2023-2024学年沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数 解答题专题训练（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数 解答题专题训练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 731.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-19 16:36:24 | ||
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文档简介
2023-2024学年沪科版九年级数学上册《第21章二次函数与反比例函数》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝，分别交于点A和点B，且A、B两点的坐标分别是A（﹣1，﹣2）和B（2．m），连接OA、OB．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的函数表达式；
（2）求△AOB的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝（x+m）（x﹣m﹣2）与x轴交于点A和点B，顶点为C．
（1）求抛物线C1的对称轴；
（2）若抛物线C1经过点（0，﹣8），求m的值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线C1向上平移至抛物线C2，此时抛物线C2的顶点D恰好是△ABC的重心，求抛物线C2的函数表达式．
3．如图，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限内，已知反比例函数（x＞0）的图象经过线段OA的中点D，交直线AB于点C．若△OAB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）若AC＝OB，求点A的坐标．
4．某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
5．如图，直线y＝2x与双曲线y＝（x＞0，k＞0）相交于点A，AB⊥x轴于点B，以AB为边在右侧作正方形ABCD，CD与双曲线相交于点E，连接AE、OE．
（1）当BC＝4时，求点E的坐标；
（2）当S△AOE＝24时，求k的值；
（3）是否存在实数k，满足AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
6．某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：
水平距离x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
竖直高度y/m 2.25 2.8125 3 2.8125 2.25 1.3125 0
根据表格中的数据，解答下列问题：
①水管的长度是 m；
②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；
②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．
则比较d1与d2的大小关系是：d1 d2（填“＞”或“＝”或“＜”）
7．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，AC∥y轴，BC⊥AB．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求的值．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1和反比例函数y＝的图象如图所示．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当x＞0时，直接写出不等式kx+1＞的解集．
9．农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x≥6且为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；
（3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a的值．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且对称轴是直线，点A（1，4）在抛物线上，点C（0，2）在y轴上，直线AC交抛物线于点A、D，点B在抛物线上，且AB∥x轴．
（1）求抛物线的解析式和点D坐标；
（2）求∠BOD的度数；
（3）设点F是线段BD的中点，点P是线段OB上一动点，将△DFP 沿FP折叠，得到△D′FP，若△D′FP与△BDP重叠部分的面积是△BDP面积的，求PB的长．
11．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B（2，b）两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）根据图象，当时x的取值范围为： ；
（3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
（4）若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标： ．
12．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
13．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，若点D为直线BC上方抛物线上的点，过点D作DP∥x轴交BC于点P，作DQ∥y轴交BC于点Q，若△DPQ的面积为2，求D点坐标；
（3）如图2，点M为抛物线的顶点，当x＞﹣2时，在抛物线上是否存在点D使△AMD是等腰三角形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请说明理由．
14．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）．
【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝ 时，有最小值 ；
（2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
15．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树；这时平均每棵树结 个橙子．
（2）在（1）的条件下，求增种多少棵橙子树，可以使果园橙子总产量最大？最大产量是多少？
16．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围．
（3）若点P在y轴上，使得S△ABP＝15，请直接写出点P的坐标．
17．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷水头距池底的高度为1.88m，喷出的水柱是一条抛物线，距池中心的水平距离是1m时，水柱的高度是3.18m；距池中心的水平距离是2m时，水柱的高度是3.48m．
