【提升卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(2022九上·陵城期中)已知二次函数(m为常数)的图像与x轴的一个公共点为(1,0),则关于x的一元二次方程的两实数根是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:将点(1,0)代入,得:1+3-m=0,
解得m=4,
∴二次函数为,
∵对称轴为:
∴二次函数为与x轴的另一个交点为(-4,0),
∴一元二次方程的两实数根是,
故答案为:A.
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标,再利用二次函数与一元二次方程的根的关系可得答案。
2.(2020九上·任城期中)已知二次函数 的图象经过 与 两点,关于 的方程 有两个根,其中一个根是3.则关于 的方程 有两个整数根,这两个整数根是( )
A. 或0 B. 或2 C. 或3 D. 或4
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】二次函数 的图象经过 与 两点,即方程 的两个根是﹣3和1,
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3,
由1到3移动2个单位,可得另一个根为﹣5.由于0<n<m,
可知方程 的两根范围在﹣5~﹣3和1~3,
由此判断B符合该范围.
故答案为:B.
【分析】根据题目中的函数表达式和二次函数与一元二次方程的关系,可以得出关于X的方程的两个证书根从而解答。
3.(2021九上·拱墅期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣2,0),且对称轴为直线x=1,下列结论正确的是( )
A.abc>0
B.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为3和﹣2
C.9a+c>3b
D.当y>0时,x的取值范围是﹣2<x<4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵抛物线的开口向下,
∴ ,
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴ ,
∵对称轴为直线 ,
,
,故A选项错误;
图象过点 ,对称轴为直线 ,
抛物线与 轴另一个交点为 ,
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为4和﹣2,故B选项错误;
由图象可知: 时, 的取值范围是 ,故D选项正确;
由图象可知:当 时, ,
,即 ,故C选项错误,
故答案为:D.
【分析】由于抛物线开口向下、对称轴为,抛物线与y轴交点在x轴上方,可得,,,据此判断A;求出抛物线与 轴另一个交点为 ,可得于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为4和﹣2,由图象可知当,函数图象在x轴上方,据此判断B、D;由图象可知:当 时,据此判断C.
4.(2021九上·虎门期末)二次函数的图象如图,对称轴为直线,关于的一元二次方程(为实数)在的范围内有解,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:如图,
关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标,由题意可知:,
,
当时,,
当时,,
由图象可知关于的一元二次方程为实数)在的范围内有解,
直线在直线和直线之间包括直线,
.
故答案为:D.
【分析】根据题意画出图象,再结合函数图象求解即可。
5.(2020九上·浙江期中)如图,以直线 为对称轴的二次函数 的图象与x轴负半轴交于A点,则一元二次方程 的正数解的范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解:∵二次函数 的对称轴为 ,
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是 ,
∴右侧交点横坐标的取值范围是 .
故答案为:C.
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围,再利用对称轴 ,可以算出右侧交点横坐标的取值范围.
6.(2019九上·厦门期中)一元二次方程 的两实根分别为 , ,且 ,以下关系成立的是( )
A. 且 B.
C. D.
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解:根据题意,把 、 看作抛物线 与直线 的交点的横坐标,而抛物线 与 轴的交点坐标为 , ,如图,所以 且 .
故答案为:A
【分析】由于一元二次方程(x-1)(x-2)=6的两实根分别为s,t,于是可把s、t看作抛物线y=(x-1)(x-2)与直线y=6的交点的横坐标,根据抛物线与x轴的交点问题,抛物线y=(x-1)(x-2)与x轴的交点坐标为(1,0),(2,0),然后画出草图即可得到s、t满足的条件.
7.(2023九上·义乌期末)已知,关于x的一元二次方程的解为,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:根据题意,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2,
可以看作二次函数y=(x+1)(x-2)的图象与直线y=m的交点的横坐标,
二次函数y=(x+1)(x-2)与x轴的交点为(-1,0)与(2,0),
又因为m>0,x1<x2,画出函数图象如下:
由图象可知.
故答案为:A.
【分析】 关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2,可以看作二次函数y=(x+1)(x-2)的图象与直线y=m的交点的横坐标,二次函数y=(x+1)(x-2)与x轴的交点为(-1,0)与(2,0),
又因为m>0,x1<x2,故画出图象,利用图象即可直接得出答案.
8.(2022九上·萧山期中)设一元二次方程的两实数根分别为,且,则、满足( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解: 一元二次方程 的解为 , ,
二次函数 与 轴的交点坐标为 , .
依照题意,画出函数图象,如图所示.
观察图形,可知: .
故答案为:B.
【分析】求方程(x+1)(x-3)=a的解,就是求函数y=(x+1)(x-3)与函数y=a图象交点的横坐标,故先画出函数y=(x+1)(x-3)的图象,再画出直线y=a(a>0),两图象左边交点的横坐标就是 ,右边交点的横坐标就是 ,利用图象即可判断得出答案.
