设成立,故④正确;
综上可知正确的结论有三个,
故答案为:C.
【分析】抛物线开口由a决定,9a+3b+c可由x=3时的函数值看出,由OA=OC可知OA=-c,由图像知ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-c,由根与系数关系得-cx2=,另一个根为.
9.【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:∵抛物线的开口向上,
∴a>0,
又∵对称轴是直线x=-1,
∴b>0,
∵抛物线与y轴交在y轴的负半轴,
∴c<0,
∴abc<0,
∴①符合题意;
∵-=-1,
∴2a-b=0,
∴②符合题意;
又∵抛物线与x轴的一个交点B的坐标为(1,0),
∴与x轴的另一个交点为(-3,0),
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1,
∴③符合题意;
由图象可知:y>0时,相应的x的取值范围为x<-3或x>1,
∴④不符合题意;
∵x>-1时,y随x的增大而增大,
∴当x>0时,y随x的增大而增大,
∴⑤符合题意;
∵x<-1时,y随x的增大而减小,-4<-2,
∴y1>y2,(3,y3)离对称轴远,
∴y3>y1,
∴y3>y1>y2,
∴⑥不符合题意,
综上所述,正确的结论有4个.
故答案为:B.
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置,可判断系数的符号,从而判断①;根据对称轴为-=-1,变形可得2a-b=0,即可判断②;根据一元二次方程根与抛物线与x轴交点坐标横坐标的关系,可判断③;由图象可知,当y>0时,相应的x的取值范围为x<-3或x>1,可判断④;根据二次函数的增减性,即x>-1时,y随x的增大而增大,可得当x>0时,y随x的增大而增大,可判断⑤;利用二次函数增减性及抛物线上点的坐标特征,可得y3>y1>y2,从而判断⑥,据此逐项分析进行判断即可.
10.【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数的三种形式;利用二次函数图象求一元二次方程的近似根;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】如下图所示,补全函数图象,
∵抛物线图像开口向下,过点(-1,0),其对称轴为直线x=2,
∴ ,




由图像增减性可知,当x=3时,对应的抛物线y值大于0,

点 在图像上的位置如图所示,易知 ,即④若点在该函数图象上,则 ,错误,
当抛物线y值为-3时,即 ,易知 ,即 ⑤若方程的两根为和,且,则 ,正确。
综上所述,结论中正确的有:①、②、⑤,共3个结论正确,
故答案为:B。
【分析】此题考察二次函数图象的性质及图像与系数、常数项的关系,灵活掌握二次函数几种形式的等量变换是解题的关键;一般情况下,二次函数图象的残图都需要根据题意补全才能正确解题;此种题型是中考常考题型,综合性较强,难度较大。
11.【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(﹣1,0),(0,4)
∴ ,

根据题意,分 和 两种情况分析;
当 时
∵y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(﹣1,0),(0,4)
∴y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴
∵y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(0,4),(t,4)

∴ ,即和t≥3相矛盾
∴ 不符合题意;
当 时,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图:
当 时,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移
∴随 增大,y=ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向左移动
根据题意,y=ax2+bx+c-n与x轴右侧交点的最小值,为 时,即
∴ ,即


∴ 时,y=ax2+bx+c最大值为


当 时,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向上平移;
∴随 减小,y=ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向右移动,即当t≥3时,一元二次方程ax2+bx+c=n一定有实数根

故答案为: .
【分析】先将点(﹣1,0),(0,4)代入函数解析式,得出c的值、a与b的关系,杂录对称性得出a与t的关系,再结合t≥3得出a为负数,结合方程与函数的关系,列出关于n与t之间的关系式,最后求得n的取值范围。
12.【答案】 或a<-2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解:当a>0时,函数图象开口向上,则:
解得: ;
当a<0时,函数图象开口向上,则:
解得: ;
故答案为: 或 .
【分析】由二次函数 与x轴的交点在(-1,0)与(1,0)之间,分当a>0和a<0时,根据函数图象开口方向、x=1和x=-1函数值的正负以及根与系数的关系进行解答即可.
13.【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:如图:
的顶点坐标为(1,-4)
当之间时,的正数x有且只有三个.
故答案为:.
【分析】根据题意画出y=|y|的图象,由y'=a的正数x有且只有三个的条件,利用数形结合的方法判断a的取值范围即可.
14.【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵对称轴,
∴对称轴在y轴右侧,
∴,
∵,
∴,故①正确;
当时,对称轴,
∴,
当时,,
∴,
∴,故②错误;
由题意,抛物线的对称轴直线,,
∵点,在抛物线上,,且,
∴点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离,
∴,故③正确;
设抛物线的解析式为,
方程,
整理得,,