（1）水柱达到最高点时与池中心的水平距离是多少？
（2）水柱距地面1.5m处与池中心的水平距离是多少？
（3）为了使水柱落地点与池中心的距离是4.3m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，出水口应升高或降低多少米？
19．如图，是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1 8的整数）．函数的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝ ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ ；
（3）若曲线L使得T1 T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个．
20．2022年11月，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功，弘扬茶文化，倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚．某茶商经销某品牌茶，成本为50元/千克，经市场调查发现，每周的销量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据列表如下：
销售单价x（元/千克） 56 65 75 …
销量y（千克） 128 110 90 …
（1）求y与x的一次函数关系式；
（2）求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值．
参考答案
1．解：（1）∵点A（﹣1，﹣2）在反比例函数图象上，
∴k＝2，反比例函数解析式为：y＝；
∵B（2．m）在反比例函数图象上，
∴m＝1，即B（2，1），
∵点AB在一次函数y1＝k1x+b的图象上，
∴，解得：，
一次函数解析式为：y＝x﹣1，
（2）设直线AB交x轴于点M，当y＝0，x＝1，M（1，0），OM＝1．
所以S△AOB＝S△BMO+S△AMO＝+＝．
2．解：（1）由抛物线的表达式知，其和x轴的交点坐标为：（﹣m，0）、（m+2，0），
则抛物线的对称轴为x＝（m+2﹣m）＝1；
（2）将点（0，﹣8）代入抛物线表达式得：﹣8＝m（m﹣2），
解得：m＝2或﹣4；
（3）由（2）知，点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0），
则抛物线的表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）＝x2﹣2x﹣8，
当x＝1时，y＝x2﹣2x﹣8＝﹣9，即点C（1，﹣9），
设点BC的中点为E（，﹣），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y＝﹣x﹣2，
∵D恰好是△ABC的重心，则点D为抛物线对称轴和直线AE的交点，
当x＝1时，y＝﹣x﹣2＝﹣3，
即点D（1，﹣3），
则抛物线C2的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2．
3．解：（1）设点D的坐标为（m，），
∵点D是OA的中点，
∴点A的坐标为（2m，），即OB＝2m，AB＝．
∵△OAB的面积为6，
∴×2m×＝6，
∴k＝3；
（2）由（1）可知，双曲线的解析式为：，
∵点C是AB和双曲线的交点，
∴点C的纵坐标为，
∴AC＝＝，
由AC＝OB，得：，
解得：或（舍去），
∴点A的坐标为（3，4）．
4．解：（1）在表格取点（30，40）、（32，36），
设一次函数的表达式为：y＝kx+b，
则，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+100；
（2）①设三月的成本为m万元，
当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，
由题意得：450＝30（35﹣m），
解得：m＝20，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20﹣14＝6，
由题意得：w＝y（x﹣6）＝（﹣2x+100）（x﹣6）＝﹣2x2+112x﹣600（25≤x≤30），
则抛物线的对称轴为x＝28，
则x＝25时，w取得最小值，
此时，w＝950，
即四月份最少利润是950万元．
5．解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝4，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在y＝的图象上，
∴k＝2×4＝8，
∵OC＝OB+BC＝6，
∴xE＝6，
将xE＝6代入y＝中，得：yE＝，
∴点E的坐标为（6，）；
（2）设A（a，2a）（a＞0），则点E（2a，），
∵S△ABO＝S△CEO＝×8＝4，
∴S△AHO＝S梯形BCEH，
∵S梯形ABCE＝S△AEH+S梯形BCEH，
S△AEH+S△AHO＝S△AOE＝24，
∴（2a+）×2a＝24，
解得a2＝9，
∴k＝2a2＝18；
（3）答：不存在，
理由：∵AE⊥OA，
∴∠OAB+∠BAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠OAB＝∠DAE，
∵∠ABO＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△OAB≌△EAD（ASA），
∴OB＝DE，
由①可知，A（a，2a）（a＞0），则点E（2a，），
∴OB＝a，ED＝2a﹣＝，
∴a＝0，
∴k＝0，
∵k＞0，
∴不符合题意，不存在．
6．解：（1）①当x＝0时，y＝2.25，
∴水管的长度是2.25m；
故答案为：2.25；
②把x＝0，y＝2.25；x＝1，y＝3；x＝3，y＝0，分别代入 y＝a（x﹣h）2+k，得：
，
解得：，
∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3；
（2）①∵不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，
∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3 向上平移1个单位，
∴平移后的解析式为y＝﹣0.75（x﹣1）2+3+1，即 y＝﹣0.75（x﹣1）2+4，
当y＝0时，﹣0.75（x﹣1）2+4＝0，
解得x1＝+1，x2＝﹣+1（不合题意，舍去），
∴d1＝+1≈3.31；
对于y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，
当y＝0时，﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6＝0，
解得：x1＝+1.5，x2＝﹣+1.5（不合题意，舍去），
∴d2＝+1.5≈3.95，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