9.(2023·蚌埠模拟)“如果二次函数的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、是关于x的方程的两根,且,则a、b、m、n的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:依题意,画出函数与的图象,如图.
二次函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为a,b().
把方程转化为,
则方程的两根是抛物线与直线的两个交点的横坐标.
由,可知对称轴左侧交点横坐标为m,右侧为n.
由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y随x增大而减小,则有;在对称轴右侧,y随x增大而增大,则有.
综上所述,.
故答案为:A.
【分析】画出函数的图象,再根据函数图象求解即可。
10.(2022九上·海淀期中)如图,已知关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②,区域均含端点,则k的值可能是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②,区域均含端点,
∴一个根 ,另一个根,
∵抛物线的对称轴是直线,
∴抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,
∴k的值可能为1.
故答案为:C.
【分析】先求出一个根 ,另一个根,再求出抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,最后求解即可。
二、填空题(每题3分,共15分)
11.(2022九上·高昌期中)已知二次函数的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程的解为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:根据图象可知,二次函数的部分图象经过点(4,0),
对称轴为,
由抛物线的对称性可知:二次函数与x轴的另一个交点坐标为:
抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根,即:;
故答案为:.
【分析】由抛物线的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标,根据抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根即可求解.
12.(2022九上·温州期中)如图,抛物线的对称轴是直线,与x轴的一个交点为,若关于x的一元二次方程的两根为,则的值为 .
【答案】-8
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:∵抛物线的对称轴是直线,与轴的一个交点为,
∴抛物线与x轴的一个另交点为,
∴一元二次方程的两根为,,
∴.
故答案为:-8.
【分析】根据抛物线的对称性,抛物线与x轴两交点到对称轴距离相等,据此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标,进而根据求方程ax2+bx+c=0的解,就是求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标,可得x1与x2的值,最后再根据有理数的减法法则算出答案即可.
13.(2022九上·南昌期中)二次函数的图象如图,若一元二次方程有实数根,则的最小值为
【答案】-3
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:如图,画直线
当直线与函数的图像有交点时,
则方程有实数根,
由图像可得:当直线过的顶点时,有最小值,
此时:
故答案为:-3
【分析】根据一次函数与二次函数的关系,结合函数图象求解即可。
14.(2020九上·济宁期中)二次函数 (a≠0,a,b,c是常数)中,自变量x与函数y的对应值如下表:
x -1 - 0 1 2 3
y -2 1 2 1 -2
一元二次方程 (a≠0,a,b,c是常数)的两个根 的取值范围是下列选项中的哪一个 (填序号)
①②
③④
【答案】③
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0.
由表中数据可知:y=0在y= 与y=1之间,
∴- <x1<0,2<x2< 时y的值最接近0,
的取值范围是:- <x1<0;2<x2< .
故答案为:③.
【分析】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根,再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围。
15.(2023·德惠模拟)在平面直角坐标系中,抛物线经过点.若关于的一元二次方程(为实数)在的范围内有实数根,则的取值范围为 .
【答案】-1<t≤7
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵抛物线经过点,
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为.
一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点,如图,
当时,.
∵方程在的范围内有实数根,即函数的图象在的范围内与的图象有交点,
∴-1<t≤7.
故答案为:-1<t≤7.
【分析】利用一元二次方程与二次函数的关系将一元二次方程换位二次函数,再画出函数图象并结合函数图象求解即可。
三、解答题(共7题,共55分)
16.(2021九上·河池期中)已知关于 的一元二次方程 .
(1)求证:无论 取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若此抛物线 与直线 的一个交点在 轴上,求 的值.
【答案】(1)解: ,
∴不论 为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:∵抛物线 与直线 的一个交点在 轴上
当x=0时, = ; =
∴ ,
解得 , .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)一元二次方程由两个不相等的实数根的条件是a≠0且△=b2-4ac>0,依此列不等式求解即可;
(2)根据题意,将两个函数联立,把x=0代入方程得到一个关于m的一元二次方程求解,即可解答.
17.(2021·张湾模拟)已知关于 的一元二次方程 ,其中 为常数.
(1)求证:无论 为何值,方程总有两个不相等实数根.
(2)已知函数 的图象不经过第三象限,求 的取值范围.
【答案】(1)证明:∵
,
∴无论 为何值,方程总有两个不相等实数根
(2)解:∵二次函数 的图象不经过第三象限,二次项系数 ,
∴抛物线开口方向向上,
∵ ,
∴抛物线与 轴有两个交点,
设抛物线与 轴的交点的横坐标分别为 , ,
∴ , ,
解得 ,
即 的取值范围是
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)求出判别式的值,然后根据其值恒为正进行证明;
(2)易得抛物线开口向上,图象经过第一、二、四象限,顶点在第四象限,与x轴有两个交点,设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1、x2,由根与系数的关系可得x1+x2=5-k>0,x1x2=1-k≥0,联立求出k的范围即可.
