【培优卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·南充）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
2．（2023·郧西模拟）如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜ n）是关于x的方程1-（x-a）(x-b)=0的两根，且a＜ b， 则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．a ＜ m＜ b＜ n B．a＜ m＜ n＜ b
C．m ＜ a＜ b＜ n D．m＜ a＜ n＜ b
3．（2022九下·杭州期中）已知二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y=mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，（ ）
A．若a<0，m<0，则x1+x2>2h B．若a>0，m<0，则x1+x2>2h
C．若x1+x2>2h， 则a>0，m>0 D．若x1+x2<2h，则a>0，m<0
4．（2021九下·福州开学考）方程 （k是实数）有两个实根 、 ，且 ， ，那么k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．无解
5．（2022·建华模拟）如图，抛物线 经过点 和 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若双曲线 经过点 ，则以 、 为根的一元二次方程是 ．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2021·河南模拟）抛物线（a，b，c为常数，）经过两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为；②若点在该抛物线上，则；③对于任意实数t，总有；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④
7．（2017·荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
8．（2017·蓝田模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022九上·东阳月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝-1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＜0； ②2a-b＝0； ③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是-3和1；④当y＞0时，-3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大；⑥若点E（-4，y1），F（-2，y2），M（3，y3）是函数图象上的三点，则y1＞y2＞y3，其中正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（2023·莱阳模拟）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2021九上·铁东期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是 ．
12．（2020九上·海门月考）若关于x的一元二次方程 的两个不等实数根都在-1和1之间（不包括-1,1），则a的取值范围是 .
13．（2022九下·东阳期中）已知，二次函数，规定，若使的正数x有且只有三个，则a的取值范围是 .
14．（2023·黄冈模拟）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，且．下列四个结论：
①；②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．
15．（2022九上·北仑期中）对于实数a，b，定义运算“*”：； ，关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
17．（2023·鲁甸模拟）已知抛物线的顶点坐标为，设是拋物线与轴交点的横坐标．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求的值．
18．（2023九下·长沙月考）我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点，点.
（1）函数的双语点是 ；
（2）函数（k为常数，目）上是否存在双语点？若存在，求出双语点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）函数的图象上只有唯一一个双语点，且当时，m的最小值为k，求实数k的值.
19．（2023·株洲）已知二次函数．
（1）若，且该二次函数的图象过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
20．（2019·江陵模拟）已知关于x的一元二次方程ax2+x+2=0.
（1）求证：当a＜0时，方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根；
（2）若代数式﹣x2+x+2的值为正整数，且x为整数时，求x的值；
（3）当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a2时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）；若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.
21．（2020九上·江津月考）借鉴已有研究函数的经验，探索函数 的图象与性质，研究过程如下，请补充完整.
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中： ， .
（2）根据列表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；
（3）观察函数图象：
①写出函数的一条性质
②当方程 有且仅有两个不相等的实数根，根据函数图象直接写出b的取值范围. .
22．（2022·抚州模拟）我们约定[a，b，c]为二次函数的“相关数”．
【特例感知】
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为，
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为；
（1）下列结论正确的是 （填序号）．
①抛物线，，都经过点；
②抛物线，，与直线都有两个交点；
③抛物线，，有两个交点．
（2）【形成概念】
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，，，…，．抛物线与x轴的交点为，．
【探究问题】
①“—簇抛物线”，，，…，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ．
②拋物线的顶点为，是否存在正整数n，使是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
③当时，抛物线与x轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在y轴上．判断和是否相等，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵与x轴的一个交点为，
∴存在实数根，
∴，
解得，
当k≤-5时，画出图像如图所示：
∴当x=-2时，，
解得，
当k≥1时，画出图像如图所示：
当x=-2时，，
解得，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到存在实数根，进而运用一元二次方程的判别式即可得到，再分类讨论结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ m、n（m＜ n）是关于x的方程1-（x-a）(x-b)=0的两根 ，
∴ 函数y＝ 1-（x-a）(x-b) 的图象与x轴的交点为（m，0），（n，0），
将二次函数y＝ 1-（x-a）(x-b) 向下平移一个单位可得二次函数y＝-（x-a）(x-b)的图象，
∵函数y＝-（x-a）(x-b)与x轴交点坐标为（a，0）（b、0），
两函数图象如图：
，
∴ m ＜ a＜ b＜ n ；
故答案为：C.
【分析】由m、n（m＜ n）是关于x的方程1-（x-a）(x-b)=0的两根 ，可得函数y＝ 1-（x-a）(x-b) 的图象与x轴的交点为（m，0），（n，0），将二次函数y＝ 1-（x-a）(x-b) 向下平移一个单位可得二次函数y＝-（x-a）(x-b)的图象，即得平移后函数图象与x轴的交点坐标为（a，0）（b、0），画出两函数草图，根据交点的位置，即得 a、b、m、n的大小关系 .
