【B卷】第一章 直角三角形的边角关系—北师大版九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·临清开学考）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（初中数学北师大版九年级下册1.1锐角三角函数练习题）如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sinA的取值范围是（ ）
A．0 B．
C． D．
3．（2020九上·浦东期中）下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·抚州模拟）如图，与，，分别交于点E，G，F，且，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·吴兴模拟）如图，以矩形OABC的两边OA和OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系。将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°，得到矩形ODEF，若当点A的坐标为（-，0）时，反比例函数的图象恰好经过B、F两点，则此时k的值为（ ）.
A． B．-6 C． D．-3
6．（2023·五华模拟）如图所示，在中，按以下步骤作图：①连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；②分别以点D，F为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线交于点E．若，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
7．（2023·江阳模拟）如图，矩形的对角线相交于点O，，分别过点D，点C作的平行线，两线相交于点E，连接交于点F，则的值是（ ）
A．7 B． C．8 D．
8．（2023·道里模拟）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距为（ ）米．
A． B．
C． D．
9．（2023·松江模拟）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得、，那么这条河的宽度是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
10．（2022·安州模拟）如图，小华站在水库的堤坝上的G点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船C的俯角 ，若小华的眼睛与底面的距离 米， 米. 平行于 所在的直线，迎水坡 的坡度 ： ，坡长 为 米，点A，B，C，D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离 的长为（ ）米 ，结果精确到 米
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·浙江模拟）如图，在中，对角线交于点O.点M是边的中点，连接，作.已知平分，平分，若，则的值为 .
12．（2023·梧州模拟）如图，在正方形内部作等边，交于F点，过E作，分别交于点G，H．则的值是 ．
13．（2023·龙江模拟）矩形的边．点为平面内一点，，若，则 ．
14．（2023·坪山模拟）如图，在矩形中，点E为上一点，，，连接，将沿所在的直线翻折，得到，交于点F，将沿所在的直线翻折，得到，交于点G，的值为 ．
15．（2022·鹿城模拟）图1是一辆卸货车实物图， 折线ABC是支架， B D为可伸缩的液压支撑杆， 测得 ， 图2是卸货车不工作时的侧面示意图，此时AB与FG在同一直线上，
CDll AB，且∠DEF=135°，则BF= ，图3是卸货车工作时的侧面示意图，折线CDE可绕点C上下旋转，且∠CDE始终保持不变，EF始终保持与地面垂直，当BD⊥DE时，FG与AB的距离为 .
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·松江模拟）如图，已知正方形，、分别为边、的中点，与交于点，，垂足为点．
（1）求证：；
（2）连接，求正弦值．
17．（2023九下·淳安期中）如图，在菱形中，，是对角线上一点．是线段延长线上一点，且，连接．
（1）如图1，若是线段上任意一点，连接，求证：．
（2）在第（1）题的前提下，求证：．
（3）如图2，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，求的值．
18．（2020·遵化模拟）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图.已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30cm.假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离CD＝120cm处淋浴.
（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE.
（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；
②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数.
（参考数据： ≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）
19．（2022·坪山模拟）如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．
请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：
（1）盲区1的面积约是 m2；盲区2的面积约是 m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，结果保留整数）
（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．
20．（2023·广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，长为100米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向．
（1）求步道的长度．
（2）点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：）
21．（2023九下·龙江期中）综合与实践如图，正方形与正方形有公共顶点C，，，连接．
（1）如图①，当点E，G在正方形内时，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）把正方形绕点C旋转到如图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）把正方形绕点C在平面内自由旋转．
①当A，E，D三点在同一条直线上时，AE的长是 ；
②旋转过程中，的最大值为 ．
22．（2021·建湖模拟）如图
（1）（问题情境）
如图1，在矩形ABCD中，将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，设AD与CE相交于点F，那么AC与DE的位置关系为 .
（2）（类比探究）
如图2，若四边形ABCD为平行四边形，上述“问题情境”中的条件不变，
①猜想AC与DE的位置关系，并证明你的结论；
②当∠B与∠ACB满足什么数量关系时，△ABC∽△FEA？请说明理由；
（3）（拓展应用）
如图3， ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，上述“问题情境”中的条件不变，当△AEC是直角三角形时，请直接写出DE的长为 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】选项中D选项分母为61
【解答】解：如图所示，找到格点D，连接BD，AD
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】根据网格的特点以及勾股定理求得AB的长，进而根据正弦的定义，即可求解．
2．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，
在Rt△ACH中，sinC= = ，
设AH=4x，AC=5x，
所以CH= =3x，
所以sin∠HAC= = ，
∵∠HAC＜∠BAC＜90°，
∴ ＜sin∠BAC＜1．
故选D．
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据正弦定义得到sinC= = ，则可设AH=4x，AC=5x，利用勾股定理得到CH=3x，所以sin∠HAC= = ，由于∠HAC＜∠BAC＜90°，然后根据正弦函数为增函数即可得到sin∠BAC的范围．
3．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】A、 ，故符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ， ，因此 ，故不符合题意；
D、 ， ，因此 ，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据三角函数的运算逐项判定即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴，即：∠GFC=90°，故D不符合题意；
又∵，
∴，即：，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】先根据平行线的判定可得；根据三角形的内角和定理可得；根据特殊角撒三角函数值可得；
根据平行线的性质可得。
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过F作FG⊥y轴，
设B（-，m），
∵OF=OC=m，∠FOG=30°，
∴FG=OF×sin30°=m，OG=OF×cos30°=m×=m，
∴F（m，m），
∴-m=m×m=k，
解得m=4，
∴k=-4.
故答案为：A.