∵,,
∴,
∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根.故④正确,
故答案为:①③④.
【分析】根据点A,B是抛物线与x轴的交点坐标,可求出抛物线的对称轴,利用开口向下,可知a<0,利用m的取值范围,可得到b的取值范围,可对①作出判断;将m的值代入对称轴,可表示出a,b的数量关系,将x=-1代入函数解析式,可对②作出判断;利用抛物线的对称轴和点M,N的坐标,可知点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离,可对③作出判断;利用点A,B的坐标,设函数解析式为y=a(x+1)(x-m),结合已知可得到a(x+1)(x-m)=1,根据一元二次方程根的判别式,可求出b2-4ac,利用a,m的取值范围,可证得b2-4ac>0,可对④作出判断;综上所述可得到正确结论的序号.
15.【答案】
【知识点】定义新运算;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:当2x 1≤x 1时,即x≤0,
(2x 1)*(x 1)=(2x 1)2 (2x 1)(x 1)=2x2 x,
当2x 1>x 1时,即x>0,
(2x 1)*(x 1)=(x 1)2 (2x 1)(x 1)= x2+x,
∴,
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ,
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点,
∵抛物线y=2x2-x(x≤0)的最低点作为(0,0),而顶点坐标为,对称轴直线为x=,故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点,且m的取值范围为m≥0,
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点,∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根,∴1-4m>0,解得,
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为(0,0)、(1,0),∴当m=0时,直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点,
综上所述m的取值范围为:,
即当时, 关于x的方程(2x 1)*(x 1)=m恰有三个不相等的实数根.
故答案为:.
【分析】首先根据定义新运算法则可得,从图象的角度来说直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点,抛物线y=2x2-x(x≤0)的最低点作为(0,0),而顶点坐标为,对称轴直线为x=,故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点,且m的取值范围为m≥0,从而得出直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点,根据根的判别式列出不等式,求解可得m取值范围,又由于抛物线y=2x2-x(x≤0)及y=-x2+x(x>0)与x轴的交点是(0,0)、(1,0),故m≠0,综上所述即可得出答案.
16.【答案】(1)证明:当时,,函数为一次函数,此时,令,则,解得,
∴一次函数与轴的交点为;
当时,,函数为二次函数,
∵,


∴当时,与轴总有交点,
∴无论取什么实数,图象与轴总有公共点;
(2)解:当时,不符合题意,
当时,对于函数,
令,则,
∴,
∴或
∴或,
∵,整数,使图象与轴的公共点中有整点,即为整数,
∴或或或或或或或,
解得或或(舍去)或(舍去)或或或(舍去)或(舍去),
∴或或或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;二次函数图象与坐标轴的交点问题;一次函数图象与坐标轴交点问题;二次函数图象与一元二次方程的综合应用;二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)可以分成两种情况:①二次项系数等于0,即时,函数(实数为常数) 为一次函数y=12x+6,此时可求得直线y=12x+6与x轴相较于点;②次项系数不等于0,即时, 函数为二次函数, 根据求出根的判别式=(10a-7)2≥0,于是可以证得结论;
(2)分成两种情况:①时:由(1)知,直线y=12x+6与x轴相较于点,不是整点,不符合题意;②时:令y=0,解方程 得或所以当 时,整数a要使图象T与x轴的公共点有整点,也就是要使x为整数,那么2a+1需要是6的约数,即2a+1=±1或2a+1=±2或2a+1=±3或2a+1=±6,分别求出a的值,同时,把不是整数的a舍去即可。
17.【答案】(1)解:抛物线的顶点坐标为,
,解得,
抛物线的解析式为.
(2)解:是抛物线与轴交点的横坐标,
是方程的根,
,,
,.

【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)根据二次函数的顶点坐标结合题意即可求解;
(2)先根据题意得到是方程的根,进而得到,,再将代数式化简代入数值即可求解。
18.【答案】(1)(-1,-2)
(2)解:不存在双语点,理由如下,
依题意,
即,
∴,
当时,解得:或
当时,无解
∴和;
∴当时,有两个双语点,分别为和;
当时,不存在双语点;
(3)解:依题意,
整理得,,
∵函数的图象上只有唯一一个双语点,
∴有相等的两个实数根,



对称轴为直线,开口向上,
当,时,,
即时,解得:,
当时,则当时,取得最小值
∵m的最小值为k

即,

∴原方程无解,
当时,则当时,取得小值,


解得:或(舍去)
综上所述:或.
【知识点】一次函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特征;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:(1)解:依题意,
解得:
∴函数的双语点是:(-1,-2);
故答案为:(-1,-2);
【分析】(1)根据题意可得方程组,解方程组,即可求出答案;
(2)根据题意可得方程组 ,由此得 , 然后分当k>0 与k<0 两种情况解答即可;
(3)易得 ,整理得 ,根据函数图象上只有唯一一个双语点,可得该方程根的判别式的值为0,据此建立出m关于n函数解析式,根据函数最值情况即可解决问题.
19.【答案】(1)解:∵,
∴二次函数解析式为,
∵该二次函数的图象过点,

