(共13张PPT)
4.4.1 探索相似三角形的条件（1）
复习回顾
1.相似多边形的定义:
各角分别 、各边 的两个多边形叫做相似多边形.
2.相似比:
相似多边形 的比叫做相似比.
要注意多边形的前后顺序
3.相似多边形的性质
相似多边形的对应角 ，对应边 .
相等
成比例
对应边
相等
成比例
表示为：
△ABC∽△A'B'C'
C
A
B
B′
A′
C′
相似三角形定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
用几何语言表示：
∵ ∠A=∠A' 、∠B=∠B' 、∠C=∠C'
∴ △ABC∽△ A'B'C'
我们将相似三角形对应边的比称为相似比。
反之：若△A'B'C' ∽△ABC 则它们的相似比是多少？
相似三角形判定方法
探索新知
相似三角形定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件
如果两个三角形有一个角对应相等会相似吗？
不一定
问题一：两角对应相等的两个三角形相似吗
与同伴合作，一人画△ABC, 另一人画△A′B′C′, 使得∠A和∠A′都有等于给定的∠α(如30°), ∠B和∠B′都等于给定的∠β (如450),比较你们画的两个三角形, ∠C与∠C′相等吗
改变∠α(如60°)和∠β(如75°)的大小,再试一试.
通过上面的活动,你猜出了什么结论
C
A
B
C'
A'
B'
这样的两个三角形相似吗
两角对应相等的两个三角形相似.
如图,在△ABC和△DEF中.
如果∠A=∠D, ∠B=∠E,那么△ABC∽△DEF.
A
B
C
D
E
F
相似三角形判定方法（一）
A
B
C
D
E
例1:如图D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10,求BC的长？
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似）
若DE与BC不平行，△ADE与△ABC还可能相似吗？说明理由.
解：∴DE∥BC，
例题讲解
1、下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？
②
C
50°
30°
100
°
30°
①
°
C
30
A
B
D
E
F
A
B
A1
C1
B1
60°
自学检测
2、判断正误：
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似.( )
（2）顶角相等的两个等腰三角形相似.( )
√
X
√
有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似.( )
变式：
相似
相似
4、在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，∠E＝50°，这两个三角形相似吗？为什么？
3.如图2，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△AED与△ABC相似，
你添加的条件是_____________ （一种情况即可）
解：相似，理由如下：在△ABC中，
∠C=180°-∠A-∠B
=180°-70°-60°=50°
∴∠C=∠E
又∵∠A＝ ∠D
∴△ABC∽△DEF
易错点：
一定找好对应点
解：（1）△ABC∽△DBA
△ABC∽△DAC
△DBA∽△DAC
（2）能，理由如下：
B
C
D
A
1
∵AD⊥BC
∴∠B+∠1=90°
∵∠BAC=90°
∴∠B+∠C=90°
∴∠1=∠C
又∵∠ADB=∠ADC=90°
∴△DBA∽△DAC
如图，△ABC中，∠BAC=90°，
AD⊥BC，垂足为D。
⑴请指出图中所有相似三角形；
⑵你能得出AD2=BD·DC吗？
即AD2=BD·DC
思考：你能得到AB2=BD·BC
AC2=CD·BC吗？
4.如图1,D为△ABC的边AB上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3cm,AB=4cm,则AC的长为（ ）
A.2 cm B. cm C.12 cm D.2 cm
图1
D
5. 如图2，AB⊥AO,DB⊥AB,DO与AB相交于点C，
AC=120m,CB=60m,BD=50m,则AO= .
O
B
A
C
D
图2
100m
解：设梯子的长AB为x cm
由Rt△ADE∽Rt△ABC得：
6.如图，长梯AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70 cm，量得BD长55 cm，求梯子的长.
解得：x=440
经检验：x=440是所列方程的解
答：梯子的长是440 cm.