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵y=a（x-h）2+k（a≠0）与y=mx+n（m≠0）交于（x1，y1）和（x2，y2） ，
∴y=ax2-2ahx+ah2+k=mx+n，
整理得：ax2-（2ah+m）x+ah2+k-n=0，
∴x1+x2=，即x1+x2=2h+，
A、若a＜0，m＜0，
∴＞0，
∴x1+x2=2h+＞2h，
∴A选项符合题意；
B、若a＞0，m＜0，
∴＜0，
∴x1+x2=2h+＜2h，
∴B选项不符合题意；
C、若x1+x2>2h，
∴2h+＞2h，
∴＞0，
∴a和m同号，
∴C选项不符合题意；
D、若x1+x2＜2h，
∴2h+＜2h，
∴＜0，
∴a和m异号，
∴D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由y=a（x-h）2+k（a≠0）与y=mx+n（m≠0）交于（x1，y1）和（x2，y2） ，可联立方程，利用根与系数关系求得x1+x2=2h+，再通过不等式性质，逐项进行分析判断，即可得出正确答案.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设f(x)= ，抛物线开口向上，画出f(x)的大致图形，可以得到f(0)= >0，解得k>2或k<-1；f(1)=7-k-13 <0，解得-20，解得k<0或k>3，可利用穿针引线法求得他们的公共部分得到 或 ，故答案为：C.
【分析】设f(x)= ，可得抛物线开口向上， 由于方程 的两个实数根在 ， ，根据函数图象可得f(0)>0，f(1) <0，f(2) >0，求出不等式解集的公共部分即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①将点（0，-3）代入函数解析式，得 ，
故①符合题意；
②由图像可知 时， ，当 时， ，
故②不符合题意；
③有图像可知，函数与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，
故③不符合题意；
④将（1，0）代入函数解析式的得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故④不符合题意；
⑤∵ ，
∴点（ac，b）为（-3a，b），代入 ，得 ，
由 ，
解得 ， ，
，
则 ，
∴ ，
故⑤符合题意；
故答案为：A．
【分析】①常数项c的值等于抛物线与y轴交点的纵坐标值；②④明确自变量x取特殊值时对应的函数值；③抛物线与x轴有交点时，对应的一元二次方程有两个实数根，此时根的判别式大于或等于0；⑤利用一元二次方程根与系数的关系，结合双曲线的性质即可。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线 （ ，b，c为常数， ＜0）经过A（2，0），B（-4，0）两点，
∴当 =0时，0= 的两个根为 =2， =﹣4，故①正确；
该抛物线的对称轴为直线 ，函数图象开口向下，若点C（-5， ），D（π， ）在该抛物线上，则 ＞ ，故②错误；
当 =-1时，函数取得最大值 ，故对于任意实数t，总有 ≤ ，即对于任意实数t，总有 ，故③正确；
对于 的每一个确定值，若一元二次方程 （p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为-3和1或-2和0或-1和-1，故p的值有三个，故④错误；
故答案为：C.
【分析】①抛物线 与x轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，据此判断即可；②先求就出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性及增减性即可判断；③当 =-1时，函数取得最大值 ，从而得出对于任意实数t，总有 ≤ ，据此即可判断；④根据抛物线（a，b，c为常数，）经过两点 ，对于 的每一个确定值，若一元二次方程 （p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为-3和1或-2和0或-1和-1，据此即可判断.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①由x2+2x﹣8=0，得
（x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2，或x2≠2x1，
∴方程x2+2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1，
∴x1 x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=﹣1时，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1，
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣ ，x2=﹣ ，
∴x2=4x1，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选C．
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1，得到x1 x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：
由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，所以﹣ ＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x=﹣ ，把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0，
整理可得ac﹣b+1=0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，
即方程有一个根为x=﹣c，
由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个，
故答案为：C．
【分析】抛物线开口由a决定，9a+3b+c可由x=3时的函数值看出，由OA=OC可知OA=-c，由图像知ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为-c，由根与系数关系得-cx2=，另一个根为.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴是直线x＝-1，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
∴①符合题意；
∵-＝-1，
∴2a-b＝0，
∴②符合题意；
又∵抛物线与x轴的一个交点B的坐标为（1，0），
∴与x轴的另一个交点为（-3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是-3和1，
∴③符合题意；
由图象可知：y＞0时，相应的x的取值范围为x＜-3或x＞1，
∴④不符合题意；
∵x＞-1时，y随x的增大而增大，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴⑤符合题意；
∵x＜-1时，y随x的增大而减小，-4＜-2，
∴y1＞y2，（3，y3）离对称轴远，
∴y3＞y1，
∴y3＞y1＞y2，
∴⑥不符合题意，
综上所述，正确的结论有4个.
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置，可判断系数的符号，从而判断①；根据对称轴为-＝-1，变形可得2a-b＝0，即可判断②；根据一元二次方程根与抛物线与x轴交点坐标横坐标的关系，可判断③；由图象可知，当y＞0时，相应的x的取值范围为x＜-3或x＞1，可判断④；根据二次函数的增减性，即x＞-1时，y随x的增大而增大，可得当x＞0时，y随x的增大而增大，可判断⑤；利用二次函数增减性及抛物线上点的坐标特征，可得y3＞y1＞y2，从而判断⑥，据此逐项分析进行判断即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的三种形式；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】如下图所示，补全函数图象，
∵抛物线图像开口向下，过点（-1，0），其对称轴为直线x=2，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
由图像增减性可知，当x=3时，对应的抛物线y值大于0，
∴
点 在图像上的位置如图所示，易知 ，即④若点在该函数图象上，则 ，错误，
当抛物线y值为-3时，即 ，易知 ，即 ⑤若方程的两根为和，且，则 ，正确。
综上所述，结论中正确的有：①、②、⑤，共3个结论正确，
故答案为：B。
【分析】此题考察二次函数图象的性质及图像与系数、常数项的关系，灵活掌握二次函数几种形式的等量变换是解题的关键；一般情况下，二次函数图象的残图都需要根据题意补全才能正确解题；此种题型是中考常考题型，综合性较强，难度较大。
11．【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴ ，
∴
根据题意，分 和 两种情况分析；
当 时
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（0，4），（t，4）
∴
∴ ，即和t≥3相矛盾
∴ 不符合题意；
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图：
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移
∴随 增大，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向左移动
根据题意，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点的最小值，为 时，即
∴ ，即
∴
∴
∴ 时，y＝ax2+bx+c最大值为
∴
∴
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向上平移；
∴随 减小，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向右移动，即当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根
∴
故答案为： ．
【分析】先将点（﹣1，0），（0，4）代入函数解析式，得出c的值、a与b的关系，杂录对称性得出a与t的关系，再结合t≥3得出a为负数，结合方程与函数的关系，列出关于n与t之间的关系式，最后求得n的取值范围。
12．【答案】 或a＜-2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当a＞0时，函数图象开口向上，则：
解得： ；
当a＜0时，函数图象开口向上，则：
解得： ；
故答案为： 或 .