解得:;
(2)解:①∵,,




∴;
②∵该二次函数的图象与轴交于点,且,
∴,,
∵.
∴,
∵的半径长为线段的长度的倍
∴,
∵,
∴,
∴,
即①,
∵该二次函数的图象与轴交于点,
∴是方程的两个根,
∴,
∵,,
∴,
即②,
①代入②,即,
即,
整理得,
∴,
解得:(正值舍去)
∴,
∴抛物线的对称轴为直线,
∴,
∴.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象与坐标轴的交点问题;相似三角形的判定与性质;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)运用待定系数法求二次函数即可得到解析式;
(2)①先根据相似三角形的判定与性质证明,进而结合题意即可求解;
②先根据二次函数与x的交点即可得到,,进而得到,再根据题意结合(1)即可得到①,再根据一元二次方程根的关系结合题意即可得到,进而得到②,①代入②整理化简即可得到,进而得到,再根据二次函数的对称轴结合题意即可求解。
20.【答案】(1)证明:△=1﹣8a.
∵a<0,∴﹣8a>0即:△>0,∴方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根.
(2)解:原式=﹣(x2﹣x﹣2)=
∵不论x为何值,﹣(x )2≤0,∴原式=﹣(x )2 .
∵代数式﹣x2+x+2的值为正整数,∴代数式﹣x2+x+2的值为1或2.
①当﹣x2+x+2=1时,这时x的值不是整数,不符合题意,舍去;
②当﹣x2+x+2=2时,解得:x=0或1.
答:x的值是0或1.
(3)解:∵当a=a1时,抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M(m,0),∴0=a1m2+m+2①.
∵当a=a2时,抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N(n,0),∴0=a2n2+n+2②,∴ ,∴ .
∵点M在点N的左边,且M、N均在x轴正半轴,∴m>0,n>0,m<n,∴mn+2m+2n>0,m﹣n<0,m2n2>0,∴a1﹣a2 ,∴a1<a2.
【知识点】公式法解一元二次方程;一元二次方程根的判别式及应用;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)由题意先计算b2-4ac的值,b2-4ac=1-8a;根据a<0可得-8a>0,所以1-8a>0,根据一元二次方程的根的判别式可知, 方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根 ;
(2)由题意先将代数式配方得:-x2+x+2=-(x-)2+;由非负数的性质可得:-(x-)2≤0, 所以-x2+x+2=-(x-)2+≤,再根据代数式的值是正整数可得 代数式﹣x2+x+2的值为1或2 ;根据这两种情况列方程即可求解,即:①当﹣x2+x+2=1时,②当﹣x2+x+2=2时 ;结合x为整数即可求解;
(3)由题意分别把a=a1,a=a2以及点M、N的坐标代入抛物线的解析式,可把a1和a2分别用含m和n的代数式表示出来,再求a1-a2的值即可。
21.【答案】(1)3;2
(2)解:如图所示;
(3)图象具有对称性,对称轴是直线x=1(答案不唯一);; 或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;二次函数图象与坐标轴的交点问题;利用二次函数图象求一元二次方程的近似根;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解:(1)把x= 2代入y=|x2 2x 3| 2,得y=3,
∴m=3,
把x=1代入y=|x2 2x 3| 2,得y=2,
∴n=2,
故答案为:3,2;
( 3 )①函数的性质:图象具有对称性,对称轴是直线x=1;
故答案为图象具有对称性,对称轴是直线x=1:
②由图象可知,当b= 2或b>2时,函数y=|x2 2x 3| 2图象与直线y=b有两个交点,
∵当方程|x2 2x 3|=b+2有且仅有两个不相等的实数根时,b=-2或b>2,
故答案为:b=-2或b>2.
【分析】(1)把x= 2和x=1分别代入y=|x2 2x 3| 2,即可求得;
(2)描点、连线画出图形;
(3)①根据图象即可求得;②根据图象即可求得.
22.【答案】(1)①②③
(2)解:①(0,3),(1,0)②存在n=1或n=5,理由:∵,∴,设抛物线的对称轴交x轴于点D,则,,由抛物线的对称性知,,∴当为直角三角形时,,∴,令,则x=1或,∴,,∴,∵,∴∵,∴当n-3=0时,顶点在x轴上,,,三点重合,不能构成三角形,∴n-3≠0,n≠0,∴,∴n=1或n=5;③,理由:在点处,,则x=1(舍去),或,∴为与x轴的左交点,则,∴,在点处,,则x=0(舍去),或,∴,为与直线的一个交点,点不在y轴上,∴,∴,∴.
【知识点】直角三角形的性质;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:(1)①当x=0时,=3,=3,=3,
∴抛物线,,都经过点;故①符合题意;
②∵直线y=3,
∴当=3时,解得x=0或x=4,∴抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(4,3);
当=3时,解得x=0或x=2.5,∴抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(2.5,3);
当=3时,解得x=0或x=2,∴抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(2,3);故②符合题意;
③当x=1时,=0,=0,=0,
∴抛物线,,都经过点(1,0)
∵抛物线,,都经过点
∴抛物线,,都经过点,(1,0)两点;故③符合题意;
故答案为:①②③;
(2)①“一簇抛物线”解析式为:



…,

当x=0时,,
当x=1时,,
故“一簇抛物线”都经过(0,3),(1,0)两点;
故答案为:(0,3),(1,0);
【分析】(1)①当x=0时,=3,=3,=3,则抛物线,,都经过点;故①符合题意;②根据题意可得:当=3时,解得x=0或x=4,抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(4,3);当=3时,解得x=0或x=2.5,抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(2.5,3);当=3时,解得x=0或x=2,抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(2,3);故②符合题意;③由题意可知当x=1时,=0,=0,=0,抛物线,,都经过点(1,0),由①可知抛物线,,都经过点,抛物线,,都经过点,(1,0)两点;故③符合题意;
(2)①根据题意先求出“一簇抛物线”解析式为:,当x=0时,,当x=1时,,故“一簇抛物线”都经过(0,3),(1,0)两点;②分为n3和n3两种情况,先求得与x轴的两个交点的坐标及 的坐标, 当满足Cn到x轴的距离等于抛物线与x轴的两交点之间的距离的一半时, 是直角三角形 ,从而列出方程求解;③求出在点处,,在点处,,可得结论。
1 / 1【培优卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(2023·南充)抛物线与x轴的一个交点为,若,则实数的取值范围是(  )
A. B.或
C. D.或
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:∵与x轴的一个交点为,
∴存在实数根,
∴,
解得,
当k≤-5时,画出图像如图所示:
∴当x=-2时,,
解得,
当k≥1时,画出图像如图所示:
当x=-2时,,
解得,
∴,
故答案为:B
【分析】先根据题意得到存在实数根,进而运用一元二次方程的判别式即可得到,再分类讨论结合题意即可求解。
2.(2023·郧西模拟)如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m< n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根,且a< b, 则a、b、m、n的大小关系是(  )
A.a < m< b< n B.a< m< n< b
C.m < a< b< n D.m< a< n< b
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵ m、n(m< n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根 ,
∴ 函数y= 1-(x-a)(x-b) 的图象与x轴的交点为(m,0),(n,0),
将二次函数y= 1-(x-a)(x-b) 向下平移一个单位可得二次函数y=-(x-a)(x-b)的图象,
∵函数y=-(x-a)(x-b)与x轴交点坐标为(a,0)(b、0),
两函数图象如图:

∴ m < a< b< n ;
故答案为:C.
【分析】由m、n(m< n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根 ,可得函数y= 1-(x-a)(x-b) 的图象与x轴的交点为(m,0),(n,0),将二次函数y= 1-(x-a)(x-b) 向下平移一个单位可得二次函数y=-(x-a)(x-b)的图象,即得平移后函数图象与x轴的交点坐标为(a,0)(b、0),画出两函数草图,根据交点的位置,即得 a、b、m、n的大小关系 .
3.(2022九下·杭州期中)已知二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象交于(x1,y1)和(x2,y2)两点,(  )
A.若a<0,m<0,则x1+x2>2h B.若a>0,m<0,则x1+x2>2h
C.若x1+x2>2h, 则a>0,m>0 D.若x1+x2<2h,则a>0,m<0
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用;不等式的性质
【解析】【解答】解:∵y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=mx+n(m≠0)交于(x1,y1)和(x2,y2) ,
∴y=ax2-2ahx+ah2+k=mx+n,
整理得:ax2-(2ah+m)x+ah2+k-n=0,
∴x1+x2=,即x1+x2=2h+,
A、若a<0,m<0,
∴>0,
∴x1+x2=2h+>2h,
∴A选项符合题意;
B、若a>0,m<0,
∴<0,
∴x1+x2=2h+<2h,
∴B选项不符合题意;
C、若x1+x2>2h,
∴2h+>2h,
∴>0,
∴a和m同号,
∴C选项不符合题意;
D、若x1+x2<2h,
∴2h+<2h,
∴<0,
∴a和m异号,
∴D选项不符合题意.
故答案为:A.
【分析】由y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=mx+n(m≠0)交于(x1,y1)和(x2,y2) ,可联立方程,利用根与系数关系求得x1+x2=2h+,再通过不等式性质,逐项进行分析判断,即可得出正确答案.
4.(2021九下·福州开学考)方程 (k是实数)有两个实根 、 ,且 , ,那么k的取值范围是(  )
A. B.
C. 或 D.无解
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:设f(x)= ,抛物线开口向上,画出f(x)的大致图形,可以得到f(0)= >0,解得k>2或k<-1;f(1)=7-k-13 <0,解得-20,解得k<0或k>3,可利用穿针引线法求得他们的公共部分得到 或 ,故答案为:C.
【分析】设f(x)= ,可得抛物线开口向上, 由于方程 的两个实数根在 , ,根据函数图象可得f(0)>0,f(1) <0,f(2) >0,求出不等式解集的公共部分即可.
5.(2022·建华模拟)如图,抛物线 经过点 和 ,则下列结论:① ;② ;③ ;④ ;⑤若双曲线 经过点 ,则以 、 为根的一元二次方程是 .其中正确结论的个数为(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:①将点(0,-3)代入函数解析式,得 ,
故①符合题意;
②由图像可知 时, ,当 时, ,
故②不符合题意;
③有图像可知,函数与x轴有两个交点,
∴ ,
∴ ,
故③不符合题意;
④将(1,0)代入函数解析式的得 ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
故④不符合题意;
⑤∵ ,
∴点(ac,b)为(-3a,b),代入 ,得 ,
由 ,
解得 , ,