7．解：（1）∵点A（1，a）在y＝2x上，
∴a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数表达式得：k＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）∵A、B两点关于原点成中心对称，
∴B（﹣1，﹣2）；
如图所示，作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵∠ABC＝90°，∠BHC＝90°
∴∠C＝∠ABH
∵CA∥y轴，BH∥x轴
∴∠AOD＝∠ABH＝∠C，
∴＝2．
8．解：（1）由图象知，
一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为，
则交点的纵坐标为2．
将（1，2）代入y＝kx+1得，k＝1．
所以一次函数的解析式为：y＝x+1．
（2）当x＞0，即图象在y轴的右侧，
观察图象发现：当图象在直线x＝1的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
所以不等式kx+1＞的解集为：x＞1．
9．解（1）售价为x元/千克（x≥6且为正整数），则提价（x﹣6）元，
故销售量为[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，
根据题意，得52﹣2x＝24，
解得x＝14，
故该日产品的单价为14元/千克．
（2）设售价为x元/千克（x≥6且为正整数），销售额为w元，则提价（x﹣6）元，
故销售量为[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，
∴w＝x（52﹣2x）＝﹣2x2+52x，
∴w＝﹣2（x﹣13）2+338，
∵6≤x≤18，且对称轴右侧，y随x的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且13﹣6＝7，18﹣13＝5，
∴x＝13时，w取得最大值，且最大值为338元，
∴x＝6时，w取得最小值，且最小值为240元，
w＝﹣2x2+52x，w的最大338元，w的最小240元．
（3）由题意得：440≤﹣2x2+52x+a≤450，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，
∴x＝13时，w＝338元
∴x＝11或15时，w＝330元，
∴x＝12或14时，w＝336元，
且：440≤﹣2x2+52x+a≤450，
∴110≤a≤112，
∵a是正整数，
∴a的值为110或111或112．
10．解：（1）∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∵对称轴是直线，
∴﹣＝﹣，
∴b＝3a，
∴y＝ax2+3ax，
将点A（1，4）代入y＝ax2+3ax，
∴a+3a＝4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，
设直线AC的解析式为y＝kx+2，
∴k+2＝4，
解得k＝2，
∴直线AC的解析式为y＝2x+2，
当2x+2＝x2+3x时，解得x＝﹣2或x＝1，
∴D（﹣2，﹣2）；
（2）∵AB∥x轴，
∴B（﹣4，4），
∴BO＝4，BD＝2，DO＝2，
∴BD2＝BO2+DO2，
∴△BDO是直角三角形，
∴∠BOD＝90°；
（3）当D'在BO上方时，设FD'与BO交于点H，
∵F是BD的中点，
∴S△BPF＝S△PDF，
∵S△HPF＝S△BDP，
∴S△HPF＝S△BFP，
∴S△HPF＝S△BFH，
∴H是BP的中点，
由折叠可知，△PD'F≌△PDF，
∴S△PFD'＝S△PFD，
∴S△PFH＝S△PHD'，
∴H是FD'的中点，
∴四边形BFPD'是平行四边形，
∴BF＝D'P＝PD＝DF＝BD＝，
设P（t，﹣t），
∴＝，
解得t＝﹣1或t＝1（舍），
∴P（﹣1，1），
∴PB＝3；
当D'在BO下方时，同理可得四边形BPFD'是平行四边形，
∴BP＝D'F＝DF＝BD＝；
综上所述：PB的长为3或．
11．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为；
（2）把B（2，b）代入，得b＝1，
∴B（2，1）
由（1）知A（1，2），B（2，1），
根据图象可知，当时，0＜x＜1或x＞2，
∴当时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞2；
（3）解：连接OA，OB，设直线AB与x轴交于点C，如图，
∵，
又∵，
∴
设P（t，0），则OC＝|t﹣3|，
∴
解得：t＝8或t＝﹣2，
∴P（8，0）或（﹣2，0）．
（4）解：设，
当 APQB时，如图，
∵ APQB，
∴AP∥QB，PQ＝AB，
∵A（1，2），B（2，1），
∴，
∴PQ2＝x2+1，AB2＝（1﹣2）2+（2﹣1）2＝2，
∴x2+1＝2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1（不符合题意，舍去）
∴P（1，2），此时与点A重合，不是平行四边形，故舍去；
当 APBQ时，连接PQ交AB于D，如图，
∵ APBQ
∴点D是AB与PQ的中点，
∴
解得：x＝3，
∴，
当 AQPB时，过Q作QN⊥y于N，过点B作BD⊥y于D，过点A作AS⊥BD于S，如图，
∵ AQPB
∴PQ＝AB，PQ∥AB
∴∠QPN＝∠BMD
∵BD⊥y
∴∠BMD+∠ABS＝90°，
∵QN⊥y
∴∠PNQ＝90°
∴∠PQN+∠QPN＝90°
∴∠PQN＝∠ABS
∵∠PNQ＝∠ASB＝90°
∴△PQN≌△ABS
∴PN＝AS＝2﹣1＝1
∴PQ2＝x2+1，
∵AB2＝2
∴x2+1＝2
解得：x1＝﹣1，x2＝1（不符合题意，舍去）
∴Q（﹣1，﹣2）
综上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q点的坐标为或（﹣1，﹣2）．
12．解：（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
设C（m，），
∵B（0，3），A（1，0）
则CM＝，M（m，0），N（m，3），
∵AN＝m﹣1，CN＝3﹣，BN＝m，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠BCN＝∠MAC，
又∵AC＝BC，
∠BCN＝∠MAC，
∠AMC＝∠BNC＝90°
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM，BN＝CM，
∴3﹣＝m﹣1，m＝，
∴k＝m2，
∴3﹣m＝m﹣1，
m＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式：y＝；
（2）由（1）可得C（2，2），
∵A（1，0），
∴AC＝＝，
∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，
∴F点纵坐标为2，∠CAF＝DAF＝∠CFA，
∴CF＝AC＝，
∴F点横坐标为2+，
∴F（2+，2）．