【分析】由二次函数 与x轴的交点在（-1，0）与（1，0）之间，分当a＞0和a＜0时，根据函数图象开口方向、x=1和x=-1函数值的正负以及根与系数的关系进行解答即可.
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：如图：
的顶点坐标为（1，-4）
当之间时，的正数x有且只有三个.
故答案为：.
【分析】根据题意画出y=|y|的图象，由y'=a的正数x有且只有三个的条件，利用数形结合的方法判断a的取值范围即可.
14．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵对称轴，
∴对称轴在y轴右侧，
∴，
∵，
∴，故①正确；
当时，对称轴，
∴，
当时，，
∴，
∴，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线，，
∵点，在抛物线上，，且，
∴点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，
，
∵，，
∴，
∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
【分析】根据点A，B是抛物线与x轴的交点坐标，可求出抛物线的对称轴，利用开口向下，可知a＜0，利用m的取值范围，可得到b的取值范围，可对①作出判断；将m的值代入对称轴，可表示出a，b的数量关系，将x=-1代入函数解析式，可对②作出判断；利用抛物线的对称轴和点M，N的坐标，可知点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离，可对③作出判断；利用点A，B的坐标，设函数解析式为y=a（x+1）（x-m），结合已知可得到a（x+1）（x-m）=1，根据一元二次方程根的判别式，可求出b2-4ac，利用a，m的取值范围，可证得b2-4ac＞0，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15．【答案】
【知识点】定义新运算；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当2x 1≤x 1时，即x≤0，
（2x 1）*（x 1）＝（2x 1）2 （2x 1）（x 1）＝2x2 x，
当2x 1＞x 1时，即x＞0，
（2x 1）*（x 1）＝（x 1）2 （2x 1）（x 1）＝ x2＋x，
∴，
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ，
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，
∵抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根，∴1-4m＞0，解得，
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为（0，0）、（1，0），∴当m=0时，直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点，
综上所述m的取值范围为：，
即当时， 关于x的方程（2x 1）*（x 1）＝m恰有三个不相等的实数根.
故答案为：.
【分析】首先根据定义新运算法则可得，从图象的角度来说直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，从而得出直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，根据根的判别式列出不等式，求解可得m取值范围，又由于抛物线y=2x2-x（x≤0）及y=-x2+x（x＞0）与x轴的交点是（0，0）、（1，0），故m≠0，综上所述即可得出答案.
16．【答案】（1）证明：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得，
∴一次函数与轴的交点为；
当时，，函数为二次函数，
∵，
∴
，
∴当时，与轴总有交点，
∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）解：当时，不符合题意，
当时，对于函数，
令，则，
∴，
∴或
∴或，
∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）可以分成两种情况：①二次项系数等于0，即时，函数（实数为常数） 为一次函数y=12x+6，此时可求得直线y=12x+6与x轴相较于点；②次项系数不等于0，即时， 函数为二次函数， 根据求出根的判别式=（10a-7）2≥0，于是可以证得结论；
（2）分成两种情况：①时：由（1）知，直线y=12x+6与x轴相较于点，不是整点，不符合题意；②时：令y=0，解方程 得或所以当 时，整数a要使图象T与x轴的公共点有整点，也就是要使x为整数，那么2a+1需要是6的约数，即2a+1=±1或2a+1=±2或2a+1=±3或2a+1=±6，分别求出a的值，同时，把不是整数的a舍去即可。
17．【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为，
，解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：是抛物线与轴交点的横坐标，
是方程的根，
，，
，．
．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到是方程的根，进而得到，，再将代数式化简代入数值即可求解。
18．【答案】（1）（-1，-2）
（2）解：不存在双语点，理由如下，
依题意，
即，
∴，
当时，解得：或
当时，无解
∴和；
∴当时，有两个双语点，分别为和；
当时，不存在双语点；
（3）解：依题意，
整理得，，
∵函数的图象上只有唯一一个双语点，
∴有相等的两个实数根，
∴
∴
∴
对称轴为直线，开口向上，
当，时，，
即时，解得：，
当时，则当时，取得最小值
∵m的最小值为k
∴
即，
∵
∴原方程无解，
当时，则当时，取得小值，
∴
即
解得：或（舍去）
综上所述：或.
【知识点】一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）解：依题意，
解得：
∴函数的双语点是：（-1，-2）；
故答案为：（-1，-2）；
【分析】（1）根据题意可得方程组，解方程组，即可求出答案；
（2）根据题意可得方程组 ，由此得 ， 然后分当k＞0 与k＜0 两种情况解答即可；
（3）易得 ，整理得 ，根据函数图象上只有唯一一个双语点，可得该方程根的判别式的值为0，据此建立出m关于n函数解析式，根据函数最值情况即可解决问题.