则 ,
∴ ,
故⑤符合题意;
故答案为:A.
【分析】①常数项c的值等于抛物线与y轴交点的纵坐标值;②④明确自变量x取特殊值时对应的函数值;③抛物线与x轴有交点时,对应的一元二次方程有两个实数根,此时根的判别式大于或等于0;⑤利用一元二次方程根与系数的关系,结合双曲线的性质即可。
6.(2021·河南模拟)抛物线(a,b,c为常数,)经过两点,下列四个结论:
①一元二次方程的根为;②若点在该抛物线上,则;③对于任意实数t,总有;④对于a的每一个确定值,若一元二次方程(p为常数,)的根为整数,则p的值只有两个.其中正确的结论是(  )
A.①② B.①②③ C.①③ D.①③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵抛物线 ( ,b,c为常数, <0)经过A(2,0),B(-4,0)两点,
∴当 =0时,0= 的两个根为 =2, =﹣4,故①正确;
该抛物线的对称轴为直线 ,函数图象开口向下,若点C(-5, ),D(π, )在该抛物线上,则 > ,故②错误;
当 =-1时,函数取得最大值 ,故对于任意实数t,总有 ≤ ,即对于任意实数t,总有 ,故③正确;
对于 的每一个确定值,若一元二次方程 (p为常数,p>0)的根为整数,则两个根为-3和1或-2和0或-1和-1,故p的值有三个,故④错误;
故答案为:C.
【分析】①抛物线 与x轴交点的横坐标即为一元二次方程的根,据此判断即可;②先求就出抛物线的对称轴,再根据二次函数的对称性及增减性即可判断;③当 =-1时,函数取得最大值 ,从而得出对于任意实数t,总有 ≤ ,据此即可判断;④根据抛物线(a,b,c为常数,)经过两点 ,对于 的每一个确定值,若一元二次方程 (p为常数,p>0)的根为整数,则两个根为-3和1或-2和0或-1和-1,据此即可判断.
7.(2017·荆州)规定:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论:
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程;
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,则a=±3;
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是(2,0)和(4,0);
④若点(m,n)在反比例函数y= 的图象上,则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.
上述结论中正确的有(  )
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:①由x2+2x﹣8=0,得
(x﹣4)(x+2)=0,
解得x1=4,x2=﹣2,
∵x1≠2x2,或x2≠2x1,
∴方程x2+2x﹣8=0不是倍根方程.
故①错误;
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,
∴设x2=2x1,
∴x1 x2=2x12=2,
∴x1=±1,
当x1=1时,x2=2,
当x1=﹣1时,x2=﹣2,
∴x1+x2=﹣a=±3,
∴a=±3,故②正确;
③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,
∴x2=2x1,
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3,
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是(2,0)和(4,0),
故③正确;
④∵点(m,n)在反比例函数y= 的图象上,
∴mn=4,
解mx2+5x+n=0得x1=﹣ ,x2=﹣ ,
∴x2=4x1,
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程;
故选C.
【分析】①通过解方程得到该方程的根,结合“倍根方程”的定义进行判断;②设x2=2x1,得到x1 x2=2x12=2,得到当x1=1时,x2=2,当x1=﹣1时,x2=﹣2,于是得到结论;③根据“倍根方程”的定义即可得到结论;④若点(m,n)在反比例函数y= 的图象上,得到mn=4,然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论;
8.(2017·蓝田模拟)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC,则下列结论:
①abc>0;②9a+3b+c<0;③c>﹣1;④关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为﹣
其中正确的结论个数有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解:
由图象开口向下,可知a<0,
与y轴的交点在x轴的下方,可知c<0,
又对称轴方程为x=2,所以﹣ >0,所以b>0,
∴abc>0,故①正确;
由图象可知当x=3时,y>0,
∴9a+3b+c>0,故②错误;
由图象可知OA<1,
∵OA=OC,
∴OC<1,即﹣c<1,
∴c>﹣1,故③正确;
假设方程的一个根为x=﹣ ,把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0,
整理可得ac﹣b+1=0,
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0,
即方程有一个根为x=﹣c,
由②可知﹣c=OA,而当x=OA是方程的根,
∴x=﹣c是方程的根,即假设成立,故④正确;
综上可知正确的结论有三个,
故答案为:C.
【分析】抛物线开口由a决定,9a+3b+c可由x=3时的函数值看出,由OA=OC可知OA=-c,由图像知ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-c,由根与系数关系得-cx2=,另一个根为.
9.(2022九上·东阳月考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点B的坐标为(1,0)其图象如图所示,下列结论:①abc<0; ②2a-b=0; ③一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1;④当y>0时,-3<x<1;⑤当x>0时,y随x的增大而增大;⑥若点E(-4,y1),F(-2,y2),M(3,y3)是函数图象上的三点,则y1>y2>y3,其中正确的有(  )个
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:∵抛物线的开口向上,
∴a>0,
又∵对称轴是直线x=-1,
∴b>0,
∵抛物线与y轴交在y轴的负半轴,
∴c<0,
∴abc<0,
∴①符合题意;
∵-=-1,
∴2a-b=0,
∴②符合题意;
又∵抛物线与x轴的一个交点B的坐标为(1,0),
∴与x轴的另一个交点为(-3,0),
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1,
∴③符合题意;
由图象可知:y>0时,相应的x的取值范围为x<-3或x>1,
∴④不符合题意;
∵x>-1时,y随x的增大而增大,
∴当x>0时,y随x的增大而增大,
∴⑤符合题意;
∵x<-1时,y随x的增大而减小,-4<-2,
∴y1>y2,(3,y3)离对称轴远,
∴y3>y1,
∴y3>y1>y2,
∴⑥不符合题意,
综上所述,正确的结论有4个.
故答案为:B.
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置,可判断系数的符号,从而判断①;根据对称轴为-=-1,变形可得2a-b=0,即可判断②;根据一元二次方程根与抛物线与x轴交点坐标横坐标的关系,可判断③;由图象可知,当y>0时,相应的x的取值范围为x<-3或x>1,可判断④;根据二次函数的增减性,即x>-1时,y随x的增大而增大,可得当x>0时,y随x的增大而增大,可判断⑤;利用二次函数增减性及抛物线上点的坐标特征,可得y3>y1>y2,从而判断⑥,据此逐项分析进行判断即可.
10.(2023·莱阳模拟)已知二次函数的部分图象如图所示,图象过点,对称轴为直线,下列结论:①;②;③;④若点在该函数图象上,则;⑤若方程的两根为和,且,则.其中正确的结论有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数的三种形式;利用二次函数图象求一元二次方程的近似根;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】如下图所示,补全函数图象,
∵抛物线图像开口向下,过点(-1,0),其对称轴为直线x=2,
∴ ,




由图像增减性可知,当x=3时,对应的抛物线y值大于0,

点 在图像上的位置如图所示,易知 ,即④若点在该函数图象上,则 ,错误,
当抛物线y值为-3时,即 ,易知 ,即 ⑤若方程的两根为和,且,则 ,正确。
综上所述,结论中正确的有:①、②、⑤,共3个结论正确,
故答案为:B。
【分析】此题考察二次函数图象的性质及图像与系数、常数项的关系,灵活掌握二次函数几种形式的等量变换是解题的关键;一般情况下,二次函数图象的残图都需要根据题意补全才能正确解题;此种题型是中考常考题型,综合性较强,难度较大。
二、填空题(每题3分,共15分)
11.(2021九上·铁东期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(﹣1,0),(0,4),(t,4)三点,当t≥3时,一元二次方程ax2+bx+c=n一定有实数根,则n的取值范围是    .
【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(﹣1,0),(0,4)
∴ ,

根据题意,分 和 两种情况分析;
当 时
∵y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(﹣1,0),(0,4)
∴y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴
∵y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过(0,4),(t,4)