13．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）抛物线得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）∵点D为直线BC上方抛物线上的点，过点D作DP∥x轴交BC于点P，作DQ∥y轴交BC于点Q，△DPQ的面积为2，
把x＝0代入，得：y＝4，
∴C（0，4），
∵∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°
∵DP∥x轴，作DQ∥y轴，
∴∠DQP＝45°，∠DPQ＝45°，
∴∠DQP＝∠DPQ＝45°，
∴DP＝DQ，∠PDQ＝90°，
∴，
∴DQ＝2，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，4）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
设点，则Q（m，﹣m+4），
∴，
解得：m1＝m2＝2，
∴，
∴D（2，4）；
（3）解：当x＞﹣2时，在抛物线上存在点D使△AMD是等腰三角形，点D的坐标为：D1（4，0），，．理由如下：
∵＝，
∴，
①当MA＝MD时，则D与B点重合，则D1（4，0），
②当DA＝DM时，如图所示，连接AM，作AM的垂直平分线交x轴于点F，AM的中点为G，
∵A（﹣2，0），，
∴，
∴，，
设x＝1与x轴交于点H，则AH＝3，
则，
∴，
∴，
设直线GF的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线GF的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，，
综上所述，D1（4，0），，．
14．解：（1）根据题意得当时，m＝2，此时．
故答案为：2，4；
（2）连接PQ，
∵点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上的点，
∴k＝﹣4×（﹣5）＝20，即，
设，
∴
＝．
∴四边形AQBP的面积最小值为40．
15．解：（1）由题意得，假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（100+x）棵橙子树，
∴这时平均每棵树结（600﹣5x）个橙子，
故答案为：（100+x），（600﹣5x）；
（2）设增种m棵橙子树时果园橙子的总产量为y个，
根据题意，得y＝（100+m）（600﹣5m）＝﹣5m2+100m+60000＝﹣5（m﹣10）2+60500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，y有最大值．
∴当m＝10时，y有最大值是60500．
答：增种10棵橙子树，可以使果园橙子总产量最大，最大产量是60500个．
16．解：（1）把点A（﹣1，4）代入反比例函数y＝得，4＝，
∴k2＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
将点B（4，n）代入y＝﹣得，n＝﹣＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
将A、B的坐标代入y＝k1x+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；
（2）由图象可知：k1x+b＞的x的取值范围是0＜x＜4或x＜﹣1．
（3）在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3，
∴直线AB与y轴的交点C为（0，3），
设P（0，n），
∴PC＝|n﹣3|，
∵S△ABP＝15，
∴S△ABP＝S△APC+S△BPC＝|n﹣3|×（4+1）＝15，
∴|n﹣3|＝6，
∴n＝9或n＝﹣3，
∴P（0，9）或（0，﹣3）．
17．解：（1）（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①在图1中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴S＝PF OB＝；
②S＝PF OB＝，
∵＜0，
∴当t＝时，S取最大值，最大值为．
∵B（3，0）、C（0，3），
∴线段BC＝＝，
∴点P到直线BC的距离的最大值为，
当时，，则此时点P的坐标为；
（3）在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，理由如下：
如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵xD﹣xC＝1，
∴xP﹣xM＝1，
∴xP＝2，
∴P（2，3），
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴yC﹣yD＝3，
∴yM﹣yP＝3，
∴yM＝6，
∴点M的坐标为（1，6）；
当xP≠2时，不存在，理由如下，
若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，
∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，
又∵xP≠2，
∴不存在，
综上所述，在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，点M的坐标为M（1，6）．
18．解：（1）如图，建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把（0，1.88），（1，3.18），（2，3.48）代入解析式得：
，
解得，
∴y＝﹣0.5x2+1.8x+1.88＝﹣0.5（x﹣1.8）2+3.5，
∴当x＝1.8时，y有最大值为3.5，
∴水柱达到最高点时与池中心的水平距离是1.8米；
（2）当y＝1.5时，则﹣0.5（x﹣1.8）2+3.5＝1.5，
解得x1＝3.8，x2＝﹣0.2（舍去），
∴x＝3.8，
∴水柱距地面1.5m处与池中心的水平距离是3.8m；
（3）根据题意，设y＝﹣0.5（x﹣1.8）2+3.5+m，
把（4.3，0）代入，得﹣0.5（4.3﹣1.8）2+3.5+m＝0，
解得m＝0.375，
∴出水口应升高0.375m．
19．解：（1）由图象可知T1（﹣16，1）
又∵函数y＝（x＜0）的图象经过T1，
∴1＝，即k＝﹣16，
故答案为：﹣16；
（2）由图象可知T1（﹣16，1）、T2（﹣14，2）、T3（﹣12，3）、T4（﹣10，4）、T5（﹣8，5）、T6（﹣6，6）、T7（﹣4，7）、T8（﹣2，8），
∵L过点T4，
∴k＝﹣10×4＝40，
观察T1～T8发现T5符合题意，即m＝5，
故答案为：5；
（3）∵T1～T8横纵坐标积分别为：﹣16，﹣28，﹣36，﹣40，﹣40，﹣36，﹣28，﹣16，
∴要使这8个点为于L的两侧，每次各四个点，k必须满足﹣36＜k＜﹣28，
∴k可取共7个整数值，为﹣35、﹣34、﹣33、﹣32、﹣31、﹣30、﹣29．
故答案为：7．
20．解：（1）设y与x的一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得：，
则y与x的一次函数关系式为y＝﹣2x+240．