18.(2023九下·舟山月考)已知抛物线.
(1)若,,求该抛物线与轴公共点的坐标;
(2)若,且当时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求的取值范围;
(3)若,且时,对应的;时,对应的,试判断当时,抛物线与轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,请说明理由.
【答案】(1)解:∵
∴
即
该抛物线与x轴公共点的坐标为 和
(2)解:当a=b=1时,抛物线y = 3x2+2x+ c与x轴有公共点,则所对应方程的根的判别式△=4-12c≥0,有c≤
①当 时,由 ,得 ,符合题意;
②当 时,x1=-1 时, y1=1+c, 当 x=1时,y=5+c.由已知 时,抛物线与 轴有且只有一个公共点,且对称轴为 ,应有 ,即1+c≤0,5+c>0解得-5
综合可得, 或
(3)解:在0<x<1的范围内,抛物线与x轴有两个公共点
理由:∵x1=0,y1>0,
∴c>0,
∵x2=1,y2>0,
∴3a+2b+c>0,
∵a+b+c=0
∴2a+b>0,
∵b=-a-c,
∴2a-c-a>0,即a-c>0,
∴a>c>0;
当y=0时,3ax2+2bx+c=0
∴4b2-12ac=4(-a-c)2-12ac=4[(a-c)2+ac]>0,
∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点,顶点在x轴的下方,
∴抛物线的对称轴为直线,
∵a+b+c=0,c>0,2a+b>0,
∴-2a<b<-a,
∴
∴对称轴大于0小于1,
∴在0<x<1的范围内,抛物线与x轴有两个公共点
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)利用a,b,c的值,可得到函数解析式,再由y=0,可得到关于x的方程,解方程求出x的值,可得到抛物线与x轴的交点坐标.
(2)将a=b=1代入函数解析式,利用抛物线与x轴有且只有一个公共点,可知b2-4ac≤0,分情况讨论:当 时;当 时;可得到关于c的不等式,然后求出不等式的解集,可得到c的取值范围.
(3)由题意可知c>0,3a+2b+c>0,可得到2a+b>0,a>c>0;当y=0时,3ax2+2bx+c=0,可证得b2-4ac>0,可知抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点,顶点在x轴的下方,利用抛物线的函数解析式求出抛物线的对称轴,可得到抛物线的对称轴的取值范围,再根据x1=0,y1>0,x2=1,y2>0,可知在0<x<1的范围内,抛物线与x轴有两个公共点.
19.(2020九上·唐河期末)某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量 的取值范围是全体实数, 与 的几组对应值列表如下:
其中, .
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该图象的另一部分;
(3)观察函数图象,写出两条函数的性质;
(4)进一步探究函数图象发现:
①方程 有 个实数根;
②函数图象与直线 有 个交点,所以对应方程 有 个实数根;
③关于 的方程 有 个实数根, 的取值范围是 .
【答案】(1)-3
(2)解:如图所示;
(3)解:由函数图象知:①函数 的图象关于y轴对称;
②当x>1时,y随x的增大而增大
(4)2;3;3;-4<a<-3
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:(1)观察表格根据函数的对称性可得m=-3;
故答案为:-3;
(4)①函数图象与x轴有2个交点,所以对应的方程 有2个实数根;
②由函数图象知: 的图象与直线y=-3有3个交点,
∴方程 有3个实数根;
③由函数图象知:∵关于x的方程x2-2 -3=a有4个实数根,
∴a的取值范围是-4<a<-3,
故答案为:2,3,3,-4<a<-3.
【分析】(1)由题意观察表格根据函数的对称性即可求得m的值;
(2)根据题意代入表格数据进行描点、连线即可得到函数的图象;
(3)由题意根据题干所给的函数图象性质进行分析即可;
(4)①根据函数图象与x轴的交点个数,即可得到结论;②根据 的图象与直线y=-3的交点个数,即可得到结论;③根据函数的图象即可得到a的取值范围.
20.(2022·泗洪模拟)我们知道,可以借助于函数图象求方程的近似解.如图(甲),把方程x﹣2=1﹣x的解看成函数y=x﹣2的图象与函数y=1﹣x的图象的交点的横坐标,求得方程x﹣2=1﹣x的解为x=1.5.
(1)如图(乙),已画出了反比例函数在第一象限内的图象,借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1=0的正数解.(要求画出相应函数的图象,结果精确到0.1)
(2)选择:三次方程x3﹣x2﹣2x+1=0的根的正负情况是 .
A.有两个负根,一个正根 B.有三个负根
C.有一个负根,两个正根 D.有三个正根
【答案】(1)解:∵,
∴将两边同时除以x,
得,
即 ,
把的正数解视为由函数与函数的图象在第一象限交点的横坐标.