∴ ,即和t≥3相矛盾
∴ 不符合题意;
当 时,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图:
当 时,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移
∴随 增大,y=ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向左移动
根据题意,y=ax2+bx+c-n与x轴右侧交点的最小值,为 时,即
∴ ,即


∴ 时,y=ax2+bx+c最大值为


当 时,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向上平移;
∴随 减小,y=ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向右移动,即当t≥3时,一元二次方程ax2+bx+c=n一定有实数根

故答案为: .
【分析】先将点(﹣1,0),(0,4)代入函数解析式,得出c的值、a与b的关系,杂录对称性得出a与t的关系,再结合t≥3得出a为负数,结合方程与函数的关系,列出关于n与t之间的关系式,最后求得n的取值范围。
12.(2020九上·海门月考)若关于x的一元二次方程 的两个不等实数根都在-1和1之间(不包括-1,1),则a的取值范围是   .
【答案】 或a<-2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解:当a>0时,函数图象开口向上,则:
解得: ;
当a<0时,函数图象开口向上,则:
解得: ;
故答案为: 或 .
【分析】由二次函数 与x轴的交点在(-1,0)与(1,0)之间,分当a>0和a<0时,根据函数图象开口方向、x=1和x=-1函数值的正负以及根与系数的关系进行解答即可.
13.(2022九下·东阳期中)已知,二次函数,规定,若使的正数x有且只有三个,则a的取值范围是   .
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:如图:
的顶点坐标为(1,-4)
当之间时,的正数x有且只有三个.
故答案为:.
【分析】根据题意画出y=|y|的图象,由y'=a的正数x有且只有三个的条件,利用数形结合的方法判断a的取值范围即可.
14.(2023·黄冈模拟)已知抛物线(a,b,c是常数)开口向下,过,且.下列四个结论:
①;②若,则;
③若点,在抛物线上,,且,则;
④当时,关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根.其中正确的是   (填写序号).
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵对称轴,
∴对称轴在y轴右侧,
∴,
∵,
∴,故①正确;
当时,对称轴,
∴,
当时,,
∴,
∴,故②错误;
由题意,抛物线的对称轴直线,,
∵点,在抛物线上,,且,
∴点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离,
∴,故③正确;
设抛物线的解析式为,
方程,
整理得,,

∵,,
∴,
∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根.故④正确,
故答案为:①③④.
【分析】根据点A,B是抛物线与x轴的交点坐标,可求出抛物线的对称轴,利用开口向下,可知a<0,利用m的取值范围,可得到b的取值范围,可对①作出判断;将m的值代入对称轴,可表示出a,b的数量关系,将x=-1代入函数解析式,可对②作出判断;利用抛物线的对称轴和点M,N的坐标,可知点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离,可对③作出判断;利用点A,B的坐标,设函数解析式为y=a(x+1)(x-m),结合已知可得到a(x+1)(x-m)=1,根据一元二次方程根的判别式,可求出b2-4ac,利用a,m的取值范围,可证得b2-4ac>0,可对④作出判断;综上所述可得到正确结论的序号.
15.(2022九上·北仑期中)对于实数a,b,定义运算“*”:; ,关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根,则m的取值范围是    .
【答案】
【知识点】定义新运算;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:当2x 1≤x 1时,即x≤0,
(2x 1)*(x 1)=(2x 1)2 (2x 1)(x 1)=2x2 x,
当2x 1>x 1时,即x>0,
(2x 1)*(x 1)=(x 1)2 (2x 1)(x 1)= x2+x,
∴,
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ,
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点,
∵抛物线y=2x2-x(x≤0)的最低点作为(0,0),而顶点坐标为,对称轴直线为x=,故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点,且m的取值范围为m≥0,
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点,∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根,∴1-4m>0,解得,
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为(0,0)、(1,0),∴当m=0时,直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点,
综上所述m的取值范围为:,
即当时, 关于x的方程(2x 1)*(x 1)=m恰有三个不相等的实数根.
故答案为:.
【分析】首先根据定义新运算法则可得,从图象的角度来说直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点,抛物线y=2x2-x(x≤0)的最低点作为(0,0),而顶点坐标为,对称轴直线为x=,故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点,且m的取值范围为m≥0,从而得出直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点,根据根的判别式列出不等式,求解可得m取值范围,又由于抛物线y=2x2-x(x≤0)及y=-x2+x(x>0)与x轴的交点是(0,0)、(1,0),故m≠0,综上所述即可得出答案.
三、解答题(共7题,共55分)
16.(2023·云南)数和形是数学研究客观物体的两个方面,数(代数)侧重研究物体数量方面,具有精确性、形(几何)侧重研究物体形的方面,具有直观性.数和形相互联系,可用数来反映空间形式,也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题,充分利用代数、几何各自的优势,数形互化,共同解决问题.
同学们,请你结合所学的数学解决下列问题.
在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点.设函数(实数为常数)的图象为图象.
(1)求证:无论取什么实数,图象与轴总有公共点;
(2)是否存在整数,使图象与轴的公共点中有整点?若存在,求所有整数的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明:当时,,函数为一次函数,此时,令,则,解得,
∴一次函数与轴的交点为;
当时,,函数为二次函数,
∵,