19．【答案】（1）解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图象过点，
∴
解得：；
（2）解：①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图象与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图象与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到解析式；
（2）①先根据相似三角形的判定与性质证明，进而结合题意即可求解；
②先根据二次函数与x的交点即可得到，，进而得到，再根据题意结合（1）即可得到①，再根据一元二次方程根的关系结合题意即可得到，进而得到②，①代入②整理化简即可得到，进而得到，再根据二次函数的对称轴结合题意即可求解。
20．【答案】（1）证明：△=1﹣8a.
∵a＜0，∴﹣8a＞0即：△＞0，∴方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根.
（2）解：原式=﹣（x2﹣x﹣2）=
∵不论x为何值，﹣（x ）2≤0，∴原式=﹣（x ）2 .
∵代数式﹣x2+x+2的值为正整数，∴代数式﹣x2+x+2的值为1或2.
①当﹣x2+x+2=1时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
②当﹣x2+x+2=2时，解得：x=0或1.
答：x的值是0或1.
（3）解：∵当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0），∴0=a1m2+m+2①.
∵当a=a2时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0），∴0=a2n2+n+2②，∴ ，∴ .
∵点M在点N的左边，且M、N均在x轴正半轴，∴m＞0，n＞0，m＜n，∴mn+2m+2n＞0，m﹣n＜0，m2n2＞0，∴a1﹣a2 ，∴a1＜a2.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由题意先计算b2-4ac的值，b2-4ac=1-8a；根据a＜0可得-8a＞0，所以1-8a＞0，根据一元二次方程的根的判别式可知， 方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根 ；
（2）由题意先将代数式配方得：-x2+x+2=-(x-)2+；由非负数的性质可得：-(x-)2≤0， 所以-x2+x+2=-(x-)2+≤，再根据代数式的值是正整数可得 代数式﹣x2+x+2的值为1或2 ；根据这两种情况列方程即可求解，即：①当﹣x2+x+2=1时，②当﹣x2+x+2=2时 ；结合x为整数即可求解；
（3）由题意分别把a=a1，a=a2以及点M、N的坐标代入抛物线的解析式，可把a1和a2分别用含m和n的代数式表示出来，再求a1-a2的值即可。
21．【答案】（1）3；2
（2）解：如图所示；
（3）图象具有对称性，对称轴是直线x＝1（答案不唯一）；； 或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）把x＝ 2代入y＝|x2 2x 3| 2，得y＝3，
∴m＝3，
把x＝1代入y＝|x2 2x 3| 2，得y＝2，
∴n＝2，
故答案为：3，2；
（ 3 ）①函数的性质：图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
故答案为图象具有对称性，对称轴是直线x＝1：
②由图象可知，当b＝ 2或b＞2时，函数y＝|x2 2x 3| 2图象与直线y＝b有两个交点，
∵当方程|x2 2x 3|＝b＋2有且仅有两个不相等的实数根时，b＝-2或b＞2，
故答案为：b＝-2或b＞2.
【分析】（1）把x＝ 2和x＝1分别代入y＝|x2 2x 3| 2，即可求得；
（2）描点、连线画出图形；
（3）①根据图象即可求得；②根据图象即可求得.
22．【答案】（1）①②③
（2）解：①（0，3），（1，0）②存在n=1或n=5，理由：∵，∴，设抛物线的对称轴交x轴于点D，则，，由抛物线的对称性知，，∴当为直角三角形时，，∴，令，则x=1或，∴，，∴，∵，∴∵，∴当n-3=0时，顶点在x轴上，，，三点重合，不能构成三角形，∴n-3≠0，n≠0，∴，∴n=1或n=5；③，理由：在点处，，则x=1（舍去），或，∴为与x轴的左交点，则，∴，在点处，，则x=0（舍去），或，∴，为与直线的一个交点，点不在y轴上，∴，∴，∴．
【知识点】直角三角形的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①当x=0时，=3，=3，=3，
∴抛物线，，都经过点；故①符合题意；
②∵直线y=3，
∴当=3时，解得x=0或x=4，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；
当=3时，解得x=0或x=2.5，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2.5，3）；
当=3时，解得x=0或x=2，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；故②符合题意；
③当x=1时，=0，=0，=0，
∴抛物线，，都经过点（1，0）
∵抛物线，，都经过点
∴抛物线，，都经过点，（1，0）两点；故③符合题意；
故答案为：①②③；
（2）①“一簇抛物线”解析式为：
，
，
，
…，
，
当x=0时，，
当x=1时，，
故“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；
故答案为：（0，3），（1，0）；
【分析】（1）①当x=0时，=3，=3，=3，则抛物线，，都经过点；故①符合题意；②根据题意可得：当=3时，解得x=0或x=4，抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；当=3时，解得x=0或x=2.5，抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2.5，3）；当=3时，解得x=0或x=2，抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；故②符合题意；③由题意可知当x=1时，=0，=0，=0，抛物线，，都经过点（1，0），由①可知抛物线，，都经过点，抛物线，，都经过点，（1，0）两点；故③符合题意；
（2）①根据题意先求出“一簇抛物线”解析式为：，当x=0时，，当x=1时，，故“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；②分为n3和n3两种情况，先求得与x轴的两个交点的坐标及 的坐标， 当满足Cn到x轴的距离等于抛物线与x轴的两交点之间的距离的一半时， 是直角三角形 ，从而列出方程求解；③求出在点处，，在点处，，可得结论。
1 / 1【培优卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·南充）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵与x轴的一个交点为，
∴存在实数根，
∴，
解得，
当k≤-5时，画出图像如图所示：
∴当x=-2时，，
解得，
当k≥1时，画出图像如图所示：
当x=-2时，，
解得，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到存在实数根，进而运用一元二次方程的判别式即可得到，再分类讨论结合题意即可求解。
2．（2023·郧西模拟）如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜ n）是关于x的方程1-（x-a）(x-b)=0的两根，且a＜ b， 则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．a ＜ m＜ b＜ n B．a＜ m＜ n＜ b
C．m ＜ a＜ b＜ n D．m＜ a＜ n＜ b
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ m、n（m＜ n）是关于x的方程1-（x-a）(x-b)=0的两根 ，
∴ 函数y＝ 1-（x-a）(x-b) 的图象与x轴的交点为（m，0），（n，0），
将二次函数y＝ 1-（x-a）(x-b) 向下平移一个单位可得二次函数y＝-（x-a）(x-b)的图象，
∵函数y＝-（x-a）(x-b)与x轴交点坐标为（a，0）（b、0），
两函数图象如图：
，
∴ m ＜ a＜ b＜ n ；
故答案为：C.