【分析】过F作FG⊥y轴，设B（-，m），根据旋转的性质和解直角三角形把F点坐标用含m的代数式表示，利用反比例函数的坐标特点列关系式求出m的值，则k值可知.
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得CG为直线DF的垂直平分线，
∴CE⊥DF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=CB=5，AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴，
∴CE=2，
∴由勾股定理得，
故答案为：D.
【分析】先根据垂直平分线的性质即可得到CE⊥DF，再根据平行四边形的性质即可得到AD=CB=5，AD∥CB，进而根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，再解直角三角形即可得到CE的长，进而运用勾股定理即可求解。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，
∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，ME=OE，MC=DC=3，
∴∠EMC=∠H=∠HCM=90°，
∴四边形MCHE是矩形，
∴EM=CH，ME=CH=3，
∴AD∥OE，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=9，
∴HC=4.5；
∴BH=BC+CH=9+4.5=13.5，
在Rt△ABC中，，
在Rt△BEH和Rt△BFG中
，
设FG=2x，BG=9x，
∵FG∥AB，
∴△CFG∽△CAB，
∴即
解之：，
∴
∴
解之：.
故答案为：B
【分析】连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ODEC是平行四边形，利用矩形的性质可得到∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，可推出四边形ODEC是菱形，利用菱形的性质可求出MC的长，同时可证得OE⊥DC，ME=OE，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形MCHE是矩形，可求出ME，CH的长；再证明四边形AOED是平行四边形，可得到OE，HC的长，从而可求出BH的长；利用勾股定理求出AC的长，利用解直角三角形可得到FG与BG的比值，设FG=2x，BG=9x，由FG∥AB可证得△CFG∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可推出CF与AF的比值，然后根据AC的长，可求出AF的长.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点作的垂线交于，
点在点的正东方向，
，，
在中，，
，，
在中，，
，
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，，再利用锐角三角函数计算求解即可。
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，
∵，
∴，
∵米，
∴，
即，
∴，
即米，
即这条河的宽度是米，
故答案为：A．
【分析】过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，利用锐角三角函数可得，即，再求出即可。
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点B作 于点E，延长 交 于点H，得 和矩形 .
， 米，设BE=4x，AE=3x，
由勾股定理可得： ，
解得： ，
米， 米.
米， 米，
米，
米.
在 中，
， 米， ，
米.
又 ，
即 ，
米 .
故答案为：D.
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，根据AB的坡度可设BE=4x，AE=3x，由勾股定理可得x，进而求出BE、AE、DH、AH，根据三角函数的概念可得CH，然后根据CH=CA+AH求出CA.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AB于H，
∵OC平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴，，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵M为BC的中点，
∴OM为△ABC的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点E作EH⊥AB于H，由角平分线的定义及角平分线性质得∠MAC=∠MCA，由等角对等边得MA=MC，由平行四边形的对角线互相平分得AO=CO，根据等腰三角形的三线合一的性质可得∠AOM=90°，则∠AOB=45°，由三角形中位线定理得，则∠BAO=90°，推出，，由勾股定理算出AM，进而判断出△ABE∽△MOE，由相似三角形对应边成比例得，据此可求出AE、BE的长，再推出，得，最后根据正弦函数的定义即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点E作EK⊥CD于点K，则∠EKH=90°，
∵GH⊥AF，
∴∠FEH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FCH=90°，
∵∠FEH+∠EHK+∠HCF+∠CFE=360°，
∴∠EHK+∠CFE=180°，
∵∠AFB+∠CFE=180°，
∴∠AFB=∠EHK，
∴△ABF∽△EKH，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，△EDC是等边三角形，
∴AB=CD=DE，∠EDK=60°，
∴.
故答案为：.
【分析】过点E作EK⊥CD于点K，则∠EKH=90°，根据垂直定义得∠FEH=90°，由正方形的性质得∠FCH=90°，由四边形的内角和定理得∠EHK+∠CFE=180°，由邻补角定义及同角的补角相等得∠AFB=∠EHK，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABF∽△EKH，得，由正方形及等边三角形的性质得AB=CD=DE，∠EDK=60°，进而根据等量代换、正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出答案.
13．【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵点P为平面内一点，∠APD=90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，
取AD的中点O即为圆心，连接BO，
∵矩形ABCD的边AB=6，BC=4，
∴OA=AD=BC = 2，
∴，
由题意可得：，
∵要使得tan∠ABP=，此时BO与圆O的交点，
∴P1点是符合题意的点，
∵OA=OP1=OP2=2，
∴，
同理可得：当BO的延长线与圆O交于矩形外部点P2时，符合题意，
∴BP2=BO+OP2=，
故答案为： 或 .
【分析】先作图，再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：由折叠的性质得：，，，，，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
即，，
∴，
如图，过点G作于点H，则，
∴，，
∴，
可设，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
故答案为：
【分析】结合图形，利用矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数计算求解即可。
15．【答案】；
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：①如图所示，
过点E作EM，过点D作DM⊥EM，垂足为M，并延长至AB的延长线，交于点P，过点C作CN⊥AB延长线与点N，
∵∠EFG-90°，∠DEF= 135° ，
∴∠DEM= 135° - 90° =45°，
∵DE=3，
∴在Rt△DEM中，EM=DM=，即FP=EM=，
∵CN⊥PN，DP⊥NP，且CD=，
∴FN=NP+FP=，
∵∠ABC-∠CDE- 135°，
∴∠CBN- 180°- 135°=45°，且BC=，
∴CN=BN=，
∵FB= FP+NP- NB，
∴FB=
故答案为：.