∴当时,与轴总有交点,
∴无论取什么实数,图象与轴总有公共点;
(2)解:当时,不符合题意,
当时,对于函数,
令,则,
∴,
∴或
∴或,
∵,整数,使图象与轴的公共点中有整点,即为整数,
∴或或或或或或或,
解得或或(舍去)或(舍去)或或或(舍去)或(舍去),
∴或或或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;二次函数图象与坐标轴的交点问题;一次函数图象与坐标轴交点问题;二次函数图象与一元二次方程的综合应用;二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)可以分成两种情况:①二次项系数等于0,即时,函数(实数为常数) 为一次函数y=12x+6,此时可求得直线y=12x+6与x轴相较于点;②次项系数不等于0,即时, 函数为二次函数, 根据求出根的判别式=(10a-7)2≥0,于是可以证得结论;
(2)分成两种情况:①时:由(1)知,直线y=12x+6与x轴相较于点,不是整点,不符合题意;②时:令y=0,解方程 得或所以当 时,整数a要使图象T与x轴的公共点有整点,也就是要使x为整数,那么2a+1需要是6的约数,即2a+1=±1或2a+1=±2或2a+1=±3或2a+1=±6,分别求出a的值,同时,把不是整数的a舍去即可。
17.(2023·鲁甸模拟)已知抛物线的顶点坐标为,设是拋物线与轴交点的横坐标.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求的值.
【答案】(1)解:抛物线的顶点坐标为,
,解得,
抛物线的解析式为.
(2)解:是抛物线与轴交点的横坐标,
是方程的根,
,,
,.

【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)根据二次函数的顶点坐标结合题意即可求解;
(2)先根据题意得到是方程的根,进而得到,,再将代数式化简代入数值即可求解。
18.(2023九下·长沙月考)我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点,如点,点.
(1)函数的双语点是   ;
(2)函数(k为常数,目)上是否存在双语点?若存在,求出双语点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)函数的图象上只有唯一一个双语点,且当时,m的最小值为k,求实数k的值.
【答案】(1)(-1,-2)
(2)解:不存在双语点,理由如下,
依题意,
即,
∴,
当时,解得:或
当时,无解
∴和;
∴当时,有两个双语点,分别为和;
当时,不存在双语点;
(3)解:依题意,
整理得,,
∵函数的图象上只有唯一一个双语点,
∴有相等的两个实数根,



对称轴为直线,开口向上,
当,时,,
即时,解得:,
当时,则当时,取得最小值
∵m的最小值为k

即,

∴原方程无解,
当时,则当时,取得小值,


解得:或(舍去)
综上所述:或.
【知识点】一次函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特征;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:(1)解:依题意,
解得:
∴函数的双语点是:(-1,-2);
故答案为:(-1,-2);
【分析】(1)根据题意可得方程组,解方程组,即可求出答案;
(2)根据题意可得方程组 ,由此得 , 然后分当k>0 与k<0 两种情况解答即可;
(3)易得 ,整理得 ,根据函数图象上只有唯一一个双语点,可得该方程根的判别式的值为0,据此建立出m关于n函数解析式,根据函数最值情况即可解决问题.
19.(2023·株洲)已知二次函数.
(1)若,且该二次函数的图象过点,求的值;
(2)如图所示,在平面直角坐标系中,该二次函数的图象与轴交于点,且,点D在上且在第二象限内,点在轴正半轴上,连接,且线段交轴正半轴于点,.
①求证:.
②当点在线段上,且.的半径长为线段的长度的倍,若,求的值.
【答案】(1)解:∵,
∴二次函数解析式为,
∵该二次函数的图象过点,