【分析】由m、n（m＜ n）是关于x的方程1-（x-a）(x-b)=0的两根 ，可得函数y＝ 1-（x-a）(x-b) 的图象与x轴的交点为（m，0），（n，0），将二次函数y＝ 1-（x-a）(x-b) 向下平移一个单位可得二次函数y＝-（x-a）(x-b)的图象，即得平移后函数图象与x轴的交点坐标为（a，0）（b、0），画出两函数草图，根据交点的位置，即得 a、b、m、n的大小关系 .
3．（2022九下·杭州期中）已知二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y=mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，（ ）
A．若a<0，m<0，则x1+x2>2h B．若a>0，m<0，则x1+x2>2h
C．若x1+x2>2h， 则a>0，m>0 D．若x1+x2<2h，则a>0，m<0
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵y=a（x-h）2+k（a≠0）与y=mx+n（m≠0）交于（x1，y1）和（x2，y2） ，
∴y=ax2-2ahx+ah2+k=mx+n，
整理得：ax2-（2ah+m）x+ah2+k-n=0，
∴x1+x2=，即x1+x2=2h+，
A、若a＜0，m＜0，
∴＞0，
∴x1+x2=2h+＞2h，
∴A选项符合题意；
B、若a＞0，m＜0，
∴＜0，
∴x1+x2=2h+＜2h，
∴B选项不符合题意；
C、若x1+x2>2h，
∴2h+＞2h，
∴＞0，
∴a和m同号，
∴C选项不符合题意；
D、若x1+x2＜2h，
∴2h+＜2h，
∴＜0，
∴a和m异号，
∴D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由y=a（x-h）2+k（a≠0）与y=mx+n（m≠0）交于（x1，y1）和（x2，y2） ，可联立方程，利用根与系数关系求得x1+x2=2h+，再通过不等式性质，逐项进行分析判断，即可得出正确答案.
4．（2021九下·福州开学考）方程 （k是实数）有两个实根 、 ，且 ， ，那么k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．无解
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设f(x)= ，抛物线开口向上，画出f(x)的大致图形，可以得到f(0)= >0，解得k>2或k<-1；f(1)=7-k-13 <0，解得-20，解得k<0或k>3，可利用穿针引线法求得他们的公共部分得到 或 ，故答案为：C.
【分析】设f(x)= ，可得抛物线开口向上， 由于方程 的两个实数根在 ， ，根据函数图象可得f(0)>0，f(1) <0，f(2) >0，求出不等式解集的公共部分即可.
5．（2022·建华模拟）如图，抛物线 经过点 和 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若双曲线 经过点 ，则以 、 为根的一元二次方程是 ．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①将点（0，-3）代入函数解析式，得 ，
故①符合题意；
②由图像可知 时， ，当 时， ，
故②不符合题意；
③有图像可知，函数与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，
故③不符合题意；
④将（1，0）代入函数解析式的得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故④不符合题意；
⑤∵ ，
∴点（ac，b）为（-3a，b），代入 ，得 ，
由 ，
解得 ， ，
，
则 ，
∴ ，
故⑤符合题意；
故答案为：A．
【分析】①常数项c的值等于抛物线与y轴交点的纵坐标值；②④明确自变量x取特殊值时对应的函数值；③抛物线与x轴有交点时，对应的一元二次方程有两个实数根，此时根的判别式大于或等于0；⑤利用一元二次方程根与系数的关系，结合双曲线的性质即可。
6．（2021·河南模拟）抛物线（a，b，c为常数，）经过两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为；②若点在该抛物线上，则；③对于任意实数t，总有；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线 （ ，b，c为常数， ＜0）经过A（2，0），B（-4，0）两点，
∴当 =0时，0= 的两个根为 =2， =﹣4，故①正确；
该抛物线的对称轴为直线 ，函数图象开口向下，若点C（-5， ），D（π， ）在该抛物线上，则 ＞ ，故②错误；
当 =-1时，函数取得最大值 ，故对于任意实数t，总有 ≤ ，即对于任意实数t，总有 ，故③正确；
对于 的每一个确定值，若一元二次方程 （p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为-3和1或-2和0或-1和-1，故p的值有三个，故④错误；
故答案为：C.