如图:
∴正数解约为;
(2)C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:(2)关于x的方程变形为,
在坐标系中画出函数与函数的图象如图:
,
由图象可知,函数与函数的交点在第三象限一个,第四象限两个,
∴关于x的方程有两个正根,一个负根.
故答案为:C.
【分析】(1)将2x2-2x-1=0两边同时除以x可得=2x-2, 把2x2-2x-1=0的正数解视为由函数y=与函数y=2x-2的图象在第一象限交点的横坐标,画出y=与y=2x-2的图象,进而可得方程的解;
(2)方程x3-x2-2x+1=0可变形为x2-x-2=-,画出y=x2-x-2与y=-的图象,结合图象可得方程x3-x2-2x+1=0的根的正负情况.
21.(2023九下·长沙月考)我们不妨约定:若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该函数称之为“D函数”,其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D点”.根据该约定,完成下列各题:
(1)在下列关于x的函数中,是“D函数”的,请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“D函数”的打“×”.
①( );②( );③( );
(2)若点与点是关于x的“D函数”的一对“D点”,且该函数的对称轴始终位于直线的右侧,求a,b,c的值或取值范围;
(3)若关于x的“D函数”(a,b,c是常数)同时满足下列两个条件:①;②.求该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围.
【答案】(1)√;×;√
(2)解:由题意得:,则,,
∴,
解得,
由,
解得,
∴,
∴,
∴;
(3)解:由题意知,否则,
设该“D函数”的一对“D点”是:,,,
依题意可得,
∴,可得,
∵,
∴,
∵,
∴,即,
∴,
∵,
∴,即,
∵,
∴,
∴,即,
设该“D函数”与x轴的两个交点分别是,
可得,
∵
∵,
∴,
∴,
∴该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围为.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:(1)解:根据“D函数”定义,是“D函数”, 不是“D函数”, 是“D函数”,
故答案为:√,×,√;
【分析】(1)根据“D函数”定义逐个判断即可;
(2)根据“D点”定义易得A(1,4),B(-1,-4),将A、B两点代入y=ax2+bx+c(a≠0)可得关于字母a、b、c的方程组,求解得a=-c,b=4,根据对称轴直线公式并结合该函数的对称轴始终位于直线x=1的右侧可得 -2<a<0, 故-2<-c<0,从而即可得出答案;
(3)由题意易知a≠0, 设该“D函数”的一对“D点”是:,,, 可得 , 则 ,可得, 而 , 即有 , 可得 , 设该“D函数”与x轴的两个交点分别是, 由两点间的距离公式、完全平方公式及根与系数关系得 ,从而即可得出MN的取值范围.
22.(2022九上·通榆期中)阅读与思考:下面是小明同学的数学小论文,请仔细阅读并完成相应的任务.
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应,一元二次方程的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.
下面根据抛物线的顶点坐标(,)和一元二次方程根的判别式△=b2-4ac,分a>0和a<0两种情况进行分析:
当a>0时,抛物线开口向上.
①当△=b2-4ac>0时,有4ac-b2<0.
∵a>0,∴顶点纵坐标<0,
∴顶点在x轴的下方,抛物线与x轴有两个交点(如图①),
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.
②当△=b2-4ac=0时,有4ac-b2=0.
∵a>0,∴顶点纵坐标=0,
∴顶点在x轴上,抛物线与x轴有一个交点(如图②),
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,
③当△=b2-4ac<0……
当a<0时,抛物线开口向下.
……
任务:
(1)上面小论文中的分析过程,主要运用的数学思想是 (从下面选项中选出两个即可)
A.数形结合
B.统计思想
C.分类讨论
D.转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程,写出③中当a>0,△<0时,一元二次方程根的情况的分析过程,并画出相应的示意图.
(3)实际上,除一元二次方程外,初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识,例如:可用函数观点来认识一元一次方程的解,请你再举出一例.
【答案】(1)AC(或AD或CD)
(2)解:当△=b2-4ac<0时,有4ac-b2>0.
∵a>0,∴顶点纵坐标
∴顶点在x轴的上方,抛物线与x轴无交点,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
示意图如图.
(3)解:可用函数观点来认识二元一次方程组的解、(答案不唯一.又如:可用函数观点来认.识一元一次不等式的解集等)
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】(1)解: 上面小论文中的分析过程,主要运用的数学思想是:数形结合和分类讨论或者是数形结合和转化思想或分类讨论和转化思想。
故答案为:AC(或AD或CD) .