（2）由题意得：w＝（x﹣50）y＝（x﹣50）（﹣2x+240）
＝﹣2x2+340x﹣12000
＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∵这个抛物线的对称轴为直线x＝85，且开口向下，
∴当x＝85时，w取得最大值，最大值为2450，
答：该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值为2450元．
解答题专题训练（附答案）
1．如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝，分别交于点A和点B，且A、B两点的坐标分别是A（﹣1，﹣2）和B（2．m），连接OA、OB．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的函数表达式；
（2）求△AOB的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝（x+m）（x﹣m﹣2）与x轴交于点A和点B，顶点为C．
（1）求抛物线C1的对称轴；
（2）若抛物线C1经过点（0，﹣8），求m的值；
（3）在（2）的条件下，将抛物线C1向上平移至抛物线C2，此时抛物线C2的顶点D恰好是△ABC的重心，求抛物线C2的函数表达式．
3．如图，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限内，已知反比例函数（x＞0）的图象经过线段OA的中点D，交直线AB于点C．若△OAB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）若AC＝OB，求点A的坐标．
4．某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
5．如图，直线y＝2x与双曲线y＝（x＞0，k＞0）相交于点A，AB⊥x轴于点B，以AB为边在右侧作正方形ABCD，CD与双曲线相交于点E，连接AE、OE．
（1）当BC＝4时，求点E的坐标；
（2）当S△AOE＝24时，求k的值；
（3）是否存在实数k，满足AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
6．某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：
水平距离x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
竖直高度y/m 2.25 2.8125 3 2.8125 2.25 1.3125 0
根据表格中的数据，解答下列问题：
①水管的长度是 m；
②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；
②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．
则比较d1与d2的大小关系是：d1 d2（填“＞”或“＝”或“＜”）
7．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，AC∥y轴，BC⊥AB．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求的值．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1和反比例函数y＝的图象如图所示．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当x＞0时，直接写出不等式kx+1＞的解集．
9．农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x≥6且为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；
（3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a的值．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且对称轴是直线，点A（1，4）在抛物线上，点C（0，2）在y轴上，直线AC交抛物线于点A、D，点B在抛物线上，且AB∥x轴．
（1）求抛物线的解析式和点D坐标；
（2）求∠BOD的度数；
（3）设点F是线段BD的中点，点P是线段OB上一动点，将△DFP 沿FP折叠，得到△D′FP，若△D′FP与△BDP重叠部分的面积是△BDP面积的，求PB的长．
11．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B（2，b）两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）根据图象，当时x的取值范围为： ；
（3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
（4）若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标： ．
12．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
13．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，若点D为直线BC上方抛物线上的点，过点D作DP∥x轴交BC于点P，作DQ∥y轴交BC于点Q，若△DPQ的面积为2，求D点坐标；
（3）如图2，点M为抛物线的顶点，当x＞﹣2时，在抛物线上是否存在点D使△AMD是等腰三角形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请说明理由．
14．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）．
【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝ 时，有最小值 ；
（2）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
15．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树；这时平均每棵树结 个橙子．
（2）在（1）的条件下，求增种多少棵橙子树，可以使果园橙子总产量最大？最大产量是多少？
16．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围．
（3）若点P在y轴上，使得S△ABP＝15，请直接写出点P的坐标．
17．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷水头距池底的高度为1.88m，喷出的水柱是一条抛物线，距池中心的水平距离是1m时，水柱的高度是3.18m；距池中心的水平距离是2m时，水柱的高度是3.48m．
（1）水柱达到最高点时与池中心的水平距离是多少？
（2）水柱距地面1.5m处与池中心的水平距离是多少？
（3）为了使水柱落地点与池中心的距离是4.3m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，出水口应升高或降低多少米？