解得:;
(2)解:①∵,,




∴;
②∵该二次函数的图象与轴交于点,且,
∴,,
∵.
∴,
∵的半径长为线段的长度的倍
∴,
∵,
∴,
∴,
即①,
∵该二次函数的图象与轴交于点,
∴是方程的两个根,
∴,
∵,,
∴,
即②,
①代入②,即,
即,
整理得,
∴,
解得:(正值舍去)
∴,
∴抛物线的对称轴为直线,
∴,
∴.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象与坐标轴的交点问题;相似三角形的判定与性质;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)运用待定系数法求二次函数即可得到解析式;
(2)①先根据相似三角形的判定与性质证明,进而结合题意即可求解;
②先根据二次函数与x的交点即可得到,,进而得到,再根据题意结合(1)即可得到①,再根据一元二次方程根的关系结合题意即可得到,进而得到②,①代入②整理化简即可得到,进而得到,再根据二次函数的对称轴结合题意即可求解。
20.(2019·江陵模拟)已知关于x的一元二次方程ax2+x+2=0.
(1)求证:当a<0时,方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根;
(2)若代数式﹣x2+x+2的值为正整数,且x为整数时,求x的值;
(3)当a=a1时,抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M(m,0);当a=a2时,抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N(n,0);若点M在点N的左边,试比较a1与a2的大小.
【答案】(1)证明:△=1﹣8a.
∵a<0,∴﹣8a>0即:△>0,∴方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根.
(2)解:原式=﹣(x2﹣x﹣2)=
∵不论x为何值,﹣(x )2≤0,∴原式=﹣(x )2 .
∵代数式﹣x2+x+2的值为正整数,∴代数式﹣x2+x+2的值为1或2.
①当﹣x2+x+2=1时,这时x的值不是整数,不符合题意,舍去;
②当﹣x2+x+2=2时,解得:x=0或1.
答:x的值是0或1.
(3)解:∵当a=a1时,抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M(m,0),∴0=a1m2+m+2①.
∵当a=a2时,抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N(n,0),∴0=a2n2+n+2②,∴ ,∴ .
∵点M在点N的左边,且M、N均在x轴正半轴,∴m>0,n>0,m<n,∴mn+2m+2n>0,m﹣n<0,m2n2>0,∴a1﹣a2 ,∴a1<a2.
【知识点】公式法解一元二次方程;一元二次方程根的判别式及应用;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)由题意先计算b2-4ac的值,b2-4ac=1-8a;根据a<0可得-8a>0,所以1-8a>0,根据一元二次方程的根的判别式可知, 方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根 ;
(2)由题意先将代数式配方得:-x2+x+2=-(x-)2+;由非负数的性质可得:-(x-)2≤0, 所以-x2+x+2=-(x-)2+≤,再根据代数式的值是正整数可得 代数式﹣x2+x+2的值为1或2 ;根据这两种情况列方程即可求解,即:①当﹣x2+x+2=1时,②当﹣x2+x+2=2时 ;结合x为整数即可求解;
(3)由题意分别把a=a1,a=a2以及点M、N的坐标代入抛物线的解析式,可把a1和a2分别用含m和n的代数式表示出来,再求a1-a2的值即可。
21.(2020九上·江津月考)借鉴已有研究函数的经验,探索函数 的图象与性质,研究过程如下,请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
其中:    ,    .
(2)根据列表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出函数图象;
(3)观察函数图象:
①写出函数的一条性质   
②当方程 有且仅有两个不相等的实数根,根据函数图象直接写出b的取值范围.   .
【答案】(1)3;2
(2)解:如图所示;
(3)图象具有对称性,对称轴是直线x=1(答案不唯一);; 或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;二次函数图象与坐标轴的交点问题;利用二次函数图象求一元二次方程的近似根;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解:(1)把x= 2代入y=|x2 2x 3| 2,得y=3,
∴m=3,
把x=1代入y=|x2 2x 3| 2,得y=2,
∴n=2,
故答案为:3,2;
( 3 )①函数的性质:图象具有对称性,对称轴是直线x=1;
故答案为图象具有对称性,对称轴是直线x=1:
②由图象可知,当b= 2或b>2时,函数y=|x2 2x 3| 2图象与直线y=b有两个交点,
∵当方程|x2 2x 3|=b+2有且仅有两个不相等的实数根时,b=-2或b>2,
故答案为:b=-2或b>2.
【分析】(1)把x= 2和x=1分别代入y=|x2 2x 3| 2,即可求得;
(2)描点、连线画出图形;
(3)①根据图象即可求得;②根据图象即可求得.
22.(2022·抚州模拟)我们约定[a,b,c]为二次函数的“相关数”.
【特例感知】
“相关数”为[1,4,3]的二次函数的解析式为,
“相关数”为[2,5,3]的二次函数的解析式为;
“相关数”为[3,6,3]的二次函数的解析式为;
(1)下列结论正确的是   (填序号).
①抛物线,,都经过点;
②抛物线,,与直线都有两个交点;
③抛物线,,有两个交点.
(2)【形成概念】
把满足“相关数”为[n,n+3,3](n为正整数)的抛物线称为“一簇抛物线”,分别记为,,,…,.抛物线与x轴的交点为,.
【探究问题】
①“—簇抛物线”,,,…,都经过两个定点,这两个定点的坐标分别为   .
②拋物线的顶点为,是否存在正整数n,使是直角三角形?若存在,请求出n的值;若不存在,请说明理由.
③当时,抛物线与x轴的左交点,与直线的一个交点为,且点不在y轴上.判断和是否相等,并说明理由.
【答案】(1)①②③
(2)解:①(0,3),(1,0)②存在n=1或n=5,理由:∵,∴,设抛物线的对称轴交x轴于点D,则,,由抛物线的对称性知,,∴当为直角三角形时,,∴,令,则x=1或,∴,,∴,∵,∴∵,∴当n-3=0时,顶点在x轴上,,,三点重合,不能构成三角形,∴n-3≠0,n≠0,∴,∴n=1或n=5;③,理由:在点处,,则x=1(舍去),或,∴为与x轴的左交点,则,∴,在点处,,则x=0(舍去),或,∴,为与直线的一个交点,点不在y轴上,∴,∴,∴.
【知识点】直角三角形的性质;二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:(1)①当x=0时,=3,=3,=3,
∴抛物线,,都经过点;故①符合题意;
②∵直线y=3,
∴当=3时,解得x=0或x=4,∴抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(4,3);
当=3时,解得x=0或x=2.5,∴抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(2.5,3);
当=3时,解得x=0或x=2,∴抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(2,3);故②符合题意;
③当x=1时,=0,=0,=0,
∴抛物线,,都经过点(1,0)
∵抛物线,,都经过点
∴抛物线,,都经过点,(1,0)两点;故③符合题意;
故答案为:①②③;
(2)①“一簇抛物线”解析式为:



…,

当x=0时,,
当x=1时,,
故“一簇抛物线”都经过(0,3),(1,0)两点;
故答案为:(0,3),(1,0);
【分析】(1)①当x=0时,=3,=3,=3,则抛物线,,都经过点;故①符合题意;②根据题意可得:当=3时,解得x=0或x=4,抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(4,3);当=3时,解得x=0或x=2.5,抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(2.5,3);当=3时,解得x=0或x=2,抛物线与直线y=3有两个交点(0,3)和(2,3);故②符合题意;③由题意可知当x=1时,=0,=0,=0,抛物线,,都经过点(1,0),由①可知抛物线,,都经过点,抛物线,,都经过点,(1,0)两点;故③符合题意;
(2)①根据题意先求出“一簇抛物线”解析式为:,当x=0时,,当x=1时,,故“一簇抛物线”都经过(0,3),(1,0)两点;②分为n3和n3两种情况,先求得与x轴的两个交点的坐标及 的坐标, 当满足Cn到x轴的距离等于抛物线与x轴的两交点之间的距离的一半时, 是直角三角形 ,从而列出方程求解;③求出在点处,,在点处,,可得结论。
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