人教版数学八年级上册 15.2.1 分式的乘除 教案

15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘除
教学目标
【知识与能力目标】
1.理解分式乘除的法则；
2.会用分式的乘除法则进行分式的乘、除、乘方及混合运算。
【过程与方法目标】
通过从分数的乘除法则过度到分式的乘除法则的过程，渗透类比转化的数学思想方法。
【情感态度价值观目标】
通过对分式乘除内容的学习，让学生充分体会体会数式通性的思想方法在研究数学问题中的重要作用。【教学重点】
分式的乘除法则。
【教学难点】
运用分式的乘除法则，熟练地进行分式乘除运算。
一、情境引入
问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？
答案：
问题2：大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
答案：
二、探究新知
思考：观察下列运算后，你能总结一下分数的乘除法法则吗？
；；，。
乘法法则：分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
除法法则：分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除法相乘。
思考：类比分数乘除运算，下列分式的乘除运算应该如何进行？
(1) (2)
追问1：类比分数乘除法则，你能说出分式的乘除法则吗？
类似于分数，分式有：
(1) 分式的乘法法则：分式乘以分式，用________的积做积的分子，________的积作为积的分母。
分子 分母
(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的________、________颠倒位置后，与被除式________。
________＝________。
分子、分母 相乘.
追问2：分式的乘除运算与分数的乘除运算有什么联系？
归纳：分数的乘除法运算实际上就是分式乘除运算的一种特殊形式，分式的乘除法运算就是对分数乘除法运算的深化。
三、运用新知
例1 计算：
(1)；　(2)。
解：(1)原式＝ (2)原式＝
例2　计算：
(1)；(2)。
解：(1)原式＝；
(2)原式＝。
追问：例2和例1有什么不同？分式的乘除运算时应注意什么问题？
归纳：分式乘除运算，结果是分式应化为最简分式；运算过程中分子、分母是多项式时，先分解因式再运算。
例3 计算。
解：原式＝。
追问：在这个式子中包含几种运算？本题的运算顺序是怎样的？
例4 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg。
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
思考完成下列3个问题：
1.列出表示两块试验田单位面积产量的代数式：“丰收1号”________；“丰收2号”________。
2.对于分子相同的分式，如何比较其大小？你能比较题中两分式的大小吗？
3.运用分式的除法法则确定两块试验田单位面积产量的倍数关系。
解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2－1) m2，单位面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2。
∵0<(a－1)2(2)。
“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍。
讨论：分式的大小比较与分数的大小比较有什么联系？
小结：式是数的扩展，数的一些方法与技巧，对于式一样适用。两个大于0的分式，当分子相同时，分母越大，分式的值越小。
四、巩固练习
1．计算·的结果是( )
A．ax B．bx C. D.
答案：C
2．化简÷的结果是( )
A. B.a C. D.
答案：A
3．计算÷，结果正确的是( )
A. B． C． D．
答案：D
4．计算：
(1)·；
(2)·；
(3)÷(4－x)；
(4)·.
解：(1)原式＝－＝－.
(2)原式＝·＝.
(3)原式＝·＝.
(4)原式＝·＝.
五.拓展与延伸
1.已知(a＋b－2)2＋＝0，求·的值．
解：∵(a＋b－2)2＋＝0，
∴解得
·＝·＝.
将a＝1，b＝1代入上式，得原式＝＝＝.
2.有这样一道题，计算÷的值，其中x＝2017，某同学把x＝2017错抄成2071，但他的计算结果正确，你说这是怎么回事？
解：原式＝·＝1.
计算的结果与x的值无关，
所以他的计算结果是正确的.
六、课堂小结
1.知识小结：
(1)分式的乘法、除法法则是什么？在进行运算时应注意什么？
注意：①符号问题；②运算结果一定是最简分式(或整式)。
(2)分式乘除混合运算，其运算顺序是什么？
注意：分解因式和约分在分式乘除法中的应用。
(3)分式的乘方法则是什么？
如果乘除混合运算中有乘方，要先算乘方。
2．思想方法小结：
从特殊到一般以及转化等数学思想。
第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
教学目标：
1．类比分数乘除法的运算法则，探索分式乘除法的运算法则，掌握分式乘除法的运算法则；
2．类比整式运算中积的乘方的运算法则，探索并归纳分式的乘方法则；
3.掌握分式的乘方与乘除混合运算的运算；
4．通过例题和习题，训练学生的对分式乘除以及乘方综合解题能力和计算能力；
5. 通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力.
重点难点：
重点：准确、熟练地掌握分式乘除法和乘方的运算法则．
难点：分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法、除法运算中符号的确定．
教学过程：
一、复习回顾
1.说一说分式乘除法的计算法则.
答案：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
即：，
2. 表示的意义是什么？，其中、、分别叫做什么？
答案：表示的意义是：n个a的乘积，a是底数，n是指数，是幂
二、新课探究
1.分式的乘除混合运算
计算：
归纳：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算.
练习：计算：÷(x＋3)·.
解：原式＝··
＝··
＝··
＝－
2.分式的乘方
思考：你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？
答案：，，
指出：一般地，当n 是正整数时，
即：
归纳：分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
练习：
解：
强调：数与式有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除.
三、巩固练习
1．计算的结果是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】原式=-．
故选C．
2．下列各式中，计算结果正确的有（ ）
① ② ③
④ ⑤
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【答案】C
【解析】
2 ,正确.
②,故错误.
3 ,正确.
4 故错误.
⑤，正确.
正确的有3个.
故选：C.
3．计算下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【答案】（1） （2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
【解析】
（1）原式
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式．
（5）原式．
（6）原式．
4.拓展：许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题，若x＝－2018，求代数式÷·的值．小明通过计算，发现题目中的x＝－2018是多余的．你认为小明的发现是否正确？
解：÷·
＝··
＝1.
∴代数式÷·的值是一个定值，与x的取值无关．
故小明的发现是正确的．
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说分式乘方的计算法则？
2.说一说分式乘方、乘除混合运算的运算顺序是什么？