②(为便于理解，此处解三角形分分离图形逐步解答~)
a)如下图，过点C作CH⊥BD交BD于点H，
∵∠ABC=∠CDE= 135°，BD⊥DE，
∴∠CDH= 135° - 90°=45°，且CD=，BC=，
∴在Rt△CDH，Rt△BCH中，DH=CH= 1，
BH=，
∴BD= BH+HD=3+1=4，
b)如下图，过点B作BI⊥AB交DE于点I，过点C作CK⊥CD交BD于点K，且作DJ=DI
∵∠ABC=135°，则∠CBK+∠KBI=135°-∠ABI=45°，
由∠CDK=45°，∠IDJ=90°，
∴△CDK与△DIJ均为等腰直角三角形，
又∵CD=，
∴CK=CD=，DK=2，BK=BD-DK=2，
设DI=x，同理易得DJ=DI=x，IJ=x，
又∵∠CBK+∠BCK=∠IBJ=∠BIJ=∠CKD=∠IJD=45°，
∴∠CBK=∠BIJ，∠BCK=∠IBJ
∴△CBK∽△BIJ
∴，即，
解得x=2，
在Rt△BDI中，，
∴，，
c)如下图，过点F作FP⊥AB交AB于点P，过点D作DQ⊥FP交FP于点Q，交BI于点R，
根据题意EF始终保持与地面垂直，故E、F、Q、P均在同一直线EP上，
此时易得，∠BRD=∠DQE=∠RQP=∠BPQ=90°，
∴四边形BPQR是矩形，
∴PQ=BR，
又∵∠DBI+∠BDR=∠BDR+∠QDE=90°，
∴∠EDQ=∠DBI
∴在Rt△DQE和Rt△BRD中，
，
解得：，，
∴EP=EQ+PQ=，
由①得EF=CN-DM=
∴FG与AB的距离FP=EP-EF=
故答案为：.
【分析】此题主要为解直角三角形，常规思路利用已知条件的特殊角往竖直或水平距离作垂直解直角三角形，难点在于利用好已知条件的特殊角联系求得水平或竖直的距离，其中在处理图三中特殊角∠ABC以内构造竖直距离出现多处45°角，进而产生构造与45°角相关的相似进而解得相应边长，(如若感兴趣者也建议研究该常见45°产生的"12345"模型二级结论快速得出填空题答案)，最后为避开多次相似的较麻烦写法，延用同角锐角三角函数值做步骤简化，其原理与相似基本一致。
16．【答案】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 、 分别为边 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ABF≌△DAE，可得 ，利用余角的性质可求∠AMF=90°，结合 ，可得 ，由F是AD的中点，可得 ，即得AM=MN；
（2）连接BE， 由 ，利用余角的性质可求 ， 可得
，即得 ， 设 ，则 ， ， ME=3a， ， ， 根据即可求解.
17．【答案】（1）证明：在菱形中，，
∴为等边三角形，，
∴，，
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，是公共边，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过作，
∵，
∴，
∴，
设，，可得方程，解得，，
∵，，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AD=CD，∠ABC=∠ADC=60°，推出△ACD为等边三角形，得到∠DAC=∠DCA=∠ACB=60°，∠DAE=∠DCF=60°，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得ED=FD，∠ADE=∠CDF，易得△EDF为等边三角形，则EF=DE，利用SAS证明△ABE≌△ADE，得到BE=DE，据此证明；
（3）过A作AH⊥BF，由平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BCE∽△FCA，设AC=1，CE=x，由相似三角形的性质可得x，然后求出CH、AH的值，再根据三角函数的概念进行计算.
18．【答案】（1）解：过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H，
∵∠C＝∠D＝90°，∴四边形GCDH为矩形，
∴GH＝CD＝120，DH＝CG，∠H＝90°，
在Rt△ABG中，∠ABG＝α＝30°，AB＝30，
∴AG＝15，BG=15
∴AH＝120﹣15＝105，
∵AE⊥AB，∴∠EAH＝30°，
又∠H＝90°，∴EH＝AHtan30°＝35
∴ED＝HD﹣HE＝160+15 ﹣35 ≈125.4（cm）
（2）解：①BF＝DE；
②如图，
在Rt△BCD中，BD＝ ＝200，
∴sin∠1＝ ＝0.6，
∴∠1≈36.9°，
在Rt△BAD中，AB＝30．
∴sin∠2＝ ＝0.15，
∴∠2≈8.6°，
∴∠3≈90°﹣8.6°＝81.4°，
∴α＝180°﹣∠1﹣∠3≈180°﹣36.9°﹣81.4°＝61.7°．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据题意，可以证明四边形GCDH为矩形，由矩形的性质以及直角三角形的性质，结合三角函数即可得到ED的数值；
（2）在直角三角形BCD中，根据勾股定理计算得到BD的值，利用三角函数即可得到答案。
19．【答案】（1）5；4
（2）解：∵AC＝AD＝，
AH＝AG＝，
AM＝AN＝，
∴AC＝AD＞AH＝AG＞AM＝AN，
∴以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．
如图所示．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）如图，作OP⊥CD于P．
∵OBCD是等腰梯形，OB＝2，CD＝4，
∴DP＝（CD﹣OB）＝1．
在直角△ODP中，∵∠D＝60°，
∴OP＝DP tanD＝1×＝，
∴S梯形OBCD＝（OB+CD） OP＝（2+4） ＝3≈3×1.7≈5（m2），
即盲区1的面积约是5m2；
在直角△BEN中，∵∠EBN＝25°，EN＝2，
∴BE＝≈＝4，
∴S△BEN＝BE EN≈×4×2＝4（m2），
即盲区2的面积约是4m2．
故答案为5，4；
【分析】（1）作OP⊥CD于P，根据等腰梯形的性质求出DP＝（CD﹣OB）＝1，解直角△ODP，得出OP＝DP tanD＝1×＝，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的面积；解直角△BEN，求出BE＝≈＝4，因此S△BEN＝BE EN≈×4×2＝4，即为盲区2的面积；
（2）利用勾股定理求出AC=AD，AH=AG，AM=AN，得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域。
20．【答案】（1）解：由题意得，过点作垂直的延长线于点，如图所示，
点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，
，，
，
，
为矩形.