【分析】
(1)根据题意求所运用的数学思想即可;
(2)先求出 顶点纵坐标 ,再求出 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根,最后求解即可;
(3)根据题意求解即可。
1 / 1【提升卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(2022九上·陵城期中)已知二次函数(m为常数)的图像与x轴的一个公共点为(1,0),则关于x的一元二次方程的两实数根是( )
A. B.
C. D.
2.(2020九上·任城期中)已知二次函数 的图象经过 与 两点,关于 的方程 有两个根,其中一个根是3.则关于 的方程 有两个整数根,这两个整数根是( )
A. 或0 B. 或2 C. 或3 D. 或4
3.(2021九上·拱墅期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣2,0),且对称轴为直线x=1,下列结论正确的是( )
A.abc>0
B.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为3和﹣2
C.9a+c>3b
D.当y>0时,x的取值范围是﹣2<x<4
4.(2021九上·虎门期末)二次函数的图象如图,对称轴为直线,关于的一元二次方程(为实数)在的范围内有解,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.(2020九上·浙江期中)如图,以直线 为对称轴的二次函数 的图象与x轴负半轴交于A点,则一元二次方程 的正数解的范围是( ).
A. B. C. D.
6.(2019九上·厦门期中)一元二次方程 的两实根分别为 , ,且 ,以下关系成立的是( )
A. 且 B.
C. D.
7.(2023九上·义乌期末)已知,关于x的一元二次方程的解为,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
8.(2022九上·萧山期中)设一元二次方程的两实数根分别为,且,则、满足( )
A. B.
C. D.
9.(2023·蚌埠模拟)“如果二次函数的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、是关于x的方程的两根,且,则a、b、m、n的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.(2022九上·海淀期中)如图,已知关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②,区域均含端点,则k的值可能是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
二、填空题(每题3分,共15分)
11.(2022九上·高昌期中)已知二次函数的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程的解为 .
12.(2022九上·温州期中)如图,抛物线的对称轴是直线,与x轴的一个交点为,若关于x的一元二次方程的两根为,则的值为 .
13.(2022九上·南昌期中)二次函数的图象如图,若一元二次方程有实数根,则的最小值为
14.(2020九上·济宁期中)二次函数 (a≠0,a,b,c是常数)中,自变量x与函数y的对应值如下表:
x -1 - 0 1 2 3
y -2 1 2 1 -2
一元二次方程 (a≠0,a,b,c是常数)的两个根 的取值范围是下列选项中的哪一个 (填序号)
①②
③④
15.(2023·德惠模拟)在平面直角坐标系中,抛物线经过点.若关于的一元二次方程(为实数)在的范围内有实数根,则的取值范围为 .
三、解答题(共7题,共55分)
16.(2021九上·河池期中)已知关于 的一元二次方程 .
(1)求证:无论 取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若此抛物线 与直线 的一个交点在 轴上,求 的值.
17.(2021·张湾模拟)已知关于 的一元二次方程 ,其中 为常数.
(1)求证:无论 为何值,方程总有两个不相等实数根.
(2)已知函数 的图象不经过第三象限,求 的取值范围.
18.(2023九下·舟山月考)已知抛物线.
(1)若,,求该抛物线与轴公共点的坐标;
(2)若,且当时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求的取值范围;
(3)若,且时,对应的;时,对应的,试判断当时,抛物线与轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,请说明理由.
19.(2020九上·唐河期末)某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量 的取值范围是全体实数, 与 的几组对应值列表如下:
其中, .
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该图象的另一部分;
(3)观察函数图象,写出两条函数的性质;
(4)进一步探究函数图象发现:
①方程 有 个实数根;
②函数图象与直线 有 个交点,所以对应方程 有 个实数根;
③关于 的方程 有 个实数根, 的取值范围是 .
20.(2022·泗洪模拟)我们知道,可以借助于函数图象求方程的近似解.如图(甲),把方程x﹣2=1﹣x的解看成函数y=x﹣2的图象与函数y=1﹣x的图象的交点的横坐标,求得方程x﹣2=1﹣x的解为x=1.5.
(1)如图(乙),已画出了反比例函数在第一象限内的图象,借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1=0的正数解.(要求画出相应函数的图象,结果精确到0.1)
(2)选择:三次方程x3﹣x2﹣2x+1=0的根的正负情况是 .
A.有两个负根,一个正根 B.有三个负根
C.有一个负根,两个正根 D.有三个正根
21.(2023九下·长沙月考)我们不妨约定:若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该函数称之为“D函数”,其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D点”.根据该约定,完成下列各题:
(1)在下列关于x的函数中,是“D函数”的,请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“D函数”的打“×”.
①( );②( );③( );
(2)若点与点是关于x的“D函数”的一对“D点”,且该函数的对称轴始终位于直线的右侧,求a,b,c的值或取值范围;
(3)若关于x的“D函数”(a,b,c是常数)同时满足下列两个条件:①;②.求该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围.
22.(2022九上·通榆期中)阅读与思考:下面是小明同学的数学小论文,请仔细阅读并完成相应的任务.
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应,一元二次方程的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.