19．如图，是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1 8的整数）．函数的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝ ；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝ ；
（3）若曲线L使得T1 T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个．
20．2022年11月，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功，弘扬茶文化，倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚．某茶商经销某品牌茶，成本为50元/千克，经市场调查发现，每周的销量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据列表如下：
销售单价x（元/千克） 56 65 75 …
销量y（千克） 128 110 90 …
（1）求y与x的一次函数关系式；
（2）求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值．
参考答案
1．解：（1）∵点A（﹣1，﹣2）在反比例函数图象上，
∴k＝2，反比例函数解析式为：y＝；
∵B（2．m）在反比例函数图象上，
∴m＝1，即B（2，1），
∵点AB在一次函数y1＝k1x+b的图象上，
∴，解得：，
一次函数解析式为：y＝x﹣1，
（2）设直线AB交x轴于点M，当y＝0，x＝1，M（1，0），OM＝1．
所以S△AOB＝S△BMO+S△AMO＝+＝．
2．解：（1）由抛物线的表达式知，其和x轴的交点坐标为：（﹣m，0）、（m+2，0），
则抛物线的对称轴为x＝（m+2﹣m）＝1；
（2）将点（0，﹣8）代入抛物线表达式得：﹣8＝m（m﹣2），
解得：m＝2或﹣4；
（3）由（2）知，点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0），
则抛物线的表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）＝x2﹣2x﹣8，
当x＝1时，y＝x2﹣2x﹣8＝﹣9，即点C（1，﹣9），
设点BC的中点为E（，﹣），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y＝﹣x﹣2，
∵D恰好是△ABC的重心，则点D为抛物线对称轴和直线AE的交点，
当x＝1时，y＝﹣x﹣2＝﹣3，
即点D（1，﹣3），
则抛物线C2的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2．
3．解：（1）设点D的坐标为（m，），
∵点D是OA的中点，
∴点A的坐标为（2m，），即OB＝2m，AB＝．
∵△OAB的面积为6，
∴×2m×＝6，
∴k＝3；
（2）由（1）可知，双曲线的解析式为：，
∵点C是AB和双曲线的交点，
∴点C的纵坐标为，
∴AC＝＝，
由AC＝OB，得：，
解得：或（舍去），
∴点A的坐标为（3，4）．
4．解：（1）在表格取点（30，40）、（32，36），
设一次函数的表达式为：y＝kx+b，
则，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+100；
（2）①设三月的成本为m万元，
当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，
由题意得：450＝30（35﹣m），
解得：m＝20，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20﹣14＝6，
由题意得：w＝y（x﹣6）＝（﹣2x+100）（x﹣6）＝﹣2x2+112x﹣600（25≤x≤30），
则抛物线的对称轴为x＝28，
则x＝25时，w取得最小值，
此时，w＝950，
即四月份最少利润是950万元．
5．解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝4，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在y＝的图象上，
∴k＝2×4＝8，
∵OC＝OB+BC＝6，
∴xE＝6，
将xE＝6代入y＝中，得：yE＝，
∴点E的坐标为（6，）；
（2）设A（a，2a）（a＞0），则点E（2a，），
∵S△ABO＝S△CEO＝×8＝4，
∴S△AHO＝S梯形BCEH，
∵S梯形ABCE＝S△AEH+S梯形BCEH，
S△AEH+S△AHO＝S△AOE＝24，
∴（2a+）×2a＝24，
解得a2＝9，
∴k＝2a2＝18；
（3）答：不存在，
理由：∵AE⊥OA，
∴∠OAB+∠BAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠OAB＝∠DAE，
∵∠ABO＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△OAB≌△EAD（ASA），
∴OB＝DE，
由①可知，A（a，2a）（a＞0），则点E（2a，），
∴OB＝a，ED＝2a﹣＝，
∴a＝0，
∴k＝0，
∵k＞0，
∴不符合题意，不存在．
6．解：（1）①当x＝0时，y＝2.25，
∴水管的长度是2.25m；
故答案为：2.25；
②把x＝0，y＝2.25；x＝1，y＝3；x＝3，y＝0，分别代入 y＝a（x﹣h）2+k，得：
，
解得：，
∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3；
（2）①∵不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，
∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3 向上平移1个单位，
∴平移后的解析式为y＝﹣0.75（x﹣1）2+3+1，即 y＝﹣0.75（x﹣1）2+4，
当y＝0时，﹣0.75（x﹣1）2+4＝0，
解得x1＝+1，x2＝﹣+1（不合题意，舍去），
∴d1＝+1≈3.31；
对于y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，
当y＝0时，﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6＝0，
解得：x1＝+1.5，x2＝﹣+1.5（不合题意，舍去），
∴d2＝+1.5≈3.95，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
7．解：（1）∵点A（1，a）在y＝2x上，
∴a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数表达式得：k＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）∵A、B两点关于原点成中心对称，
∴B（﹣1，﹣2）；