E
C
易错点：分式方程勿忘检验！！！
小结：
1.相似三角形的判定方法
（1）定义法：________________________的两个三角形相似。
（2）判定方法1：___________的两个三角形相似
三角分别相等、三边成比例
两角分别相等
(1)对顶角，公共角；
(2)相等的角加上（或减去）公共角；
(3)利用平行得到角相等；
(4)同角（或等角）的余角（补角）相等。
几何语言：
2.如何找两对相等的角呢？
∵ ∠A= ∠A1
∠B= ∠B1
∴ △ABC∽△A1B1C1
C
B
A
B1
C1
A1(共13张PPT)
4.4.2 探索相似三角形的条件（2）
复习回顾
2、三角形相似的判定方法是什么？
三角形相似判定1：两角分别相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
A
B
C
A'
C'
B'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
1、相似三角形的定义是什么？
三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似
情景引入
如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD= AC，延长BC到E，使CE= BC，连接DE，如果测量DE=20m，那么AB=2×20=40m。你知道这是为什么吗？
合作探究
1.画△ABC与△A’B’C’，使∠B=∠B’，
都等于给定的值k。设法比较∠A与∠A’的大小（或∠C与∠C’）。
△ABC和△A’B’C’相似吗？
2.改变k值的大小，再试一试。
A
B
C
C'
B'
A'
6 cm
4 cm
3 cm
2 cm
两边对应成比例且夹角相等
△A ' B ' C ' ∽△ABC
∠B ' ＝∠B=600
定理
∠B’＝∠B
∵
△A’B’C’ ∽△ABC
∴
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
A
B
C
C'
B'
A'
解 ∵∠AEB＝∠FEC（对顶角相等）
又∵ ＝ ＝
＝ ＝
∴ ＝
∴ △AEB∽△FEC
练一练
判断图中△AEB和△FEC是否相似？
例题讲解
例2：点D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点。AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求DE的长。
D
B
C
A
E
∴DE= BC=
∴
∵
又∵∠EAD=∠CAB
解：∵AE=1.5 AC=2
∴
∴
△ ADE∽ △ABC
∵BC=3
∴
×3=
合作探究
3.如果△ABC与△DEF两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？
结论：两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似。
G
3.2
C
3.2
50°
)
4
A
B
2
1.6
50°
)
E
D
F
学以致用
如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD= AC，延长BC到E，使CE= BC，连接DE，如果测量DE=20m，那么AB=2×20=40m。你知道这是为什么吗？
1、如图，每组中的两个三角形是否相似 为什么
相似
不相似（对应边不成比例）
随堂练习
2、P93知识技能T2
解：相似。理由如下：
∵AB:DF=BC:DE=2：3，且∠B=∠D
∴△ABC∽△DEF
如图，P是△ABC的边AB上的一点.
（1）如果∠ACP=∠B，△ACP和△ABC是否相似？为什么？
A
P
B
C
P93 数学理解
解:（1）相似，理由如下：
∵∠ACP=∠B，∠PAC=∠CAB，∴△ACP∽△ABC
∴△ACP∽△ABC；
不相似，因为虽然两边成比例，但它们的夹角不相等.
注意图形中隐含的等角条件：∠A=∠A
A
P
B
C
易漏点：注意图形中隐含的等角条件：∠A=∠A(共16张PPT)
4.4.3 探索相似三角形的条件（3）
复习回顾
判断三角形相似的方法：
1、三角对应相等、三边对应成比例（定义）
2、两角分别相等的两个三角形相似
3、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
画△ABC与△A′B′C′，使 、 和
都等于给定的值k
（1）设法比较∠A与∠A′的大小。
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由.
改变k值的大小，再试一试。
判定三角形相似还有没有其它条件呢？
合作交流
3
2
2.5
6
5
4
A
B
C
C’
B’
A’
三边对应成 比例
△ABC∽△A’B’C’
定理:
= =
三边成比例的两个三角形相似
△ABC∽△ADE
(三边成比例的两个三角形相似）
A
D
C
E
B
例3. 如图在△ ABC和△ADE中，
解：
∵
∴
∴∠CAE=20°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∵∠BAC=∠DAE
∵
∠BAD＝20°，求∠CAE的度数。
即∠BAD=∠CAE
∠BAD=20°
如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？
议一议
∴△ ABC∽△ A′B′C′
(三边对应成比例的两个三角形相似.)
B
C
A
A′
C′
B′
解:如图,设小正方形的边长为1, 由勾股定理可得:
1、如图，△ABC与△EFG相似吗 为什么
知识技能
C
B
A
E
F
G
∴△ ABC ∽ △ EFG.
解：相似，理由如下：
1、一个三角形三边的长分别为 6cm,9cm,7.5cm,另一个三角形三边的长分别为8cm,10cm,12cm,这两个三角形 .(填“相似”或“不相似”）
相似
∴△ ABC ∽ △ ADE
∴∠ ADE = ∠ ABC
A
B
E
D
C
注意找准对应边
自学检测1
1、如图，已知AB：AD=BC：DE，
若再增加一个条件就能判定△ABC∽△ADE，则这个条件
是 .(只填一个）
B
A
E
C
D
2.如图，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AD=3，AE=6，DE=5，BD=15，CE=3，BC=15，根据以上条件，你认为∠B=∠AED吗？请说明理由.