.
米，
米.
在中，米.
故答案为：200米.
（2）解：这条路较近，理由如下：
，，
.
米，，
在中，米.
米.
为矩形，米，
米.
在中，米.
米.
结果精确到个位，
米.
米.
.
从这条路较近.
故答案为：这条路较近.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点作垂直的延长线于点，先根据题意得到，，再根据矩形的判定与性质证明四边形ACDF为矩形，进而得到DF=AC，再解直角三角形即可求解；
（2）这条路较近，先根据解直角三角形的知识得到AB、BC的长，再运用矩形的性质得到米，最后再运用解直角三角形的知识结合题意即可求解。
21．【答案】（1）BE=AD；BE⊥AD
（2）解：成立，理由如下：如图，
∵正方形ACBF，正方形CDGE，
∴，，
∴，即，
∴，
∴、，
∵，
∴，
∴；
（3）；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）证明：如图1：延长BE，与AC、AD交于点O和点H，
∵正方形ACBF，正方形CDGE，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，∠BCO+∠CBO+∠BOC=∠AOH+∠AHO+∠HAO=180°
∴∠AHO=90°，
∴．
故答案为：；
（3）解：①如图：过点C作CM⊥AD于点M，
∵A，E，D三点在同一条直线上
∴DE是正方形CDGE的对角线
∴
∴△MDC是等腰直角三角形
∵
∴
∵
∴
∴．
②如图：
∵
∴
∴当A，E，D三点在同一条直线上时，有最大值DE
∴的最大值为为．
故答案为：．
【分析】（1）延长BE，与AC、AD分别交于点O、H，根据正方形的四边相等，四个角都是直角得BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°，由同角的余角相等得∠BCE=∠ACD，从而由SAS判断出△BCE≌△ACD，得BE=AD，∠CBO=∠CAD，然后结合对顶角相等及三角形的内角和定理可得∠AHB=90°，从而得出BE⊥AD；
（2） （1）中的结论依然还成立 ，理由如下：根据正方形的四边相等，四个角都是直角可得BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°，由等式的性质得∠BCE=∠ACD，从而由SAS判断出△BCE≌△ACD，得BE=AD，∠CBO=∠CAD，然后结合对顶角相等及三角形的内角和定理可得∠OAD+∠AOE=90°，从而得出BE⊥AD；
（3）①当A，E，D三点在同一条直线上，过点C作CM⊥AD于点M，结合正方形的性质易得△MDC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质、∠CDM的余弦函数及特殊锐角三角函数值可得CM=MD=，DE=，由勾股定理算出AM，进而根据AE=AD-ED计算可得答案；
② 根据三角形三边关系可得|AE-AD|≤ED，当A，E，D三点在同一条直线上时，|AE-AD|有最大值DE，从而即可得出答案.
22．【答案】（1）AC//DE
（2）解：①如图②中，
∵沿AC折叠，
∴∠ACB＝∠ACE，BC＝CE，
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACE，
∴FA＝FC，
∵AD＝BC，BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴AD﹣FA＝CE﹣FC，
即EF＝DF，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠AFC＝∠EFD，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴AC//DE，
②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，
∴∠AFE＝∠DAC+∠ACE＝2∠ACB，
若△ABC∽△FEA，
则∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC，
∵AD//BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC+∠DAC＝180°，
∵∠BAC＝2∠ACB，∠DAC＝∠ACB，
∴∠B+3∠ACB＝180°，
∴当∠B+3∠ACB＝180°时，
△ABC∽△FEA；
（3） 或 .
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】【问题情境】如图①中，
∵矩形ABCD沿AC折叠，
∴∠1＝∠2，
∵AD//BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AF＝CF，
∵AD＝BC，BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴AD﹣AF＝CE﹣CF，
即 EF＝DF，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠AFC＝∠EFD，
∴∠3＝∠ADE，
∴AC//DE.
故答案为：AC//DE；
【拓展应用】①∠EAC＝90°时，如图，
∵沿AC折叠，
∴AE＝AB＝6，∠AEC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝∠EAC＝90°，
∴B、A、E三点共线，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，即AE//CD，AB＝CD，
∴AE//CD，AE＝CD，
∴四边形ACDE为平行四边形，
∴DE＝AC，
在Rt△BAC中，AC＝AB tan∠B＝ ，
②如图，当∠ACE＝90°时，
∵沿AC折叠，
∴AE＝AB＝6，∠ACE＝∠ABC＝60°，∠BCA＝∠ECA＝90°，
∴B、C、E三点共线，
∵BC＝CE＝AD，
∵AD//BE，∠ECA＝90°，
∴四边形ACED为矩形，
∴DE＝AC，
在Rt△ABC中，AC＝AB sin∠B＝ ，
综上可知，当△AEC是直角三角形时，DE的长为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）AC//DE，理由：根据矩形的性质及折叠的性质求出∠3＝∠ADE，根据平行线的判定即得结论；
（2）① 根据平行四边形的性质及折叠的性质求出∠DAC＝∠ADE， 根据平行线的判定可证AC//DE；
②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，根据三角形外角的性质得出∠AFE＝2∠ACB，若△ABC∽△FEA，
则∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC， 根据平行线的性质得出∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC
+∠DAC＝180°， 从而得出 ∠B+3∠ACB＝180°，据此即得结论；
（3）①∠EAC＝90°时，②当∠ACE＝90°时，据此分别求解即可.