如图所示，作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵∠ABC＝90°，∠BHC＝90°
∴∠C＝∠ABH
∵CA∥y轴，BH∥x轴
∴∠AOD＝∠ABH＝∠C，
∴＝2．
8．解：（1）由图象知，
一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为，
则交点的纵坐标为2．
将（1，2）代入y＝kx+1得，k＝1．
所以一次函数的解析式为：y＝x+1．
（2）当x＞0，即图象在y轴的右侧，
观察图象发现：当图象在直线x＝1的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
所以不等式kx+1＞的解集为：x＞1．
9．解（1）售价为x元/千克（x≥6且为正整数），则提价（x﹣6）元，
故销售量为[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，
根据题意，得52﹣2x＝24，
解得x＝14，
故该日产品的单价为14元/千克．
（2）设售价为x元/千克（x≥6且为正整数），销售额为w元，则提价（x﹣6）元，
故销售量为[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，
∴w＝x（52﹣2x）＝﹣2x2+52x，
∴w＝﹣2（x﹣13）2+338，
∵6≤x≤18，且对称轴右侧，y随x的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且13﹣6＝7，18﹣13＝5，
∴x＝13时，w取得最大值，且最大值为338元，
∴x＝6时，w取得最小值，且最小值为240元，
w＝﹣2x2+52x，w的最大338元，w的最小240元．
（3）由题意得：440≤﹣2x2+52x+a≤450，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，
∴x＝13时，w＝338元
∴x＝11或15时，w＝330元，
∴x＝12或14时，w＝336元，
且：440≤﹣2x2+52x+a≤450，
∴110≤a≤112，
∵a是正整数，
∴a的值为110或111或112．
10．解：（1）∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∵对称轴是直线，
∴﹣＝﹣，
∴b＝3a，
∴y＝ax2+3ax，
将点A（1，4）代入y＝ax2+3ax，
∴a+3a＝4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，
设直线AC的解析式为y＝kx+2，
∴k+2＝4，
解得k＝2，
∴直线AC的解析式为y＝2x+2，
当2x+2＝x2+3x时，解得x＝﹣2或x＝1，
∴D（﹣2，﹣2）；
（2）∵AB∥x轴，
∴B（﹣4，4），
∴BO＝4，BD＝2，DO＝2，
∴BD2＝BO2+DO2，
∴△BDO是直角三角形，
∴∠BOD＝90°；
（3）当D'在BO上方时，设FD'与BO交于点H，
∵F是BD的中点，
∴S△BPF＝S△PDF，
∵S△HPF＝S△BDP，
∴S△HPF＝S△BFP，
∴S△HPF＝S△BFH，
∴H是BP的中点，
由折叠可知，△PD'F≌△PDF，
∴S△PFD'＝S△PFD，
∴S△PFH＝S△PHD'，
∴H是FD'的中点，
∴四边形BFPD'是平行四边形，
∴BF＝D'P＝PD＝DF＝BD＝，
设P（t，﹣t），
∴＝，
解得t＝﹣1或t＝1（舍），
∴P（﹣1，1），
∴PB＝3；
当D'在BO下方时，同理可得四边形BPFD'是平行四边形，
∴BP＝D'F＝DF＝BD＝；
综上所述：PB的长为3或．
11．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为；
（2）把B（2，b）代入，得b＝1，
∴B（2，1）
由（1）知A（1，2），B（2，1），
根据图象可知，当时，0＜x＜1或x＞2，
∴当时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞2；
（3）解：连接OA，OB，设直线AB与x轴交于点C，如图，
∵，
又∵，
∴
设P（t，0），则OC＝|t﹣3|，
∴
解得：t＝8或t＝﹣2，
∴P（8，0）或（﹣2，0）．
（4）解：设，
当 APQB时，如图，
∵ APQB，
∴AP∥QB，PQ＝AB，
∵A（1，2），B（2，1），
∴，
∴PQ2＝x2+1，AB2＝（1﹣2）2+（2﹣1）2＝2，
∴x2+1＝2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1（不符合题意，舍去）
∴P（1，2），此时与点A重合，不是平行四边形，故舍去；
当 APBQ时，连接PQ交AB于D，如图，
∵ APBQ
∴点D是AB与PQ的中点，
∴
解得：x＝3，
∴，
当 AQPB时，过Q作QN⊥y于N，过点B作BD⊥y于D，过点A作AS⊥BD于S，如图，
∵ AQPB
∴PQ＝AB，PQ∥AB
∴∠QPN＝∠BMD
∵BD⊥y
∴∠BMD+∠ABS＝90°，
∵QN⊥y
∴∠PNQ＝90°
∴∠PQN+∠QPN＝90°
∴∠PQN＝∠ABS
∵∠PNQ＝∠ASB＝90°
∴△PQN≌△ABS
∴PN＝AS＝2﹣1＝1
∴PQ2＝x2+1，
∵AB2＝2
∴x2+1＝2
解得：x1＝﹣1，x2＝1（不符合题意，舍去）
∴Q（﹣1，﹣2）
综上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q点的坐标为或（﹣1，﹣2）．
12．解：（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
设C（m，），
∵B（0，3），A（1，0）
则CM＝，M（m，0），N（m，3），
∵AN＝m﹣1，CN＝3﹣，BN＝m，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠BCN＝∠MAC，
又∵AC＝BC，
∠BCN＝∠MAC，
∠AMC＝∠BNC＝90°
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM，BN＝CM，
∴3﹣＝m﹣1，m＝，
∴k＝m2，
∴3﹣m＝m﹣1，
m＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式：y＝；
（2）由（1）可得C（2，2），
∵A（1，0），
∴AC＝＝，
∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，
∴F点纵坐标为2，∠CAF＝DAF＝∠CFA，
∴CF＝AC＝，
∴F点横坐标为2+，
∴F（2+，2）．
13．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）抛物线得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）∵点D为直线BC上方抛物线上的点，过点D作DP∥x轴交BC于点P，作DQ∥y轴交BC于点Q，△DPQ的面积为2，
把x＝0代入，得：y＝4，
∴C（0，4），