【分析】①抛物线 与x轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，据此判断即可；②先求就出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性及增减性即可判断；③当 =-1时，函数取得最大值 ，从而得出对于任意实数t，总有 ≤ ，据此即可判断；④根据抛物线（a，b，c为常数，）经过两点 ，对于 的每一个确定值，若一元二次方程 （p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为-3和1或-2和0或-1和-1，据此即可判断.
7．（2017·荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①由x2+2x﹣8=0，得
（x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2，或x2≠2x1，
∴方程x2+2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1，
∴x1 x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=﹣1时，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1，
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣ ，x2=﹣ ，
∴x2=4x1，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选C．
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1，得到x1 x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；
8．（2017·蓝田模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：
由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，所以﹣ ＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x=﹣ ，把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0，
整理可得ac﹣b+1=0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，
即方程有一个根为x=﹣c，
由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个，
故答案为：C．
【分析】抛物线开口由a决定，9a+3b+c可由x=3时的函数值看出，由OA=OC可知OA=-c，由图像知ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为-c，由根与系数关系得-cx2=，另一个根为.
9．（2022九上·东阳月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝-1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＜0； ②2a-b＝0； ③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是-3和1；④当y＞0时，-3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大；⑥若点E（-4，y1），F（-2，y2），M（3，y3）是函数图象上的三点，则y1＞y2＞y3，其中正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴是直线x＝-1，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
∴①符合题意；
∵-＝-1，
∴2a-b＝0，
∴②符合题意；
又∵抛物线与x轴的一个交点B的坐标为（1，0），
∴与x轴的另一个交点为（-3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是-3和1，
∴③符合题意；
由图象可知：y＞0时，相应的x的取值范围为x＜-3或x＞1，
∴④不符合题意；
∵x＞-1时，y随x的增大而增大，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴⑤符合题意；
∵x＜-1时，y随x的增大而减小，-4＜-2，
∴y1＞y2，（3，y3）离对称轴远，
∴y3＞y1，
∴y3＞y1＞y2，
∴⑥不符合题意，
综上所述，正确的结论有4个.
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置，可判断系数的符号，从而判断①；根据对称轴为-＝-1，变形可得2a-b＝0，即可判断②；根据一元二次方程根与抛物线与x轴交点坐标横坐标的关系，可判断③；由图象可知，当y＞0时，相应的x的取值范围为x＜-3或x＞1，可判断④；根据二次函数的增减性，即x＞-1时，y随x的增大而增大，可得当x＞0时，y随x的增大而增大，可判断⑤；利用二次函数增减性及抛物线上点的坐标特征，可得y3＞y1＞y2，从而判断⑥，据此逐项分析进行判断即可.
10．（2023·莱阳模拟）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的三种形式；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】如下图所示，补全函数图象，
∵抛物线图像开口向下，过点（-1，0），其对称轴为直线x=2，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
由图像增减性可知，当x=3时，对应的抛物线y值大于0，
∴
点 在图像上的位置如图所示，易知 ，即④若点在该函数图象上，则 ，错误，
当抛物线y值为-3时，即 ，易知 ，即 ⑤若方程的两根为和，且，则 ，正确。
综上所述，结论中正确的有：①、②、⑤，共3个结论正确，
故答案为：B。
【分析】此题考察二次函数图象的性质及图像与系数、常数项的关系，灵活掌握二次函数几种形式的等量变换是解题的关键；一般情况下，二次函数图象的残图都需要根据题意补全才能正确解题；此种题型是中考常考题型，综合性较强，难度较大。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2021九上·铁东期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴ ，
∴
根据题意，分 和 两种情况分析；
当 时
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（0，4），（t，4）
∴
∴ ，即和t≥3相矛盾
∴ 不符合题意；
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图：
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移
∴随 增大，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向左移动
根据题意，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点的最小值，为 时，即
∴ ，即
∴
∴
∴ 时，y＝ax2+bx+c最大值为
∴
∴
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向上平移；
∴随 减小，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向右移动，即当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根
∴
故答案为： ．
【分析】先将点（﹣1，0），（0，4）代入函数解析式，得出c的值、a与b的关系，杂录对称性得出a与t的关系，再结合t≥3得出a为负数，结合方程与函数的关系，列出关于n与t之间的关系式，最后求得n的取值范围。
12．（2020九上·海门月考）若关于x的一元二次方程 的两个不等实数根都在-1和1之间（不包括-1,1），则a的取值范围是 .
【答案】 或a＜-2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当a＞0时，函数图象开口向上，则：
解得： ；
当a＜0时，函数图象开口向上，则：
解得： ；
故答案为： 或 .
【分析】由二次函数 与x轴的交点在（-1，0）与（1，0）之间，分当a＞0和a＜0时，根据函数图象开口方向、x=1和x=-1函数值的正负以及根与系数的关系进行解答即可.
13．（2022九下·东阳期中）已知，二次函数，规定，若使的正数x有且只有三个，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：如图：
的顶点坐标为（1，-4）
当之间时，的正数x有且只有三个.
故答案为：.
【分析】根据题意画出y=|y|的图象，由y'=a的正数x有且只有三个的条件，利用数形结合的方法判断a的取值范围即可.