1 / 1【B卷】第一章 直角三角形的边角关系—北师大版九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·临清开学考）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】选项中D选项分母为61
【解答】解：如图所示，找到格点D，连接BD，AD
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】根据网格的特点以及勾股定理求得AB的长，进而根据正弦的定义，即可求解．
2．（初中数学北师大版九年级下册1.1锐角三角函数练习题）如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sinA的取值范围是（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，
在Rt△ACH中，sinC= = ，
设AH=4x，AC=5x，
所以CH= =3x，
所以sin∠HAC= = ，
∵∠HAC＜∠BAC＜90°，
∴ ＜sin∠BAC＜1．
故选D．
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据正弦定义得到sinC= = ，则可设AH=4x，AC=5x，利用勾股定理得到CH=3x，所以sin∠HAC= = ，由于∠HAC＜∠BAC＜90°，然后根据正弦函数为增函数即可得到sin∠BAC的范围．
3．（2020九上·浦东期中）下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】A、 ，故符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ， ，因此 ，故不符合题意；
D、 ， ，因此 ，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据三角函数的运算逐项判定即可。
4．（2022·抚州模拟）如图，与，，分别交于点E，G，F，且，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴，即：∠GFC=90°，故D不符合题意；
又∵，
∴，即：，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】先根据平行线的判定可得；根据三角形的内角和定理可得；根据特殊角撒三角函数值可得；
根据平行线的性质可得。
5．（2020·吴兴模拟）如图，以矩形OABC的两边OA和OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系。将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°，得到矩形ODEF，若当点A的坐标为（-，0）时，反比例函数的图象恰好经过B、F两点，则此时k的值为（ ）.
A． B．-6 C． D．-3
【答案】A
【知识点】解直角三角形；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过F作FG⊥y轴，
设B（-，m），
∵OF=OC=m，∠FOG=30°，
∴FG=OF×sin30°=m，OG=OF×cos30°=m×=m，
∴F（m，m），
∴-m=m×m=k，
解得m=4，
∴k=-4.
故答案为：A.
【分析】过F作FG⊥y轴，设B（-，m），根据旋转的性质和解直角三角形把F点坐标用含m的代数式表示，利用反比例函数的坐标特点列关系式求出m的值，则k值可知.
6．（2023·五华模拟）如图所示，在中，按以下步骤作图：①连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；②分别以点D，F为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线交于点E．若，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得CG为直线DF的垂直平分线，
∴CE⊥DF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=CB=5，AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴，
∴CE=2，
∴由勾股定理得，
故答案为：D.
【分析】先根据垂直平分线的性质即可得到CE⊥DF，再根据平行四边形的性质即可得到AD=CB=5，AD∥CB，进而根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，再解直角三角形即可得到CE的长，进而运用勾股定理即可求解。
7．（2023·江阳模拟）如图，矩形的对角线相交于点O，，分别过点D，点C作的平行线，两线相交于点E，连接交于点F，则的值是（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，
∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，ME=OE，MC=DC=3，
∴∠EMC=∠H=∠HCM=90°，
∴四边形MCHE是矩形，
∴EM=CH，ME=CH=3，
∴AD∥OE，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=9，
∴HC=4.5；
∴BH=BC+CH=9+4.5=13.5，
在Rt△ABC中，，
在Rt△BEH和Rt△BFG中
，
设FG=2x，BG=9x，
∵FG∥AB，
∴△CFG∽△CAB，
∴即
解之：，
∴
∴
解之：.
故答案为：B
【分析】连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ODEC是平行四边形，利用矩形的性质可得到∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，可推出四边形ODEC是菱形，利用菱形的性质可求出MC的长，同时可证得OE⊥DC，ME=OE，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形MCHE是矩形，可求出ME，CH的长；再证明四边形AOED是平行四边形，可得到OE，HC的长，从而可求出BH的长；利用勾股定理求出AC的长，利用解直角三角形可得到FG与BG的比值，设FG=2x，BG=9x，由FG∥AB可证得△CFG∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可推出CF与AF的比值，然后根据AC的长，可求出AF的长.
8．（2023·道里模拟）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距为（ ）米．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点作的垂线交于，
点在点的正东方向，
，，
在中，，
，，
在中，，
，
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，，再利用锐角三角函数计算求解即可。
9．（2023·松江模拟）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得、，那么这条河的宽度是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，
∵，
∴，
∵米，
∴，
即，
∴，
即米，
即这条河的宽度是米，
故答案为：A．
【分析】过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，利用锐角三角函数可得，即，再求出即可。
10．（2022·安州模拟）如图，小华站在水库的堤坝上的G点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船C的俯角 ，若小华的眼睛与底面的距离 米， 米. 平行于 所在的直线，迎水坡 的坡度 ： ，坡长 为 米，点A，B，C，D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离 的长为（ ）米 ，结果精确到 米
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点B作 于点E，延长 交 于点H，得 和矩形 .
， 米，设BE=4x，AE=3x，
由勾股定理可得： ，
解得： ，
米， 米.
米， 米，
米，
米.
在 中，
， 米， ，
米.
又 ，
即 ，
米 .
故答案为：D.
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，根据AB的坡度可设BE=4x，AE=3x，由勾股定理可得x，进而求出BE、AE、DH、AH，根据三角函数的概念可得CH，然后根据CH=CA+AH求出CA.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023·浙江模拟）如图，在中，对角线交于点O.点M是边的中点，连接，作.已知平分，平分，若，则的值为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AB于H，
∵OC平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴，，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵M为BC的中点，
∴OM为△ABC的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点E作EH⊥AB于H，由角平分线的定义及角平分线性质得∠MAC=∠MCA，由等角对等边得MA=MC，由平行四边形的对角线互相平分得AO=CO，根据等腰三角形的三线合一的性质可得∠AOM=90°，则∠AOB=45°，由三角形中位线定理得，则∠BAO=90°，推出，，由勾股定理算出AM，进而判断出△ABE∽△MOE，由相似三角形对应边成比例得，据此可求出AE、BE的长，再推出，得，最后根据正弦函数的定义即可求出答案.