∵∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°
∵DP∥x轴，作DQ∥y轴，
∴∠DQP＝45°，∠DPQ＝45°，
∴∠DQP＝∠DPQ＝45°，
∴DP＝DQ，∠PDQ＝90°，
∴，
∴DQ＝2，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，4）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
设点，则Q（m，﹣m+4），
∴，
解得：m1＝m2＝2，
∴，
∴D（2，4）；
（3）解：当x＞﹣2时，在抛物线上存在点D使△AMD是等腰三角形，点D的坐标为：D1（4，0），，．理由如下：
∵＝，
∴，
①当MA＝MD时，则D与B点重合，则D1（4，0），
②当DA＝DM时，如图所示，连接AM，作AM的垂直平分线交x轴于点F，AM的中点为G，
∵A（﹣2，0），，
∴，
∴，，
设x＝1与x轴交于点H，则AH＝3，
则，
∴，
∴，
设直线GF的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线GF的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，，
综上所述，D1（4，0），，．
14．解：（1）根据题意得当时，m＝2，此时．
故答案为：2，4；
（2）连接PQ，
∵点Q（﹣4，﹣5）是双曲线上的点，
∴k＝﹣4×（﹣5）＝20，即，
设，
∴
＝．
∴四边形AQBP的面积最小值为40．
15．解：（1）由题意得，假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（100+x）棵橙子树，
∴这时平均每棵树结（600﹣5x）个橙子，
故答案为：（100+x），（600﹣5x）；
（2）设增种m棵橙子树时果园橙子的总产量为y个，
根据题意，得y＝（100+m）（600﹣5m）＝﹣5m2+100m+60000＝﹣5（m﹣10）2+60500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，y有最大值．
∴当m＝10时，y有最大值是60500．
答：增种10棵橙子树，可以使果园橙子总产量最大，最大产量是60500个．
16．解：（1）把点A（﹣1，4）代入反比例函数y＝得，4＝，
∴k2＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
将点B（4，n）代入y＝﹣得，n＝﹣＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
将A、B的坐标代入y＝k1x+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；
（2）由图象可知：k1x+b＞的x的取值范围是0＜x＜4或x＜﹣1．
（3）在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3，
∴直线AB与y轴的交点C为（0，3），
设P（0，n），
∴PC＝|n﹣3|，
∵S△ABP＝15，
∴S△ABP＝S△APC+S△BPC＝|n﹣3|×（4+1）＝15，
∴|n﹣3|＝6，
∴n＝9或n＝﹣3，
∴P（0，9）或（0，﹣3）．
17．解：（1）（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①在图1中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴S＝PF OB＝；
②S＝PF OB＝，
∵＜0，
∴当t＝时，S取最大值，最大值为．
∵B（3，0）、C（0，3），
∴线段BC＝＝，
∴点P到直线BC的距离的最大值为，
当时，，则此时点P的坐标为；
（3）在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，理由如下：
如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵xD﹣xC＝1，
∴xP﹣xM＝1，
∴xP＝2，
∴P（2，3），
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴yC﹣yD＝3，
∴yM﹣yP＝3，
∴yM＝6，
∴点M的坐标为（1，6）；
当xP≠2时，不存在，理由如下，
若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，
∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，
又∵xP≠2，
∴不存在，
综上所述，在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，点M的坐标为M（1，6）．
18．解：（1）如图，建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把（0，1.88），（1，3.18），（2，3.48）代入解析式得：
，
解得，
∴y＝﹣0.5x2+1.8x+1.88＝﹣0.5（x﹣1.8）2+3.5，
∴当x＝1.8时，y有最大值为3.5，
∴水柱达到最高点时与池中心的水平距离是1.8米；
（2）当y＝1.5时，则﹣0.5（x﹣1.8）2+3.5＝1.5，
解得x1＝3.8，x2＝﹣0.2（舍去），
∴x＝3.8，
∴水柱距地面1.5m处与池中心的水平距离是3.8m；
（3）根据题意，设y＝﹣0.5（x﹣1.8）2+3.5+m，
把（4.3，0）代入，得﹣0.5（4.3﹣1.8）2+3.5+m＝0，
解得m＝0.375，
∴出水口应升高0.375m．
19．解：（1）由图象可知T1（﹣16，1）
又∵函数y＝（x＜0）的图象经过T1，
∴1＝，即k＝﹣16，
故答案为：﹣16；
（2）由图象可知T1（﹣16，1）、T2（﹣14，2）、T3（﹣12，3）、T4（﹣10，4）、T5（﹣8，5）、T6（﹣6，6）、T7（﹣4，7）、T8（﹣2，8），
∵L过点T4，
∴k＝﹣10×4＝40，
观察T1～T8发现T5符合题意，即m＝5，
故答案为：5；
（3）∵T1～T8横纵坐标积分别为：﹣16，﹣28，﹣36，﹣40，﹣40，﹣36，﹣28，﹣16，
∴要使这8个点为于L的两侧，每次各四个点，k必须满足﹣36＜k＜﹣28，
∴k可取共7个整数值，为﹣35、﹣34、﹣33、﹣32、﹣31、﹣30、﹣29．
故答案为：7．
20．解：（1）设y与x的一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得：，
则y与x的一次函数关系式为y＝﹣2x+240．
（2）由题意得：w＝（x﹣50）y＝（x﹣50）（﹣2x+240）
＝﹣2x2+340x﹣12000
＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∵这个抛物线的对称轴为直线x＝85，且开口向下，
∴当x＝85时，w取得最大值，最大值为2450，
答：该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值为2450元．