14．（2023·黄冈模拟）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，且．下列四个结论：
①；②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵对称轴，
∴对称轴在y轴右侧，
∴，
∵，
∴，故①正确；
当时，对称轴，
∴，
当时，，
∴，
∴，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线，，
∵点，在抛物线上，，且，
∴点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，
，
∵，，
∴，
∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
【分析】根据点A，B是抛物线与x轴的交点坐标，可求出抛物线的对称轴，利用开口向下，可知a＜0，利用m的取值范围，可得到b的取值范围，可对①作出判断；将m的值代入对称轴，可表示出a，b的数量关系，将x=-1代入函数解析式，可对②作出判断；利用抛物线的对称轴和点M，N的坐标，可知点M到对称轴的距离<点N到对称轴的距离，可对③作出判断；利用点A，B的坐标，设函数解析式为y=a（x+1）（x-m），结合已知可得到a（x+1）（x-m）=1，根据一元二次方程根的判别式，可求出b2-4ac，利用a，m的取值范围，可证得b2-4ac＞0，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15．（2022九上·北仑期中）对于实数a，b，定义运算“*”：； ，关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】定义新运算；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当2x 1≤x 1时，即x≤0，
（2x 1）*（x 1）＝（2x 1）2 （2x 1）（x 1）＝2x2 x，
当2x 1＞x 1时，即x＞0，
（2x 1）*（x 1）＝（x 1）2 （2x 1）（x 1）＝ x2＋x，
∴，
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ，
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，
∵抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根，∴1-4m＞0，解得，
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为（0，0）、（1，0），∴当m=0时，直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点，
综上所述m的取值范围为：，
即当时， 关于x的方程（2x 1）*（x 1）＝m恰有三个不相等的实数根.
故答案为：.
【分析】首先根据定义新运算法则可得，从图象的角度来说直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，从而得出直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，根据根的判别式列出不等式，求解可得m取值范围，又由于抛物线y=2x2-x（x≤0）及y=-x2+x（x＞0）与x轴的交点是（0，0）、（1，0），故m≠0，综上所述即可得出答案.
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得，
∴一次函数与轴的交点为；
当时，，函数为二次函数，
∵，
∴
，
∴当时，与轴总有交点，
∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）解：当时，不符合题意，
当时，对于函数，
令，则，
∴，
∴或
∴或，
∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）可以分成两种情况：①二次项系数等于0，即时，函数（实数为常数） 为一次函数y=12x+6，此时可求得直线y=12x+6与x轴相较于点；②次项系数不等于0，即时， 函数为二次函数， 根据求出根的判别式=（10a-7）2≥0，于是可以证得结论；
（2）分成两种情况：①时：由（1）知，直线y=12x+6与x轴相较于点，不是整点，不符合题意；②时：令y=0，解方程 得或所以当 时，整数a要使图象T与x轴的公共点有整点，也就是要使x为整数，那么2a+1需要是6的约数，即2a+1=±1或2a+1=±2或2a+1=±3或2a+1=±6，分别求出a的值，同时，把不是整数的a舍去即可。
17．（2023·鲁甸模拟）已知抛物线的顶点坐标为，设是拋物线与轴交点的横坐标．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求的值．
【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为，
，解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：是抛物线与轴交点的横坐标，
是方程的根，
，，
，．
．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到是方程的根，进而得到，，再将代数式化简代入数值即可求解。
18．（2023九下·长沙月考）我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点，点.
（1）函数的双语点是 ；
（2）函数（k为常数，目）上是否存在双语点？若存在，求出双语点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）函数的图象上只有唯一一个双语点，且当时，m的最小值为k，求实数k的值.
【答案】（1）（-1，-2）
（2）解：不存在双语点，理由如下，
依题意，
即，
∴，
当时，解得：或
当时，无解
∴和；
∴当时，有两个双语点，分别为和；
当时，不存在双语点；
（3）解：依题意，
整理得，，
∵函数的图象上只有唯一一个双语点，
∴有相等的两个实数根，
∴
∴
∴
对称轴为直线，开口向上，
当，时，，
即时，解得：，
当时，则当时，取得最小值
∵m的最小值为k
∴
即，
∵
∴原方程无解，
当时，则当时，取得小值，
∴
即
解得：或（舍去）
综上所述：或.
【知识点】一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）解：依题意，
解得：
∴函数的双语点是：（-1，-2）；
故答案为：（-1，-2）；
【分析】（1）根据题意可得方程组，解方程组，即可求出答案；
（2）根据题意可得方程组 ，由此得 ， 然后分当k＞0 与k＜0 两种情况解答即可；
（3）易得 ，整理得 ，根据函数图象上只有唯一一个双语点，可得该方程根的判别式的值为0，据此建立出m关于n函数解析式，根据函数最值情况即可解决问题.
19．（2023·株洲）已知二次函数．
（1）若，且该二次函数的图象过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图象过点，
∴
解得：；
（2）解：①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图象与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图象与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到解析式；
（2）①先根据相似三角形的判定与性质证明，进而结合题意即可求解；
②先根据二次函数与x的交点即可得到，，进而得到，再根据题意结合（1）即可得到①，再根据一元二次方程根的关系结合题意即可得到，进而得到②，①代入②整理化简即可得到，进而得到，再根据二次函数的对称轴结合题意即可求解。
20．（2019·江陵模拟）已知关于x的一元二次方程ax2+x+2=0.
（1）求证：当a＜0时，方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根；
（2）若代数式﹣x2+x+2的值为正整数，且x为整数时，求x的值；
（3）当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a2时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）；若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.
【答案】（1）证明：△=1﹣8a.
∵a＜0，∴﹣8a＞0即：△＞0，∴方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根.
（2）解：原式=﹣（x2﹣x﹣2）=
∵不论x为何值，﹣（x ）2≤0，∴原式=﹣（x ）2 .
∵代数式﹣x2+x+2的值为正整数，∴代数式﹣x2+x+2的值为1或2.
