八年级数学上册人教版 12.3角的平分线的性质 试题（含答案）

12.3角的平分线的性质
一．选择题
1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝4，则PQ的长不可能是（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
2．如图，点P在∠AOB的角平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝8，则P到OB的距离为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝20，△ABD的面积为60，则CD长（　　）
A．12 B．10 C．6 D．4
4．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝4，BC＝6，△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．15
5．如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（　　）
A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1
6．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，对角线BD＝5，BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”这样说的依据是（　　）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．以上均不正确
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是∠CAB的平分线，设△ACD，△ABD的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于（　　）
A．3：4 B．4：5 C．3：7 D．3：5
10．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（　　）
A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定
二．填空题
11．如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝3，如果E是射线OB上一点，那么线段CE长度的最小值是 　 　．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　 　．
13．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BOC：S△CAO＝　 　．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，如果AC＝6cm，BC＝8cm，则DE的长为 　 　cm．
15．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 　 　cm．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，作∠CAB的平分线AP交BC于点D．若AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为 　 　．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝8，AC＝6，DE＝4，则△ABC的面积为 　 　．
18．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝6，则△BCE的面积为 　 　．
三．解答题
19．求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
20．如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．
22．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．
（1）∠BPC的度数是 　 　．
（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．
（3）证明：AB＝PC．
23．数学学习不仅要理解概念的本质，而且还要记忆相关的结论，这样我们才能明白数学问题的意义，才能有数学的意识解决数学实际问题．
（1）叙述角平分线性质定理：　 　；
（2）叙述并证明角平分线性质定理的逆定理．
24．我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．
如图，已知△ABC的角平分线BD交边AC于点D．
（1）求证：＝；
（2）求证：＝；
（3）如果BC＝4，AB＝6，AC＝5，那么CD＝　 　．
答案
一．选择题
A．C．C．D．B．B．B．C．D．C．
二．填空题
11．3．
12．1．
13．10：11：12．
14．3．
15．6．
16．4．
17．28．
18．6．
三．解答题
19．证明：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，
∴PD＝PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
同理，PE＝PF．
∴PD＝PE＝PF．
∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即∠A的平分线经过点P．
故三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
20．证明：∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，
∴∠ABE＝90°，∠AED＝90°，∠4+∠1＝90°，
∴∠3+∠6＝90°，∠6+∠5＝90°，
∴∠3＝∠5，
∴∠4+∠5＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°，
∴DC⊥BC．
21．（1）∠ABC的平分线如图所示．
（2）作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3，
∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABD＝BC CD+AB DH＝×3BC+3AB＝（BC+AB）＝3×16＝24．
22．（1）∵P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBP＝∠ABP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACP＝∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝30°+20°＝50°，
∴∠BPC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°；
（2）答：点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：
过点p分别作三角形三边的垂线，垂足分别为D、E、F，
∵PB、PC分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线，
∴PD＝PE PE＝PF，
∴PD＝PF，
∴点P在∠BAC的角平分线上；
（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，
∵AP、CP分别为∠BAC、∠ACB的平分线，
∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，
∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，
∴△PGC为等边三角形，
∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，
在△ABC和△CGA中，
，
∴△ABC≌△CGA（AAS），
∴AB＝CG，
又∵PC＝CG，
故AB＝PC．
23．（1）角平分线性质定理：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等．
故答案为：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；
（2）角平分线性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；
已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，且PC＝PD．
求证：点P在∠AOB的平分线上，
证明：如图，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
在Rt△PCO和Rt△PDO中，
，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴∠POC＝∠POD，
∴OP是∠AOB的平分线，
即点P在∠AOB的平分线上．
24．（1）证明：作DF⊥BC于F点，作DH⊥AB于H点，如图，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴DF＝DH，
∴＝＝；
（2）证明：作BE⊥CA于E点，如图，
∵＝＝，
∵＝；
∴＝；
（3）解：∵＝，
∴＝＝，
∴＝，即＝，
∴CD＝AC＝×5＝2．
故答案为：2．