下面根据抛物线的顶点坐标(,)和一元二次方程根的判别式△=b2-4ac,分a>0和a<0两种情况进行分析:
当a>0时,抛物线开口向上.
①当△=b2-4ac>0时,有4ac-b2<0.
∵a>0,∴顶点纵坐标<0,
∴顶点在x轴的下方,抛物线与x轴有两个交点(如图①),
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.
②当△=b2-4ac=0时,有4ac-b2=0.
∵a>0,∴顶点纵坐标=0,
∴顶点在x轴上,抛物线与x轴有一个交点(如图②),
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,
③当△=b2-4ac<0……
当a<0时,抛物线开口向下.
……
任务:
(1)上面小论文中的分析过程,主要运用的数学思想是 (从下面选项中选出两个即可)
A.数形结合
B.统计思想
C.分类讨论
D.转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程,写出③中当a>0,△<0时,一元二次方程根的情况的分析过程,并画出相应的示意图.
(3)实际上,除一元二次方程外,初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识,例如:可用函数观点来认识一元一次方程的解,请你再举出一例.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:将点(1,0)代入,得:1+3-m=0,
解得m=4,
∴二次函数为,
∵对称轴为:
∴二次函数为与x轴的另一个交点为(-4,0),
∴一元二次方程的两实数根是,
故答案为:A.
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标,再利用二次函数与一元二次方程的根的关系可得答案。
2.【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】二次函数 的图象经过 与 两点,即方程 的两个根是﹣3和1,
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3,
由1到3移动2个单位,可得另一个根为﹣5.由于0<n<m,
可知方程 的两根范围在﹣5~﹣3和1~3,
由此判断B符合该范围.
故答案为:B.
【分析】根据题目中的函数表达式和二次函数与一元二次方程的关系,可以得出关于X的方程的两个证书根从而解答。
3.【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:∵抛物线的开口向下,
∴ ,
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴ ,
∵对称轴为直线 ,
,
,故A选项错误;
图象过点 ,对称轴为直线 ,
抛物线与 轴另一个交点为 ,
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为4和﹣2,故B选项错误;
由图象可知: 时, 的取值范围是 ,故D选项正确;
由图象可知:当 时, ,
,即 ,故C选项错误,
故答案为:D.
【分析】由于抛物线开口向下、对称轴为,抛物线与y轴交点在x轴上方,可得,,,据此判断A;求出抛物线与 轴另一个交点为 ,可得于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为4和﹣2,由图象可知当,函数图象在x轴上方,据此判断B、D;由图象可知:当 时,据此判断C.
4.【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:如图,
关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标,由题意可知:,
,
当时,,
当时,,
由图象可知关于的一元二次方程为实数)在的范围内有解,
直线在直线和直线之间包括直线,
.
故答案为:D.
【分析】根据题意画出图象,再结合函数图象求解即可。
5.【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解:∵二次函数 的对称轴为 ,
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是 ,
∴右侧交点横坐标的取值范围是 .
故答案为:C.
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围,再利用对称轴 ,可以算出右侧交点横坐标的取值范围.
6.【答案】A
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解:根据题意,把 、 看作抛物线 与直线 的交点的横坐标,而抛物线 与 轴的交点坐标为 , ,如图,所以 且 .
故答案为:A
【分析】由于一元二次方程(x-1)(x-2)=6的两实根分别为s,t,于是可把s、t看作抛物线y=(x-1)(x-2)与直线y=6的交点的横坐标,根据抛物线与x轴的交点问题,抛物线y=(x-1)(x-2)与x轴的交点坐标为(1,0),(2,0),然后画出草图即可得到s、t满足的条件.
7.【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:根据题意,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2,
可以看作二次函数y=(x+1)(x-2)的图象与直线y=m的交点的横坐标,
二次函数y=(x+1)(x-2)与x轴的交点为(-1,0)与(2,0),
又因为m>0,x1<x2,画出函数图象如下:
由图象可知.
故答案为:A.
【分析】 关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2,可以看作二次函数y=(x+1)(x-2)的图象与直线y=m的交点的横坐标,二次函数y=(x+1)(x-2)与x轴的交点为(-1,0)与(2,0),
又因为m>0,x1<x2,故画出图象,利用图象即可直接得出答案.
8.【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解: 一元二次方程 的解为 , ,
二次函数 与 轴的交点坐标为 , .
依照题意,画出函数图象,如图所示.
观察图形,可知: .
故答案为:B.
【分析】求方程(x+1)(x-3)=a的解,就是求函数y=(x+1)(x-3)与函数y=a图象交点的横坐标,故先画出函数y=(x+1)(x-3)的图象,再画出直线y=a(a>0),两图象左边交点的横坐标就是 ,右边交点的横坐标就是 ,利用图象即可判断得出答案.
9.【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:依题意,画出函数与的图象,如图.
二次函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为a,b().
