2.1等式性质与不等式性质 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
第二章 一元二次函数、方程与不等式
2.1 等式性质与不等式性质
1.了解相等关系与不等关系，会用不等式（组）表示不等关系.
2.会用作差法比较两个实数或代数式值的大小.
3.掌握等式与不等式的性质
课程引入
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学习目标
重难点
重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异
难点：利用等式与不等式的性质，解决实际问题
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。
类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。
课程引入
1
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系；如图，设是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，B，当点A在点B的左边时，；当点A在点B的右边时，；当点A和点B重合时，.
基本事实
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A
B
B
A
A(B)
基本事实
如果是正数，那么；
如果等于0，那么；
如果是负数，那么
①
②
③
有什么用途呢？
当我们无法直接比较两个数或者式子大小的时候，可利用作差法：即利用两个两个数或者式子的差与0的大小关系，比较式子的大小。
基本事实
2
基本事实的应用
作差法的步骤
作差
变形
判断符号
得出结论
一般是通过因式分解、通分、配方、分母有理化等变形手段，将差变形为几个因式积的形式或配成完全平方式。
例题讲讲
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解：
例1 比较和的大小.
=
=
2＞0，
所以＞
一个重要的不等式
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如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？
设图中直角三角形的两个直角边长为，那么正方形的边长就是，这样，四个直角三角形的面积之和就是，正方形的面积为，很显然正方形的面积大于三角形面积和.即
当直角三角形变为等腰直角三角形时，内部的小正方形变成了一个点，此时，有，所以综合可知，
例题讲讲
5
一般地，，这个不等式被称为重要不等式，当且仅当时，等号成立.
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
因为,,当且仅当时，等号成立.所以
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
，当且仅当时，等号成立.
等式的性质
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对称性
如果，那么
传递性
如果，那么
加减性
如果那么
同乘性
如果那么
同除性
如果那么
不等式具有那些性质呢？
不等式的性质
7
对称性
如果，那么，如果，那么，即
传递性
如果，那么，即
可加性
如果那么
可乘性
如果那么，如果那么
同向可加性
如果那么
同向同正可乘性
如果那么
同正可乘方性
如果那么
例题讲讲
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例2 已知，，求证
方法一：作差法
证明：
因为，所以，
又因为，所以，所以
例题讲讲
8
例2 已知，，求证
方法二：性质法
证明：，所以，
于是，即
，得
例题讲讲
8
例3（1）已知，求的取值范围
（2）已知，，求的取值范围
（3）已知，，求的取值范围
解：（1）因为
所以
所以，-7
例题讲讲
8
例3（1）已知，求的取值范围
（2）已知，，求的取值范围
（3）已知，，求的取值范围
解：（2）因为
所以
所以
例题讲讲
8
例3（1）已知，求的取值范围
（2）已知，，求的取值范围
（3）已知，，求的取值范围
解：（3）因为，所以
①当时，
②当时，
由①②得，
知识小结
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1
2
3
4
作差法
不等式的性质
重要不等式
等式的性质
谢谢观看