①当﹣x2+x+2=1时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
②当﹣x2+x+2=2时，解得：x=0或1.
答：x的值是0或1.
（3）解：∵当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0），∴0=a1m2+m+2①.
∵当a=a2时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0），∴0=a2n2+n+2②，∴ ，∴ .
∵点M在点N的左边，且M、N均在x轴正半轴，∴m＞0，n＞0，m＜n，∴mn+2m+2n＞0，m﹣n＜0，m2n2＞0，∴a1﹣a2 ，∴a1＜a2.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由题意先计算b2-4ac的值，b2-4ac=1-8a；根据a＜0可得-8a＞0，所以1-8a＞0，根据一元二次方程的根的判别式可知， 方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根 ；
（2）由题意先将代数式配方得：-x2+x+2=-(x-)2+；由非负数的性质可得：-(x-)2≤0， 所以-x2+x+2=-(x-)2+≤，再根据代数式的值是正整数可得 代数式﹣x2+x+2的值为1或2 ；根据这两种情况列方程即可求解，即：①当﹣x2+x+2=1时，②当﹣x2+x+2=2时 ；结合x为整数即可求解；
（3）由题意分别把a=a1，a=a2以及点M、N的坐标代入抛物线的解析式，可把a1和a2分别用含m和n的代数式表示出来，再求a1-a2的值即可。
21．（2020九上·江津月考）借鉴已有研究函数的经验，探索函数 的图象与性质，研究过程如下，请补充完整.
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中： ， .
（2）根据列表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；
（3）观察函数图象：
①写出函数的一条性质
②当方程 有且仅有两个不相等的实数根，根据函数图象直接写出b的取值范围. .
【答案】（1）3；2
（2）解：如图所示；
（3）图象具有对称性，对称轴是直线x＝1（答案不唯一）；； 或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）把x＝ 2代入y＝|x2 2x 3| 2，得y＝3，
∴m＝3，
把x＝1代入y＝|x2 2x 3| 2，得y＝2，
∴n＝2，
故答案为：3，2；
（ 3 ）①函数的性质：图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
故答案为图象具有对称性，对称轴是直线x＝1：
②由图象可知，当b＝ 2或b＞2时，函数y＝|x2 2x 3| 2图象与直线y＝b有两个交点，
∵当方程|x2 2x 3|＝b＋2有且仅有两个不相等的实数根时，b＝-2或b＞2，
故答案为：b＝-2或b＞2.
【分析】（1）把x＝ 2和x＝1分别代入y＝|x2 2x 3| 2，即可求得；
（2）描点、连线画出图形；
（3）①根据图象即可求得；②根据图象即可求得.
22．（2022·抚州模拟）我们约定[a，b，c]为二次函数的“相关数”．
【特例感知】
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为，
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为；
（1）下列结论正确的是 （填序号）．
①抛物线，，都经过点；
②抛物线，，与直线都有两个交点；
③抛物线，，有两个交点．
（2）【形成概念】
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，，，…，．抛物线与x轴的交点为，．
【探究问题】
①“—簇抛物线”，，，…，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ．
②拋物线的顶点为，是否存在正整数n，使是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
③当时，抛物线与x轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在y轴上．判断和是否相等，并说明理由．
【答案】（1）①②③
（2）解：①（0，3），（1，0）②存在n=1或n=5，理由：∵，∴，设抛物线的对称轴交x轴于点D，则，，由抛物线的对称性知，，∴当为直角三角形时，，∴，令，则x=1或，∴，，∴，∵，∴∵，∴当n-3=0时，顶点在x轴上，，，三点重合，不能构成三角形，∴n-3≠0，n≠0，∴，∴n=1或n=5；③，理由：在点处，，则x=1（舍去），或，∴为与x轴的左交点，则，∴，在点处，，则x=0（舍去），或，∴，为与直线的一个交点，点不在y轴上，∴，∴，∴．
【知识点】直角三角形的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①当x=0时，=3，=3，=3，
∴抛物线，，都经过点；故①符合题意；
②∵直线y=3，
∴当=3时，解得x=0或x=4，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；
当=3时，解得x=0或x=2.5，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2.5，3）；
当=3时，解得x=0或x=2，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；故②符合题意；
③当x=1时，=0，=0，=0，
∴抛物线，，都经过点（1，0）
∵抛物线，，都经过点
∴抛物线，，都经过点，（1，0）两点；故③符合题意；
故答案为：①②③；
（2）①“一簇抛物线”解析式为：
，
，
，
…，
，
当x=0时，，
当x=1时，，
故“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；
故答案为：（0，3），（1，0）；
【分析】（1）①当x=0时，=3，=3，=3，则抛物线，，都经过点；故①符合题意；②根据题意可得：当=3时，解得x=0或x=4，抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；当=3时，解得x=0或x=2.5，抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2.5，3）；当=3时，解得x=0或x=2，抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；故②符合题意；③由题意可知当x=1时，=0，=0，=0，抛物线，，都经过点（1，0），由①可知抛物线，，都经过点，抛物线，，都经过点，（1，0）两点；故③符合题意；
（2）①根据题意先求出“一簇抛物线”解析式为：，当x=0时，，当x=1时，，故“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；②分为n3和n3两种情况，先求得与x轴的两个交点的坐标及 的坐标， 当满足Cn到x轴的距离等于抛物线与x轴的两交点之间的距离的一半时， 是直角三角形 ，从而列出方程求解；③求出在点处，，在点处，，可得结论。
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