把方程转化为,
则方程的两根是抛物线与直线的两个交点的横坐标.
由,可知对称轴左侧交点横坐标为m,右侧为n.
由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y随x增大而减小,则有;在对称轴右侧,y随x增大而增大,则有.
综上所述,.
故答案为:A.
【分析】画出函数的图象,再根据函数图象求解即可。
10.【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②,区域均含端点,
∴一个根 ,另一个根,
∵抛物线的对称轴是直线,
∴抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,
∴k的值可能为1.
故答案为:C.
【分析】先求出一个根 ,另一个根,再求出抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,最后求解即可。
11.【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解:根据图象可知,二次函数的部分图象经过点(4,0),
对称轴为,
由抛物线的对称性可知:二次函数与x轴的另一个交点坐标为:
抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根,即:;
故答案为:.
【分析】由抛物线的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标,根据抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根即可求解.
12.【答案】-8
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:∵抛物线的对称轴是直线,与轴的一个交点为,
∴抛物线与x轴的一个另交点为,
∴一元二次方程的两根为,,
∴.
故答案为:-8.
【分析】根据抛物线的对称性,抛物线与x轴两交点到对称轴距离相等,据此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标,进而根据求方程ax2+bx+c=0的解,就是求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标,可得x1与x2的值,最后再根据有理数的减法法则算出答案即可.
13.【答案】-3
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:如图,画直线
当直线与函数的图像有交点时,
则方程有实数根,
由图像可得:当直线过的顶点时,有最小值,
此时:
故答案为:-3
【分析】根据一次函数与二次函数的关系,结合函数图象求解即可。
14.【答案】③
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0.
由表中数据可知:y=0在y= 与y=1之间,
∴- <x1<0,2<x2< 时y的值最接近0,
的取值范围是:- <x1<0;2<x2< .
故答案为:③.
【分析】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根,再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围。
15.【答案】-1<t≤7
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵抛物线经过点,
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为.
一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点,如图,
当时,.
∵方程在的范围内有实数根,即函数的图象在的范围内与的图象有交点,
∴-1<t≤7.
故答案为:-1<t≤7.
【分析】利用一元二次方程与二次函数的关系将一元二次方程换位二次函数,再画出函数图象并结合函数图象求解即可。
16.【答案】(1)解: ,
∴不论 为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:∵抛物线 与直线 的一个交点在 轴上
当x=0时, = ; =
∴ ,
解得 , .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)一元二次方程由两个不相等的实数根的条件是a≠0且△=b2-4ac>0,依此列不等式求解即可;
(2)根据题意,将两个函数联立,把x=0代入方程得到一个关于m的一元二次方程求解,即可解答.
17.【答案】(1)证明:∵
,
∴无论 为何值,方程总有两个不相等实数根
(2)解:∵二次函数 的图象不经过第三象限,二次项系数 ,
∴抛物线开口方向向上,
∵ ,
∴抛物线与 轴有两个交点,
设抛物线与 轴的交点的横坐标分别为 , ,
∴ , ,
解得 ,
即 的取值范围是
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)求出判别式的值,然后根据其值恒为正进行证明;
(2)易得抛物线开口向上,图象经过第一、二、四象限,顶点在第四象限,与x轴有两个交点,设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1、x2,由根与系数的关系可得x1+x2=5-k>0,x1x2=1-k≥0,联立求出k的范围即可.
18.【答案】(1)解:∵
∴
即
该抛物线与x轴公共点的坐标为 和
(2)解:当a=b=1时,抛物线y = 3x2+2x+ c与x轴有公共点,则所对应方程的根的判别式△=4-12c≥0,有c≤
①当 时,由 ,得 ,符合题意;
②当 时,x1=-1 时, y1=1+c, 当 x=1时,y=5+c.由已知 时,抛物线与 轴有且只有一个公共点,且对称轴为 ,应有 ,即1+c≤0,5+c>0解得-5
综合可得, 或
(3)解:在0<x<1的范围内,抛物线与x轴有两个公共点
理由:∵x1=0,y1>0,
∴c>0,
∵x2=1,y2>0,
∴3a+2b+c>0,
∵a+b+c=0
∴2a+b>0,
∵b=-a-c,
∴2a-c-a>0,即a-c>0,
∴a>c>0;
当y=0时,3ax2+2bx+c=0
∴4b2-12ac=4(-a-c)2-12ac=4[(a-c)2+ac]>0,
∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点,顶点在x轴的下方,
∴抛物线的对称轴为直线,
∵a+b+c=0,c>0,2a+b>0,
∴-2a<b<-a,
∴
∴对称轴大于0小于1,
∴在0<x<1的范围内,抛物线与x轴有两个公共点
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)利用a,b,c的值,可得到函数解析式,再由y=0,可得到关于x的方程,解方程求出x的值,可得到抛物线与x轴的交点坐标.