12．（2023·梧州模拟）如图，在正方形内部作等边，交于F点，过E作，分别交于点G，H．则的值是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点E作EK⊥CD于点K，则∠EKH=90°，
∵GH⊥AF，
∴∠FEH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FCH=90°，
∵∠FEH+∠EHK+∠HCF+∠CFE=360°，
∴∠EHK+∠CFE=180°，
∵∠AFB+∠CFE=180°，
∴∠AFB=∠EHK，
∴△ABF∽△EKH，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，△EDC是等边三角形，
∴AB=CD=DE，∠EDK=60°，
∴.
故答案为：.
【分析】过点E作EK⊥CD于点K，则∠EKH=90°，根据垂直定义得∠FEH=90°，由正方形的性质得∠FCH=90°，由四边形的内角和定理得∠EHK+∠CFE=180°，由邻补角定义及同角的补角相等得∠AFB=∠EHK，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABF∽△EKH，得，由正方形及等边三角形的性质得AB=CD=DE，∠EDK=60°，进而根据等量代换、正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出答案.
13．（2023·龙江模拟）矩形的边．点为平面内一点，，若，则 ．
【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵点P为平面内一点，∠APD=90°，
∴点P在以AD为直径的圆上，
取AD的中点O即为圆心，连接BO，
∵矩形ABCD的边AB=6，BC=4，
∴OA=AD=BC = 2，
∴，
由题意可得：，
∵要使得tan∠ABP=，此时BO与圆O的交点，
∴P1点是符合题意的点，
∵OA=OP1=OP2=2，
∴，
同理可得：当BO的延长线与圆O交于矩形外部点P2时，符合题意，
∴BP2=BO+OP2=，
故答案为： 或 .
【分析】先作图，再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
14．（2023·坪山模拟）如图，在矩形中，点E为上一点，，，连接，将沿所在的直线翻折，得到，交于点F，将沿所在的直线翻折，得到，交于点G，的值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：由折叠的性质得：，，，，，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
即，，
∴，
如图，过点G作于点H，则，
∴，，
∴，
可设，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
故答案为：
【分析】结合图形，利用矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数计算求解即可。
15．（2022·鹿城模拟）图1是一辆卸货车实物图， 折线ABC是支架， B D为可伸缩的液压支撑杆， 测得 ， 图2是卸货车不工作时的侧面示意图，此时AB与FG在同一直线上，
CDll AB，且∠DEF=135°，则BF= ，图3是卸货车工作时的侧面示意图，折线CDE可绕点C上下旋转，且∠CDE始终保持不变，EF始终保持与地面垂直，当BD⊥DE时，FG与AB的距离为 .
【答案】；
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：①如图所示，
过点E作EM，过点D作DM⊥EM，垂足为M，并延长至AB的延长线，交于点P，过点C作CN⊥AB延长线与点N，
∵∠EFG-90°，∠DEF= 135° ，
∴∠DEM= 135° - 90° =45°，
∵DE=3，
∴在Rt△DEM中，EM=DM=，即FP=EM=，
∵CN⊥PN，DP⊥NP，且CD=，
∴FN=NP+FP=，
∵∠ABC-∠CDE- 135°，
∴∠CBN- 180°- 135°=45°，且BC=，
∴CN=BN=，
∵FB= FP+NP- NB，
∴FB=
故答案为：.
②(为便于理解，此处解三角形分分离图形逐步解答~)
a)如下图，过点C作CH⊥BD交BD于点H，
∵∠ABC=∠CDE= 135°，BD⊥DE，
∴∠CDH= 135° - 90°=45°，且CD=，BC=，
∴在Rt△CDH，Rt△BCH中，DH=CH= 1，
BH=，
∴BD= BH+HD=3+1=4，
b)如下图，过点B作BI⊥AB交DE于点I，过点C作CK⊥CD交BD于点K，且作DJ=DI
∵∠ABC=135°，则∠CBK+∠KBI=135°-∠ABI=45°，
由∠CDK=45°，∠IDJ=90°，
∴△CDK与△DIJ均为等腰直角三角形，
又∵CD=，
∴CK=CD=，DK=2，BK=BD-DK=2，
设DI=x，同理易得DJ=DI=x，IJ=x，
又∵∠CBK+∠BCK=∠IBJ=∠BIJ=∠CKD=∠IJD=45°，
∴∠CBK=∠BIJ，∠BCK=∠IBJ
∴△CBK∽△BIJ
∴，即，
解得x=2，
在Rt△BDI中，，
∴，，
c)如下图，过点F作FP⊥AB交AB于点P，过点D作DQ⊥FP交FP于点Q，交BI于点R，
根据题意EF始终保持与地面垂直，故E、F、Q、P均在同一直线EP上，
此时易得，∠BRD=∠DQE=∠RQP=∠BPQ=90°，
∴四边形BPQR是矩形，
∴PQ=BR，
又∵∠DBI+∠BDR=∠BDR+∠QDE=90°，
∴∠EDQ=∠DBI
∴在Rt△DQE和Rt△BRD中，
，
解得：，，
∴EP=EQ+PQ=，
由①得EF=CN-DM=
∴FG与AB的距离FP=EP-EF=
故答案为：.