E
D
A
B
C
当堂训练
2.如图，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AD=3，AE=6，DE=5，BD=15，CE=3，BC=15，根据以上条件，你认为∠B=∠AED吗？请说明理由.
E
D
A
B
C
∴△ ABC∽△ AED
∴∠B=∠AED
3、如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点,
下面结论：
①△ ABF ∽ △ AEF;
②△ ABF∽ △ ECF;
③△ ABF ∽ △ ADE;
④△ AEF ∽ △ ECF;
⑤△ AEF ∽ △ ADE;
⑥△ ECF ∽ △ ADE.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
D
C
A
E
B
F
4.已知：如图， 求证：
（1）∠DAB=∠EAC
（2）DB·AC=AB·EC
(4).三边成比例的两个三角形相似
(3).两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
三角形相似的判定方法有哪些？
(1).定义法:三角分别相等, 三边成比例的两个三角
形相似
(2).两角分别相等的两个三角形相似。
小结
C
A
B
C'
A'
B'
作业
课本习题4.7 第1题、第2题(共16张PPT)
4.4.4 探索相似三角形的条件（4）
为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋 为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉
一个五角星如图所示.
1、从图中找出相等的角、相等的线段.
2、在图中找出两对相似比不同的相似三角形。
AC
AB
AC
BC
=
3、 吗？为什么？
A
C
B
D
K
E
G
F
H
L
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
AC
BC
=
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
AC 与 AB 的比叫做黄金比.
C
A
B
A
C
B
: 1
≈
0.618 : 1
AC
AB
AC
BC
=
=
2个
2.一条线段有几个黄金分割点？
如图2-7,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
A
B
C
图2-7
由
得
则
∴
即
(舍去)
所以,黄金比
设
1
∴
x
例4 计算黄金比
解：
巴台农神庙
如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，
那么我们可以惊奇的发现 ，点E是AB的
黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
BC
BE
BC
AB
=
D
F
C
A
E
B
且BC=AE,
所以
因此点E是AB的黄金分割点，
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.
自己找出
黄金分割点
如图,已知线段AB按照如下方法作图:
1.经过点B作BD⊥AB,使
2.连接DA,在DA上截取DE=DB.
随堂练习
3.在AB上截取AC=AE.
A
B
D
E
C
点C是线段AB的黄金分割点，为什么？
方法提示：设AB=2，分别计算
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点 A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点,点D是靠近点A的黄金分割点。试确定支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到端点A的距离。
A
B
C
D
C
A
B
D
数学理解
当堂训练
1.设点C是长度为2cm的线段AB的黄金分割点，则AC的长为（ ）cm.
A. B.
C. D.
2.点P在线段AB上,且 ,若PB=1,则AB=( )
A. B. C. D.
3.电视台节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最得体，若舞台AB的长为20m,试计算主持人应站在离A点为__________m处最佳
D
B
为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋 为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉
黄金身材比例
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温（37℃）的黄金点（23=37×0.618）。这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节。上肢与下肢长度之比均近似0.618.
4. 人体下半身（脚底到肚脐）的长度与身高的比例越接近0.618就越有美感，某女士身高160cm,下半身96cm,她应选择多高的高跟鞋会看起来更美呢？（精确到0.1厘米）
5.若一个矩形的宽与长之比等于黄金比，则称这个矩形为黄金矩形，试作出一个长为4cm的黄金矩形（保留作图痕迹）
A
B
解：设高跟鞋高x cm，则有
解得 x=7.5
所以应选择7.5cm高的高跟鞋
经检验x=7.5是原方程的根
1.作AB=4cm;
2.作AB的黄金分割点M（AM>BM）;
作法：
3.作AD⊥AB,使AD=AM;
4.分别过B,D作AD和AB的平行线，两条平行
线相交于点C.
则四边形ABCD即为所作的黄金矩形.
M
D
C
A
B
5题 解：
异 曲 同 工
如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH。点H就是AB的黄金分割点。
如下方法也可以得到黄金分割点？
归 纳 小 结 ：
1.通过建筑、雕塑、音乐等领域的实例了解黄金分割，感受了黄金分割的美。
2.进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容。
3.通过作图找到一条线段的黄金分割点，并利用已学知识给予了说明。
谢 谢 大 家!