(2)将a=b=1代入函数解析式,利用抛物线与x轴有且只有一个公共点,可知b2-4ac≤0,分情况讨论:当 时;当 时;可得到关于c的不等式,然后求出不等式的解集,可得到c的取值范围.
(3)由题意可知c>0,3a+2b+c>0,可得到2a+b>0,a>c>0;当y=0时,3ax2+2bx+c=0,可证得b2-4ac>0,可知抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点,顶点在x轴的下方,利用抛物线的函数解析式求出抛物线的对称轴,可得到抛物线的对称轴的取值范围,再根据x1=0,y1>0,x2=1,y2>0,可知在0<x<1的范围内,抛物线与x轴有两个公共点.
19.【答案】(1)-3
(2)解:如图所示;
(3)解:由函数图象知:①函数 的图象关于y轴对称;
②当x>1时,y随x的增大而增大
(4)2;3;3;-4<a<-3
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:(1)观察表格根据函数的对称性可得m=-3;
故答案为:-3;
(4)①函数图象与x轴有2个交点,所以对应的方程 有2个实数根;
②由函数图象知: 的图象与直线y=-3有3个交点,
∴方程 有3个实数根;
③由函数图象知:∵关于x的方程x2-2 -3=a有4个实数根,
∴a的取值范围是-4<a<-3,
故答案为:2,3,3,-4<a<-3.
【分析】(1)由题意观察表格根据函数的对称性即可求得m的值;
(2)根据题意代入表格数据进行描点、连线即可得到函数的图象;
(3)由题意根据题干所给的函数图象性质进行分析即可;
(4)①根据函数图象与x轴的交点个数,即可得到结论;②根据 的图象与直线y=-3的交点个数,即可得到结论;③根据函数的图象即可得到a的取值范围.
20.【答案】(1)解:∵,
∴将两边同时除以x,
得,
即 ,
把的正数解视为由函数与函数的图象在第一象限交点的横坐标.
如图:
∴正数解约为;
(2)C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题;利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解:(2)关于x的方程变形为,
在坐标系中画出函数与函数的图象如图:
,
由图象可知,函数与函数的交点在第三象限一个,第四象限两个,
∴关于x的方程有两个正根,一个负根.
故答案为:C.
【分析】(1)将2x2-2x-1=0两边同时除以x可得=2x-2, 把2x2-2x-1=0的正数解视为由函数y=与函数y=2x-2的图象在第一象限交点的横坐标,画出y=与y=2x-2的图象,进而可得方程的解;
(2)方程x3-x2-2x+1=0可变形为x2-x-2=-,画出y=x2-x-2与y=-的图象,结合图象可得方程x3-x2-2x+1=0的根的正负情况.
21.【答案】(1)√;×;√
(2)解:由题意得:,则,,
∴,
解得,
由,
解得,
∴,
∴,
∴;
(3)解:由题意知,否则,
设该“D函数”的一对“D点”是:,,,
依题意可得,
∴,可得,
∵,
∴,
∵,
∴,即,
∴,
∵,
∴,即,
∵,
∴,
∴,即,
设该“D函数”与x轴的两个交点分别是,
可得,
∵
∵,
∴,
∴,
∴该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围为.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解:(1)解:根据“D函数”定义,是“D函数”, 不是“D函数”, 是“D函数”,
故答案为:√,×,√;
【分析】(1)根据“D函数”定义逐个判断即可;
(2)根据“D点”定义易得A(1,4),B(-1,-4),将A、B两点代入y=ax2+bx+c(a≠0)可得关于字母a、b、c的方程组,求解得a=-c,b=4,根据对称轴直线公式并结合该函数的对称轴始终位于直线x=1的右侧可得 -2<a<0, 故-2<-c<0,从而即可得出答案;
(3)由题意易知a≠0, 设该“D函数”的一对“D点”是:,,, 可得 , 则 ,可得, 而 , 即有 , 可得 , 设该“D函数”与x轴的两个交点分别是, 由两点间的距离公式、完全平方公式及根与系数关系得 ,从而即可得出MN的取值范围.
22.【答案】(1)AC(或AD或CD)
(2)解:当△=b2-4ac<0时,有4ac-b2>0.
∵a>0,∴顶点纵坐标
∴顶点在x轴的上方,抛物线与x轴无交点,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
示意图如图.
(3)解:可用函数观点来认识二元一次方程组的解、(答案不唯一.又如:可用函数观点来认.识一元一次不等式的解集等)
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】(1)解: 上面小论文中的分析过程,主要运用的数学思想是:数形结合和分类讨论或者是数形结合和转化思想或分类讨论和转化思想。
故答案为:AC(或AD或CD) .
【分析】
(1)根据题意求所运用的数学思想即可;
(2)先求出 顶点纵坐标 ,再求出 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根,最后求解即可;
(3)根据题意求解即可。
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