【分析】此题主要为解直角三角形，常规思路利用已知条件的特殊角往竖直或水平距离作垂直解直角三角形，难点在于利用好已知条件的特殊角联系求得水平或竖直的距离，其中在处理图三中特殊角∠ABC以内构造竖直距离出现多处45°角，进而产生构造与45°角相关的相似进而解得相应边长，(如若感兴趣者也建议研究该常见45°产生的"12345"模型二级结论快速得出填空题答案)，最后为避开多次相似的较麻烦写法，延用同角锐角三角函数值做步骤简化，其原理与相似基本一致。
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·松江模拟）如图，已知正方形，、分别为边、的中点，与交于点，，垂足为点．
（1）求证：；
（2）连接，求正弦值．
【答案】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 、 分别为边 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ABF≌△DAE，可得 ，利用余角的性质可求∠AMF=90°，结合 ，可得 ，由F是AD的中点，可得 ，即得AM=MN；
（2）连接BE， 由 ，利用余角的性质可求 ， 可得
，即得 ， 设 ，则 ， ， ME=3a， ， ， 根据即可求解.
17．（2023九下·淳安期中）如图，在菱形中，，是对角线上一点．是线段延长线上一点，且，连接．
（1）如图1，若是线段上任意一点，连接，求证：．
（2）在第（1）题的前提下，求证：．
（3）如图2，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，求的值．
【答案】（1）证明：在菱形中，，
∴为等边三角形，，
∴，，
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，是公共边，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过作，
∵，
∴，
∴，
设，，可得方程，解得，，
∵，，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AD=CD，∠ABC=∠ADC=60°，推出△ACD为等边三角形，得到∠DAC=∠DCA=∠ACB=60°，∠DAE=∠DCF=60°，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得ED=FD，∠ADE=∠CDF，易得△EDF为等边三角形，则EF=DE，利用SAS证明△ABE≌△ADE，得到BE=DE，据此证明；
（3）过A作AH⊥BF，由平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BCE∽△FCA，设AC=1，CE=x，由相似三角形的性质可得x，然后求出CH、AH的值，再根据三角函数的概念进行计算.
18．（2020·遵化模拟）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图.已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30cm.假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离CD＝120cm处淋浴.
（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE.
（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；
②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数.
（参考数据： ≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）
【答案】（1）解：过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H，
∵∠C＝∠D＝90°，∴四边形GCDH为矩形，
∴GH＝CD＝120，DH＝CG，∠H＝90°，
在Rt△ABG中，∠ABG＝α＝30°，AB＝30，
∴AG＝15，BG=15
∴AH＝120﹣15＝105，
∵AE⊥AB，∴∠EAH＝30°，
又∠H＝90°，∴EH＝AHtan30°＝35
∴ED＝HD﹣HE＝160+15 ﹣35 ≈125.4（cm）
（2）解：①BF＝DE；
②如图，
在Rt△BCD中，BD＝ ＝200，
∴sin∠1＝ ＝0.6，
∴∠1≈36.9°，
在Rt△BAD中，AB＝30．
∴sin∠2＝ ＝0.15，
∴∠2≈8.6°，
∴∠3≈90°﹣8.6°＝81.4°，
∴α＝180°﹣∠1﹣∠3≈180°﹣36.9°﹣81.4°＝61.7°．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据题意，可以证明四边形GCDH为矩形，由矩形的性质以及直角三角形的性质，结合三角函数即可得到ED的数值；
（2）在直角三角形BCD中，根据勾股定理计算得到BD的值，利用三角函数即可得到答案。
19．（2022·坪山模拟）如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．
请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：
（1）盲区1的面积约是 m2；盲区2的面积约是 m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，结果保留整数）
（2）如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．
【答案】（1）5；4
（2）解：∵AC＝AD＝，
AH＝AG＝，
AM＝AN＝，
∴AC＝AD＞AH＝AG＞AM＝AN，
∴以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．
如图所示．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）如图，作OP⊥CD于P．
∵OBCD是等腰梯形，OB＝2，CD＝4，
∴DP＝（CD﹣OB）＝1．
在直角△ODP中，∵∠D＝60°，
∴OP＝DP tanD＝1×＝，
∴S梯形OBCD＝（OB+CD） OP＝（2+4） ＝3≈3×1.7≈5（m2），
即盲区1的面积约是5m2；
在直角△BEN中，∵∠EBN＝25°，EN＝2，
∴BE＝≈＝4，
∴S△BEN＝BE EN≈×4×2＝4（m2），
即盲区2的面积约是4m2．
故答案为5，4；
【分析】（1）作OP⊥CD于P，根据等腰梯形的性质求出DP＝（CD﹣OB）＝1，解直角△ODP，得出OP＝DP tanD＝1×＝，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的面积；解直角△BEN，求出BE＝≈＝4，因此S△BEN＝BE EN≈×4×2＝4，即为盲区2的面积；
（2）利用勾股定理求出AC=AD，AH=AG，AM=AN，得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域。
20．（2023·广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，长为100米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向．
（1）求步道的长度．
（2）点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：）
【答案】（1）解：由题意得，过点作垂直的延长线于点，如图所示，
点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，
，，
，
，
为矩形.
.
米，
米.
在中，米.
故答案为：200米.
（2）解：这条路较近，理由如下：
，，
.
米，，
在中，米.
米.
为矩形，米，
米.
在中，米.
米.
结果精确到个位，
米.
米.
.
从这条路较近.
故答案为：这条路较近.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点作垂直的延长线于点，先根据题意得到，，再根据矩形的判定与性质证明四边形ACDF为矩形，进而得到DF=AC，再解直角三角形即可求解；
（2）这条路较近，先根据解直角三角形的知识得到AB、BC的长，再运用矩形的性质得到米，最后再运用解直角三角形的知识结合题意即可求解。
21．（2023九下·龙江期中）综合与实践如图，正方形与正方形有公共顶点C，，，连接．
（1）如图①，当点E，G在正方形内时，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）把正方形绕点C旋转到如图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）把正方形绕点C在平面内自由旋转．
①当A，E，D三点在同一条直线上时，AE的长是 ；
②旋转过程中，的最大值为 ．
【答案】（1）BE=AD；BE⊥AD
（2）解：成立，理由如下：如图，
∵正方形ACBF，正方形CDGE，
∴，，
∴，即，
∴，
∴、，
∵，
∴，
∴；
（3）；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）证明：如图1：延长BE，与AC、AD交于点O和点H，
∵正方形ACBF，正方形CDGE，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，∠BCO+∠CBO+∠BOC=∠AOH+∠AHO+∠HAO=180°
∴∠AHO=90°，
∴．
故答案为：；
（3）解：①如图：过点C作CM⊥AD于点M，
∵A，E，D三点在同一条直线上
∴DE是正方形CDGE的对角线
∴
∴△MDC是等腰直角三角形
∵
∴
∵
∴
∴．
②如图：
∵
∴
∴当A，E，D三点在同一条直线上时，有最大值DE
∴的最大值为为．
故答案为：．
【分析】（1）延长BE，与AC、AD分别交于点O、H，根据正方形的四边相等，四个角都是直角得BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°，由同角的余角相等得∠BCE=∠ACD，从而由SAS判断出△BCE≌△ACD，得BE=AD，∠CBO=∠CAD，然后结合对顶角相等及三角形的内角和定理可得∠AHB=90°，从而得出BE⊥AD；
（2） （1）中的结论依然还成立 ，理由如下：根据正方形的四边相等，四个角都是直角可得BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°，由等式的性质得∠BCE=∠ACD，从而由SAS判断出△BCE≌△ACD，得BE=AD，∠CBO=∠CAD，然后结合对顶角相等及三角形的内角和定理可得∠OAD+∠AOE=90°，从而得出BE⊥AD；
（3）①当A，E，D三点在同一条直线上，过点C作CM⊥AD于点M，结合正方形的性质易得△MDC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质、∠CDM的余弦函数及特殊锐角三角函数值可得CM=MD=，DE=，由勾股定理算出AM，进而根据AE=AD-ED计算可得答案；
② 根据三角形三边关系可得|AE-AD|≤ED，当A，E，D三点在同一条直线上时，|AE-AD|有最大值DE，从而即可得出答案.
22．（2021·建湖模拟）如图
（1）（问题情境）
如图1，在矩形ABCD中，将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，设AD与CE相交于点F，那么AC与DE的位置关系为 .
（2）（类比探究）
如图2，若四边形ABCD为平行四边形，上述“问题情境”中的条件不变，
①猜想AC与DE的位置关系，并证明你的结论；
②当∠B与∠ACB满足什么数量关系时，△ABC∽△FEA？请说明理由；
（3）（拓展应用）
如图3， ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，上述“问题情境”中的条件不变，当△AEC是直角三角形时，请直接写出DE的长为 .
【答案】（1）AC//DE
（2）解：①如图②中，
∵沿AC折叠，
∴∠ACB＝∠ACE，BC＝CE，
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACE，
∴FA＝FC，
∵AD＝BC，BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴AD﹣FA＝CE﹣FC，
即EF＝DF，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠AFC＝∠EFD，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴AC//DE，
②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，
∴∠AFE＝∠DAC+∠ACE＝2∠ACB，
若△ABC∽△FEA，
则∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC，
∵AD//BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC+∠DAC＝180°，
∵∠BAC＝2∠ACB，∠DAC＝∠ACB，
∴∠B+3∠ACB＝180°，
∴当∠B+3∠ACB＝180°时，
△ABC∽△FEA；
（3） 或 .
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】【问题情境】如图①中，
∵矩形ABCD沿AC折叠，
∴∠1＝∠2，
∵AD//BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AF＝CF，
∵AD＝BC，BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴AD﹣AF＝CE﹣CF，
即 EF＝DF，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠AFC＝∠EFD，
∴∠3＝∠ADE，
∴AC//DE.
故答案为：AC//DE；
【拓展应用】①∠EAC＝90°时，如图，
∵沿AC折叠，
∴AE＝AB＝6，∠AEC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝∠EAC＝90°，
∴B、A、E三点共线，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，即AE//CD，AB＝CD，
∴AE//CD，AE＝CD，
∴四边形ACDE为平行四边形，
∴DE＝AC，
在Rt△BAC中，AC＝AB tan∠B＝ ，
②如图，当∠ACE＝90°时，
∵沿AC折叠，
∴AE＝AB＝6，∠ACE＝∠ABC＝60°，∠BCA＝∠ECA＝90°，
∴B、C、E三点共线，
∵BC＝CE＝AD，
∵AD//BE，∠ECA＝90°，
∴四边形ACED为矩形，
∴DE＝AC，
在Rt△ABC中，AC＝AB sin∠B＝ ，
综上可知，当△AEC是直角三角形时，DE的长为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）AC//DE，理由：根据矩形的性质及折叠的性质求出∠3＝∠ADE，根据平行线的判定即得结论；
（2）① 根据平行四边形的性质及折叠的性质求出∠DAC＝∠ADE， 根据平行线的判定可证AC//DE；
②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，根据三角形外角的性质得出∠AFE＝2∠ACB，若△ABC∽△FEA，
则∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC， 根据平行线的性质得出∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC
+∠DAC＝180°， 从而得出 ∠B+3∠ACB＝180°，据此即得结论；
（3）①∠EAC＝90°时，②当∠ACE＝90°时，据此分别求解即可.
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